Công thức cộng, biến đổi.. 1.[r]
(1)Dạng 1: Ph ơng trình l ợng giác bản Loại Bin lun theo k
1. sin (cosx) =
2. cos(8sinx) = -1
3 tan(cosx ) = cot( sinx)
4. cos(sinx) = cos(3sinx)
5. tan( cosx) = tan(2 cosx)
6. sin2 x= 1
8. cot(x2 + 4x + 3) = cot6
9 Tìm nghiệm dương nhỏ pt cos cos ( 1)2
x
x
10 Tìm nghiệm dương nhỏ pt sin x2 sin (x2 2x)
11 Tìm nghiệm dương nhỏ pt cos ( 2 1/2) sin
x x
x
Lo¹i Cơng thức hạ bậc
1. 4cos2(2x - 1) = 1
2. 2sin2 (x + 1) = 1
3. cos2 3x + sin2 4x = 1
4. sin(1 - x) =
3
5. 2cosx + =
6. tan2 (2x –
3 ) = 2
7. cos2 (x –
5
) = sin2(2x + 4
5
) Lo¹i Cơng thức cộng, biến đổi
1. sin2x + cos2x = 2sin3x
2. cos3x – sinx = 3(cosx –sin3x )
3. cos5
2 sin )
cos( x x x
4. sin3x = 2cos(x – /5) + cos3x
5. sin(x + /4) + cos(x + /4) = 2cos7x
6. Tìm tất nghiệm x ; )
(
pt: sinxcos
8
+ cosxsin8 = 12
Lo¹i Bài tốn biện luận theo m
1. Giải biện luận 2sin(1-2x) = m
2. 3cos23x = m
3. sin3x + cos3x = m
4. m.sin2 2x + cos4x = m
5. Giải biện luận
sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x
6. Giải biện luận
(3m + 5).sin(x + /2) = (2m + 3)cosx -m
7. Giải biện luận
cos3x + m – = (3- 2m)cos3x
8. Cho pt sin4x + cos4x = m
a) Xác định m để pt có nghiệm b) Giải pt với m = ắ
Loại Tng hp
1. cos22x – sin28x = sin( 10x
2 17
)
2. sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
3. x x x cos sin sin
4. cos1x sin12x sin24x
5. Tìm tất nghiệm x ;3 )
(
pt:
sin(2x + )
2 cos( )
5
x = + 2sinx
6. Giải pt:
4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3 3cos4x = 3
7. ) ( cos ) cos( ) sin(
2 x x x
= x))
3 x)cos( -3 cos( x (sin
8 4sin32x + 6sin2x = 3
9. Tìm nghiệm nguyên pt:
1 ) 800 160 ( cos
x x
x
Dạng 2: Ph ơng trình bậc nhất, bậc hai bậc cao một
(2)1/ 2cos2x - 4cosx =1 sinx
2/ 4sin3x + 3
2sin2x = 8sinx
3/ 4cosx.cos2x + = 4/ 1-5sinx + 2cosx = cosx
5/ Cho 3sin3x - 3cos2x + 4sinx - cos2x + = 0(1) vµ cos2x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2)
Tìm n0 (1) đồng thời n0 (2) ( nghiệm chung sinx =
3)
6/ sin3x + 2cos2x - = 7/ tanx +cotx - = 3 b /
4
cos x + tanx = c/sin6x + cos4x = cos2x 8/ sin(2x +5π
2 ) - 3cos(
7
x ) = + 2sinx
9/ sin x - 2sinx + = 2sinx -12 10/ cos2x + 5sinx + =
11/ tanx + cotx = 12/
2
sin 2x + 4cos 2x -1 = 2sinxcosx
13/ sinx 1 cosx0 14/ cos2x + 3cosx + =
15/ 4sin 22 6sin4 3cos2 cos
x x x
x
16/ 2cosx - sinx =
17. sin x cos x4 12 18 sin x cos x cos2x4
19 sin x sin4 4x4 14
20.sin x sin x2 2 sin x2
3
21 sin x cos x6 65sin x cos x4 22 6
sin x cos x sinxcosx 0
23 sin x cos x sin x cos 4x4 44 24 1 4 2
2 sin x cos x sin xcos x sinxcosx
25 cos xcos3x sin xsin3x=3
4
25 cos 4x cos xcos3x sin xsin3x3
Dạng 3: Ph ơng trình bậc sinx cosx
1 Nhận dạng:
2 Ph ơng pháp:
Đăc biệt :
a.sinx b.cosx c Cách 1: asinx + bcosx = c
Đặt cosx= 2a 2
a + b ; sinx= 2
b a + b
2
a + b sin(x +α) = c
C¸ch 2: a sinx + cosx = cb
a
Đặt b = tanα a sinx +cosx.tanα = c
a
c sin(x +α) = cosα
a
Cách 3: Đặt t = tanx
2 ta cã
2
2
2t 1- t
sinx = ; cosx =
1+ t 1+ t
2
(b + c)t - 2at - b + c =
(3)1 sinx + 3cosx = 2sin(x + ) = 2cos(x - )π π
3
2 sin cos sin( ) cos( )
4
x x x x
3 sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + )π π
3
gi¶i phơng trình:
1 cosx sinx , 2 cosx sinx 1
3 3sin3x 3 cos9x 4sin 3x , 4 sin x cos (x4 )
4
5 3(1 cos2 ) cos
2sin
x x
x , 6
2
sin sin
2
x x 7 3sinx + cosx =
cosx 8 tanx 3cotx4(sinx cos )x
9 cos7x - 3sin7x + = 0 ; x (2π 6π; )
5
10 2sin15x + 3cos5x + sin5x = (4)
6
11 sinx +3cosx + =
4sinx +3cosx +1 12
1 3sinx + cosx = 3+
3sinx + cosx +1
13 ( cos2x - 3sin2x) - 3sinx – cosx + = 14 cosx - 2sinx.cosx = 32
2cos x + sinx -1
15 1+ cosx + cos2x + cos3x2 = (3- 3sinx)2
2cos x + cosx -1 16.cos7x sin5x 3(cos5x sin7x) 17 Tìm GTLN GTNN hàm số sau:
a y = 2sinx + 3cosx + b ysinx cosx 21 cosx
c ysinx cosx 22 cosx
Dạng 4: Ph ơng trình đẳng cấp sinx cosx
1 NhËn d¹ng:
2 Ph - ơng pháp:
Giải phơng trình
1
3sin2x - 3sinxcosx+2cos2x =2 sin2x + 3 3sinxcosx - 2cos2x=4
3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0 4 sinx - 4sin3x + cosx =
5 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + 3)cos2x – - 3 = 0
6 (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 sin3x - sinx + cosx – sinx =
8 tanxsin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) 9 3cos4x - 4sin2xcos2x + sin4x =
2
3 2
a.sinx b.cosx (1)
a.sin x b.sinxcosx c.cos x d (2)
a.sin x b.sin xcosx c.sinxcos x d.sinx e.cosx (3)
Đẳng cấp bậc 2: asin2x + bsinx.cosx + c cos2x = 0
Cách 1: Thử với cosx = 0; với cosx0, chia vế cho cos2x ta đợc:
atan2x + btanx + c = d(tan2x + 1) C¸ch 2: ¸p dụng công thức hạ bậc
Đẳng cấp bậc 3: asin3x + bcos3x + c(sinx + cosx) = 0
Hc asin3x + b.cos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x =
(4)12 cos3x - sin3x = cosx + sinx 13 sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
14 sin3(x - /4) = 2sinx
Dạng 5: Ph ơng trình đối xứng sinx cosx
1 NhËn d¹ng:
2 Ph ơng pháp:
1 2(sinx +cosx) + sin2x + = sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) sin2x sin x 4
3 tanx 2sinx 1
1 + tanx = 2sinx +
cosx sin x + cosx= tanx -
1 cotx sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4 1- sin3x+ cos3x = sin2x
5 2sinx+cotx=2 sin2x+1 2sin2x(sin x + cosx) =
7 (1+sin x)(1+cosx)=2 2(sin x + cosx) = tanx + cotx
9 + sin3 2x + cos32x = 3
2 sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 11.* cos4x + sin4x - 2(1 - sin2xcos2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
12 sinx cosx 4sin 2x1 13 sinxcosx + sinx + cosx = 14 cosx +
cosx + sinx +
sinx = 103
Dạng 6: Ph ơng trình i xng i vi sinx v cosx
Giải phơng tr×nh
1/ sin2 x + sin23x = cos22x + cos24x 2/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2
3/ sin2x + sin23x - 3cos22x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin2(π 5x+
4 ) - 2cos2
9
x
5/ cos4x – 5sin4x = 6/ 4sin3x - = - 3cos3x
7/ sin22x + sin24x = sin26x 8/ sin2x = cos22x + cos23x
9/ (sin22x + cos42x - 1): sinxcosx = 0 10/ 2cos22x + cos2x = sin22xcos2x
a sinx cosx b.sinxcosx c a sinx cosx b.sinxcosx c
* a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x + cosx t
at + b
t -1
2 = c bt2 + 2at – 2c – b =
* a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x - cosx t
at + b
1- t
2 = c bt
2 - 2at + 2c b = 0
Công thức hạ bậc 2 cos2x = 1 cos 2
x
; sin2x= 1-cos2x
Công thức hạ bậc 3 cos3x= 3cosx + cos3x
4 ; sin3x=
(5)11/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 12/ 8cos3(x + π
3) = cos3x
13/ sin5x
5sinx = 14/ cos7x + sin22x = cos22x - cosx
15/ sin2x + sin22x + sin23x = 3/2 16/ 3cos4x – 2cos23x =1
17/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x víix (0;π)
18/ sin24x - cos26x = sin(10,5π +10x) víix (0; )π
2
19/ 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3 3cos4x =
20/ cos4xsinx - sin22x = 4sin2(
4
x
) -
2 víi x -1 <
21/ 2cos32x - 4cos3xcos3x + cos6x - 4sin3xsin3x =
22/ cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x D¹ng 7: Ph ơng trình l ợng giác bậc cao
Giải phơng trình
1 sin4 x
+cos4 x
=1-2sinx cos3x-sin3x=cos2x-sin2x
3 cos3x+ sin3x= cos2x 4 sin x + cos x4 = (tanx + cotx)1
sin2x
5 cos6x - sin6x = 13
8 cos22x sin4x + cos4x =
7πcot(x + )cot( - x)π
8
7 cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) 8 cos3x + sin3x = cosx – sinx
9 cos6x + sin6x = cos4x
10 sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x
11 cos8x + sin8x = 1
8 12 (sinx + 3)sin4
x
2 - (sinx + 3)sin2 x
2 + =
Dạng 8: Ph ơng trình l ợng giác biến đổi tích 0 1/ cos2x - cos8x + cos4x = 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 4/ sin3 x + 2cosx – + sin2 x = 0
5/ 3sinx + 2cosx = + 3tanx 6/
2 sin2x + 2cos
2x + 6cosx =
7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 8/ sin3 sin
3
x x
9/ 2cos2x - 8cosx + =
cosx
10/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + 5
4cos2x
11/ + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 12/ + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
14/ 2sin3x - sinx = 2cos3x + 1 cosx 1
15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - cosx1 ) =
* a3 b3=(ab)(a2 ab + b2) * a8 + b8 = ( a4 + b4)2 - 2a4b4
(6)18/ sin2x = 1+ 2cosx + cos2x 19/ + cot2x = 1-cos2x2
sin 2x
20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + sin2x1 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 22/ + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = + tanx 24/ 2 sin(x + )π4 = +
sinx cosx 25/ 2tanx + cotx =
2