1. Trang chủ
  2. » Tài Chính - Ngân Hàng

Ôn thi Đại học & Cao đẳng môn Toán - Chương 2: Phương trình lượng giác cơ bản

16 14 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 16
Dung lượng 236,21 KB

Nội dung

Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giả i phương trình.[r]

(1)PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Chöông : ⎡ u = v + k2π sin u = sin v ⇔ ⎢ ⎣ u = π − v + k2π cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π π ⎧ ⎪u ≠ + kπ tgu = tgv ⇔ ⎨ ⎪⎩u = v + k ' π ⎧u ≠ kπ cot gu = cot gv ⇔ ⎨ ⎩u = v + k ' π Ñaëc bieä t : sin u = ⇔ u = kπ ( k, k ' ∈ Z ) cos u = ⇔ u = π + k2π ( k ∈ Z ) π sin u = −1 ⇔ u = − + k2π Chuù yù : sin u ≠ ⇔ cos u ≠ ±1 cos u ≠ ⇔ sin u ≠ ±1 π + kπ cos u = ⇔ u = k2π ( k ∈ Z ) sin u = ⇔ u = cos u = −1 ⇔ u = π + k2π Bà i 28 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i D, nă m 2002) Tìm x ∈ [ 0,14 ] nghiệm đún g phương trình cos 3x − cos 2x + cos x − = ( * ) Ta coù (*) : ⇔ ( cos3 x − cos x ) − ( cos2 x − 1) + cos x − = ⇔ cos3 x − cos2 x = ⇔ cos2 x ( cos x − ) = ⇔ cos x = hay cos x = ( loạ i vì cos x ≤ 1) ⇔ x= π + kπ ( k ∈ Z ) π + kπ ≤ 14 π π 14 − ≈ 3, ⇔ − ≤ kπ ≤ 14 − ⇔ −0, = − ≤ k ≤ 2 π ⎧ π 3π 5π 7π ⎫ Mà k ∈ Z nê n k ∈ {0,1, 2, 3} Do đó : x ∈ ⎨ , , , ⎬ ⎩2 2 ⎭ Ta coù : x ∈ [ 0,14] ⇔ ≤ Bà i 29 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i D, nă m 2004) Giaû i phöông trình : ( cos x − 1)( sin x + cos x ) = sin 2x − sin x ( *) Ta coù (*) ⇔ ( cos x − 1)( sin x + cos x ) = sin x ( cos x − 1) Lop12.net (2) ⇔ ( cos x − 1) ⎡⎣( sin x + cos x ) − sin x ⎤⎦ = ⇔ ( cos x − 1)( sin x + cos x ) = ∨ sin x = − cos x π ⎛ π⎞ ⇔ cos x = cos ∨ tgx = −1 = tg ⎜ − ⎟ ⎝ 4⎠ π π ⇔ x = ± + k2π ∨ x = − + kπ, ( k ∈ Z ) ⇔ cos x = Baø i 30 : Giaû i phöông trình cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = (*) Ta coù (*) ⇔ ( cos x + cos 4x ) + ( cos 2x + cos 3x ) = 5x 3x 5x x cos + cos cos = 2 2 5x ⎛ 3x x⎞ cos + cos ⎟ = ⎜ cos ⎝ 2⎠ 5x x cos cos x cos = 2 5x x = ∨ cos x = ∨ cos = cos 2 5x π π x π = + kπ ∨ x = + kπ ∨ = + kπ 2 2 π 2kπ π x= + ∨ x = + kπ ∨ x = π + 2π, ( k ∈ Z ) 5 ⇔ cos ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Baø i 31: Giaû i phöông trình sin x + sin 3x = cos2 2x + cos2 4x ( * ) 1 1 (1 − cos 2x ) + (1 − cos 6x ) = (1 + cos 4x ) + (1 + cos 8x ) 2 2 ⇔ − ( cos 2x + cos 6x ) = cos 4x + cos 8x Ta coù (*) ⇔ ⇔ −2 cos 4x cos 2x = cos 6x cos 2x ⇔ cos 2x ( cos 6x + cos 4x ) = ⇔ cos 2x cos 5x cos x = ⇔ cos 2x = ∨ cos 5x = ∨ cos x = π π π ⇔ 2x = + kπ ∨ 5x + kπ ∨ x = + kπ, k ∈ ] 2 π kπ π kπ π ∨x= + ∨ x = + kπ , k ∈ ] ⇔ x= + 10 Baø i 32 : Cho phöông trình ⎛π x⎞ sin x.cos 4x − sin2 2x = sin ⎜ − ⎟ − ( *) ⎝4 2⎠ Tìm caù c nghieä m cuûa phöông trình thoûa : x − < Lop12.net (3) ⎡ π ⎤ (1 − cos 4x ) = ⎢1 − cos ⎜⎛ − x ⎟⎞ ⎥ − ⎝2 ⎠⎦ ⎣ 1 sin x cos 4x − + cos 4x = − − 2sin x 2 sin x cos 4x + cos 4x + + 2sin x = 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ cos 4x ⎜ sin x + ⎟ + ⎜ sin x + ⎟ = 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ ( cos 4x + 2) ⎜⎛ sin x + ⎟⎞ = 2⎠ ⎝ π ⎡ ⎡cos 4x = −2 ( loạ i ) x = − + k 2π ⎢ ⎢ ⎢sin x = − = sin ⎛ − π ⎞ ⇔ ⎢ ⎢ x = 7π + 2hπ ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ 6⎠ ⎢⎣ coù : x − < ⇔ −3 < x − < ⇔ −2 < x < Ta coù : (*) ⇔ sin x.cos 4x − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Ta π + k2π < π π 1 − <k< + ⇔ − < 2kπ < + ⇔ 6 12 π π 12 π Do k ∈ Z neân k = Vaä y x = − 7π −2 < + h2π < 7π 7π 7 < h2π < − ⇔− − <h< − ⇔ −2 − 6 π 12 π 12 7π −π 7π hay x = Toù m laï i x = ⇒h = ⇒ x = 6 −π + kπ, k ∈ ] Caùc h khaù c : sin x = − ⇔ x = (−1)k −π −2 −1 + kπ < ⇔ < (−1)k +k< Vaäy : −2 < (−1)k 6 π π −π 7π hay x = ⇔ k=0 và k = Tương ứn g vớ i x = 6 Vaäy : −2 < − Baø i 33 : Giaû i phöông trình sin x cos 3x + cos3 x sin 3x = sin 4x ( * ) Ta coù : (*) ⇔ sin x ( cos3 x − cos x ) + cos3 x ( 3sin x − sin x ) = sin 4x ⇔ sin3 x cos3 x − 3sin3 x cos x + 3sin x cos3 x − sin3 x cos3 x = sin3 4x ⇔ 3sin x cos x ( cos2 x − sin x ) = sin 4x ⇔ sin 2x cos 2x = sin3 4x Lop12.net (4) sin 4x = sin3 4x ⇔ 3sin 4x − sin3 4x = ⇔ sin12x = ⇔ kπ ( k ∈ Z) 12 Bà i 34 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i B, nă m 2002) Giaû i phöông trình : sin 3x − cos2 4x = sin 5x − cos2 6a ( * ) ⇔ 12x = kπ ⇔ x= Ta coù : (*) ⇔ 1 1 (1 − cos 6x ) − (1 + cos 8x ) = (1 − cos10x ) − (1 + cos12x ) 2 2 ⇔ cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x ⇔ cos7x cos x = cos11x cos x ⇔ cos x ( cos 7x − cos11x ) = ⇔ cos x = ∨ cos7x = cos11x π ⇔ x = + kπ ∨ 7x = ±11x + k 2π π kπ kπ ∨x= ,k ∈] ⇔ x = + kπ ∨ x = − 2 Baø i 35 : Giaû i phöông trình ( sin x + sin 3x ) + sin 2x = ( cos x + cos 3x ) + cos 2x ⇔ 2sin 2x cos x + sin 2x = cos 2x cos x + cos 2x ⇔ sin 2x ( cos x + 1) = cos 2x ( cos x + 1) ⇔ ( cos x + 1) ( sin 2x − cos 2x ) = 2π = cos ∨ sin 2x = cos 2x 2π π + k2π ∨ tg2x = = tg ⇔ x=± 2π π π + k2π ∨ x = + k , ( k ∈ Z ) ⇔ x=± ⇔ cos x = − Baø i 36: Giaû i phöông trình cos 10x + cos2 4x + cos 3x cos x = cos x + cos x cos3 3x ( * ) Ta coù : (*) ⇔ cos10x + (1 + cos 8x ) = cos x + cos x ( cos3 3x − cos 3x ) ⇔ ( cos10x + cos 8x ) + = cos x + cos x.cos 9x ⇔ cos 9x cos x + = cos x + cos x.cos 9x ⇔ cos x = ⇔ x = k2π ( k ∈ Z ) Baø i 37 : Giaû i phöông trình Lop12.net (5) sin x + cos3 x − 3sin x − sin x cos x = ( * ) Ta coù : (*) ⇔ sin x ( sin x − 3) − cos x ( sin x − cos2 x ) = ⇔ sin x ( sin x − 3) − cos x ⎡⎣sin x − (1 − sin x ) ⎤⎦ = ⇔ ( sin x − 3) ( sin x − cos x ) = ⇔ ⎡⎣ (1 − cos 2x ) − 3⎤⎦ ( sin x − cos x ) = 2π ⎡ cos 2x cos = − = ⇔ ⎢ ⎢ ⎣sin x = cos x 2π ⎡ 2x = ± + k2π ⎢ ⇔ ⎢ ⎣ tgx = π ⎡ x = ± + kπ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ x = π + kπ ⎢⎣ ( k ∈ Z) Bà i 38 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i B nă m 2005) Giaû i phöông trình : sin x + cos x + + sin 2x + cos 2x = ( * ) Ta coù : (*) ⇔ sin x + cos x + 2sin x cos x + cos2 x = ⇔ sin x + cos x + cos x ( sin x + cos x ) = ⇔ ( sin x + cos x ) (1 + cos x ) = ⎡sin x = − cos x ⇔ ⎢ ⎢cos 2x = − = cos 2π ⎣ ⎡ tgx = −1 ⇔ ⎢ ⎢ x = ± 2π + k 2π ⎣ π ⎡ ⎢ x = − + kπ ⇔ ⎢ ( k ∈ Z) π ⎢x = ± + k2π ⎢⎣ Baø i 39 : Giaû i phöông trình ( sin x + 1)( cos 4x + sin x − ) + cos2 x = ( *) Ta coù : (*) ⇔ ( sin x + 1)( cos 4x + sin x − ) + (1 − sin x ) − = ⇔ ( sin x + 1)( cos 4x + sin x − ) + (1 + sin x )(1 − sin x ) = ⇔ ( sin x + 1) ⎡⎣ cos 4x + sin x − + (1 − sin x ) ⎤⎦ = ⇔ ( cos 4x − 1)( sin x + 1) = ⇔ cos 4x = ∨ sin x = − ⎛ π⎞ = sin ⎜ − ⎟ ⎝ 6⎠ Lop12.net (6) π 7π + k2π ∨ x = + k2π 6 kπ π 7π ∨ x = − + k2π ∨ x = + k2π, ( k ∈ Z) ⇔ x= 6 ⇔ 4x = k2π ∨ x = − Baø i 40: Giaû i phöông trình sin x + cos6 x = ( sin x + cos8 x ) ( * ) Ta coù : (*) ⇔ sin6 x − 2sin8 x + cos6 x − cos8 x = ⇔ sin x (1 − sin x ) − cos6 x ( cos2 x − 1) = ⇔ sin6 x cos 2x − cos6 x cos 2x = ⇔ cos 2x ( sin x − cos6 x ) = ⇔ cos 2x = ∨ sin6 x = cos6 x ⇔ cos 2x = ∨ tg x = π ⇔ 2x = ( 2k + 1) ∨ tgx = ±1 π π ⇔ x = ( 2k + 1) ∨ x = ± + kπ 4 π kπ ⇔ x= + ,k ∈ ] Baø i 41 : Giaû i phöông trình ( *) 16 Ta thấ y x = kπ khô n g là nghiệ m (*) vì lúc đó cos x = ±1, cos 2x = cos 4x = cos 8x = 1 voâ nghieä m (*) thaø n h : ±1 = 16 Nhâ n vế (*) cho 16sin x ≠ ta đượ c (*) ⇔ (16 sin x cos x ) cos 2x.cos 4x.cos 8x = sin x vaø sin x ≠ cos x.cos 2x.cos 4x.cos 8x = ⇔ ( sin 2x cos 2x ) cos 4x.cos 8x = sin x vaø sin x ≠ ⇔ ( sin 4x cos 4x ) cos 8x = sin x vaø sin x ≠ ⇔ 2sin 8x cos 8x = sin x vaø sin x ≠ ⇔ sin16x = sin x vaø sin x ≠ k2π π kπ ∨x= + , ( k ∈ Z) ⇔x = 15 17 17 Do : x = hπ khoâ n g laø nghieäm neâ n k ≠ 15m vaø 2k + ≠ 17n ( n, m ∈ Z ) Baø i 42: Giaû i phöông trình 8cos ⎛⎜ x + ⎝ Ñaë t t = x + π⎞ ⎟ 3⎠ = cos 3x ( * ) π π ⇔x=t− 3 Lop12.net (7) Thì cos 3x = cos ( 3t − π ) = cos ( π − 3t ) = − cos 3t Vaäy (*) thaø n h cos3 t = − cos 3t ⇔ cos3 t = −4 cos3 t + cos t ⇔ 12 cos3 t − cos t = ⇔ cos t ( cos2 t − 1) = ⇔ cos t ⎡⎣ (1 + cos 2t ) − 1⎤⎦ = ⇔ cos t ( cos 2t + 1) = 2π = cos π 2π + k2π ⇔ t = ( 2k + 1) ∨ 2t = ± π π ⇔ t = + kπ ∨ t = ± + kπ π Maø x = t − π 2π + kπ, ( vớ ik ∈ Z ) Vaäy (*) ⇔ x = + k2π ∨ x = kπ ∨ x = Ghi chuù : Khi giả i các phương trình lượ n g giá c có chứa tgu, cotgu, có ẩ n mẫ u , hay chứa că n bậ c chẵ n ta phả i đặ t điề u kiệ n để phương trình xác định Ta dù n g các cá c h sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhậ n nghiệm hay khoâ n g + Thay các giá trị x tìm đượ c vào điều kiệ n thử lạ i xem có thỏ a Hoặc + Biể u diễ n các ngọ n cung điều kiệ n và các ngọ n cung tìm đượ c trê n cù n g mộ t đườ n g trò n lượ n g giá c Ta loạ i bỏ ngọ n cung nghiệm có trù n g vớ i ngọ n cung củ a điề u kiện Hoặc + So vơi các điều kiện quá trình giả i phương trình ⇔ cos t = ∨ cos 2t = − Baø i 43 : Giaû i phöông trình tg x − tgx.tg3x = ( * ) π hπ ⎧cos x ≠ ⇔ cos3x ≠ ⇔ x ≠ + Ñieà u kieän ⎨ cos 3x = cos x − cos x ≠ ⎩ Lúc đó ta có (*) ⇔ tgx ( tgx − tg3x ) = sin x ⎛ sin x sin 3x ⎞ − ⎜ ⎟=2 cos x ⎝ cos x cos 3x ⎠ ⇔ sin x ( sin x cos 3x − cos x sin 3x ) = cos2 x cos 3x ⇔ ⇔ sin x sin ( −2x ) = cos2 x cos 3x ⇔ −2 sin2 x cos x = cos2 x cos 3x ⇔ − sin2 x = cos x cos 3x (do cos x ≠ ) 1 ⇔ − (1 − cos 2x ) = ( cos 4x + cos 2x ) 2 ⇔ cos 4x = −1 ⇔ 4x = π + k2π Lop12.net (8) π kπ + ( k ∈ Z) so vớ i điều kiệ n π kπ ⎛ 3π 3kπ ⎞ + ≠ ( nhaä n ) Caùc h : Khi x = + thì cos 3x = cos ⎜ ⎟=± ⎠ ⎝ Caùc h : Bieå u dieã n caùc ngoï n cung ñieàu kieä n vaø ngoï n cung nghieäm ta thaá y khô n g có ngọ n cung nà o trù n g Do đó : π kπ (*) ⇔ x = + Lưu ý cá c h rấ t mấ t thờ i gian Caùc h : 3π 3kπ π + = + hπ Neá u 3x = 2 Thì + 6k = + 4h ⇔ = 4h − 6k ⇔ = 2h − 3k (voâ lyù vì k, h ∈ Z ) ⇔x = Baø i 44: Giaû i phöông trình 11 ( *) ⎧cos x ≠ ⎪ Ñieà u kieän ⎨sin x ≠ ⇔ sin 2x ≠ ⎪sin 2x ≠ ⎩ tg x + cot g x + cot g 2x = Do đó : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 11 − 1⎟ + ⎜ − 1⎟ + ⎜ − 1⎟ = (*) ⇔ ⎜ 2 ⎝ cos x ⎠ ⎝ sin x ⎠ ⎝ sin 2x ⎠ 1 20 + + = ⇔ 2 2 cos x sin x sin x cos x 2 sin x + cos x + 20 = ⇔ sin2 x cos2 x 20 = ⇔ sin 2x 3 ⇔ sin2 2x = (nhaän sin2x ≠ ) ⇔ (1 − cos 4x ) = 2π ⇔ cos 4x = − = cos 2π + k2π ⇔ 4x = ± π kπ ⇔x = ± + ( k ∈ Z) Lop12.net (9) Chú ý : Có thể dễ dàn g n g minh : tgx + cot gx = ⎛ ⎞ 11 − 1⎟ = Vaäy (*) ⇔ ( tgx + cot gx ) − + ⎜ ⎝ sin x ⎠ 20 = ⇔ sin 2x sin 2x Bà i 45 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i D, nă m 2003) Giaû i phöông trình x ⎛x π⎞ sin ⎜ − ⎟ tg x − cos2 = ( *) ⎝2 4⎠ Ñieà u kieän : cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 lú c đó : π ⎞ ⎤ sin x 1⎡ ⎛ (*) ⇔ ⎢1 − cos ⎜ x − ⎟ ⎥ − [1 + cos x ] = 2⎣ ⎠ ⎦ cos2 x ⎝ (1 − sin x ) (1 − cos2 x ) − (1 + cos x ) = − sin x − cos2 x − (1 + cos x ) = ⇔ + sin x ⎡ − cos x ⎤ − 1⎥ = ⇔ (1 + cos x ) ⎢ ⎣ + sin x ⎦ ⇔ (1 + cos x ) ( − cos x − sin x ) = ⇔ ⎡cos x = −1 ( nhaä ndo cos x ≠ ) ⇔ ⎢ ⎣ tgx = −1 ⎡ x = π + k2π ⇔ ⎢ ⎢ x = − π + kπ ⎣ Baø i 46 : Giaû i phöông trình sin 2x ( cot gx + tg2x ) = cos2 x ( * ) ⎧sin x ≠ Ñieà u kieän : ⎨ ⎩cos 2x ≠ ⇔ ⎧sin x ≠ ⎨ ⎩2 cos x − ≠ ⇔ cos x sin 2x + sin x cos 2x cos 2x cos x + sin 2x sin x = sin x cos 2x cos x = sin x cos 2x cos x ⎛ ⎞ Lúc đó : (*) ⇔ sin x cos x ⎜ ⎟ = cos x ⎝ sin x cos 2x ⎠ Ta coù : cot gx + tg2x = Lop12.net ⎧cos x ≠ ±1 ⎪ ⎨ ⎪cos x ≠ ± ⎩ (10) cos2 x = cos2 x ( Do sin x ≠ ) ⇔ cos 2x ⎡ ⎛ ⎞ vaø ≠ ±1 ⎟⎟ ⎡cos x = ⎢ cos x = ⎜⎜ Nhaä n cos x ≠ ⎝ ⎠ ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ =2 π ⎣ cos 2x ⎢cos 2x = = cos , ( nhaä n sin x ≠ 0) ⎣ π ⎡ ⎢ x = + kπ ⇔ ⎢ ( k ∈ Z) ⎢ x = ± π + kπ ⎢⎣ Baø i 47 : Giaû i phöông trình: cot g x − tg x = 16 (1 + cos 4x ) cos 2x cos2 x sin2 x − Ta coù : cot g x − tg x = sin2 x cos2 x cos4 x − sin4 x cos 2x = = sin2 x cos2 x sin2 2x ⎧sin 2x ≠ Ñieà u kieän : ⎨ ⇔ sin 4x ≠ ⎩cos 2x ≠ = 16 (1 + cos 4x ) Lú c đó (*) ⇔ sin2 2x ⇔ = (1 + cos 4x ) sin2 2x ⇔ = (1 + cos 4x ) (1 − cos 4x ) ( ) ⇔ = − cos2 4x = sin 4x ( nhaän sin 4x ≠ 0) 1 ⇔ (1 − cos 8x ) = 2 π kπ ⇔ cos 8x = ⇔ x = + ,k ∈] 16 ⇔ sin2 4x = Baø i 48: Giaû i phöông trình: sin x + cos4 x = ⎧ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x + ⎟ ≠ ⎪ ⎝ ⎠ Ñieà u kieän ⎨ ⇔ ⎪sin ⎛ π − x ⎞ ≠ ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝6 ⎠ ⎧ ⎛ ⎪sin ⎜ x + ⎪ ⎝ ⎨ ⎪cos ⎛ x + ⎜ ⎪⎩ ⎝ π⎞ ⎛ ⎛π ⎞ cot g ⎜ x + ⎟ cot g ⎜ − x ⎟ ( *) 3⎠ ⎝ ⎝6 ⎠ π⎞ ⎟≠0 3⎠ π⎞ ⎟≠0 3⎠ Lop12.net 2π ⎞ ⎛ ⇔ sin ⎜ 2x + ⎟≠0 ⎠ ⎝ (11) ⇔ − sin 2x + cos 2x ≠ 2 ⇔ tg2x ≠ ( Ta coù : sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x ) − 2sin2 x.cos2 x = − sin2 2x π⎞ π⎞ ⎛π ⎛ ⎛π ⎞ ⎛ ⎞ Vaø : cot g ⎜ x + ⎟ cot g ⎜ − x ⎟ = cot g ⎜ x + ⎟ tg ⎜ + x ⎟ = 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝6 ⎠ ⎝ ⎠ Lú c đó : (*) ⇔ − sin2 2x = 1 ⇔ − (1 − cos 4x ) = − ⇔ cos 4x = π π kπ ⇔ 4x = ± + k2π ⇔ x = ± + 12 (nhaän tg2x = ± ≠ 3) Baø i 49: Giaû i phöông trình 2tgx + cot g2x = sin 2x + ( *) sin 2x ⎧cos 2x ≠ ⇔ sin 2x ≠ ⇔ cos 2x ≠ ±1 Ñieà u kieän : ⎨ ⎩sin 2x ≠ sin x cos 2x + = sin 2x + Lú c đó : (*) ⇔ cos x sin 2x sin 2x 2 ⇔ sin x + cos 2x = sin 2x + ( ) ⇔ sin2 x + − sin2 x = sin2 x cos2 x + ( ) ⇔ sin2 x − cos2 x = ⇔ sin2 x ⎡⎣1 − (1 + cos 2x ) ⎤⎦ = ⎡sin x = ( loạ i sin 2x ≠ ⇒ sin x ≠ ) ⇔⎢ ⎢cos 2x = − = cos 2π ( nhaä n cos 2x ≠ ±1) ⎢⎣ 2π ⇔ 2x = ± + k2π ( k ∈ Z ) π ⇔ x = ± + kπ, k ∈ ] Baø i 51: Giaû i phöông trình: ( sin x + tgx ) tgx − sin x − (1 + cos x ) = ( *) Lop12.net (12) sin x − sin x ≠ cos x ⎧sin x ≠ sin x (1 − cos x ) ⎪ ≠ ⇔ ⎨cos x ≠ ⇔ sin 2x ≠ ⇔ cos x ⎪cos x ≠ ⎩ Ñieà u kieän : tgx − sin x ≠ ⇔ Lúc đó (*) ⇔ ⇔ ( sin x + tgx ) cot gx − (1 + cos x ) = ( tgx − sin x ) cot gx ( cos x + 1) − (1 + cos x ) = (1 − cos x ) − = ( sin x ≠ neâ n cos x + ≠ 0) − cos x ⇔ + cos x = ⇔ cos x = − (nhậ n so vớ i điề u kiệ n ) 2π + k2π, k ∈ ] ⇔ x=± Baø i 52 : Giaû i phöông trình ⇔ (1 − cos x ) + (1 + cos x ) (1 − sin x ) − tg x sin x = (1 + sin x ) + tg x ( *) ⎧cos x ≠ Ñieà u kieän : ⎨ ⇔ cos x ≠ ⎩sin x ≠ (1 + cos2 x ) sin x sin x sin x − = + + Lúc đó (*) ⇔ ( ) (1 − sin x ) − sin x − sin x ⇔ (1 + cos2 x ) (1 + sin x ) − sin x = (1 + sin x ) (1 − sin x ) + sin x ⇔ (1 + sinx ) (1 + cos2 x ) = (1 + sin x ) cos2 x + sin x (1 + sin x ) ⎡1 + sin x = ⇔ ⎢ 2 ⎣1 + cos x = cos x + sin x ⎡sin x = −1 ( loạ i cos x ≠ ) ⇔ ⎢ ⇔ cos2x = ⎣1 = − cos 2x π ⇔ 2x = + kπ π π ⇔ x = + k (nhaän cosx ≠ 0) Baø i 53 : Giaû i phöông trình Ñieà u kieän cos 5x ≠ Lúc đó : (*) ⇔ cos 3x cos 3x.tg5x = sin 7x ( * ) sin 5x = sin 7x cos 5x Lop12.net (13) ⇔ sin 5x.cos 3x = sin 7x.cos 5x 1 ⇔ [sin 8x + sin 2x ] = [sin12x + sin 2x ] 2 ⇔ sin 8x = sin12x ⇔ 12x = 8x + k2π ∨ 12x = π − 8x + k2π kπ π kπ ∨ x= + ⇔x = 20 10 So lạ i vớ i điề u kiệ n kπ 5kπ kπ x= thì cos 5x = cos = cos (loạ i nế u k lẻ ) 2 π kπ ⎛ π kπ ⎞ + x= thì cos 5x = cos ⎜ + ⎟ ≠ nhaä n 20 10 ⎠ ⎝4 π kπ + Do đó : (*) ⇔ x = hπ ∨ x = , vớ i k, h ∈] 20 10 Baø i 54 : Giaû i phöông trình sin4 x + cos4 x = ( tgx + cot g2x ) ( *) sin 2x Ñieà u kieän : sin 2x ≠ Ta coù : sin x + cos4 x = ( sin x + cos2 x ) − sin x cos2 x =1− sin2 2x sin x cos 2x + cos x sin 2x sin 2x sin x + cos x cos 2x = cos x sin 2x cos ( 2x − x ) = = cos x sin 2x sin 2x 1 − sin 2x Do đó : (*) ⇔ = sin 2x sin 2x 1 ⇔ − sin 2x = 2 ⇔ sin 2x = ( nhaä n sin 2x ≠ ) tgx + cot g2x = ⇔ cos2 2x = π + kπ, k ∈ ] π kπ , k ∈] ⇔x = + ⇔ 2x = Baø i 55 : Giaû i phöông trình tg x.cot g 2x.cot g3x = tg x − cot g 2x + cot g3x ( * ) Ñieà u kieän : cos x ≠ ∧ sin 2x ≠ ∧ sin 3x ≠ Lop12.net (14) ⇔ sin 2x ≠ ∧ sin 3x ≠ Lú c đó (*) ⇔ cotg3x ( tg x cot g 2x − 1) = tg x − cot g 2x ⎡⎛ − cos 2x ⎞ ⎛ + cos 4x ⎞ ⎤ − cos 2x + cos 4x ⇔ cot g3x ⎢⎜ − ⎟⎜ ⎟ − 1⎥ = ⎣⎝ + cos 2x ⎠ ⎝ − cos 4x ⎠ ⎦ + cos 2x − cos 4x ⇔ cot g3x ⎡⎣(1 − cos 2x )(1 + cos 4x ) − (1 + cos 2x )(1 − cos 4x ) ⎤⎦ = (1 − cos 2x )(1 − cos 4x ) − (1 + cos 4x )(1 + cos 2x ) ⇔ cot g3x [ cos 4x − cos 2x ] = −2 ( cos 4x + cos 2x ) cos 3x [ −4 sin 3x sin x] = −4 cos 3x cos x sin 3x ⇔ cos 3x sin x = cos 3x cos x ( sin 3x ≠ 0) ⇔ ⇔ cos 3x = ∨ sin x = cos x π + kπ ∨ tgx = π kπ π ⇔x= + ∨ x = + lπ ( k, l ∈ Z ) So vớ i điều kiện : sin 2x.sin 3x ≠ π kπ ⎛ π 2kπ ⎞ ⎛π ⎞ * Khi x = + thì sin ⎜ + ⎟ sin ⎜ + kπ ⎟ ≠ ⎠ ⎝3 ⎝2 ⎠ + 2k ⎛ ⎞ ⇔ sin ⎜ ⎟π ≠ ⎝ ⎠ Luôn đú n g ∀ k thỏ a 2k + ≠ 3m ( m ∈ Z ) ⇔ 3x = * Khi x = π ⎛π ⎞ ⎛ 3π ⎞ + lπ thì sin ⎜ + 2lπ ⎟ sin ⎜ + 3lπ ⎟ = ± ≠0 ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠ luô n đú n g π kπ ⎡ ⎢ x = + , k ∈ Z ∧ 2k ≠ 3m − ( m ∈ ] ) Do đó : (*) ⇔ ⎢ ⎢ x = π + lπ, l ∈ ] ⎢⎣ Caù c h khaù c: (*) ⇔ cotg3x ( tg x cot g 2x − 1) = tg x − cot g 2x tg x − cot g 2x tg 2x.tg x − = tg x cot g 2x − tg x − tg 2x (1 + tg2x.tgx ) (1 − tg2x.tgx ) ⇔ cot g3x = (tg2x − tgx) ( tg2x + tgx) ⇔ cot g3x = cot gx cotg3x ⇔ cos 3x = ∨ sin x = cos x ⇔ cot g3x = BAØI TAÄP Lop12.net (15) ⎞ ⎛π Tìm caù c nghieä m treâ n ⎜ , 3π ⎟ cuûa phöông trình: ⎝3 ⎠ 5π ⎞ 7π ⎞ ⎛ ⎛ sin ⎜ 2x + ⎟ − cos ⎜ x − ⎟ = + sin x ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ π⎞ Tìm caù c nghieä m x treân ⎜ 0, ⎟ cuûa phöông trình ⎝ 2⎠ 2 sin 4x − cos 6x = sin (10, 5π + 10x ) Giaû i caùc phöông trình sau: a/ sin x + cos3 x = sin5 x + cos5 x ( ) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x + cos x c/ tg x = − sin x d/ tg2x − tg3x − tg5x = tg2x.tg3x.tg5x e/ cos x = cos2 x π⎞ 1 ⎛ + f/ 2 sin ⎜ x + ⎟ = ⎠ sin x cos x ⎝ i/ 2tgx + cot g2x = + sin 2x h/ 3tg3x + cot g2x = 2tgx + sin 4x 2 k/ sin x + sin 2x + sin 3x = sin 2x + cos x = l/ + sin x b/ m/ 25 − 4x ( 3sin 2πx + sin πx ) = sin x.cot g5x =1 cos 9x = 2tg2x − cot g4x o/ 3tg6x − sin 8x p/ sin 3x − sin x = n/ ( q/ tg x = ) + cos x − sin x r/ cos3 x cos 3x + sin x sin 3x = ⎛x⎞ ⎛x⎞ s/ sin4 ⎜ ⎟ + cos4 ⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 3 t/ cos x − sin x − cos x sin2 x + sin x = x x u/ sin4 + cos4 = − 2sin x 2 Lop12.net (16) π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ v/ sin ⎜ 3x − ⎟ = sin 2x.sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ ( − sin x ) sin 3x w/ tg x + = 4 cos4 x x ⎛ ⎞ y/ tgx + cos x − cos2 x = sin x ⎜ + tg tgx ⎟ ⎝ ⎠ Cho phöông trình: ( sin x − 1)( cos 2x + sin x + m ) = − cos2 x (1) a/ Giaû i phöông trình m = b/ Tìm m để (1) có đún g nghiệm trê n [ 0, π ] ( ÑS: m = ∨ m < −1 ∨ m > ) Cho phöông trình: cos5 x sin x − sin5 x.cos x = sin2 4x + m (1) Biế t rằn g x = π là mộ t nghiệ m củ a (1) Hã y giả i phương trình trườ n g hợ p đó Lop12.net (17)

Ngày đăng: 01/04/2021, 12:52

w