Đang tải... (xem toàn văn)
Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giả i phương trình.[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Chöông : ⎡ u = v + k2π sin u = sin v ⇔ ⎢ ⎣ u = π − v + k2π cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π π ⎧ ⎪u ≠ + kπ tgu = tgv ⇔ ⎨ ⎪⎩u = v + k ' π ⎧u ≠ kπ cot gu = cot gv ⇔ ⎨ ⎩u = v + k ' π Ñaëc bieä t : sin u = ⇔ u = kπ ( k, k ' ∈ Z ) cos u = ⇔ u = π + k2π ( k ∈ Z ) π sin u = −1 ⇔ u = − + k2π Chuù yù : sin u ≠ ⇔ cos u ≠ ±1 cos u ≠ ⇔ sin u ≠ ±1 π + kπ cos u = ⇔ u = k2π ( k ∈ Z ) sin u = ⇔ u = cos u = −1 ⇔ u = π + k2π Bà i 28 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i D, nă m 2002) Tìm x ∈ [ 0,14 ] nghiệm đún g phương trình cos 3x − cos 2x + cos x − = ( * ) Ta coù (*) : ⇔ ( cos3 x − cos x ) − ( cos2 x − 1) + cos x − = ⇔ cos3 x − cos2 x = ⇔ cos2 x ( cos x − ) = ⇔ cos x = hay cos x = ( loạ i vì cos x ≤ 1) ⇔ x= π + kπ ( k ∈ Z ) π + kπ ≤ 14 π π 14 − ≈ 3, ⇔ − ≤ kπ ≤ 14 − ⇔ −0, = − ≤ k ≤ 2 π ⎧ π 3π 5π 7π ⎫ Mà k ∈ Z nê n k ∈ {0,1, 2, 3} Do đó : x ∈ ⎨ , , , ⎬ ⎩2 2 ⎭ Ta coù : x ∈ [ 0,14] ⇔ ≤ Bà i 29 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i D, nă m 2004) Giaû i phöông trình : ( cos x − 1)( sin x + cos x ) = sin 2x − sin x ( *) Ta coù (*) ⇔ ( cos x − 1)( sin x + cos x ) = sin x ( cos x − 1) Lop12.net (2) ⇔ ( cos x − 1) ⎡⎣( sin x + cos x ) − sin x ⎤⎦ = ⇔ ( cos x − 1)( sin x + cos x ) = ∨ sin x = − cos x π ⎛ π⎞ ⇔ cos x = cos ∨ tgx = −1 = tg ⎜ − ⎟ ⎝ 4⎠ π π ⇔ x = ± + k2π ∨ x = − + kπ, ( k ∈ Z ) ⇔ cos x = Baø i 30 : Giaû i phöông trình cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = (*) Ta coù (*) ⇔ ( cos x + cos 4x ) + ( cos 2x + cos 3x ) = 5x 3x 5x x cos + cos cos = 2 2 5x ⎛ 3x x⎞ cos + cos ⎟ = ⎜ cos ⎝ 2⎠ 5x x cos cos x cos = 2 5x x = ∨ cos x = ∨ cos = cos 2 5x π π x π = + kπ ∨ x = + kπ ∨ = + kπ 2 2 π 2kπ π x= + ∨ x = + kπ ∨ x = π + 2π, ( k ∈ Z ) 5 ⇔ cos ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Baø i 31: Giaû i phöông trình sin x + sin 3x = cos2 2x + cos2 4x ( * ) 1 1 (1 − cos 2x ) + (1 − cos 6x ) = (1 + cos 4x ) + (1 + cos 8x ) 2 2 ⇔ − ( cos 2x + cos 6x ) = cos 4x + cos 8x Ta coù (*) ⇔ ⇔ −2 cos 4x cos 2x = cos 6x cos 2x ⇔ cos 2x ( cos 6x + cos 4x ) = ⇔ cos 2x cos 5x cos x = ⇔ cos 2x = ∨ cos 5x = ∨ cos x = π π π ⇔ 2x = + kπ ∨ 5x + kπ ∨ x = + kπ, k ∈ ] 2 π kπ π kπ π ∨x= + ∨ x = + kπ , k ∈ ] ⇔ x= + 10 Baø i 32 : Cho phöông trình ⎛π x⎞ sin x.cos 4x − sin2 2x = sin ⎜ − ⎟ − ( *) ⎝4 2⎠ Tìm caù c nghieä m cuûa phöông trình thoûa : x − < Lop12.net (3) ⎡ π ⎤ (1 − cos 4x ) = ⎢1 − cos ⎜⎛ − x ⎟⎞ ⎥ − ⎝2 ⎠⎦ ⎣ 1 sin x cos 4x − + cos 4x = − − 2sin x 2 sin x cos 4x + cos 4x + + 2sin x = 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ cos 4x ⎜ sin x + ⎟ + ⎜ sin x + ⎟ = 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ ( cos 4x + 2) ⎜⎛ sin x + ⎟⎞ = 2⎠ ⎝ π ⎡ ⎡cos 4x = −2 ( loạ i ) x = − + k 2π ⎢ ⎢ ⎢sin x = − = sin ⎛ − π ⎞ ⇔ ⎢ ⎢ x = 7π + 2hπ ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ 6⎠ ⎢⎣ coù : x − < ⇔ −3 < x − < ⇔ −2 < x < Ta coù : (*) ⇔ sin x.cos 4x − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Ta π + k2π < π π 1 − <k< + ⇔ − < 2kπ < + ⇔ 6 12 π π 12 π Do k ∈ Z neân k = Vaä y x = − 7π −2 < + h2π < 7π 7π 7 < h2π < − ⇔− − <h< − ⇔ −2 − 6 π 12 π 12 7π −π 7π hay x = Toù m laï i x = ⇒h = ⇒ x = 6 −π + kπ, k ∈ ] Caùc h khaù c : sin x = − ⇔ x = (−1)k −π −2 −1 + kπ < ⇔ < (−1)k +k< Vaäy : −2 < (−1)k 6 π π −π 7π hay x = ⇔ k=0 và k = Tương ứn g vớ i x = 6 Vaäy : −2 < − Baø i 33 : Giaû i phöông trình sin x cos 3x + cos3 x sin 3x = sin 4x ( * ) Ta coù : (*) ⇔ sin x ( cos3 x − cos x ) + cos3 x ( 3sin x − sin x ) = sin 4x ⇔ sin3 x cos3 x − 3sin3 x cos x + 3sin x cos3 x − sin3 x cos3 x = sin3 4x ⇔ 3sin x cos x ( cos2 x − sin x ) = sin 4x ⇔ sin 2x cos 2x = sin3 4x Lop12.net (4) sin 4x = sin3 4x ⇔ 3sin 4x − sin3 4x = ⇔ sin12x = ⇔ kπ ( k ∈ Z) 12 Bà i 34 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i B, nă m 2002) Giaû i phöông trình : sin 3x − cos2 4x = sin 5x − cos2 6a ( * ) ⇔ 12x = kπ ⇔ x= Ta coù : (*) ⇔ 1 1 (1 − cos 6x ) − (1 + cos 8x ) = (1 − cos10x ) − (1 + cos12x ) 2 2 ⇔ cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x ⇔ cos7x cos x = cos11x cos x ⇔ cos x ( cos 7x − cos11x ) = ⇔ cos x = ∨ cos7x = cos11x π ⇔ x = + kπ ∨ 7x = ±11x + k 2π π kπ kπ ∨x= ,k ∈] ⇔ x = + kπ ∨ x = − 2 Baø i 35 : Giaû i phöông trình ( sin x + sin 3x ) + sin 2x = ( cos x + cos 3x ) + cos 2x ⇔ 2sin 2x cos x + sin 2x = cos 2x cos x + cos 2x ⇔ sin 2x ( cos x + 1) = cos 2x ( cos x + 1) ⇔ ( cos x + 1) ( sin 2x − cos 2x ) = 2π = cos ∨ sin 2x = cos 2x 2π π + k2π ∨ tg2x = = tg ⇔ x=± 2π π π + k2π ∨ x = + k , ( k ∈ Z ) ⇔ x=± ⇔ cos x = − Baø i 36: Giaû i phöông trình cos 10x + cos2 4x + cos 3x cos x = cos x + cos x cos3 3x ( * ) Ta coù : (*) ⇔ cos10x + (1 + cos 8x ) = cos x + cos x ( cos3 3x − cos 3x ) ⇔ ( cos10x + cos 8x ) + = cos x + cos x.cos 9x ⇔ cos 9x cos x + = cos x + cos x.cos 9x ⇔ cos x = ⇔ x = k2π ( k ∈ Z ) Baø i 37 : Giaû i phöông trình Lop12.net (5) sin x + cos3 x − 3sin x − sin x cos x = ( * ) Ta coù : (*) ⇔ sin x ( sin x − 3) − cos x ( sin x − cos2 x ) = ⇔ sin x ( sin x − 3) − cos x ⎡⎣sin x − (1 − sin x ) ⎤⎦ = ⇔ ( sin x − 3) ( sin x − cos x ) = ⇔ ⎡⎣ (1 − cos 2x ) − 3⎤⎦ ( sin x − cos x ) = 2π ⎡ cos 2x cos = − = ⇔ ⎢ ⎢ ⎣sin x = cos x 2π ⎡ 2x = ± + k2π ⎢ ⇔ ⎢ ⎣ tgx = π ⎡ x = ± + kπ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ x = π + kπ ⎢⎣ ( k ∈ Z) Bà i 38 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i B nă m 2005) Giaû i phöông trình : sin x + cos x + + sin 2x + cos 2x = ( * ) Ta coù : (*) ⇔ sin x + cos x + 2sin x cos x + cos2 x = ⇔ sin x + cos x + cos x ( sin x + cos x ) = ⇔ ( sin x + cos x ) (1 + cos x ) = ⎡sin x = − cos x ⇔ ⎢ ⎢cos 2x = − = cos 2π ⎣ ⎡ tgx = −1 ⇔ ⎢ ⎢ x = ± 2π + k 2π ⎣ π ⎡ ⎢ x = − + kπ ⇔ ⎢ ( k ∈ Z) π ⎢x = ± + k2π ⎢⎣ Baø i 39 : Giaû i phöông trình ( sin x + 1)( cos 4x + sin x − ) + cos2 x = ( *) Ta coù : (*) ⇔ ( sin x + 1)( cos 4x + sin x − ) + (1 − sin x ) − = ⇔ ( sin x + 1)( cos 4x + sin x − ) + (1 + sin x )(1 − sin x ) = ⇔ ( sin x + 1) ⎡⎣ cos 4x + sin x − + (1 − sin x ) ⎤⎦ = ⇔ ( cos 4x − 1)( sin x + 1) = ⇔ cos 4x = ∨ sin x = − ⎛ π⎞ = sin ⎜ − ⎟ ⎝ 6⎠ Lop12.net (6) π 7π + k2π ∨ x = + k2π 6 kπ π 7π ∨ x = − + k2π ∨ x = + k2π, ( k ∈ Z) ⇔ x= 6 ⇔ 4x = k2π ∨ x = − Baø i 40: Giaû i phöông trình sin x + cos6 x = ( sin x + cos8 x ) ( * ) Ta coù : (*) ⇔ sin6 x − 2sin8 x + cos6 x − cos8 x = ⇔ sin x (1 − sin x ) − cos6 x ( cos2 x − 1) = ⇔ sin6 x cos 2x − cos6 x cos 2x = ⇔ cos 2x ( sin x − cos6 x ) = ⇔ cos 2x = ∨ sin6 x = cos6 x ⇔ cos 2x = ∨ tg x = π ⇔ 2x = ( 2k + 1) ∨ tgx = ±1 π π ⇔ x = ( 2k + 1) ∨ x = ± + kπ 4 π kπ ⇔ x= + ,k ∈ ] Baø i 41 : Giaû i phöông trình ( *) 16 Ta thấ y x = kπ khô n g là nghiệ m (*) vì lúc đó cos x = ±1, cos 2x = cos 4x = cos 8x = 1 voâ nghieä m (*) thaø n h : ±1 = 16 Nhâ n vế (*) cho 16sin x ≠ ta đượ c (*) ⇔ (16 sin x cos x ) cos 2x.cos 4x.cos 8x = sin x vaø sin x ≠ cos x.cos 2x.cos 4x.cos 8x = ⇔ ( sin 2x cos 2x ) cos 4x.cos 8x = sin x vaø sin x ≠ ⇔ ( sin 4x cos 4x ) cos 8x = sin x vaø sin x ≠ ⇔ 2sin 8x cos 8x = sin x vaø sin x ≠ ⇔ sin16x = sin x vaø sin x ≠ k2π π kπ ∨x= + , ( k ∈ Z) ⇔x = 15 17 17 Do : x = hπ khoâ n g laø nghieäm neâ n k ≠ 15m vaø 2k + ≠ 17n ( n, m ∈ Z ) Baø i 42: Giaû i phöông trình 8cos ⎛⎜ x + ⎝ Ñaë t t = x + π⎞ ⎟ 3⎠ = cos 3x ( * ) π π ⇔x=t− 3 Lop12.net (7) Thì cos 3x = cos ( 3t − π ) = cos ( π − 3t ) = − cos 3t Vaäy (*) thaø n h cos3 t = − cos 3t ⇔ cos3 t = −4 cos3 t + cos t ⇔ 12 cos3 t − cos t = ⇔ cos t ( cos2 t − 1) = ⇔ cos t ⎡⎣ (1 + cos 2t ) − 1⎤⎦ = ⇔ cos t ( cos 2t + 1) = 2π = cos π 2π + k2π ⇔ t = ( 2k + 1) ∨ 2t = ± π π ⇔ t = + kπ ∨ t = ± + kπ π Maø x = t − π 2π + kπ, ( vớ ik ∈ Z ) Vaäy (*) ⇔ x = + k2π ∨ x = kπ ∨ x = Ghi chuù : Khi giả i các phương trình lượ n g giá c có chứa tgu, cotgu, có ẩ n mẫ u , hay chứa că n bậ c chẵ n ta phả i đặ t điề u kiệ n để phương trình xác định Ta dù n g các cá c h sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhậ n nghiệm hay khoâ n g + Thay các giá trị x tìm đượ c vào điều kiệ n thử lạ i xem có thỏ a Hoặc + Biể u diễ n các ngọ n cung điều kiệ n và các ngọ n cung tìm đượ c trê n cù n g mộ t đườ n g trò n lượ n g giá c Ta loạ i bỏ ngọ n cung nghiệm có trù n g vớ i ngọ n cung củ a điề u kiện Hoặc + So vơi các điều kiện quá trình giả i phương trình ⇔ cos t = ∨ cos 2t = − Baø i 43 : Giaû i phöông trình tg x − tgx.tg3x = ( * ) π hπ ⎧cos x ≠ ⇔ cos3x ≠ ⇔ x ≠ + Ñieà u kieän ⎨ cos 3x = cos x − cos x ≠ ⎩ Lúc đó ta có (*) ⇔ tgx ( tgx − tg3x ) = sin x ⎛ sin x sin 3x ⎞ − ⎜ ⎟=2 cos x ⎝ cos x cos 3x ⎠ ⇔ sin x ( sin x cos 3x − cos x sin 3x ) = cos2 x cos 3x ⇔ ⇔ sin x sin ( −2x ) = cos2 x cos 3x ⇔ −2 sin2 x cos x = cos2 x cos 3x ⇔ − sin2 x = cos x cos 3x (do cos x ≠ ) 1 ⇔ − (1 − cos 2x ) = ( cos 4x + cos 2x ) 2 ⇔ cos 4x = −1 ⇔ 4x = π + k2π Lop12.net (8) π kπ + ( k ∈ Z) so vớ i điều kiệ n π kπ ⎛ 3π 3kπ ⎞ + ≠ ( nhaä n ) Caùc h : Khi x = + thì cos 3x = cos ⎜ ⎟=± ⎠ ⎝ Caùc h : Bieå u dieã n caùc ngoï n cung ñieàu kieä n vaø ngoï n cung nghieäm ta thaá y khô n g có ngọ n cung nà o trù n g Do đó : π kπ (*) ⇔ x = + Lưu ý cá c h rấ t mấ t thờ i gian Caùc h : 3π 3kπ π + = + hπ Neá u 3x = 2 Thì + 6k = + 4h ⇔ = 4h − 6k ⇔ = 2h − 3k (voâ lyù vì k, h ∈ Z ) ⇔x = Baø i 44: Giaû i phöông trình 11 ( *) ⎧cos x ≠ ⎪ Ñieà u kieän ⎨sin x ≠ ⇔ sin 2x ≠ ⎪sin 2x ≠ ⎩ tg x + cot g x + cot g 2x = Do đó : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 11 − 1⎟ + ⎜ − 1⎟ + ⎜ − 1⎟ = (*) ⇔ ⎜ 2 ⎝ cos x ⎠ ⎝ sin x ⎠ ⎝ sin 2x ⎠ 1 20 + + = ⇔ 2 2 cos x sin x sin x cos x 2 sin x + cos x + 20 = ⇔ sin2 x cos2 x 20 = ⇔ sin 2x 3 ⇔ sin2 2x = (nhaän sin2x ≠ ) ⇔ (1 − cos 4x ) = 2π ⇔ cos 4x = − = cos 2π + k2π ⇔ 4x = ± π kπ ⇔x = ± + ( k ∈ Z) Lop12.net (9) Chú ý : Có thể dễ dàn g n g minh : tgx + cot gx = ⎛ ⎞ 11 − 1⎟ = Vaäy (*) ⇔ ( tgx + cot gx ) − + ⎜ ⎝ sin x ⎠ 20 = ⇔ sin 2x sin 2x Bà i 45 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i D, nă m 2003) Giaû i phöông trình x ⎛x π⎞ sin ⎜ − ⎟ tg x − cos2 = ( *) ⎝2 4⎠ Ñieà u kieän : cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 lú c đó : π ⎞ ⎤ sin x 1⎡ ⎛ (*) ⇔ ⎢1 − cos ⎜ x − ⎟ ⎥ − [1 + cos x ] = 2⎣ ⎠ ⎦ cos2 x ⎝ (1 − sin x ) (1 − cos2 x ) − (1 + cos x ) = − sin x − cos2 x − (1 + cos x ) = ⇔ + sin x ⎡ − cos x ⎤ − 1⎥ = ⇔ (1 + cos x ) ⎢ ⎣ + sin x ⎦ ⇔ (1 + cos x ) ( − cos x − sin x ) = ⇔ ⎡cos x = −1 ( nhaä ndo cos x ≠ ) ⇔ ⎢ ⎣ tgx = −1 ⎡ x = π + k2π ⇔ ⎢ ⎢ x = − π + kπ ⎣ Baø i 46 : Giaû i phöông trình sin 2x ( cot gx + tg2x ) = cos2 x ( * ) ⎧sin x ≠ Ñieà u kieän : ⎨ ⎩cos 2x ≠ ⇔ ⎧sin x ≠ ⎨ ⎩2 cos x − ≠ ⇔ cos x sin 2x + sin x cos 2x cos 2x cos x + sin 2x sin x = sin x cos 2x cos x = sin x cos 2x cos x ⎛ ⎞ Lúc đó : (*) ⇔ sin x cos x ⎜ ⎟ = cos x ⎝ sin x cos 2x ⎠ Ta coù : cot gx + tg2x = Lop12.net ⎧cos x ≠ ±1 ⎪ ⎨ ⎪cos x ≠ ± ⎩ (10) cos2 x = cos2 x ( Do sin x ≠ ) ⇔ cos 2x ⎡ ⎛ ⎞ vaø ≠ ±1 ⎟⎟ ⎡cos x = ⎢ cos x = ⎜⎜ Nhaä n cos x ≠ ⎝ ⎠ ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ =2 π ⎣ cos 2x ⎢cos 2x = = cos , ( nhaä n sin x ≠ 0) ⎣ π ⎡ ⎢ x = + kπ ⇔ ⎢ ( k ∈ Z) ⎢ x = ± π + kπ ⎢⎣ Baø i 47 : Giaû i phöông trình: cot g x − tg x = 16 (1 + cos 4x ) cos 2x cos2 x sin2 x − Ta coù : cot g x − tg x = sin2 x cos2 x cos4 x − sin4 x cos 2x = = sin2 x cos2 x sin2 2x ⎧sin 2x ≠ Ñieà u kieän : ⎨ ⇔ sin 4x ≠ ⎩cos 2x ≠ = 16 (1 + cos 4x ) Lú c đó (*) ⇔ sin2 2x ⇔ = (1 + cos 4x ) sin2 2x ⇔ = (1 + cos 4x ) (1 − cos 4x ) ( ) ⇔ = − cos2 4x = sin 4x ( nhaän sin 4x ≠ 0) 1 ⇔ (1 − cos 8x ) = 2 π kπ ⇔ cos 8x = ⇔ x = + ,k ∈] 16 ⇔ sin2 4x = Baø i 48: Giaû i phöông trình: sin x + cos4 x = ⎧ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x + ⎟ ≠ ⎪ ⎝ ⎠ Ñieà u kieän ⎨ ⇔ ⎪sin ⎛ π − x ⎞ ≠ ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝6 ⎠ ⎧ ⎛ ⎪sin ⎜ x + ⎪ ⎝ ⎨ ⎪cos ⎛ x + ⎜ ⎪⎩ ⎝ π⎞ ⎛ ⎛π ⎞ cot g ⎜ x + ⎟ cot g ⎜ − x ⎟ ( *) 3⎠ ⎝ ⎝6 ⎠ π⎞ ⎟≠0 3⎠ π⎞ ⎟≠0 3⎠ Lop12.net 2π ⎞ ⎛ ⇔ sin ⎜ 2x + ⎟≠0 ⎠ ⎝ (11) ⇔ − sin 2x + cos 2x ≠ 2 ⇔ tg2x ≠ ( Ta coù : sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x ) − 2sin2 x.cos2 x = − sin2 2x π⎞ π⎞ ⎛π ⎛ ⎛π ⎞ ⎛ ⎞ Vaø : cot g ⎜ x + ⎟ cot g ⎜ − x ⎟ = cot g ⎜ x + ⎟ tg ⎜ + x ⎟ = 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝6 ⎠ ⎝ ⎠ Lú c đó : (*) ⇔ − sin2 2x = 1 ⇔ − (1 − cos 4x ) = − ⇔ cos 4x = π π kπ ⇔ 4x = ± + k2π ⇔ x = ± + 12 (nhaän tg2x = ± ≠ 3) Baø i 49: Giaû i phöông trình 2tgx + cot g2x = sin 2x + ( *) sin 2x ⎧cos 2x ≠ ⇔ sin 2x ≠ ⇔ cos 2x ≠ ±1 Ñieà u kieän : ⎨ ⎩sin 2x ≠ sin x cos 2x + = sin 2x + Lú c đó : (*) ⇔ cos x sin 2x sin 2x 2 ⇔ sin x + cos 2x = sin 2x + ( ) ⇔ sin2 x + − sin2 x = sin2 x cos2 x + ( ) ⇔ sin2 x − cos2 x = ⇔ sin2 x ⎡⎣1 − (1 + cos 2x ) ⎤⎦ = ⎡sin x = ( loạ i sin 2x ≠ ⇒ sin x ≠ ) ⇔⎢ ⎢cos 2x = − = cos 2π ( nhaä n cos 2x ≠ ±1) ⎢⎣ 2π ⇔ 2x = ± + k2π ( k ∈ Z ) π ⇔ x = ± + kπ, k ∈ ] Baø i 51: Giaû i phöông trình: ( sin x + tgx ) tgx − sin x − (1 + cos x ) = ( *) Lop12.net (12) sin x − sin x ≠ cos x ⎧sin x ≠ sin x (1 − cos x ) ⎪ ≠ ⇔ ⎨cos x ≠ ⇔ sin 2x ≠ ⇔ cos x ⎪cos x ≠ ⎩ Ñieà u kieän : tgx − sin x ≠ ⇔ Lúc đó (*) ⇔ ⇔ ( sin x + tgx ) cot gx − (1 + cos x ) = ( tgx − sin x ) cot gx ( cos x + 1) − (1 + cos x ) = (1 − cos x ) − = ( sin x ≠ neâ n cos x + ≠ 0) − cos x ⇔ + cos x = ⇔ cos x = − (nhậ n so vớ i điề u kiệ n ) 2π + k2π, k ∈ ] ⇔ x=± Baø i 52 : Giaû i phöông trình ⇔ (1 − cos x ) + (1 + cos x ) (1 − sin x ) − tg x sin x = (1 + sin x ) + tg x ( *) ⎧cos x ≠ Ñieà u kieän : ⎨ ⇔ cos x ≠ ⎩sin x ≠ (1 + cos2 x ) sin x sin x sin x − = + + Lúc đó (*) ⇔ ( ) (1 − sin x ) − sin x − sin x ⇔ (1 + cos2 x ) (1 + sin x ) − sin x = (1 + sin x ) (1 − sin x ) + sin x ⇔ (1 + sinx ) (1 + cos2 x ) = (1 + sin x ) cos2 x + sin x (1 + sin x ) ⎡1 + sin x = ⇔ ⎢ 2 ⎣1 + cos x = cos x + sin x ⎡sin x = −1 ( loạ i cos x ≠ ) ⇔ ⎢ ⇔ cos2x = ⎣1 = − cos 2x π ⇔ 2x = + kπ π π ⇔ x = + k (nhaän cosx ≠ 0) Baø i 53 : Giaû i phöông trình Ñieà u kieän cos 5x ≠ Lúc đó : (*) ⇔ cos 3x cos 3x.tg5x = sin 7x ( * ) sin 5x = sin 7x cos 5x Lop12.net (13) ⇔ sin 5x.cos 3x = sin 7x.cos 5x 1 ⇔ [sin 8x + sin 2x ] = [sin12x + sin 2x ] 2 ⇔ sin 8x = sin12x ⇔ 12x = 8x + k2π ∨ 12x = π − 8x + k2π kπ π kπ ∨ x= + ⇔x = 20 10 So lạ i vớ i điề u kiệ n kπ 5kπ kπ x= thì cos 5x = cos = cos (loạ i nế u k lẻ ) 2 π kπ ⎛ π kπ ⎞ + x= thì cos 5x = cos ⎜ + ⎟ ≠ nhaä n 20 10 ⎠ ⎝4 π kπ + Do đó : (*) ⇔ x = hπ ∨ x = , vớ i k, h ∈] 20 10 Baø i 54 : Giaû i phöông trình sin4 x + cos4 x = ( tgx + cot g2x ) ( *) sin 2x Ñieà u kieän : sin 2x ≠ Ta coù : sin x + cos4 x = ( sin x + cos2 x ) − sin x cos2 x =1− sin2 2x sin x cos 2x + cos x sin 2x sin 2x sin x + cos x cos 2x = cos x sin 2x cos ( 2x − x ) = = cos x sin 2x sin 2x 1 − sin 2x Do đó : (*) ⇔ = sin 2x sin 2x 1 ⇔ − sin 2x = 2 ⇔ sin 2x = ( nhaä n sin 2x ≠ ) tgx + cot g2x = ⇔ cos2 2x = π + kπ, k ∈ ] π kπ , k ∈] ⇔x = + ⇔ 2x = Baø i 55 : Giaû i phöông trình tg x.cot g 2x.cot g3x = tg x − cot g 2x + cot g3x ( * ) Ñieà u kieän : cos x ≠ ∧ sin 2x ≠ ∧ sin 3x ≠ Lop12.net (14) ⇔ sin 2x ≠ ∧ sin 3x ≠ Lú c đó (*) ⇔ cotg3x ( tg x cot g 2x − 1) = tg x − cot g 2x ⎡⎛ − cos 2x ⎞ ⎛ + cos 4x ⎞ ⎤ − cos 2x + cos 4x ⇔ cot g3x ⎢⎜ − ⎟⎜ ⎟ − 1⎥ = ⎣⎝ + cos 2x ⎠ ⎝ − cos 4x ⎠ ⎦ + cos 2x − cos 4x ⇔ cot g3x ⎡⎣(1 − cos 2x )(1 + cos 4x ) − (1 + cos 2x )(1 − cos 4x ) ⎤⎦ = (1 − cos 2x )(1 − cos 4x ) − (1 + cos 4x )(1 + cos 2x ) ⇔ cot g3x [ cos 4x − cos 2x ] = −2 ( cos 4x + cos 2x ) cos 3x [ −4 sin 3x sin x] = −4 cos 3x cos x sin 3x ⇔ cos 3x sin x = cos 3x cos x ( sin 3x ≠ 0) ⇔ ⇔ cos 3x = ∨ sin x = cos x π + kπ ∨ tgx = π kπ π ⇔x= + ∨ x = + lπ ( k, l ∈ Z ) So vớ i điều kiện : sin 2x.sin 3x ≠ π kπ ⎛ π 2kπ ⎞ ⎛π ⎞ * Khi x = + thì sin ⎜ + ⎟ sin ⎜ + kπ ⎟ ≠ ⎠ ⎝3 ⎝2 ⎠ + 2k ⎛ ⎞ ⇔ sin ⎜ ⎟π ≠ ⎝ ⎠ Luôn đú n g ∀ k thỏ a 2k + ≠ 3m ( m ∈ Z ) ⇔ 3x = * Khi x = π ⎛π ⎞ ⎛ 3π ⎞ + lπ thì sin ⎜ + 2lπ ⎟ sin ⎜ + 3lπ ⎟ = ± ≠0 ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠ luô n đú n g π kπ ⎡ ⎢ x = + , k ∈ Z ∧ 2k ≠ 3m − ( m ∈ ] ) Do đó : (*) ⇔ ⎢ ⎢ x = π + lπ, l ∈ ] ⎢⎣ Caù c h khaù c: (*) ⇔ cotg3x ( tg x cot g 2x − 1) = tg x − cot g 2x tg x − cot g 2x tg 2x.tg x − = tg x cot g 2x − tg x − tg 2x (1 + tg2x.tgx ) (1 − tg2x.tgx ) ⇔ cot g3x = (tg2x − tgx) ( tg2x + tgx) ⇔ cot g3x = cot gx cotg3x ⇔ cos 3x = ∨ sin x = cos x ⇔ cot g3x = BAØI TAÄP Lop12.net (15) ⎞ ⎛π Tìm caù c nghieä m treâ n ⎜ , 3π ⎟ cuûa phöông trình: ⎝3 ⎠ 5π ⎞ 7π ⎞ ⎛ ⎛ sin ⎜ 2x + ⎟ − cos ⎜ x − ⎟ = + sin x ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ π⎞ Tìm caù c nghieä m x treân ⎜ 0, ⎟ cuûa phöông trình ⎝ 2⎠ 2 sin 4x − cos 6x = sin (10, 5π + 10x ) Giaû i caùc phöông trình sau: a/ sin x + cos3 x = sin5 x + cos5 x ( ) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x + cos x c/ tg x = − sin x d/ tg2x − tg3x − tg5x = tg2x.tg3x.tg5x e/ cos x = cos2 x π⎞ 1 ⎛ + f/ 2 sin ⎜ x + ⎟ = ⎠ sin x cos x ⎝ i/ 2tgx + cot g2x = + sin 2x h/ 3tg3x + cot g2x = 2tgx + sin 4x 2 k/ sin x + sin 2x + sin 3x = sin 2x + cos x = l/ + sin x b/ m/ 25 − 4x ( 3sin 2πx + sin πx ) = sin x.cot g5x =1 cos 9x = 2tg2x − cot g4x o/ 3tg6x − sin 8x p/ sin 3x − sin x = n/ ( q/ tg x = ) + cos x − sin x r/ cos3 x cos 3x + sin x sin 3x = ⎛x⎞ ⎛x⎞ s/ sin4 ⎜ ⎟ + cos4 ⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 3 t/ cos x − sin x − cos x sin2 x + sin x = x x u/ sin4 + cos4 = − 2sin x 2 Lop12.net (16) π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ v/ sin ⎜ 3x − ⎟ = sin 2x.sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ ( − sin x ) sin 3x w/ tg x + = 4 cos4 x x ⎛ ⎞ y/ tgx + cos x − cos2 x = sin x ⎜ + tg tgx ⎟ ⎝ ⎠ Cho phöông trình: ( sin x − 1)( cos 2x + sin x + m ) = − cos2 x (1) a/ Giaû i phöông trình m = b/ Tìm m để (1) có đún g nghiệm trê n [ 0, π ] ( ÑS: m = ∨ m < −1 ∨ m > ) Cho phöông trình: cos5 x sin x − sin5 x.cos x = sin2 4x + m (1) Biế t rằn g x = π là mộ t nghiệ m củ a (1) Hã y giả i phương trình trườ n g hợ p đó Lop12.net (17)