Nhóm abel nội xạ thuần túy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN QUỐC PHÁP NHĨM ABEL NỘI XẠ THUẦN TÚY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Pháp NHĨM ABEL NỘI XẠ THUẦN TÚY Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số : 6046104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn bảo tận tình TS Phạm Thị Thu Thủy, luận văn chuyên ngành Đại số lý thuyết số với đề tài: “Nhóm Abel nội xạ túy” kết trình tìm hiểu nghiên cứu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tp.HCM, ngày 26 tháng 11 năm 2020 Tác giả Nguyễn Quốc Pháp Lời cảm ơn Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Phạm Thị Thu Thủy, cô đưa góp ý lời khuyên quý báu để tơi hồn thành luận văn Tiếp đến, muốn gửi lời cảm ơn đến tất quý thầy khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền đạt cho kiến thức quan trọng suốt khóa học trường Ngồi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đặc biệt bạn đồng nghiệp ủng hộ, chia sẻ khó khăn với tơi sống cơng việc Mặc dù có nhiều cố gắng, khơng tránh khỏi thiếu sót Do đó, tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tp.HCM, ngày 26 tháng 11 năm 2020 Tác giả Nguyễn Quốc Pháp Mục lục Lời nói đầu Danh mục kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số nhóm Abel quan trọng 1.2 Dãy khớp Nhóm túy 12 2.1 Nhóm túy 12 2.2 Mối quan hệ tính túy p-thuần túy 14 2.3 Một số điều kiện đủ nhóm túy 14 2.4 Một số kết khác 16 Nhóm Abel nội xạ túy 3.1 3.2 3.3 18 Dãy khớp túy định nghĩa nhóm Abel nội xạ túy 18 3.1.1 Một số tính chất dãy khớp túy 19 Tính nội xạ túy nhóm Abel hữu hạn đối sinh 24 3.2.1 Một số tính chất nhóm Abel hữu hạn đối sinh 24 Một số kết quan trọng nhóm Abel nội xạ túy 31 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời nói đầu Lý thuyết nhóm Abel nhánh đại số đại nghiên cứu tính chất nhóm giao hốn Trong nghiên cứu nhóm Abel, việc tách nhóm thành tổng trực tiếp nhóm khơng giúp hiểu rõ cấu trúc chúng mà giúp đơn giản hóa nhiều tốn đặt nhóm Abel Tuy nhiên, việc xác định nhóm có hạng tử trực tiếp nhóm Abel khơng nhìn chung khơng đơn giản Tính túy nhóm nhóm Abel tính chất quan trọng, điều kiện cần để nhóm hạng tử trực tiếp nhóm Abel Tính chất đặc biệt quan tâm sau cụng trỡnh ca H Pră ufer, t ú v sau quan tâm dành cho tính chất lý thuyết nhóm Abel lý thuyết module ngày nhà toán học quan tâm Fuchs László, Szele, Kulikov, Khabbaz, Nhóm nội xạ túy nhóm nội xạ dãy khớp túy nhóm Abel việc nhóm Abel nhúng vào nhóm nội xạ túy nhóm túy tính chất quan trọng giúp nghiên cứu nhiều tốn khác lý thuyết nhóm Abel Nội dung luận văn bao gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị giới thiệu tính chia hết cho số nguyên, cao độ phần tử, giới thiệu số nhóm, nhóm quan trọng nhóm Abel, giới thiệu dãy khớp, dãy khớp chẻ, Chương 2: Nhóm túy giới thiệu nhóm túy số kết quan trọng nhóm túy Chương 3: Nhóm Abel nội xạ túy nội dung luận văn bao gồm kiến thức: Dãy khớp túy nhóm Abel hữu hạn đối sinh giới thiệu dãy khớp túy, nhóm Abel hữu hạn đối sinh, mối quan hệ mật thiết dãy khớp túy tính chất nội xạ nhóm cocyclic nhóm hữu hạn đối sinh Nhóm Abel nội xạ túy giới thiệu nhóm nội xạ túy, mối quan hệ nhóm nội xạ túy với tích trực tiếp nhóm cocyclic đặc biệt kết quả: Mọi nhóm Abel vào nhóm nội xạ túy nhóm túy Danh mục kí hiệu Kí hiệu Ý nghĩa N N∗ Z : : : : : : : : : : : : : A, B, C, G, H n|a A≤B A/B o(a) |A| (A) hp (a),hp (a) a Z(n) Z(p∞ ) α, β, γ, δ, φ, µ, ν, ∪, ∩ Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số tự nhiên khác Tập hợp số nguyên nhóm a chia hết cho n A nhóm B Nhóm thương A theo B Cấp phần tử a Cấp nhóm A p-độ cao phần tử a A Nhóm cyclic sinh phần tử a Nhóm cyclic cấp n Nhóm tựa cyclic kiểu p : Ánh xạ, đồng cấu : Hợp, giao tập hợp Ker α : : : : : Im α : Ảnh ánh xạ α 1A Ai A⊕B A∼ =B Ánh xạ đồng A Tích trực tiếp Ai Tổng trực tiếp A B Nhóm A đẳng cấu với nhóm B Hạt nhân ánh xạ α Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số nhóm Abel quan trọng Định nghĩa 1.1.1 Một tập hợp A = ∅ với phép tốn hai ngơi “+” gọi nhóm Abel tính chất sau thỏa mãn: 1) Phép cộng có tính chất kết hợp, tức với a, b, c ∈ A ta có (a + b) + c = a + (b + c) 2) Tồn phần tử khơng, kí hiệu thuộc A cho với a ∈ A ta có + a = a + = a 3) Mọi phần tử a ∈ A có phần tử đối, kí hiệu −a, nghĩa a + (−a) = (−a) + a = 4) Phép cộng có tính chất giao hốn, tức với a, b ∈ A, ta có a + b = b + a Với nhóm Abel A, lực lượng tập hợp A gọi cấp nhóm A kí hiệu |A| Xuyên suốt luận văn này, từ “nhóm” mang ý nghĩa “nhóm Abel” Nhóm nhóm thương Định nghĩa 1.1.2 Cho A nhóm Một tập G = ∅ A gọi nhóm A với a, b ∈ G a − b ∈ G Ví dụ 1.1.1 Cho nhóm A số ngun dương n Ta định nghĩa nA = {na | a ∈ A} A [n] = {a ∈ A | na = 0} , nA A [n] nhóm A Định nghĩa 1.1.3 Cho A nhóm G ≤ A Với x ∈ A, tập thương nhóm A theo G, tức tập A/G = {x + G | x ∈ A} , phép tốn hai ngơi x + G + y + G = (x + y) + G Khi tập thương A/G tạo thành nhóm gọi nhóm thương nhóm A theo nhóm G Tổng trực tiếp hạng tử trực tiếp Định nghĩa 1.1.4 Nhóm A gọi tổng trực tiếp họ nhóm {Gi }i∈I thỏa tính chất: Gi , nghĩa với a ∈ A tồn xi1 ∈ Gi1 , , xin ∈ Gin cho 1) A = i∈I xi với xi ∈ Gi xi = hầu hết a = xi1 + · · · + xin Để đơn giản ta ghi a = i∈I trừ số hữu hạn 2) Gj ∩ Gi = 0, ∀j ∈ I i=j Khi ta viết A = ⊕Gi Định nghĩa 1.1.5 Cho A nhóm Nhóm B A gọi hạng tử trực tiếp A có nhóm C A cho A = B ⊕ C Nhóm chia p-độ cao Định nghĩa 1.1.6 Cho A nhóm 1) Phần tử a ∈ A gọi chia hết cho số nguyên dương n, kí hiệu n | a, tồn b ∈ A cho a = nb hay nói cách khác a ∈ nA 2) Nhóm A gọi nhóm chia phần tử a ∈ A chia hết cho số nguyên dương n 20 Tiếp theo ta chứng minh 1) tương đương 3) Bằng cách lập luận tương tự trên, ta kiểm tra tính đơn cấu α tính tồn cấu β kéo theo α2 đơn cấu β2 toàn cấu Giả sử (1) dãy khớp túy Im α nhóm túy B Khi n Im α = nB ∩ Im α hay n Im α = nB ∩ ker β Để chứng minh dãy α2 A[n] β2 B[n] C[n] khớp, ta chứng minh Im α2 = Ker β2 Với a ∈ A [n], ta có β2 α2 (a) = βα (a) = Suy Im α2 ⊆ ker β2 Nếu b ∈ Ker β2 ⊆ B [n] nb = β(b) = β2 (b) = Do b ∈ Ker β = Im α Suy tồn a ∈ A để b = α(a) Vì nb = nên α(na) = nb = Vì α đơn cấu nên na = 0, a ∈ A [n] Suy α2 (a) = α(a) = b Như ta tìm a ∈ A [n] cho b = α2 (a) Suy b ∈ Im α2 , tức Ker β2 ⊆ Im α2 Vậy Im α2 = Ker β2 Ngược lại, giả sử có Im α2 = Ker β2 , cho g ∈ α(A) n | g B ta chứng minh n | g α(A) Do n | g B nên tồn b ∈ B để g = nb Vì g ∈ α(A) nên tồn a ∈ A để g = α(a) Do g = α(a) = nb Mặt khác, ta lại có Im α = Ker β nên nb ∈ Ker β , nβ(b) = β(nb) = Suy β(b) ∈ C [n] Vì β2 toàn cấu nên tồn b ∈ B [n] cho β2 (b ) = β(b) hay β(b ) = β(b) Do β(b − b ) = 0, suy b − b ∈ Ker β = Im α Như tồn a ∈ A để b − b = α(a ) Suy b = α(a ) + b Do g = nb = nα(a ) + nb = nα(a ) Suy n | g α(A) Như α(A) nhóm túy B , tức dãy (1) khớp Vậy ta chứng minh (1) tương đương (3) Tiếp theo ta chứng minh 2) tương đương 4) Xét biểu đồ đồng cấu 0 nA α1 nB j1 A A/nA β1 nC j2 α B p1 0 j3 β C p2 α3 B/nB 0 p3 β3 C/nC 0 ji , pi phép nhúng chiếu dòng khớp Dễ thấy cột khớp nên theo Bổ đề 1.2.7 ta có (2) tương đương (4) Cuối ta chứng minh 3) tương đương 5) Xét biểu đồ đồng cấu 21 0 α2 A [n] nC α β B p1 C p2 α4 A/A [n] p3 β4 B/B [n] 0 j3 j2 A β2 B [n] j1 0 C/nC 0 ji , pi phép nhúng chiếu dòng khớp Dễ thấy cột khớp nên theo Bổ đề 1.2.7 ta có (3) tương đương (5) α Bổ đề 3.1.4 Cho dãy khớp ngắn A Gi (i = 1, 2, , n) làm cho biểu đồ A α φi B β B C β C Nếu ϕi Gi giao hoán, nghĩa với đồng cấu φi : A −→ Gi , tồn đồng cấu ϕi : B −→ Gi cho ϕi α = φi G = G1 ⊕ G2 ⊕ · · · ⊕ Gn làm cho biểu đồ A α φ B β C ϕ G giao hoán, nghĩa với đồng cấu φ : A −→ G, tồn đồng cấu ϕ : B −→ G cho ϕα = φ Chứng minh Với i = 1, 2, , n ta xét tích đồng cấu A φ G Gi pi phép chiếu Đặt φi = pi φ : A −→ Gi rõ ràng φi đồng cấu Khi tồn đồng cấu ϕi : B −→ Gi thỏa φi = ϕi α Xét ánh xạ ϕ : B −→ G, xác định ϕ (b) = (ϕ1 (b) ; ; ϕn (b)) với b ∈ 22 B Ta dễ dàng kiểm tra ϕ đồng cấu φ = ϕα Thật vậy, với a ∈ A ta có ϕα (a) = (ϕ1 α (a) ; ; ϕn α (a)) = (φ1 (a) ; ; φn (a)) = (p1 φ (a) ; ; pn φ (a)) = φ (a) Bổ đề 3.1.5 Cho dãy khớp ngắn α A β B C C Khi điều sau tương đương: 1) Tồn đồng cấu φ để biểu đồ α A β B ϕ φ G giao hoán, ϕ tồn cấu 2) α (A) /α (Ker ϕ) hạng tử trực tiếp B/α (Ker ϕ) Chứng minh Giả sử tồn đồng cấu φ để biểu đồ A α B β C ϕ φ G giao hốn, ϕ tồn cấu Ta chứng minh α (A) /α (Ker ϕ) hạng tử trực tiếp B/α (Ker ϕ) Không tính tổng qt ta giả sử G = A/ Ker ϕ ϕ tồn cấu Xét tương ứng φ : B/α(Ker ϕ) −→ A/ Ker ϕ, xác định φ (b + α(Ker ϕ)) = φ(b) với b ∈ B Ta chứng minh φ đồng cấu Trước tiên ta chứng minh φ ánh xạ Với b1 , b2 ∈ B , ta có b1 + α(Ker ϕ) = b2 + α(Ker ϕ) Suy b1 − b2 ∈ α(Ker ϕ) Như tồn a ∈ Ker ϕ cho α(a) = b1 − b2 (1) 23 Vì a ∈ Ker ϕ nên ϕ(a) = Do φα(a) = Suy α(a) ∈ Ker φ Từ (1) kéo theo b1 − b2 ∈ Ker φ Như φ(b1 − b2 ) = hay φ(b1 ) = φ(b2 ) Điều chứng tỏ φ (b1 + α(Ker ϕ)) = φ (b2 + α(Ker ϕ)) Vậy φ ánh xạ Hơn φ đồng cấu với b1 , b2 ∈ B/α(Ker ϕ), ta có φ (b1 + b2 ) = φ(b1 ) + φ(b2 ) = φ (b1 ) + φ (b2 ) Cuối ta chứng minh φ α = 1A/ Ker ϕ với α : A/ Ker ϕ −→ B/α (Ker ϕ) xác định α (a + Ker ϕ) = α (a) + α (Ker ϕ) với a ∈ A Thật vậy, với a + Ker ϕ ∈ A/ Ker ϕ φ α (a + Ker ϕ) = φ (α(a) + α(Ker ϕ)) = φ(α(a)) = ϕ(a) = a + Ker ϕ Suy φ α = 1A/ Ker ϕ Như φ α đẳng cấu Theo Định lí 1.2.3 ta có α(A)/α(Ker ϕ) hạng tử trực tiếp B/α(Ker ϕ) Bây ta chứng minh 2) suy 1) Giả sử α(A)/α(Ker ϕ) hạng tử trực tiếp B/α(Ker ϕ) Khi tồn phép chiếu p : B/ Ker ϕ −→ α(A)/α(Ker ϕ) q : α(A)/α(Ker ϕ) −→ A/ Ker ϕ Xét biểu đồ đồng cấu A α B β C ϕ G ϕ tồn cấu Ta chứng minh tồn φ : B −→ G cho φ = ϕα Vì ϕ tồn cấu nên A/ Ker ϕ ∼ = G Khi tồn đồng cấu h : A/ Ker ϕ −→ G xác định h(a + Ker ϕ) = ϕ(a) Ta xây dựng φ tích đồng cấu sau: B π B/ Ker ϕ p α(A)/α (Ker ϕ) q A/ Ker ϕ h G Khi đồng cấu φ : B −→ G thỏa mãn φα = ϕ Thật vậy, với a ∈ A ta có φα(a) = φ(α(a)) = α(a) + Ker ϕ = a + Ker ϕ = ϕ(a) 24 3.2 Tính nội xạ túy nhóm Abel hữu hạn đối sinh Một ví dụ quan trọng nhóm Abel nội xạ túy nhóm hữu hạn đối sinh Định nghĩa 3.2.1 Cho A nhóm Một hệ L phần tử khác nhóm A gọi hệ đối sinh A nhóm khác A chứa phần tử L Ví dụ 3.2.1 Nhóm cocyclic Z pk với k ∈ N ∪ {∞} có hệ đối sinh nhóm tối tiểu Z(pk ) [p] ∼ = Z(p) Từ định nghĩa ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.2.2 Cho L hệ đối sinh nhóm A Khi L nhóm thiết yếu A Hơn nhóm thiết yếu ln hệ đối sinh Định nghĩa 3.2.3 Một nhóm gọi nhóm hữu hạn đối sinh có hệ đối sinh hữu hạn Chú ý 3.2.4 Nhóm hữu hạn đối sinh có hệ đối sinh có phần tử nhóm cocyclic 3.2.1 Một số tính chất nhóm Abel hữu hạn đối sinh Bổ đề 3.2.5 Cho A nhóm hữu hạn đối sinh Khi A nhóm xoắn Chứng minh Gọi L = {a1 , a2 , , an } hệ đối sinh hữu hạn A Giả sử tồn a ∈ A cho o(a) = +∞ Khi ta chọn nhóm B a cho B ∩ L = ∅, sau: • Nếu a1 , a2 , , an ∈ / a chọn B = a Khi B ∩ L = ∅ • Nếu L có phần tử thuộc a ai1 , , ais tất phần tử với j = 1, s tồn kij cho aij = kij · a Chọn B = 2ki1 · · · kis · a rõ ràng aij ∈ / B , với j = 1, s Như B ∩ L = ∅ Sự tồn B mâu thuẫn L hệ đối sinh hữu hạn A Do phần tử thuộc A có cấp hữu hạn Vậy A nhóm xoắn Bổ đề 3.2.6 Cho A mở rộng thiết yếu nhóm hữu hạn B Với a ∈ A, hp (a) = ∞ tồn x ∈ A thỏa px = a hp (x) = ∞ 25 Chứng minh Trước tiên ta chứng minh A [p] nhóm hữu hạn Lấy a ∈ A [p] pa = A mở rộng thiết yếu B nên a ∩ B = Như tồn b ∈ a ∩ B , b = Vì a nhóm cyclic cấp p nên b = a , điều chứng tỏ a ∈ B [p] Suy A [p] ⊆ B [p] ⊆ B nhóm hữu hạn nên A [p] hữu hạn Tiếp theo, ta chứng minh phương trình px = a có hữu hạn nghiệm A Vì hp (a) = ∞ nên tồn x ∈ A thỏa px = a Theo Mệnh đề 1.1.9 b nghiệm phương trình px = a tất nghiệm phương trình thuộc lớp ghép b + A [p] Vì A [p] hữu hạn nên b + A [p] hữu hạn Như chứng tỏ phương trình px = a có hữu hạn nghiệm A Bây giờ, gọi x1 , x2 , , xn tất nghiệm phương trình px = a A Ta chứng minh tồn xi ∈ {x1 , x2 , , xn } để hp (xi ) = ∞ Ta chứng minh phản chứng, giả sử phần tử x1 , x2 , , xn có p-độ cao hữu hạn Đặt hp (x1 ) = m1 , hp (x2 ) = m2 , , hp (xn ) = mn m = max {m1 , m2 , , mn } Do hp (a) = ∞ nên tồn x ∈ A để a = pm+2 x hay a = p.(pm+1 x) Như ta có pm+1 x ∈ {x1 , x2 , , xn } , điều mâu thuẫn với hp (xi ) < m với i = 1, n Mệnh đề 3.2.7 Cho A nhóm hữu hạn đối sinh a ∈ A [p] Nếu hp (a) = ∞ a nhúng vào hạng tử trực tiếp tựa cyclic kiểu Z(p∞ ) A Chứng minh Bằng quy nạp, ta xây dựng P nhóm tựa cyclic chứa a sau: Đặt a = a1 hp (a1 ) = ∞ Theo Bổ đề 3.2.6 tồn a2 ∈ A cho pa2 = a1 , hp (a2 ) = ∞ Hồn tồn tương tự, ta xây dựng phần tử a3 , a4 , , , thỏa h(ai ) = ∞, pai+1 = với i ∈ N∗ Khi P = a1 , a2 , p-nhóm tựa cyclic kiểu Z(p∞ ) Do P chia Theo Định lí 1.1.7 P hạng tử trực tiếp A Bổ đề 3.2.8 Cho A nhóm B, C nhóm A Nếu A = B ⊕ C A [p] = B [p] ⊕ C [p] với p số nguyên tố Chứng minh Vì A = B ⊕ C nên B ∩ C = Suy B [p] ∩ C [p] = Bây ta chứng minh A [p] = B [p] + C [p] Lấy a ∈ A [p] pa = Vì A = B ⊕ C nên tồn b ∈ B , c ∈ C để a = b + c Do pa = kéo theo pb + pc = Vì A = B ⊕ C nên pb = pc = Do b ∈ B [p] c ∈ C [p], điều chứng tỏ a ∈ B [p] + C [p] Như A [p] = B [p] + C [p] Vậy A [p] = B [p] ⊕ C [p] 26 Bổ đề 3.2.9 Cho A nhóm tựa cyclic kiểu p Nếu B nhóm thực A B nhóm cyclic hữu hạn Chứng minh Gọi c1 , c2 , c3 , , tựa sở A Vì B nhóm thực A nên tồn phần tử cn với n ∈ N∗ không thuộc B Đặt I = {n ∈ N∗ | cn ∈ / B} Chọn m0 giá trị nhỏ I Xét hai khả năng: • Nếu m0 = B = • Nếu m0 > 1, đặt n = m0 − Ta chứng minh B = cn Do cách chọn n nên cn ∈ B Do cn ⊆ B Ngược lại, lấy b ∈ B theo Mệnh đề 1.1.14 tồn k ∈ N∗ m ∈ Z, (m, p) = cho b = mck Vì (m, p) = nên (m, pk ) = Mặt khác, o(ck ) = pk nên o(b) = pk Suy b = ck Mà b ⊆ B nên ck ∈ B Nếu k > n theo Mệnh đề 1.1.14 ta có cn = pk−n ck ∈ B (vơ lí) Do k ≤ n Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.14 ta có ck = pn−k cn ∈ cn Do b = mck ∈ cn Suy B ⊆ cn Như B = cn Vậy B nhóm cyclic hữu hạn Định lý 3.2.10 Cho A nhóm Khi điều sau tương đương: 1) A nhóm hữu hạn đối sinh 2) A mở rộng thiết yếu nhóm hữu hạn 3) A tổng trực tiếp số hữu hạn nhóm cocyclic 4) Các nhóm A thỏa điều kiện tối tiểu Chứng minh Ta chứng minh 1) tương đương 2) Giả sử A nhóm hữu hạn đối sinh Gọi L hệ đối sinh hữu hạn A Theo Bổ đề 3.2.5 ta có A nhóm xoắn Như L hệ hữu hạn có phần tử có cấp hữu hạn, L nhóm hữu hạn Vậy A mở rộng thiết yếu nhóm hữu hạn Ngược lại, giả sử A mở rộng thiết yếu nhóm hữu hạn B Khi B nhóm thiết yếu A Theo Mệnh đề 3.2.2 B hệ đối sinh A Như B hệ đối sinh hữu hạn A Vậy A nhóm hữu hạn đối sinh Tiếp theo ta chứng minh 1) suy 3) Giả sử A nhóm hữu hạn đối sinh Ta chứng minh A tổng trực tiếp số hữu hạn nhóm cocyclic Theo Bổ đề 3.2.5 ta có A nhóm xoắn Khi theo Bổ đề 1.1.23 A tổng trực tiếp thành phần p-nguyên sơ Do để chứng minh 3) ta giả sử A p-nhóm Lấy a ∈ A [p] theo Hệ 2.4.2 Mệnh đề 3.2.7 cho ta kết luận 27 a nhúng vào hạng tử trực tiếp cocyclic A Như A tổng trực tiếp số hữu hạn nhóm cocyclic Bây ta chứng minh 3) suy 4) Giả sử A tổng trực tiếp số hữu hạn nhóm cocyclic Ta xem A p-nhóm chứng minh quy nạp theo p-hạng A Với rp = A ∼ = Z(pk ) với k ∈ N ∪ {∞} Giả sử có dãy a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · dây chuyền giảm nhóm thực A Nếu k hữu hạn hiển nhiên a hữu hạn Nếu k = ∞ theo Bổ đề 3.2.9 ta có a hữu hạn Như ta ln có a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · dãy dừng Giả sử nhóm hữu hạn đối sinh hạng ≤ n − thỏa điều kiện tối tiểu n r(A) = n > Ta có A = Ai với Ai ∼ = Z pki Đặt B = i=1 n Ai i=2 A = Ai ⊕ B r(B) = n − Xét dãy G1 ≥ G2 ≥ · · · ≥ Gn ≥ · · · dây chuyền giảm nhóm A, theo giả thiết quy nạp ta có G1 ∩ B ≥ G2 ∩ B ≥ · · · ≥ Gn ∩ B ≥ · · · dãy dừng, nghĩa tồn m ∈ N∗ để B ∩ Gm = B ∩ Gm+1 = · · · Áp dụng định lí đẳng cấu nhóm, với i ≥ m ta có Gi /(B ∩ Gm ) = Gi /(B ∩ Gi ) ∼ = (B + Gi )/B ≤ A/B ∼ = Z(pk ) Ta có Gm /(B ∩ Gm ) ≥ Gm+1 /(B ∩ Gm ) ≥ · · · dãy giảm nhóm A/B có A/B ∼ = Z pk thỏa điều kiện tối tiểu nên tồn s cho Gs /(B ∩ Gm ) = Gs+1 /(B ∩ Gm ) = · · · Suy Gs = Gs+1 Như dãy G1 ≥ G2 ≥ · · · ≥ Gn ≥ · · · dãy dừng Vậy nhóm A thỏa điều kiện tối tiểu Cuối ta chứng minh 4) suy 1) Giả sử A nhóm thỏa tính chất: Các nhóm A thỏa điều kiện tối tiểu Ta chứng minh A nhóm hữu hạn đối 28 sinh Trước hết ta chứng minh A nhóm xoắn Ta chứng minh phản chứng, giả sử A chứa phần tử a có cấp ∞, a ≥ 2a ≥ 4a ≥ · · · ≥ · · · dãy không thỏa điều kiện tối tiểu, điều mâu thuẫn với giả thiết Như A nhóm xoắn Theo Bổ đề 1.1.23 ta có A tổng trực tiếp thành phần p-nguyên sơ Do ta giả sử A p-nhóm Khi A [p] nhóm thiết yếu A Vì A [p] nhóm bị chặn nên theo Định lí 1.1.25 ta có A [p] tổng trực tiếp nhóm cyclic hữu hạn Vì A [p] thỏa điều kiện tối tiểu nên A [p] có hữu hạn hạng tử trực tiếp Như A [p] hữu hạn Vậy A mở rộng thiết yếu nhóm hữu hạn Hệ 3.2.11 Nhóm thương nhóm hữu hạn đối sinh hữu hạn đối sinh Mệnh đề 3.2.12 Cho S = {a1 , a2 , , an } tập hữu hạn phần tử khác nhóm A M nhóm tối đại thỏa tính chất M ∩ S = ∅ A Khi nhóm nhóm thương A/M thỏa điều kiện tối tiểu Hơn nữa, |S| = A/M nhóm cocylic Chứng minh Do cách chọn M nên nhóm A thực chứa M phải chứa số phần tử a1 , a2 , , an S Gọi B/M nhóm khác nhóm A/M Khi ta có M ≤ B ≤ A Vì B/M khác nên M B Suy tồn ak cho ak ∈ B ∩S Như ak +M ∈ B/M ∩{a1 + M, a2 + M, , an + M }, điều có nghĩa nhóm khác A/M phải chứa số phần tử a1 + M, a2 + M, , an + M Do hệ {a1 + M, a2 + M, , an + M } hệ đối sinh hữu hạn A/M Vậy A/M hữu hạn đối sinh Theo định lí 3.2.10 ta có nhóm thương A/M thỏa điều kiện tối tiểu Khi |S| = S = {a1 } Khi A/M nhóm cocyclic Mệnh đề 3.2.13 Cho A nhóm B ≤ A Khi điều sau tương đương: 1) B nhóm túy A 2) Nếu C ≤ B thỏa B/C hữu hạn đối sinh B/C hạng tử trực tiếp A/C Chứng minh Giả sử B nhóm túy A C ≤ B ≤ A thỏa B/C nhóm hữu hạn đối sinh Ta chứng minh B/C hạng tử trực tiếp A/C Theo Định lí 2.3.1 ta có B/C nhóm túy A/C Như B/C nhóm túy hữu hạn đối sinh A/C Theo Định lí 3.2.14 ta có B/C 29 hạng tử trực tiếp A/C Ngược lại, giả sử có n ∈ N b ∈ B cho n | b A n b B Gọi C nhóm B thỏa tính chất nB ≤ C nhóm tối đại B khơng chứa b Theo Mệnh đề 3.2.12 B/C nhóm cocyclic Khi B/C nhóm hữu hạn đối sinh Theo giả thiết ta có B/C hạng tử trực tiếp A/C Theo Mệnh đề 2.3.2 suy B/C nhóm túy A/C Vì b = b ∈ / C nên b + C = C Mặt khác n | b A nên tồn a ∈ A cho b = na hay tồn a ∈ A/C cho b = na Như n | b A/C Vì B/C túy A/C nên n | b B/C Suy tồn g ∈ B cho b = n(g + C) = ng + C , tức b − ng ∈ C Mặt khác B ≤ C nên ng ∈ C Suy b = b − ng + ng ∈ C , điều mâu thuẫn Vậy B nhóm túy A Vì chứng minh tương đối dài phức tạp nên ta công nhận kết sau nhóm túy Định lý 3.2.14 ([1]) Nếu B nhóm túy hữu hạn đối sinh A B hạng tử trực tiếp A Định lý 3.2.15 Cho dãy khớp ngắn α A β B C (1) Khi khẳng định sau tương đương: 1) Dãy (1) dãy khớp túy 2) Mọi nhóm cocyclic có tính chất nội xạ (1) 3) Mọi nhóm hữu hạn đối sinh có tính chất nội xạ (1) Chứng minh Ta chứng minh 1) tương đương 2) Giả sử dãy α A β B C (1) dãy khớp túy G nhóm cocyclic tùy ý Ta chứng minh G có tính chất nội xạ (1) Vì dãy (1) khớp túy nên α(A) nhóm túy B Xét biểu đồ đồng cấu A ϕ G α B β C 30 dòng khớp túy ϕ : A −→ G tồn cấu Vì ϕ tồn cấu nên A/ ker ϕ ∼ = G Vì α đơn cấu nên α(A)/α(ker ϕ) ∼ = G Mặt khác G nhóm coyclic nên G hữu hạn đối sinh, α(A)/α(ker ϕ) hữu hạn đối sinh Theo Mệnh đề 3.2.13 ta có α(A)/α(ker ϕ) hạng tử trực tiếp B/α(ker ϕ) Theo bổ đề 3.1.5 tồn đồng cấu φ để biểu đồ A α B β C ϕ φ G giao hoán Như ta chứng minh nhóm cocyclic G có tính chất nội xạ (1) Ngược lại, giả sử nhóm cocyclic G có tính chất nội xạ (1) Để chứng minh dãy (1) dãy khớp túy ta chứng minh α(A) nhóm túy B Vì G có tính chất nội xạ (1) nên biểu đồ A α B β C ϕ φ G giao hốn, ϕ tồn cấu Khi theo Bổ đề 3.1.5 ta có α(A)/α(ker ϕ) hạng tử trực tiếp B/α(ker ϕ) Mặt khác ta có G cocyclic nên G hữu hạn đối sinh Vì ϕ toàn cấu α đơn cấu nên G ∼ = α(A)/α(Ker ϕ) Do α(A)/α(ker ϕ) hữu hạn đối sinh Như α(A)/α(ker ϕ) hữu hạn đối sinh hạng tử trực tiếp B/α(ker ϕ), theo Mệnh đề 3.2.13 ta có α(Ker ϕ) nhóm túy B Vậy dãy (1) dãy khớp túy Tiếp theo ta chứng minh 2) tương đương 3) Giả sử nhóm cocyclic có tính chất nội xạ (1) Với G nhóm hữu hạn đối sinh tùy ý ta chứng minh G có tính chất nội xạ (1) Vì G nhóm hữu hạn đối sinh nên theo Định lí 3.2.10 ta có G tổng trực tiếp số hữu hạn nhóm cocyclic, tức G = G1 ⊕ G2 ⊕ · · · ⊕ Gn , Gi nhóm cocyclic Theo Bổ đề 3.1.4 ta có G có tính chất nội xạ (1) Ngược lại, nhóm hữu hạn đối sinh nhóm cocyclic nên ta có điều cần chứng minh Hệ 3.2.16 Nhóm cocyclic nhóm hữu hạn đối sinh nhóm nội xạ túy 31 3.3 Một số kết quan trọng nhóm Abel nội xạ túy Các kết nhóm Abel hữu hạn đối sinh cho phép ta rút số kết quan trọng nhóm Abel nội xạ túy Bổ đề 3.3.1 Mọi nhóm nhúng vào tích trực tiếp nhóm cocyclic nhóm túy Chứng minh Gọi {Bi }i∈I họ tất nhóm thương cocyclic A đặt Bi Khi phép chiếu tắc πi : A −→ Bi cảm sinh đồng cấu B= i∈I α : A −→ B, xác định α(a) = (πi (a))i∈I với a ∈ A Vì Bi nhóm cocylic theo Mệnh đề 3.2.12 nên α đơn cấu Bây giờ, ta chứng minh α(A) túy B Với p số nguyên tố số nguyên dương n cho trước, giả sử tồn a ∈ A cho a ∈ / pn A, ta chứng minh α(a) ∈ / pn B Gọi M nhóm nhóm A tối đại theo tính chất pn A ≤ M a ∈ / M Theo Mệnh đề 3.2.12 A/M nhóm cocyclic Hơn pn A ≤ M nên A/M ∼ = Z(pk ) với k ≤ n Mặt khác, tồn i ∈ I để A/M = Bi hp (a + M ) = k − nên α(a) ∈ pn B , điều vô lí Do a ∈ / pn B Vậy α(A) túy B Định lý 3.3.2 Nhóm Y nội xạ túy Y hạng tử trực tiếp tích trực tiếp nhóm cocyclic Chứng minh Giả sử Y hạng tử trực tiếp tích trực tiếp G = Gi i∈I Gi nhóm cocyclic Gọi πi , pi phép chiếu nhúng G xuống thành phần Gi π : G −→ Y, p : Y −→ G thỏa mãn πp = 1Y Xét biểu đồ đồng cấu A α B β C φ Y dịng khớp túy Xét tích đồng cấu A φ Y p G πi Gi Với i ∈ I , áp dụng Định lí 3.2.15 nhóm cocyclic Gi ta có biểu đồ sau 32 α A πi pφ B β C ∃ϕi Gi giao hoán, tức tồn đồng cấu ϕi : B −→ Gi cho ϕi α = πi pφ Đồng cấu ϕi cảm sinh đồng cấu ϕ : B −→ G xác định ϕ (b) = (ϕi (b))i∈I với ϕi (b) ∈ Gi Khi πi ϕ = ϕi Suy πi ϕα = ϕi α = πi pφ Suy ϕα = pφ Như φ = πϕα = πpφ Vậy ta chứng minh tồn đồng cấu πϕ : B −→ Y thỏa φ = πϕα Vậy Y nhóm nội xạ túy Ngược lại, giả sử Y nhóm nội xạ túy Theo Bổ đề 3.3.1 ta có dãy α Y β G H 0, dãy khớp túy, G tích trực tiếp nhóm cocyclic Do Y nội xạ túy nên biểu đồ sau giao hoán: Y idY α G β H ∃ϕ Y tức tồn đồng cấu ϕ : G −→ Y thỏa ϕα = idY Suy ϕα đẳng cấu Áp dụng Định lí 2.2.1 ta có G∼ = Im α ⊕ Ker β ∼ = Y ⊕ Ker β Điều chứng tỏ Y hạng tử trực tiếp G Hệ 3.3.3 Cho A nhóm Khi tồn nhóm nội xạ túy Y chứa A cho A túy Y , nghĩa tồn dãy khớp túy A Y H 0, Chứng minh Giả sử A nhóm Khi theo Bổ đề 3.3.1 ta nhúng A vào α dãy khớp túy A Y H 0, Y tổng trực tiếp nhóm cocyclic Theo Định lí 3.3.2 Y nhóm nội xạ túy 33 Kết luận Luận văn hoàn thành với số kết quan trọng sau: + Trình bày có hệ thống kết quan trọng liên quan đến nhóm Abel nội xạ túy như: nhóm túy, dãy khớp túy, nhóm Abel hữu hữu hạn đối sinh + Trình bày rõ ràng số tính chất quan trọng nhóm Abel nội xạ túy giúp nghiên cứu nhiều toán khác lý thuyết nhóm Abel 34 Tài liệu tham khảo [1] Fuchs László (1970), Infinite Abelian groups, 36-I, Academic Press, New York [2] Fuchs László (1973), Infinite Abelian groups, 36-II, Academic Press, New York [3] Fuchs László (2015), Abelian groups Springer Monographs in Mathematics [4] Nguyễn Viết Đông Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, [5] Hồng Xn Sính (1994), Đại số đại cương Nhà xuất Giáo dục [6] Gratzer G., and Schmidt, E (1961), A note on a special type of fully invariant subgroups of Abelian groups, Ann Univ Sci Budapest [7] Szele T (1953), On direct decompositions of abelian groups, J London Mafh ... Khabbaz, Nhóm nội xạ túy nhóm nội xạ dãy khớp túy nhóm Abel việc nhóm Abel nhúng vào nhóm nội xạ túy nhóm túy tính chất quan trọng giúp nghiên cứu nhiều tốn khác lý thuyết nhóm Abel Nội dung... Chương Nhóm Abel nội xạ túy 3.1 Dãy khớp túy định nghĩa nhóm Abel nội xạ túy Định nghĩa 3.1.1 Một dãy khớp ngắn A α B β C (1) gọi dãy khớp túy Im α nhóm túy B gọi p-khớp túy Im α nhóm p -thuần túy. .. Nhóm Abel nội xạ túy giới thiệu nhóm nội xạ túy, mối quan hệ nhóm nội xạ túy với tích trực tiếp nhóm cocyclic đặc biệt kết quả: Mọi nhóm Abel vào nhóm nội xạ túy nhóm túy 4 Danh mục kí hiệu Kí hiệu