Sự phân loại các vị nhóm bởi tính c nội xạ và CC nội xạ luận văn thạc sĩ

1 giáo dục đào tạo trờng đại học Vinh trần thị anh th phân loại vị nhóm tính C- nội xạ CC- nội xạ luận văn thạc sỹ toán học VINH - 2011 MC LC Trang M u Chng Kin thc chun b 1.1 Phm trự v hm t 1.2 Mụun ni x Chng S phõn loi ca cỏc v nhúm theo C- ni x 15 2.1 S phõn loi ca mt v nhúm theo tớnh cht ca cỏc iờan phi C- 15 ni x 2.2 Cu trỳc ca v nhúm S vi tớnh cht: mi S- tỏc ng u C- ni x 19 Chng S phõn loi cỏc v nhúm theo CC- ni x 26 3.1 H phng trỡnh trờn cỏc tỏc ng CC- ni x 26 3.2 S phõn loi cỏc v nhúm theo CC- ni x 30 Kt lun 36 Ti liu tham kho 37 M U Mt loi ni x mi, gi l C-ni x v CC- ni x ó c nghiờn cu Chỳng ta cú th phõn loi cỏc v nhúm bi cỏc tớnh cht ca cỏc tỏc ng C- ni x v CC- ni x Da trờn hai bi bỏo Classification of monoids by injectivities ca Xia Zhang Ulrich Knauer Yuqun Chen ng trờn semigroup Forum nm 2007 v nm 2008 , lun ny chỳng tụi trỡnh by chi tit s phõn loi ca v nhúm bi cỏc tớnh cht ca cỏc tỏc ng C- ni x v CC- ni x Lun gm chng: Chng Kin thc chun b Trỡnh by khỏi nim phm trự v mt s phm trự c th nh: Phm trự cỏc vt, phm trự cỏc nhúm, phm trự cỏc vnh v phm trự cỏc mụun Trỡnh by khỏi nim hm t hip bin v hm t phn bin cựng vi mt s hm t, c bit nh hm t quờn, hm t biu din Trỡnh by khỏi nim mụun ni x v cỏc tớnh cht ca mụun ni x Chng S phõn loi ca cỏc v nhúm theo C- ni x Trỡnh by cỏc khỏi nim ni x , F- ni x v C- ni x Trỡnh by mt s phõn loi ng iu ca mt v nhúm ca cỏc iờan phi C- ni x Trỡnh by cu trỳc ca mt v nhúm m tt c cỏc tng ng trờn nú u C- ni x bng cỏch s dng mt c trng tng ng Chng S phõn loi cỏc v nhúm theo CC- ni x Trỡnh by khỏi nim h phng trỡnh trờn cỏc tỏc ng CC- ni x v iu kin phi mõu thun ca nú Trỡnh by s phõn loi cỏc v nhúm theo tớnh cht CC- ni x v cỏc vớ d minh Lun ny c thc hin v hon thnh ti i hc Vinh Nhõn dp ny tỏc gi xin c by t lũng bit n sõu sc v kớnh trng n PGS.TS.Lờ Quc Hỏn cựng vi cỏc thy cụ giỏo t i s ó to iu kin giỳp tỏc gi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny Mc du ó rt c gng, song lun khụng th trỏnh nhng thiu sút, tụi rt mong nhn c nhng ng gúp quý bỏu ca cỏc Thy,cỏc Cụ v cỏc bn Tụi xin chõn thnh cm n! Vinh, thỏng 12 nm 2011 KT LUN Trong lun ny chỳng tụi ó thc hin c cỏc vic sau õy: H thng húa cỏc khỏi nim v tớnh cht c bn ca phm trự v hm t, ca mụun ni x Trỡnh by s phõn loi ca mt v nhúm theo tớnh cht ca cỏc iờan phi C- ni x (nh lý 2.1.8) Trỡnh by cu trỳc ca mt v nhúm S m tt c cỏc tỏc ng trờn nú u C- ni x bng cỏch s dng mt c trng tng ng (nh lý 2.2.4, H qu 2.2.6) Trỡnh by s phõn loi cỏc v nhúm theo tớnh cht ca tỏc ng CC- ni x (nh lý 3.2.2, H qu 3.2.3, nh lý 3.2.6) Trỡnh by mt s lp tỏc ng xung quanh cỏc tỏc ng ni x (Vớ d 3.2.4, Vớ d 3.2.5, Vớ d 3.2.8) TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] A.H Clipht v G.B Prestn (1976), Lý thuyt na nhúm, Bn dch ca Trn Vn Ho v Hong K, NXB H & THCN, H Ni [2] Lờ Quc Hỏn (2009), Giỏo trỡnh Lý thuyt na nhúm v Lý thuyt, i hc Vinh [3] Ngụ S Tựng, Lý thuyt phm trự, Trng i hc Vinh Ting Anh [4] J.Ahsan, Z.K.Liu (1987), On relatively injective and weakly injective S-acts, Southeast Asian Bull Math, 21, 249 256 [5] Y.Q.Chen, K.P.Shum (1999), Projective and indecomposable S-acts, Sci.Chine Ser A 42 , 593 599 [6] M.Kilp, U.Knauer , A.Mikhalev, (2000), Monoid, Acts and categories, with Applications to wreath Products and graphs, de Gruyte, Berlin [7] U.Knauer, (1972), Projectivily of acts and Morita equivalence of monoids, Semi group Forum, 3, 359 370 [8] P.Normak, (1980), Purity in category of M-sets, Semigroup Forum, 20, 157 170 [9] X.Zang, U.Knauer, Y.Chen, (2008), Classification of monoids by injectivities I, C injectivity , Semigroup Forum, 76, 169-176 [10] X.Zang, U.Knauer, Y.Chen, (2008), Classification of monoids by injectivities II, CC injectivity , Semigroup Forum, 76, 177-184 CHNG KIN THC CHUN B 1.1 PHM TR V HM T Ta ó gp cỏc i tng khỏc nhau: hp, na nhúm, v nhúm, nhúm Ta s gp nhiu i tng khỏc na v i vi mi loi i tng ú, ta s xỏc nh mt loi c bit cỏc ỏnh x gia chỳng (chng hn cỏc ng cu) Mt s tớnh cht hỡnh thc l chung ca cỏc i tng lờn chớnh nú v tớnh cht kt hp ca cỏc ỏnh x thc hin liờn tip Ta a v khỏi nim phm trự cho mt s mụ t tru tng, tng quỏt cỏc trng hp ú 1.1.1 nh ngha Mt phm trự bao gm nú cỏc lp vt Ob () i vi vt tựy ý A,B Ob (), Mor (A,B) gi l cỏc cu x t A n B; i vi ba vt bt k A,B,C Ob () mt lut hp thnh (tc l ỏnh x): Mor (B,C) x Mor (A,B) Mor (A,B) ng thi cỏc tiờn sau phi tha món: PT1 Hai hp Mor(A,B) v Mor(A,B) khụng giao nhau, tr trng hp A = A v B = B, trng hp ú chỳng bng PT2 i vi mi vt A Ob() cú mt cu x id AMor(A,B) m i vi mi vt B Ob(), nú cú tỏc dng bờn trỏi v bờn phi lờn cỏc phn t thuc Mor(B,A) v Mor(A,B) tng ng mt cỏch ng nht PT3 Lut hp thnh cú tớnh kt hp (trong trng hp nú xỏc nh), ngha l nu f Mor(A,B), g Mor(B,C) v h Mor(C,D) thỡ: (h0g)0f = h0(g0f) i vi cỏc vt A, B, C, D bt k thuc 1.1.2 Chỳ ý Lp tt c cỏc cu x ca phm trự s c ký hiu l Ar() ụi khi, ta s dựng cỏch vit fAr() biu th f l mt cu x no ú ca , ngha l mt phn t thuc mt Mor(A,B) no ú, ú A,B Ob() Ta cng s gi chớnh thc lp cỏc vt l phm trự, trng hp m ta ó hiu rừ rng cỏc cu x ca phm trự ú l i tng no ri f B Phn t f Mor(A,B) cng c vit di dng f: A B hoc A Cu x f c gi l ng cu, nu tn ti cu x g: B A cho g 0f = id A v f 0g = id B Nu A = B thỡ cng gi l t ng cu Cỏc cu x t vt A n chớnh nú c gi l t ng cu Tp cỏc t ng cu ca vt A c ký hiu l End(A) T cỏc tiờn trờn suy End(A) l mt v nhúm Gi s A Ob() Ký hiu Aut(A) l cỏc t ng cu ca A Khi ú Aut(A) cựng vi phộp hp thnh cu x l mt nhúm 1.1.3 Vớ d a Gi s S l mt phm trự m cỏc vt l cỏc v cỏc cu x l cỏc ỏnh x ca cỏc Khi ú S c gi l phm trự cỏc Ba tiờn P1, P2, P3 c tha mt cỏch tm thng b Gi s Grp l phm trự cỏc nhúm, ngha l phm trự m cỏc vt l cỏc nhúm cũn cu x l cỏc ng cu nhúm Ba tiờn v phm trự c tha Tng t, ta cú phm trự cỏc v nhúm c ký hiu l Mon; phm trự cỏc nhúm Aben c ký hiu l Ab c Ngoi cũn cú cỏc phm trự khỏc nh phm trự cỏc vnh c ký hiu l Ring, phm trự cỏc R- mụun - c ký hiu l RMOD, phm trự cỏc mụ un c ký hiu l MOD, 1.1.4 Chỳ ý Gi s l mt phm trự Ta cú th ly cỏc cu x thuc lm vt thuc phm trự mi Nu f: A B v g: AB l hai cu x ca (do ú l cỏc vt thuc ), thỡ ta nh ngha cu x f f (trong ) l cp cu x (,) cho biu giao hoỏn ngha l 0f = g0 A B f g Rừ rng l mt phm trự A B Cng nh trng hp ỏnh x ca cỏc tp, nờn trang b cho () bng cỏc ch s ca f v f, nhng thc hnh ta b vic ch s húa ú i V ti ny, cú nhiu cỏch trỡnh by Chng hn ta cú th trung chỳ ý vo cỏc cu x ca m vt xut phỏt l c nh, hoc vo cỏc cu x m vt cui l c nh Chng hn, gi s A l mt vt no ú ca v gi s A l phm trự m vt l cỏc cu x f: X A ca ú A l vt cui Cu x A t f: X A n g: Y A l cu x h: X Y ca cho biu sau l giao hoỏn X h f Y g A ngha l h0f = g 1.1.5 nh ngha Gi s l mt phm trự no ú Vt P Ob(C) c gi l vt u hay vt y ph dng nu vi mi vt X tựy ý thuc C, Mor(P,X) cú ỳng mt phn t Vt P Ob() c gi l vt cui cựng hay vt kộo ph dng nu vi mi X Ob(), Mor(P,X) cú ỳng mt phn t Vt u hay vt cui cựng ca mt phm trự c gi chung l vt ph dng Chỳ ý rng vỡ vt ph dng cú cu x ng nht vo chớnh nú, nờn nu P, P l vt ph dng thuc thỡ gia chỳng tn ti mt ng cu xỏc nh nht 1.1.6 Vớ d 10 Gi s f: S F l ỏnh x t S vo mt nhúm F no ú, g: S G l mt ỏnh x khỏc nh th Nu f(S) sinh F, thỡ tn ti nhiu nht mt ng cu t nhúm F vo nhúm G sau cho biu giao hoỏn h S F g G Bõy gi ta xột phm trự m cỏc vt l cỏc ỏnh x t S vo cỏc nhúm Nu f: S G v f: S G l cỏc vt thuc phm trự y, thỡ ta hiu cu x t f n f l ng cu : G G cho f = f, ngha l cỏc biu sau õy giao hoỏn S f G f G Gi (F,f) l nhúm t trờn S Th thỡ (F,f) chớnh l vt u ca phm trự C Bõy gi, ta chuyn sang khỏi nim hm t 1.1.7 nh ngha Gi s , l cỏc phm trự Hm t hip bin F t A vo B l mt quy tc t mi vt A Ob() ng vi mi vt F(A) no ú thuc v mi cu x f: A B ng vi mt cu x F(f): F(A) F(B) cho cỏc iu kin sau õy c tha: HT1 i vi mi A Ob(), cú F(idA) = idF(A) HT1 i vi f: A B, g: B C l hai cu x thuc thỡ: f(g0f) = F(g)0F(f) Khỏi nim hm t phn bin cng c nh ngha tng t, ch khỏc l i vi mt cu x f: A B thuc thỡ F(f): F(B) F(A) cho nu f: A B, g: B C thỡ F(g0f) = F(f)0F(g) 30 chỳng ta gi thit rng [ 1] K Nu [0]à=[e]à K thỡ q = b Nu [ e ] [ 0] K th thỡ q = b nu [0]=[e] v q = nu [ e ] [ 0] ( ) ( ) Nu [ 1] K thỡ q = [ 1] = [ 1] hoc q = e [ 1] = e Kim tra trc tip c rng nu (s,t)R(K, à, , q)t, s, t S th thỡ (s,t),nu q = 1, v qs = qt nu q = e hoc q= b Do ú cỏc phn t c bit kờ trờn tha cỏc iu kin ca 2.2.4(7).Nh vy S l mt v nhúm m mi S tỏc ng u l C ni x T s tng ng ca (5) v (7) nh lý 2.2.4, trc tip suy 2.2.6.H qu Gi s S l mt v nhúm v l mt tng ng phi trờn S Khi ú cỏc iu kin sau õy l tng ng: S- tỏc ng xyclic S/ ni x S cú mt zero trỏi v i vi mi ng cu f Hom( K , S / ) ,tn ti mt phn t q S cho f ([m]à ) = [q] m vi mi [m] K , v (s,t) R( K, à, , q) , s, tS kộo theo (qs, qt) 2.2.7 nh ngha Gi s K l mt iờan ca v nhúm S Ta nh ngha quan h ( k, q) cho bi (s,t) (k , q) K s = K t v qsu= qtu vi mi u K s , ú qS v K s = { u S : su K } 2.2.8 Mnh Mt v nhúm S l t- ni x phi nu v ch nu S cha mt zero trỏi v i vi mi iờan phi K ca S, v mi ng cu f Hom (Ks, Ss) tn ti mt phn t q S cho f(m)= qm vi mi m K, v(s,t) (k,q), s, t S kộo theo qs= qt Chng minh iu kin cn Gi thit rng S l ni x phi Th thỡ S- tỏc ng xyclic S/ l ni x, ú l tng ng ng nht ca S Do ú S tha 31 k(2) ca h qu 2.2.6, trng hp riờng i vi = Chỳ ý rng K = K v R(K, , , q) = (k, q) i vi mi iờan phi K ca phn t q ca S, ú ta nhn c iu kin cn iu kin Gi thit rng cỏc iu kin c tha Chỳng ta chng minh rng S tha k(2) H qu 2.16 vi = Trong trng hp ú, chỳng ta ng nht S/ vi S Gi s l mt tng ng phi trờn S, K l mt iờan phi ca S v f Hom( K , S / ) t K ' = {m S :[m] K } Th thỡ K l mt iờan phi ca S Xỏc nh f ' : K ' S bi f(m)=f([m] ), m K ' Th thỡ fHom( K 's , S ).Theo gi thit, tn ti qS cho f(m)= qm vi mi m K Do ú: f( [m] )=f(m)=qm vi mi [m] K Bõy gi gi thit rng (s,t) R(K, , , q); s, t S Ta cn chng minh (s,t) (K,q) Trc ht, i vi mi a Ks cú saK v ú [sa] K theo nh ngha cua K Do ú a K(s, ) Vỡ (s,t) R( K , , , q) nờn K ( s, ) = K (t , ) ,v t ú [ta '] K Do ú taK v aKt Th thỡ K s K t Do tớnh i xng, cú K t K s nờn t ú K s =K t Bõy gi, i vi mi a K 's , vỡ aK(s, ) v (s,t) R( K , , , q) nờn (qsa,qsa) Do ú qsa=qta Nh vy, ( s, t ) ( K ', q) nờn theo gi thit, cú qs= qt Do ú S / ni x theo H qu 2.1.6, ngha l S t ni x phi 2.1.9.Chỳ ý Nm 1964 ,B.L.Osofsky ó chng minh c rng : i vi mt vnh R cú n v, mi R- mụun ni x nu v ch nu mi R- moun xyclic ni x Nm 1972, C.S.Jr.Johson v F.R.McMorris ó chng minh c rng cỏc khỏi nim ni x v xyclic ni x khụng trựng i vi cỏc S- tỏc 32 ng bng c trng na dn S vi n v m mi S- tỏc ng xyclic ni x mc dự khụng phi mi S- tỏc ng ni x CHNG S PHN LOI CC V NHểM THEO CC- NI X Trong chng chỳng ta ó mụ t cỏc na nhúm bi cỏc tớnh cht ca cỏc tỏc ng C- ni x Chng ny tip tc phõn loi cỏc v nhúm bi cỏc tỏc ng CC- ni x ca chỳng.Cỏc thut ng v ký hiu chng tip tc c s dng 3.1 Hệ phơng trình tác động CC-nội xạ 3.1.1 nh ngha Mt S- tỏc ng A c gi l CC- ni x nu nú ni x liờn quan n tt c cỏc phộp nhỳng ca cỏc tỏc ng xyclic abS aS vo S- tỏc ng aS i vi a,ab l cỏc phn t sinh ca tỏc ng xyclic aS v abS tng ng T nh ngha suy ra: 3.1.2 H qu i) Nu A l S-tỏc ng C-ni x thỡ A l S- tỏc ng CC- ni x ii) Nu A l S-tỏc ng CC-ni x thỡ A l S- tỏc ng PW- ni x Ta cú s : C-ni x CC- ni x PW- ni x 3.1.3 nh ngha Gi s A l mt S- tỏc ng Th thỡ cỏc phng trỡnh cú dng sau õy: xs= xt, xs=yt, xs=a ú: s, ts, aA v x, y l cỏc bin c gi l cỏc phng trỡnh trờn A Mt h cỏc phng trỡnh trờn A c gi l phi mõu thun nu cú mt nghim mt S - tỏc ng B no ú cha A 33 3.1.4 nh ngha Gi s = l mt h cỏc phng trỡnh trờn mt Stỏc ng A, ú ={xs=xt (s,t)H, HSxS} 2= {xs= a (s, a)K, KSxA} Th thỡ h c gi l mt h dng * trờn A nu cha khụng quỏ mt phng trỡnh T nh ngha trc tip suy cỏc kt qu sau: 3.1.5 H qu Gi s ={xs=xt (s, t)H, H SxS}l mt h phng trỡnh trờn mt S- tỏc ng A v A l mt nghim ca Gi s = ( H ) l mt tng ng phi trờn S c sinh bi H Th thỡ tn ti mt ng cu Hom ( S / , A ) c xỏc nh bi: ([s] )=as, sS 3.1.6 H qu Gi s H SxS v = ( H ) l mt tng ng phi trờn S c sinh bi H Nu Hom( S / , As ) th thỡ ([1] ) l mt nghim ca h phng trỡnh ={xs=xt (s, t)H} 3.1.7 B Nu mi h phi mõu thun dng * cỏc phng trỡnh trờn mt Stỏc ng A cú nghim thỡ A cú mt zero Chng minh Chỳ ý rng bao ni x ca A cú mt phn t zero v rừ rng l mt nghim ca phng trỡnh: ={xs=xsS}.Nh vy cú mt nghim a A theo gi thit, ngha l a l mt zero A 3.1.8.Mnh Gi s B l mt S-tỏc ng v A l mt tỏc ng ca B Th thỡ cỏc iu kin sau õy l tng ng (1) Mi h phng trỡnh dng * trờn A cú nghim B s cú nghim A (2) i vi mi S- tỏc ng M, mi ng cu Hom(M, B) v mi L M vi L cho (L) A, tn ti mt ng cu Hom(M, A) tha (l) = (l), l L 34 Chng minh (1) (2) Gi s M l mt S- tỏc ng xyclic v Hom(M,B) Chỳng ta gi thit rng M= S , ú = ( H ) l mt tng ng phi trờn S sinh bi H ca SxS Gi thiờt rng l= [k] L, kS v (l) = ([k] )= a A t = {xs=xt (s, t)H} Th thỡ theo h qu 3.1.6 ([1] ) l mt nghim ca B t = {xk=a} Th thỡ: a= ([k] )=([1] k)=([1] )k kộo theo ([1] ) l mt nghim ca B Do ú ([1] ) l mt nghim ca = B Theo gi thit, cú mt nghim c A Theo h qu 3.1.5, tn ti mt ng cu : MA xỏc nh bi: ([1] )= cs, s S Hn na, (l)= ([k] )=.ck=a=(l) Nu L= thỡ tn ti d A cho d l mt nghim ca vỡ ([1] ) l mt nghim ca B theo H qu 3.1.6 Li theo H qu 3.1.5, chỳng ta nhn c : MA xỏc nh bi ([s] )= ds, sS l mt ng cu (2)(1) Gi s = U , ú = {xs = xt : (s, t ) H , H S ì S} = {xk = a : (k , a ) K , K S ì A, K 1} Khi ú l mt h nghim dng * trờn A v b B l mt nghim ca B Gi s M = S l mt S- tỏc ng xyclic, ú l tng ng phi trờn S sinh bi H.Th thỡ : MB xỏc nh bi: ([s] )= bs, sS l mt ng cu theo H qu 3.1.5, v ([k] )= bk = a A 35 Theo (2), tn ti Hom (M, A) cho ([k] )=([k] )=a Do ú ([1] ) l mt nghim ca A 3.1.9 nh lý.Gi s A l mt S- tỏc ng Khi ú hai iu kin sau õy l tng (i) Mi h phng trỡnh phi mõu thun dng * trờn A cú nghim A (ii) A l CC- ni x v A cú zero Chng minh: (i)(ii) Theo B 3.1.7, A cú zero Gi s M l mt Stỏc ng xyclic, N M l mt tỏc ng xyclic v Hom(N, A) Gi s i: AE(A) l ng cu nhỳng ca A vo bao ni x Th thỡ tn ti mt ng cu Hom(M, E(A)) cho N= Gi thit rng N= nS, nN Th thỡ (n) = (n)A Do ú theo Mnh 3.1.8 tn ti Hom(M, A) cho (n)= (n) T ú N= , v ú A l CC- ni x (ii)(i) Gi s A l mt tỏc ng CC- ni x ca mt S- tỏc ng B Gi s M=S/ , ú l mt tng ng trờn S, Hom(M, B) v LM vi L cho (L) A Gi thit rng L= Gi s a A l mt zero A Th thỡ: :MA xỏc nh bi: ([s])= a, s S l mt ng cu Bõy gi gi thit rng L={[l]}, l S Th thỡ [l]S l mt tỏc ng ca M.Vỡ S cú th c xột nh mt ng cu t [l] S vo A, v A l [l] CC- ni x theo gi thit, nờn tn ti Hom(M, A) cho [l]S = [l]S Do ú ([l] )= ([l]) T Mnh 3.1.8 suy mi h phng trỡnh dng * trờn A cú nghim B s gii c A 36 3.1.10.Chỳ ý Mt S- tỏc ng CC- ni x khụng nht thit cha zero Xem vớ d 3.2.4 phn tip theo 3.2 S PHN LOI CC V NHểM THEO CC- NI X 3.2.1.nh ngha Mt ly ng e S c gi l c bit phi nu i vi mi tng ng phi tựy ý trờn S tn ti phõn t kS cho: (ke) e uv vi u, v S kộo theo (ku) (kv) 3.2.2 nh lý i vi mt v nhúm S, cỏc iu kin sau tng ng: (1) Mi S- tỏc ng l CC- ni x v S cú zero trỏi (2) i vi mi S- tỏc ng A tựy ý, h phng trỡnh phi mõu thun dng * trờn A cú mt nghim A (3) S cú mt zero trỏi, v i vi mi tng ng phi trờn S, mi iờan chớnh phi I ca S, tn ti a I cho uv, u,v S kộo (au) (av) v (ax)x vi mi x I (4) S cú mt zero trỏi v mi iờan chớnh phi ca S c sinh bi mt ly ng c bit Chng minh.(1) (2) Suy t nh lý 3.1.9 v B 3.1.7 (2) (4) S cú zero trỏi theo b 3.1.7 Gi s I l mt iờan phi chớnh ca S Theo nh lý 3.1.9, I l CC ni x v ú tn ti Hom ( S,I ) , cho |I = 1I , ú 1I l ỏnh x ng nht trờn I t ( 1) = e I Th thỡ e2 = e v I = eS Chỳng ta s chng t rng e l ly ng c bit phi 37 Gi s l tng ng phi tựy ý trờn S m tng ng ny c sinh ( ) bi H, i l phộp nhỳng ca I vo bao ni x E I , ú { ( } ( )) I = [ x ] S / :x I Th thỡ tn ti g Hom S / ,E I { l m rng i } t: = { xs = xt | ( s, t ) H} xe = [ e ] ( ) Th thỡ l mt h phng trỡnh dng * trờn I , v g [ 1] l mt ( ) nghim ca E I vỡ vi mi ( s, t ) H, [ s ] = [ t ] kộo theo ( ) ( ) ( ) ( ) ( g ( [ 1] ) e = g ( [ 1] e ) = g ( [ e ] ) = [ e ] ) ( ) g [ 1] s = g [ 1] s = g [ s ] = g [ t ] = g [ 1] t = g [ 1] t v Theo gi thit, cú mt nghim I , c xỏc nh bi [a] , a I Do ú [a]e = [e] kộo theo rng (ae)e Hn na, nu uv, u, v S thỡ hoc u=v hoc tn ti cỏc phn t t1, , tn, c1,,cn, d1,,dn S cho u1 = c1t1, d1t1 = c2t2, , dntn = v, ú hoc (ci , di) H hoc (di ,ci )H vi i = 1,2,,n Khi ú: [ au ] = [ a ] u = [ a ] ( c1t1 ) = ( [ a ] c1 ) t1 = ( [ a ] d1 ) t1 = [ a ] ( d1t1 ) = [ a ] ( c 2t ) = ( [ a] c ) t = ( [ a] d ) t 2 2 = = [ a ] ( d n t n ) = [ a ] v = [ av ] t ú (au) (av) (4) (3) Gi s I l mt iờan chớnh phi tựy ý ca S Th thỡ theo (4), I c sinh bi mt ly ng c bit phi e I v tn ti mt phn t a I cho i vi mi tng ng phi trờn S, (ae)e v uv, u, v S kộo 38 theo (au)(av) Hn na i vi mi x I, x = es, s S Vỡ (ae)e kộo theo ax=(aes)(es) = x Do ú nhn c (3) (3) (1) Gi s A l mt S tỏc ng, C l mt tỏc ng xyclic ca mt S tỏc ng xyclic C, v f Hom (C,A) Chỳng ta cú th gi thit rng C' = S / , ú l tng ng phi trờn S v C = [c] S, vi cS no ú t I = cS Th thỡ I = C Theo (4), tn ti mt phn t aI cho uv, u,vS kộo theo (au)(av) v (ax)x vi mi x I T ú C=[a]S v ỏnh x ( ) g: CC cho bi: g [ s ] = [ a ] s, s S l mt cỏi co rỳt Do ú A l CC ni x 3.2.3 H qu 10 i vi mt v nhúm S, cỏc iu kin sau õy l tng ng (1) Mi S tỏc ng l CC ni x (2) Mi S tỏc ng xyclic l CC ni x (3) i vi mi tng ng phi trờn mi S, mi iờan chớnh phi I ca S, tn ti aI cho uv, u,vS kộo theo (au)(av) v (ax)x vi mi x S (4) Mi iờan chớnh phi ca S c sinh bi mt ly ng c bit phi Chng minh (1) (2) v (1) (3) (4) l rừ rng (2) (4) Gi thit rng mi S tỏc ng xyclic l CC ni x Th thỡ i vi iờan chớnh phi I tựy ý ca S, I = eS vi ly ng e S no ú i vi tng ng phi tựy ý trờn S, vỡ I l CC ni x nờn tn ti ( ) g Hom S / ,I cho g ( ) I = 1I , ú 1I l ỏnh x ng nht trờn I Do ú g [ 1] = [ k ] vi k eS no ú Nu (u,v) thỡ: 39 [ ku ] = [ k ] u = g ( [ 1] ) u = g ( [ u ] ) = g ( [ v ] ) = g ( [ 1] ) v = [ k ] v = [ kv ] ( ) ( ) ( ) Do ú (ku,kv) Hn na [ k ] e = g [ 1] e = g [ e ] = 1I [ e ] = [ e ] Vớ d sau õy chng t rng tớnh CC ni x khụng kộo theo tớnh C ni x, FW ni x v W ni x 3.2.4.Vớ d Gi s S l mt v nhúm Clipht Th thỡ mi iờan chớnh phi ca S c sinh bi mt ly ng Vỡ mi ly ng ca S l trung tõm (eE(S) l ly ng trung tõm nu e2=e v xey=xy,x,yS) nờn mi ly ng ca S l ly ng c bit phi v ú mi S tỏc ng l CC ni x Nu S khụng cha zero thỡ S khụng C ni x theo Mnh 2.1.5 (i) Nu S cha mt iờan phi hu hn sinh m nú khụng phi l iờan chớnh th thỡ nú khụng phi l PW ni x (theo [5]) v t ú khụng W ni x Vớ d sau chng t rng tớnh W ni x (FW ni x hay PW ni x) khụng kộo theo tớnh CC ni x 3.2.5.Vớ d Gi s S l mt na nhúm vi bng nhõn.Khi ú S l mt v nhúm iờan phi chớnh chớnh a b quy v ú mi S tỏc ng l Wni x ([2]) Xột c d tng ng phi = (b,d) trờn S, vi sinh l a a a a a a b c d a c c a b c d b a c c c b c d d b c d {(b,d)} , v iờan phi as={a,c} Theo bng nhõn cú ab = a = cb, ad = c = cd Tuy nhiờn (a,c) , v a,c khụng phi l cỏc ly ng phi v ú tn ti mt S tỏc ng khụng phi l CC ni x theo H qu 3.2.3 Hn na, vỡ mt S tỏc ng W ni x l FW ni x v PW ni x nờn tớnh FW ni x (hay PW ni x) khụng kộo theo tớnh CC ni x Thc tỏc ng xyclic [a] S ca S tỏc ng xyclic S/ khụng ni x, vỡ i vi ỏnh x ng nht [a]S khụng tn ti mt ng cu t S/ n [a]S l m rng ca 1[a]S 40 Chỳng ta nhn c biu sau 41 Ni x F Ni x C Ni x W ni x CC Ni x FW ni x PW Ni x Mt s lp tỏc ng xung quanh cỏc tỏc ng ni x nh lý sau õy a cỏc iu kin m i vi chỳng tt c S tỏc ng l CCni x kộo theo mi S tỏc ng l C ni x, v tr li cõu hi no mi S tỏc ng l C ni x mt trng hp c bit 3.2.6 nh lý Nu mi S tỏc ng xyclic cú bao ni x xyclic thỡ cỏc iu kin sau õy tng ng (1) Mi S tỏc ng l C ni x (2) Mi S tỏc ng l CC ni x (3) i vi mi tng ng phi trờn S, mi iờan phi chớnh I ca S, tn ti aI cho uv, u, v S kộo theo (au)(av) v (ax)x vi mi x I (4) Mi iờan chớnh phi ca S c sinh bi mt ly ng c bit phi Chng minh (1) (2) (3) v (3) (4) l rừ rng (3) (1) Gi s A l mt S tỏc ng xyclic v E(A) l mt bao ni x xyclic Chỳng ta cú th gi thit rng E(A) = S/ i vi tng ng phi 42 no ú trờn S v A = I , ú I l iờan chớnh phi ca S Th thỡ tn ti mt phn t aI tha cỏc iu kin (3) Xỏc nh g: E(A) A bi ( ) g [ s ] = [ as ] , s S Vỡ [u] = [v] kộo theo [au] = [av] nờn g l ỏnh x Hn na, vi mi ( ) ( ) [x]A, xI, cú g [ x ] = [ ax ] = [ x ] = 1A [ x ] nờn g|A= 1A , ú 1A l ỏnh x ng nht trờn A Do ú A l ni x vỡ E(A) ni x Theo nh lý 2.2.4 ( Mi S tỏc ng l C ni x nu v ch nu mi tỏc ng xyclic l ni x), chỳng ta nhn c (1) 3.2.7.Chỳ ý Rừ rng bao ni x ca mt S tỏc ng ni x A trựng vi A Theo chng minh trc, tn ti mt v nhúm m tt c cỏc S tỏc ng xyclic l ni x, suy tn ti mt v nhúm S m mi S tỏc ng xyclic ca nú cú bao ni x xyclic Chỳng ta ó bit rng mt S tỏc ng vi zero l ni x nu v ch nu nú ni x tng i i vi mi bao hm cỏc tỏc ng xyclic Tuy nhiờn, vớ d sau õy chng t rng iu ú khụng ỳng tỡnh ca tớnh C ni x, ngha l mt S tỏc ng vi zero l CC ni x nhng khụng kộo theo nú l C ni x 3.2.8 Vớ d Gi s K = {e, f} l mt na nhúm zero trỏi v S = K Th thỡ mi S tỏc ng cha mt zero Rừ rng mi phn t ca S l c bit phi Do ú theo H qu 3.2.3, mi S tỏc ng cha zero l CC ni x Bõy gi chỳng ta xột iờan phi K = {e, f} v tng ng ng nht ca S Th thỡ : K S / xỏc nh bi ( [ e] ) = [ f ] , ( [ f ] ) = [ e ] l mt ng cu, ú K = { [ e ] , [ f ] } Hn na khụng tn ti q S tha 43 ( ) ( ) [ e ] = [ q ] e v [ f ] = [ q ] f Nh vy theo [5] nh lý 2.2.4, tn ti mt S tỏc ng khụng phi l C ni x Do ú cú th tỡm c mt S tỏc ng vi zero l CC ni x nhng khụng phi l C ni x KT LUN Trong lun ny chỳng tụi ó thc hin c cỏc vic sau õy: H thng húa cỏc khỏi nim v tớnh cht c bn ca phm trự v hm t, ca mụun ni x Trỡnh by s phõn loi ca mt v nhúm theo tớnh cht ca cỏc iờan phi C- ni x (nh lý 2.1.8) Mụ t cu trỳc ca mt v nhúm S m tt c cỏc tỏc ng trờn nú u Cni x bng cỏch s dng mt c trng tng ng (nh lý 2.2.4, H qu 2.2.6) Trỡnh by s phõn loi cỏc v nhúm theo tớnh cht ca tỏc ng CC- ni x (nh lý 3.2.2, H qu 3.2.3, nh lý 3.2.6) 10.Trỡnh by mt s lp tỏc ng xung quanh cỏc tỏc ng ni x (Vớ d 3.2.4, Vớ d 3.2.5, Vớ d 3.2.8) 44 TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] A.H Clipht v G.B Prestn (1976), Lý thuyt na nhúm, Bn dch ca Trn Vn Ho v Hong K, NXB H & THCN, H Ni [2] Lờ Quc Hỏn (2009), Giỏo trỡnh Lý thuyt na nhúm v Lý thuyt, i hc Vinh [3] Ngụ S Tựng, Lý thuyt phm trự, i hc Vinh Ting Anh [4] J.Ahsan, Z.K.Liu (1987), On relatively injective and weakly injective S-acts, Southeast Asian Bull Math, 21, 249 256 [5] Y.Q.Chen, K.P.Shum (1999), Projective and indecomposable S-acts, Chine Ser A 42 , 593 599 [6] M.Kilp, U.Knauer , A.Mikhalev, (2000), Monoid, Acts and categories, with Applications to wreath Products and graphs, de Gruyte, Berlin [7] U.Knauer, (1972), Projectivily of acts and Morita equivalence of monoids, Semi group Forum, 3, 359 370 [8] P.Normak, (1980), purity in category of M-sets, Semigroup Forum, 20, 157 170 [9] X.Zang, U.Knauer, Y.Chen, (2008), Classification of monoids by injectivities I, C injectivity , Semigroup Forum, 76, 169-176 [10] X.Zang, U.Knauer, Y.Chen, (2008), Classification of monoids by injectivities II, CC injectivity , Semigroup Forum, 76, 177-184 [...]... minh c rng c c khỏi nim ni x v xyclic ni x khụng trựng nhau i vi c c S- t c 32 ng bng c trng na dn S vi n v m mi S- t c ng xyclic ni x mc dự khụng phi mi S- t c ng ni x CHNG 3 S PHN LOI CC V NHểM THEO CC- NI X Trong chng 2 chỳng ta ó mụ t c c na nhúm bi c c tớnh cht ca c c t c ng C- ni x Chng ny tip tc phõn loi c c v nhúm bi c c t c ng CC- ni x ca chỳng .C c thut ng v ký hiu trong chng 2 vn tip tc c s... phơng trình trên c c t c động CC -nội xạ 3.1.1 nh ngha Mt S- t c ng A c gi l CC- ni x nu nú ni x liờn quan n tt c c c phộp nhỳng ca c c t c ng con xyclic abS aS vo S- t c ng aS i vi a,ab l c c phn t sinh ca t c ng xyclic aS v abS tng ng T nh ngha suy ra: 3.1.2 H qu i) Nu A l S-t c ng C- ni x thỡ A l S- t c ng CC- ni x ii) Nu A l S-t c ng CC- ni x thỡ A l S- t c ng PW- ni x Ta c s : C- ni x CC- ni x PW- ni... ni x chớnh quy T ú nhn c c c kt qu sau 2.1.5 Mnh (i) Mi S- t c ng C- ni x cha mt zero (ii)Mi S- t c ng C- ni x l ni x Vỡ mi S- ni x phõn tớch c mt c ch duy nht thnh mt i tớch, m chỳng l hp ri ca c c t c ng con khụng phõn tớch c ca nú nờn ta nhn c kt qu sau 2.1.6 H qu Mt S- t c ng A l C- ni x nu v ch nu A cha mt zero, v i vi t c ng con xyclic tựy ý K ca mt S- t c ng khụng phõn tớch c bt k T,mt ng cu... sao cho f(x) = j(x), x M Hin nhiờn E cng l mụun ni x Vy nh lý 1.2.12 c th phỏt biu li di dng hay c s dng nh sau Phỏt biu li nh lý 1.2.12 Mi R- mụun luụn c ớt nht mt m rng ni x CHNG 2 S PHN LOI CA CC V NHểM THEO C- NI X 2.1 Sự phân loại c a một vị nhóm theo tính chất c a c c iđêan phải C- nội xạ Trc ht, xin nhc li mt s khỏi nim v kt qu c bn liờn quan n t c ng trờn mt v nhúm énh ngha t c ng: Mt S-t c. .. ú Zg l nhúm cng c c s nguyờn Z v Q g l nhúm cng c c s hu t Q vi mi g G Núi c ch kh c F l nhúm Abel t do trờn tp G v c th xem F nh l mt nhúm con ca F Khi ú tn ti mt ton cu nhúm f: F G, tc G F/K, trong ú K=Ker f T õy suy ra G ng cu vi mt nhúm con ca nhúm F/K Do nhúm cng c c s hu t Q l chia c nờn F/K l chia c Vy theo H qu 1.2.11 nhúm Abel G ng cu vi mt nhúm con ca nhúm Abel ni x F/K 19 Cho G l mt... S-t c động đều C- nội xạ Sau õy chỳng tụi trỡnh by cu tr c ca mt v nhúm S m tt c c c t c ng trờn nú u C- ni x bng c ch s dng mt c trng ca tng ng 2.2.1 Ký hiu Gi s K l mt iờan phi ca v nhúm S, s l mt phn t ca S v à l mt tng ng phi trờn S Tp { } Kà = [ k ] à S /à | k K v { K ( s, à ) = a S | [ sa ] à K à } trong ú [ k ] à l à - lp tng ng cha k S Th thỡ K à l mt t c ng con ca S- t c ng xyclic S/à Chỳ... A l CC- ni x v A c zero Chng minh: (i)(ii) Theo B 3.1.7, A c zero Gi s M l mt St c ng xyclic, N M l mt t c ng con xyclic v Hom(N, A) Gi s i: AE(A) l ng cu nhỳng ca A vo bao ni x Th thỡ tn ti mt ng cu Hom(M, E(A)) sao cho N= Gi thit rng N= nS, nN Th thỡ (n) = (n)A Do ú theo Mnh 3.1.8 tn ti Hom(M, A) sao cho (n)= (n) T ú N= , v do ú A l CC- ni x (ii)(i) Gi s A l mt t c ng con CC- ni x ca... (Mi tờn ngc li l khụng ỳng) 2.1.2.nh ngha Mt S- t c ng A c gi l C- ni x nu M l xyclic trong biu (*) 2.1.3.Chỳ ý T c c nh ngha 2.1.1 v 2.1.2 trc tip suy ra: (i) Nu A l S t c ng F- ni x thỡ A l S- t c ng C- ni x (ii) Nu A l mt t c ng C- ni x thỡ A l S-t c ng PW- ni x ngha l ta c s : F - ni x C - ni x PW - ni x Trong phn tip theo , chỳng tụi s trỡnh by mt s tớnh cht ca c c t c ng C- ni x, v chng t rng... = -h(a) + h(a) = 0 iu ny chng t l mt ỏnh x v suy ra cng l mt R- ng cu tha món tớnh cht (x) = (x) = h(x), x N, vỡ N B Vy cp (B+Rx,) Mt kh c, rừ rng B B+Rx nờn (B,) < (B+Rx,) iu ny mõu thun vi tớnh cc i ca (B,) trong v nh lý c chng minh Trc khi phỏt biu mt c trng kh c ca mụun ni x ta cn khỏi nim sau Mt R-mụun M c gi l xyclic, nu tn ti mt iờan I ca R sao cho ta c ng cu R- mụun M R/I 16 1.2.6... iu ca mt v nhúm bi c c tớnh cht ca c c iờan phi C- ni x 2.1.8.nh lý i vi mt v nhúm S, c c iu kin sau õy l tng ng: (1) Mi iờan phi ca S l C- ni x (2) Mi iờan phi hu hn sinh ca S l C- ni x (3) Mi iờan phi chớnh ca S l C- ni x (4) Mi iờan phi chớnh ca S l ni x (5) Mi iờan phi chớnh ca S l F- ni x (6) S l mt v nhúm t ni x chớnh quy Chng minh (1) (2) (3) l hin nhiờn (3) (1) Gi s I l mt iờan phi bt k ca ... t c c na nhúm bi c c tớnh cht ca c c t c ng C- ni x Chng ny tip tc phõn loi c c v nhúm bi c c t c ng CC- ni x ca chỳng .C c thut ng v ký hiu chng tip tc c s dng 3.1 Hệ phơng trình t c động CC -nội. .. mi, gi l C- ni x v CC- ni x ó c nghiờn cu Chỳng ta c th phõn loi c c v nhúm bi c c tớnh cht ca c c t c ng C- ni x v CC- ni x Da trờn hai bi bỏo Classification of monoids by injectivities ca Xia...2 2.2 Cu tr c ca v nhúm S vi tớnh cht: mi S- t c ng u C- ni x 19 Chng S phõn loi c c v nhúm theo CC- ni x 26 3.1 H phng trỡnh trờn c c t c ng CC- ni x 26 3.2 S phõn loi c c v nhúm theo CC- ni