Dưới đây là Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Khánh Hòa dành cho các em học sinh lớp 12 và ôn thi học sinh giỏi môn Toán sắp tới, việc tham khảo đề thi này giúp các bạn củng cố kiến thức luyện thi một cách hiệu quả. Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN KHÁNH HÒA THI HSG THPT CẤP QUỐC GIA NĂM 2021 Mơn thi: TỐN (Vịng 1) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 23/09/2020 Đề thi gồm có 01 trang Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (4,0 điểm) x3 y x 13 x y 10 Giải hệ phương trình: x x y y Câu (4,0 điểm) Cho dãy số un xác định u1 un 1 un2 với n * un Chứng minh dãy số un có giới hạn hữu hạn n tìm giới hạn Câu (4,0 điểm) f ( x) x 2021 a1 x 2020 a2020 x a2021 với hệ số nguyên thỏa mãn phương trình Cho đa thức f ( x) f ( x) có 2021 nghiệm nguyên (các nghiệm đôi phân biệt) Chứng minh khơng thể phân tích f ( x) thành tích f ( x) p ( x).q ( x) với p( x) , q ( x) đa thức có hệ số nguyên Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn khơng cân ABC có trực tâm H nội tiếp đường tròn O Gọi E, F chân đường cao hạ từ B, C tam giác ABC M giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF với đường trịn O (M khơng trùng A) Đường thẳng BH cắt đường tròn O D (D không trùng B) I trung điểm BC a) Chứng minh ba đường thẳng AM, EF, BC đồng quy điểm b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác HEI cắt BC N (N không trùng I) Đường thẳng EN cắt đường thẳng qua H song song với BC K Chứng minh bốn điểm M, H, K, D thuộc đường tròn Câu (4,0 điểm) a) Cho n số nguyên dương, xét tập hợp S {1, 2,3,, n} Gọi p, q số tập khác rỗng S có số phần tử chẵn, lẻ Chứng minh p q 1 b) Cho m, n số nguyên dương bảng hình chữ nhật kẻ vng có m hàng n cột (nghĩa bảng gồm m n ô vuông) Xét tập hợp T khác rỗng gồm số ô vuông thuộc bảng cho hàng cột bảng có chứa ô vuông T Gọi pm ,n số tập hợp T có số phần tử số chẵn qm, n số tập hợp T có số phần tử số lẻ Chứng minh pm, n qm ,n (1) m n 1 HẾT