Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 44 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
44
Dung lượng
1,05 MB
Nội dung
Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh PHNG TRèNH V H PHNG TRèNH I S I PHNG TRèNH ax + b = * Cỏc bc gii v bin lun: i) a = = b : Mi x l nghim a = b : Vụ nghim ii) a : Phng trỡnh gi l phng trỡnh bc nht, cú nghim nht: x b a * Nhn xột: Phng trỡnh ax + b = cú hn mt nghim v ch mi x l nghim, v ch a = b = * Cỏc phng trỡnh chuyn v phng trỡnh ax + b = : Phng trỡnh cú n mu: PP Gii: t K mu thc khỏc khụng Quy ng, b mu Gii phng trỡnh i chiu kt qu vi iu kin Kt lun nghim VD1 Gii v bin lun phng trỡnh: x 2m x 2x x m m x 2m x x 9mx 2m x 9mx 2m (1) 2x x m HD K: x , x i) m = 0: (1) vụ nghim 2m 9m 2m x l nghim ca phng trỡnh ó cho 9m 2m 1 1 4m 9m 4m 9m m 2, m m 9m 8m 9m m 2m m m m 9m 2m m 0, m KL: : x 9m m m m m : Vụ nghim ii) m : (1) x VD2 Gii v bin lun phng trỡnh: a b a b ax bx (a b) x Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh ax-1 ax HD K: bx-1 bx (a+b)x-1 (a+b)x (1) (2) (3) Phng trỡnh tng ng: 2abx (a b) a b abx (a b) x (a b) x 2ab(a b) x (a b) x 2abx (a b) ab(a b) x (a b) x (a b) ab(a b) x 2abx x ab(a b) x 2ab x ab(a b) x 2ab (4) (5) i) (4) cho x = l nghim vi mi a, b ii) Gii (5): + a = 0: x l nghim ca (5) b = 0: x l nghim ca phng trỡnh ó cho b : x ca phng trỡnh ó cho b + b = 0: x l nghim ca (5) a = 0: x l nghim ca phng trỡnh ó cho ca phng trỡnh ó cho a + a = - b: (5) 0x + 2b2 = b = 0: x l nghim ca phng trỡnh ó cho b : (5) vụ nghim Phng trỡnh ó cho cú nghim x = + a b a b : (5) x ab x l nghim ca phng trỡnh ó cho ch khi: a b a b a ab a b b a b a b KL a = b = 0: x a = b: x b b = a: x a a : x Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh a 0, a 0, a b, a - b: x a b a 0, a 0, a = b, a = - b: x = * Bi luyn (m 1) x (m 1) x x3 xm ax b x b Bi Gii v bin lun theo a, b phng trỡnh : xa xa a b Bi Gii v bin lun theo a, b phng trỡnh : xb xa ax b a ( x 1) Bi Gii v bin lun theo a, b phng trỡnh : x x x Bi Gii v bin lun theo m phng trỡnh : Bi Gii v bin lun theo a, b phng trỡnh : xa x a x b x b x a x a x b x b a x b x a x b x Bi Gii v bin lun theo a, b phng trỡnh : ax bx ax bx Phng trỡnh cú giỏ tr tuyt i Dng f ( x ) g ( x) f ( x) g ( x) PP Gii: Phng trỡnh tng ng f ( x) g ( x) Dng f ( x ) g ( x) PP Gii: f ( x) g ( x) g ( x) Cỏch 1: Phng trỡnh tng ng f ( x) g ( x) g ( x ) f ( x) g ( x) f ( x) Cỏch 2: Phng trỡnh tng ng f ( x ) g ( x ) f ( x ) Vn l ch, cỏch 1, ta phi gii bt phng trỡnh g ( x) ; cỏch 2, ta phi gii bt phng trỡnh f ( x) Tu thuc vo bc ca f(x) hay g(x) la chn thớch hp Dng Nhiu giỏ tr tuyt i Ta phỏ giỏ tr tuyt i theo nh ngha, v gii phng trỡnh trờn tng Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh VD Gii phng trỡnh x x 2 x 10 HD x x ; x x 3; x x - 2x 3-x - 4x - x + 10 2x x 2x VT 2 - 2x 3-x 4x + - 7x - 2x - 3-x 4x + - 3x - 2x - x-3 4x + - x - 10 i) x : x + 10 = x = - : Tho 3 2 3i) x : - 3x - = x = : Khụng tho 4i) x : - x - 10 = x = - 11: Khụng tho ii) x : - 7x - = x = : Tho Phng trỡnh cú cn thc Dng f ( x) g ( x) Bin i tng ng f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ("hay" õy f ( x ) (hay g(x) 0) cú ngha l s thay th, la chn mt hai, la chn bt phng trỡnh n gin hn) Dng f ( x) g ( x ) Bin i tng ng f ( x ) g ( x) f ( x) g ( x ) g ( x) Dng Nhiu cn thc khụng thuc cỏc dng trờn Bỡnh phng hai v nhiu ln theo nguyờn tc: A 0, B : A B A2 B A 0, B : A B A2 B Ngoi phng phỏp bin i tng ng núi trờn, cỏc phng trỡnh chuyn v bc nht cú th gii bng cỏch bin i v tớch,t n ph hay s dng cỏc phng phỏp khỏc (Xem Phng trỡnh khụng mu mc) VD Gii phng trỡnh: x x (XBang) HD Cỏch 1(Bin i tng ng): x x Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s x x Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh x (1 x )2 x x x x x x x x x x x x x x x x 1, x x x x Cỏch 2(Bin i tng ng): x x x x x 1 x x x Cỏch 3(Bin i v dng tớch): x x x ( x 1) x x x x x x y y x x 1 Cỏch 4(t n ph): t y y x x yx x y x y II PHNG TRèNH ax2 + bx + c = Cỏc bc gii v bin lun i) a = 0: Phng trỡnh tr thnh: bx + c = b = = c : Mi x l nghim b = c : Vụ nghim b : Phng trỡnh tr thnh phng trỡnh bc nht, cú nghim nht: x c b ii) a 0: Phng trỡnh ó cho gi l phng trỡnh bc hai b 4ac, ' b ac < ( ' < 0): Phng trỡnh vụ nghim = ( ' = 0): Phng trỡnh cú hai nghim bng x b 2a > ( ' > 0): Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit: b ' b x1,2 2a a * Nhn xột: Phng trỡnh ax2 + bx + c = cú hn hai nghim v ch mi x l nghim, v ch a = b = c = Du cỏc nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = ( a 0) Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh c b ,S= a a P < 0: Phng trỡnh cú hai nghim x1 x2 t P = x1 x2 x1 x2 P x1 x2 P , S x1 x2 P S *** Chỳ ý: i) P = x1 0, x2 S P x x2 ii) S x1 x2 P x x2 ; S x1 x2 S x1 x2 3i) 4i) Cỏc du hiu cn, nhiu rt cn cho vic xột du cỏc nghim: S < : Nu phng trỡnh cú nghim thỡ cú ớt nht mt nghim õm S > : Nu phng trỡnh cú nghim thỡ cú ớt nht mt nghim dng VD Tỡm tt c cỏc giỏ tr m cho phng trỡnh sau cú khụng ớt hn nghim õm phõn bit: x mx3 x mx HD Thy x = khụng tho phng trỡnh Chia hai v ca phng trỡnh cho x : 1 1 x mx m x m x x x x x t x X x Xx x x X 2, X x (1) tr thnh X mX (1) (2) (3) (3) cú hai nghim trỏi du vi mi m Vi X thỡ (2) cú hai nghim cựng du, nờn cú nghim õm thỡ X < Suy X < -2 Túm li phng trỡnh (3) phi cú hai nghim X X Nu c dựng nh lý o v du ca tam thc bc hai thỡ cn v l: Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh f (2) 2m m 2 f ( X ) X mX Nhng chng trỡnh hin hnh khụng cú nh lý o v du ca tam thc bc hai, nờn: Cỏch 1: t X + = Y Y < 0: X mX (Y 2) m(Y 2) Y ( m 4)Y 2m Phng trỡnh ny cú hai nghim trỏi du ch - 2m < m > X Cỏch 2: X mX m X 2 X X X X t f ( X ) f '( X ) 0, X X X2 X2 x - -2 + f '(X) - - + f(X) - 3 - Thy phng trỡnh cú nghim X < - ch m > So sỏnh nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = ( a 0) vi mt s thc khỏc khụng 3.1 Nu dựng nh lý o v du ca tam thc bc hai t f(x) = ax2 + bx + c = ( a 0) af( )0 x1 x2 af( )>0 x1 x2 ; S af( )>0 x1 x2 S ***Mt s iu kin cn v v nghim ca f(x) = ax2 + bx + c = ( a 0) 3.1.1 f(x) cú nghim thuc ; : Cn v f(x) cú ỳng nghim thuc ; l mt iu kin: Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh f ( ) f ( ) f ( ) S ; Cn v f(x) cú ỳng nghim thuc f ( ) S ; b 2a ; af ( ) af ( ) ; : S f ( ) f ( ) af ( ) af ( ) S Nu khụng cn phi tỏch bch nh th thỡ cn v f(x) cú nghim thuc ; : 3.1.2 f(x) cú nghim thuc ; : Cn v f(x) cú ỳng nghim thuc ; l mt bn iu kin: f ( ) f ( ) f ( ) S ; f ( ) S ; Cn v f(x) cú ỳng nghim thuc ; l : b 2a ; af ( ) af ( ) S 3.1.3 f(x) cú nghim thuc ; : Cn v f(x) cú ỳng nghim thuc ; l mt ba iu kin: af ( ) Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s f ( ) S b 2a Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Cn v f(x) cú ỳng nghim thuc ; : af ( ) S 3.1.4 f(x) cú nghim thuc [ ; ) : Cn v f(x) cú ỳng nghim thuc [ ; ) l mt ba iu kin: af ( ) f ( ) S Cn v f(x) cú ỳng nghim thuc [ ; ) : b 2a af ( ) S 3.1.5 f(x) cú nghim thuc ; : Cn v f(x) cú ỳng nghim thuc ; l mt ba iu kin: af ( ) f ( ) S Cn v f(x) cú ỳng nghim thuc ; : b 2a af ( ) S 3.1.6 f(x) cú nghim thuc (; ] : Cn v f(x) cú ỳng nghim thuc (; ] l mt ba iu kin: af ( ) f ( ) S Cn v f(x) cú ỳng nghim thuc (; ] : Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s b 2a af ( ) S Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh 3.2 Nu khụng dựng nh lý o v du ca tam thc bc hai Phng phỏp tt nht l kho sỏt s bin thiờn ca hm s (xem VD phn trờn) Nu ch so sỏnh nghim vi mt s thc khỏc khụng thỡ cú th t y=x- VD Tỡm a phng trỡnh sau cú hn nghim thuc 0; : (1 a ) tan x 2 3a cos x 2 3a (1 a ) 3a cos x cos x cos x 4a (1) (1 a ) cos x cos x t X X (1; ) cos x (1) (1 a ) X X 4a (2) Phng trỡnh ó cho cú hn mt nghim thuc 0; phng trỡnh (2) cú hai nghim X (1; ) HD (1 a ) tan x Cỏch t X - = Y > : (2) tr thnh (1 a )(Y 1) 2(Y 1) 4a (1 a)Y 2aY 3a (3) a 1 a a a 4a ' (3) cú hai nghim dng 3a P a a S a Cỏch Khụng phi no cng cú th nhn X = l mt nghim ca (2) Nhng nu nhn c thỡ: 2a a a a 3a a 2a a Vi a thỡ nghim l 2a a Ta phi cú 2a a Cú th dựng phng phỏp phn bự: Tỡm cỏc giỏ tr tham s phng trỡnh cú nghim thỡ ta tỡm cỏc giỏ tr lm cho phng trỡnh vụ nghim VD Tỡm tt c cỏc giỏ tr m phng trỡnh sau cú nghim: x x 2mx x Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 10 Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh VD11 Gii h phng trỡnh: 1981 x1 x2 x1980 1980 1980 x x x 1980 1979 1980 1980 HD t xi ; xi i = 1, 1980 (i = 1, 2, , 1980), a i 1980 Mt khỏc i a i 1980 i 1980 a i (1) 1980 i x1 x1980 ; x1 x1980 x1 x1980 = x1 x1980 = 1980.1981 1980.1979 1980 (2) T (1)&(2) suy cỏc vộc t (i 1,1980) cựng phng, cựng hng, cựng di Nh th x1 = x2 = x1980 x1 = x2 = x1980 = x1 x2 x1980 1981 1980 1980 VD12 Gii h phng trỡnh: y xy x 2 x y x (HSPHN - A2000) HD Thy rng x = khụng tho phng trỡnh th hai Chia hai v ca c hai phng trỡnh cho x2, ta cú: y1 y y2 x x y x x y2 y2 x x x t u y , v uv y x u 2v * Bi luyn 82 2 x y Bi Gii h phng trỡnh x 10 x y 10 y y 3 y Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 30 (B thi TS) Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Bi Gii h phng trỡnh x2 + a2 = y2 + b2 =(x - b)2 + (y - b)2 (B thi TS) a3 x y x2 Bi Cho h phng trỡnh x y a y2 (HHu - A97) Chng minh h cú nghim nht a > Cũn ỳng khụng a < ? (2x+y)2 5(4 x y ) 6(2 x y )2 Bi Gii h phng trỡnh x y x y (HXD - A97) x y xy 11 Bi Gii h phng trỡnh Bi Gii h phng trỡnh Bi Gii h phng trỡnh Bi Gii h phng trỡnh Bi Gii h phng trỡnh (HQGHN - D2000) 2 x y 3( x y ) 28 x y 3x y (HSP2HN - A99) 2 x y x y x y xy (HSPHN - B2000) 4 2 x y x y 21 x y xy (HSP TPh HCM - A2000) 2 x y xy xy x y 11 (HGTVT - A2000) 2 x y xy 30 x y z Bi 10 Gii h phng trỡnh ú logyx , logzy, logxz theo xyz 64 th t ú lp thnh mt cp s cng Bi 11 Tỡm a h sau cú nghim (HNgoi Ng - D2000) x xy y (H AN - A2000) 2 2 x xy y a 4a 4a 12 105 x xy y m Bi 12 Cho h 2 x y xy m 1) Gii h m = - 2) Xỏc nh m h cú nghim (H CS - A2000) x x 12 Bi 13 Gii h phng trỡnh: y y ( xy ) xy Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 31 (H Cụng on - A2000) Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Bi 14 Tỡm tt c cỏc giỏ tr m h sau cú hai nghim phõn bit: x y x mx 2 y x y my (H Vinh - A2000) VI Phng trỡnh v h phng trỡnh khụng mu mc (Xem phng trỡnh khụng mu mc) VII Phng trỡnh lng giỏc (Xem phng trỡnh lng giỏc) VIII Phng trỡnh vụ t a phng trỡnh v dng tớch VD Gii phng trỡnh: x x x HD Ta cú phng trỡnh ó cho tng ng vi ( x 1)2 ( x 1) t (t 5) (t t 5) (t t 5)(t t 1) t x t x Gii phng trỡnh trờn tng ca xỏc nh VD Gii phng trỡnh: x 3x x x x x HD TX: (;1) (4; ) Phng trỡnh ó cho tng ng: ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 4) Thy x = 1: Tho phng trỡnh i) Nu x : Phng trỡnh ó cho tng ng: ( x 1) x x x x x x x (1) (2) (1) cho x= (loi) (2) vụ nghim vỡ x x 4, x x x x x ii) nu x < 1: Phng trỡnh ó cho tng ng: (1 x )(2 x ) (1 x )(3 x) (1 x )(4 x ) (3) x x x x x, x x x x x (3) vụ nghim vỡ Bin i tng ng cỏc phng trỡnh (xem cỏc phng trỡnh chuyn v phng trỡnh bc nht) Cỏc phng trỡnh vụ t khụng mu mc (Xem phng trỡnh khụng mu mc) 2009 2 VD1 Gii phng trỡnh 2009 (1 + x) + - x + Nhận thấy x = không nghiệm phương trình Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 32 2009 (1 - x) = Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Do phương trình cho tương đương với: + x 2009 - x (1) 1-x 1+x 1+x 1-x 2009 2009 Đặt: = t Suy ra: 1-x 1+x t 22009 Phương trình (1) trở thành: t = -1 2t 2t + 3t + = t = - t + Với t = - 1: 2009 1+x 1+x : Phương trình vô nghiệm 1-x 1-x 2009 + x 1 + x 1 + 2009 x = + Với t = - : 2009 1-x 1-x - 22009 VD2 Gii phng trỡnh sau: x x 2009 2009 1 HD Cỏch x x 2009 2009 x x x 2009 x 2009 4 x x 2009 Cỏch 2: t (1) y = x2 2009 y x 2009 t pt ó cho suy : x y 2009 T (1) v (2) suy ra: x y y x (1) (2) x x y y ( x y )( x y 1) Cỏch 3: pt ó cho tng ng: x ( x 2009) x x 2009 ( x x 2009)( x x 2009 1) VD3 Gii phng trỡnh: x x(1 x ) HD K: x t x sin t , t ; 2 Phng trỡnh ó cho tr thnh : Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 33 Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh cost sin t (1 2cost) 2cos t 3t t t 3t sin t sin 2t 2sin cos cos sin 2 2 (Do t ; ) 2 Suy x t VD4 Gii phng trỡnh: 2x 2x 2x 2x 2x 2x HD K: x t 2x = cost, t (0; ) t t t t Phng trỡnh ó cho tr thnh: sin cos tan cot 2 2 t t sin cos 2(1 sin t ) sin t sin t 2 sin t sin t sin t cost = x = VD6 Tỡm m phng trỡnh: x 13x m x cú ỳng nghim ( B2007-TK1) HD x 13x m x (1) (1) x4 13x m x x x 4 x 13x m x x x x m ycbt ng thng y = m ct phn th f(x) = 4x3 6x2 9x vi x ti im f(x) = 4x3 6x2 9x TX: x f'(x) = 12x2 12x = 3(4x2 4x 3) f'(x) = 4x2 4x = x x x f' + f /2 /2 C + + + 12 CT T bng bin thiờn ta cú: ycbt m 3 m 12 m m 12 2 Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 34 Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh * Bi luyn Bi Gii v bin lun theo m phng trỡnh: x 2m x x Bi Gii v bin lun theo a phng trỡnh: x x x Bi Gii v bin lun theo m phng trỡnh: x 2mx m Bi Gii v bin lun theo a phng trỡnh: a x a a x Bi Gii phng trỡnh: 2(1 - x) x x x x (HDc HN - A97) 2 Bi Gii phng trỡnh: (4x - 1) x x x Bi Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim : x - m = x mx (HGTVT- A98) 2 Bi Gii phng trỡnh: x 3x x 3x (HThng Mi - A98) 2 Bi Gii phng trỡnh: x x x x (HNgoi Thng - A99) Bi 10 Gii phng trỡnh: x x x x (HQuy Nhn - A99) Bi 11 Gii v bin lun theo a phng trỡnh: a x a x a x x (a x) Bi 12 Gii phng trỡnh: x Bi 13 Gii phng trỡnh: x 2ax a x 2ax a 2a x2 Bi 14 Gii phng trỡnh: 3x x 3x Bi 15 Gii phng trỡnh: x x x Bi 16 Gii phng trỡnh: x x x x Bi 17 Gii phng trỡnh: Bi 18 Gii phng trỡnh: (HQGHN - A2000) x( x 1) x ( x 2) x (HSP2HN - A2000) 1 a ( x 1) (HBKHN - A2000) x x x Mt s phng trỡnh vụ t qua cỏc k thi H t 2005 - 2008 Bi 19 A2008 Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x + 2x + - x + - x = m ( m ) Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 35 Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Bi 20 A2007 Tìm m để phương ttrình sau có nghiệm thực x - + m x + = x2 - Bi 21 B2007 Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 + 2x - = m(x - 2) Bi 22 B2007-TK2 Tỡm m phng trỡnh: x x m cú nghim Bi 23 D2007-TK1 Tỡm m phng trỡnh: x x x x m cú ỳng nghim 2x y m cú nghim x xy Bi 24 D2007-TK2 Tỡm m h phng trỡnh : nht Bi 25 B2006 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + mx + = 2x + Bi 26 D2006 Giải phương trình 2x - + x - 3x + = (x ) Bi 27 B2006-TK1 Giải phương trình: 3x - + x - = 4x - +2 3x - 5x + 2, x Bi 28 D2006-TK2 Giải phương trình: x + - x = x - + - x + 8x - 7, x Bi 29 D2005 Giải phương trình: x + + x + - x + = (x, y ) IX H phng trỡnh vụ t Phng phỏp gii Bin i v tớch Gii h trờn tng ca xỏc nh Bin i tng ng S dng cỏc phng phỏp gii phng trỡnh khụng mu mc t n ph i lp PP hm s d oỏn v chng minh khụng cũn nghim Kho sỏt hm s Dựng du hiu cn v Dựng max PP Hỡnh hc Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 36 Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh x + y - = VD1 Gii h phng trỡnh x - y + = 2y - HD H phng trỡnh ó cho tng ng: x + y = x = - y x = - y x 2 x - y + = 4y - 8y + - 2y + = 4y - 8y + 4y - 6y = y y y y x + x + y + + VD2 Gii h phng trỡnh x + x + y + + y + x + y + + x + y = 18 y2 + x + y + - x - y = HD H phng trỡnh ó cho tng ng: x + x + y + + x + y = y + x + y + = 10 x + + x + y = y + = 10 x + y + 18 + (x + 9)(y + 9) = 100 (x + y) - 2xy + (xy)2 + 9(x y )2 18 xy + 81 = 82 x + y = x + y = 64 - 2xy + (xy)2 + 9.64 18 xy + 81 = 82 (xy) + 9.64 18 xy + 81 = + xy x + y = x + y = 2 (xy) + 9.64 18 xy + 81 = 81 + 18xy + (xy) 36xy = 9.64 xy = 16 x y x + y = x + y = x + y = 2x + VD3 Cho h phng trỡnh y-1=m 2y + x - = m a) Gii h m = b) Gii v bin lun theo m HD u x - x u Đặt , hệ phương trình cho trở thành: v = y - y v 2 (1) 2(u +1) + v = m 2u + v = m - 2 (2) 2(v +1) + u = m 2v + u = m - (3) u v Suy ra: 2(u v ) (u v ) (4) 2(u v ) u = v Từ (3) ta có hệ 2u + u - m + = Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 37 (3') (3") Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh v = - u v = - u Từ (4) ta có hệ 2u2 + - u - m + = 4u2 - 2u - 2m + = (4') (4") a) m = 5: u = v Hệ (3)&(3) cho ta u v ( u, v ) x = y = 2u + u - = Hệ (4)&(4) cho ta: 21 u v = - u 4u2 - 2u - = v 21 21 x ( u, v ) 21 y b) Giải biện luận theo m: Hệ (3)&(3) cho nghiệm (3) có nghiệm không âm Nhưng S = - < nên (3) có nghiệm có nghiệm âm Vậy (3) có nghiệm không âm y1 y2 P m m 2 8m 15 8m 15 Khi u v x y 4 Thấy hệ (4)&(4) có hai nghiệm u1 + u2 = = , mặt khác u + v nên u, v nghiệm (4) Vậy hệ (4)&(4) cho nghiệm (4) có hai nghiệm không âm: ' = 8m - 19 19 Ta phải có: P = - 2m m S = > Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 38 Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Suy : 2 8m 19 8m 19 8m 19 8m 19 x 1, y = , v= u 4 4 2 8m 19 8m 19 8m 19 8m 19 , v= u 1, y = x 4 4 KL: i) m < 2: Vô nghiệm 8m 15 19 ii) m < : x y 8m 15 19 iii) m : x y 2 8m 19 8m 19 x 1, y = 4 2 8m 19 8m 19 x 1, y = 4 x y + y x = 30 VD4 Gii h phng trỡnh x x + y y = 35 HD Cỏch x = u t , h ó cho tr thnh : y = v 2 uv(u + v) = 30 uv(u + v) = 30 uv = u v + uv = 30 3 3 (u + v) - 3uv(u + v) = 35 (u + v) - 90 = 35 u + v = u + v = 35 u 3, v u 2, v x 9, y x 4, y Cỏch Thy rng x = khụng tho t thnh: y t x , t H ó cho tr 2 t + t2 t xt x + t x x = 30 x x (t + t ) = 30 3 t t x x + t x x = 35 x x (1 + t ) = 35 + t Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 39 Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh VD5 Gii h phng trỡnh: HD K: x 0, y 0, y x 12 x =2 y 3x (VMO - 2006 - 2007) 12 y =6 y 3x 12 y 3x = H phng trỡnh ó cho tng ng 12 = y 3x 12 y xy 27 y Nhõn tng v: y x y 3x x y x + y =1 12 y x y 3x y x, y x x + 2x + 22 - y = y + 2y + VD6 Gii h phng trỡnh: y + 2y + 22 - x = x + 2x + ( Thi HSG 12- QBỡnh - 26/11/2008) HD Hệ phương trình cho: x + 2x + 22 y + 2y + 22 - y = y + 2y + = x + 2x + x tương đương với: (x + ) + - y = (y + ) (y + ) + - x = (x + ) u + 21 ta có: u = x + v = y + Đặt: v - = v2 v + 21 - u - = u2 u-1 - v - = v2 - u2 (1 ) (2 ) Trừ vế (1)&(2): u + 21 u + 21 + Xét hàm số f(t) = v + 21 u - + u2 = t2 + 21 + t f '( t ) = t + 21 v + 21 + v - + v2 (3 ) t - + t , t + t - + 2t > , t > f(t) liên tục phải t = Suy f(t) đồng biến [1; + ) (3) f(u) = f(v); u, v [1; + ) u = v Thay vào (1): u + 21 - u - = u2 u2 Thấy u = thoả (4) Xét hàm số: g (u) = u u + Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 40 u + 21 u - 1, u u -1 (4) Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh u > 0, u > u -1 u + 21 g(u) liên tục phải u = nên đồng biến [1; + ) g '(u ) = u Suy u = nghiệm (4) Vậy u = v = nghiệm hệ (1)&(2) hay x = y = nghiệm hệ cho y x e 2007 y VD7 Chng minh rng h phng trỡnh cú ỳng x y e 2007 x2 nghim tha iu kin x > 0, y > HD t: f(t) = et, g t t t 1 ;g / (t) (t 1) 0, t Ta cú f tng trờn v g gim trờn tng khong xỏc nh H phng trỡnh (1) f x g y 2007 f(x) + g(y) = f(y) + g(x) () f y g x 2007 Nu x > y f(x) > f(y) g(y) < g(x) ( do() y > x ( g gim ) vụ lý Tng t y > x cng dn n vụ lý x x Do ú, (1) (2) e x2 2007 Xột: hx ex x y x x2 2007 (x > ) Nu x < thỡ h(x) < e1 2007 < h vụ nghim Khi x > h' x ex h '' x e x x ex x2 2 x 2 x e x 3x x v lim hx , xlim h x x Vy h(x) liờn tc v cú th l ng cong lừm trờn (1, +) Do ú chng minh (2) cú nghim dng ta ch cn chng minh tn ti x0 > m h(x0) < Chn x0 = h e2 2007 Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 41 Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Suy ra: h(x) = cú ỳng nghim x1 > 1, x2 > *Bi luyn tp: x+y + x-y =m Bi Gii v bin lun theo m h phng trỡnh 2 2 x y + x - y = m x + y = a Bi Gii v bin lun theo a h phng trỡnh x + y - xy = a 2( x y )= 3 x y xy Bi Gii h phng trỡnh x y xy x+1+ y+2 =a Bi Tỡm a h phng trỡnh sau cú nghim x + y = 3a x+1+ y =m Bi Tỡm m h phng trỡnh sau cú nghim y + + x = x - y = 3m Bi Gii v bin lun theo m h phng trỡnh: 2y + xy = (N - A98) x y + = x xy Bi Gii h phng trỡnh: y x xy + y xy = 78 (HH - A99) x y + y x = 30 Bi Gii h phng trỡnh: x x + y y = 35 x+y - x-y =m Bi Gii v bin lun theo m h phng trỡnh: 2 2 x y + x y = m x + y =a Bi 10 Gii v bin lun theo a h phng trỡnh: x + y - xy = a x + y =a Bi 11 Gii v bin lun theo m phng trỡnh: x + y - xy = a xy + x + y = x - 2y Bi 12 D2008 Giải hệ pt x 2y - y x - = 2x - 2y Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 42 Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh 2x y m cú nghim x xy Bi 13 D2007-TK2 Tỡm m h phng trỡnh : nht x + y - xy = Bi 14 A2006 Giải h phương trình (x, y ) x + + y + = 2x y x y Bi 15 A2005-TK2 Giải hệ phương trình : x y x y x y Bi 16 B2005-TK1 Giaỷi heọ phửụng trỡnh : x y Bi 17 B2005 Giải hệ phương trình: x - + - y = (x, y ) 3log (9x ) - log y = x5 y5 Bi 18 Gii h phng trỡnh: x y Bi 19 Gii h phng trỡnh: Bi 20 Gii h phng trỡnh: xy x y x y x y y x x y xy 2 x y x y x y x2 y x y xy Bi 21 Gii h phng trỡnh: x y x 91 y y (1) Bi 22 Gii h phng trỡnh: y 91 x x (2) log x log y Bi 23 Gii h phng trỡnh: log x log y Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 43 Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 44 [...]... được c để hệ có nghiệm Bài 8 Biết rằng hệ phương trình sau có nghiệm: ax by c bx cy a cx ay b Chứng minh a3 b3 c 3 3abc V HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 1 Hệ có một phương trình bậc nhất Phương pháp: PP thế (Rút x hoặc y từ phương trình bậc nhất thay vào phương trình bậc hai) VD Cho hệ phương tr×nh x 3 y 3 m( x y ) x y 1 1) Giải hệ khi m = 3 2) Tìm m để hệ có 3 nghiệm... Bình Phương trình và Hệ phương trình Đại số 34 Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình * Bài tập luyện tập Bài 1 Giải và biện luận theo m phương trình: x 2 2m 2 x 2 1 x 1 2 Bài 2 Giải và biện luận theo a phương trình: x x x 1 0 4 Bài 3 Giải và biện luận theo m phương trình: x 2 2mx 1 2 m Bài 4 Giải và biện luận theo a phương trình: a x a a x Bài 5 Giải phương trình: ... nhất khi a > 0 Còn đúng khơng khi a < 0 ? (2x+y)2 5(4 x 2 y 2 ) 6(2 x y )2 0 Bài 4 Giải hệ phương trình 1 2 x y 2 x y 0 (ĐHXD - A97) x y xy 11 Bài 5 Giải hệ phương trình Bài 6 Giải hệ phương trình Bài 7 Giải hệ phương trình Bài 8 Giải hệ phương trình Bài 9 Giải hệ phương trình (ĐHQGHN - D2000) 2 2 x y 3( x y ) 28 x 2 y 2 3x 4 y 1 (ĐHSP2HN - A99)... VD2 Cho hệ phương trình 1) Giải hệ khi a = 1 2 2) Tìm a để hệ có nghiệm VD3 Giải các hệ phương trình: x y 1 1) 3 3 2 2 x y x y Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình Đại số 25 Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình x 3 y 3 1 5 5 2 2 x y x y 2) 2 2 2 y ( x y ) 3x 2 2 x( x y ) 10 y VD4 Giải hệ phương trình ... Giải hệ khi a =0, a = - 1 2 Bài 5 Giải và biện luận theo a, b hệ phương trình: ( a b ) x ( a b ) y a (2a b) x (2a b) y b Bài 6 Giải và biện luận theo a hệ phương trình: 6ax (2 a) y 3 (a 1) x ay 2 Gọi (x; y) là nghiệm Tìm hệ thức liên hệ x, y khơng phụ thuộc a Bài 7 Cho hệ phương trình: ax y b 2 x ay c c a) Với b = 0, giải và biện luận hệ theo a và c... 2 b) Tìm tất cả các giá trị m để hệ có ít nhất một nghiệm (x;y) sao cho x > 0, y > 0 4 Hệ phương trình đối xứng loại 2: f ( x, y ) 0 trong đó nếu thay đổi vai trò của x, y g ( x, y ) 0 Là hệ phương trình dạng cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại Vai trò của x, y trong từng phương trình khơng như nhau nhưng trong hệ phương trình thì như nhau: f ( x, y ) ... Giải hệ phương trình x 1 10 x y 10 y 1 y 3 3 y Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình Đại số 30 (Bộ đề thi TS) Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Bài 2 Giải hệ phương trình x2 + a2 = y2 + b2 =(x - b)2 + (y - b)2 (Bộ đề thi TS) a3 7 x y 0 x2 Bài 3 Cho hệ phương trình 3 x 7 y a 0 y2 (ĐHHuế - A97) Chứng minh hệ. .. Bài tập luyện tập Bài 1 Giải hệ phương trình: x 2 y 1 0 2 2 x y xy 1 0 Bài 2 Cho hệ phương trình: x y m 1 2 2 2 x y xy 2m m 3 a) Giải hệ khi m = 3 b) Chứng minh hệ có nghiệm với mọi m (ĐHQuy Nhơn - A99) Bài 3 Giải và biện luận theo a hệ phương trình: x y a y x x y 8 (HVQHQT - D97) Bài 4 Giải và biện luận theo m hệ phương trình: x y m 2 y ... Bài 13 Giải hệ phương trình: y y 2 ( xy ) xy 6 Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình Đại số 31 (ĐH Cơng Đồn - A2000) Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Bài 14 Tìm tất cả các giá trị m để hệ sau có hai nghiệm phân biệt: x 3 y 2 7 x 2 mx 3 2 2 y x 7 y my (ĐH Vinh - A2000) VI Phương trình và hệ phương trình khơng... khơng mẫu mực (Xem phương trình khơng mẫu mực) VII Phương trình lượng giác (Xem phương trình lượng giác) VIII Phương trình vơ tỷ 1 Đưa phương trình về dạng tích VD Giải phương trình: x 2 2 x x 6 4 HD Ta có phương trình đã cho tương đương với ( x 1)2 ( x 1) 5 5 t 2 (t 5) (t t 5) 0 (t t 5)(t t 5 1) 0 t x 1 t x 1 2 Giải phương trình trên từng ... Giải hệ phương trình 2 x y x y (ĐHXD - A97) x y xy 11 Bài Giải hệ phương trình Bài Giải hệ phương trình Bài Giải hệ phương trình Bài Giải hệ phương trình Bài Giải hệ phương. .. V HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Hệ có phương trình bậc Phương pháp: PP (Rút x y từ phương trình bậc thay vào phương trình bậc hai) VD Cho hệ phương tr×nh x y m( x y ) x y 1) Giải hệ. .. - A2000) VI Phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực (Xem phương trình khơng mẫu mực) VII Phương trình lượng giác (Xem phương trình lượng giác) VIII Phương trình vơ tỷ Đưa phương trình dạng