chuyen de ham so mu logarit phan 4

[r]

CHUYÊN ĐÊ ̀ HÀM MŨ – LOGARIT http://violet.vn/lhhanh

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

PHA ̀N 4: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT HÀM SỐ LŨY THỪA

A. Tóm tắt lý thuyết:

I Hàm số mũ: 𝑦 = 𝑎𝑥 (0 < 𝑎 ≠ 1)  Tâ ̣p xác ̣nh: 𝐷 = ℝ

 Hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 liên tục ℝ (∀𝑥

𝑜 ∈ ℝ; lim𝑥→𝑥𝑜𝑎𝑥 = 𝑎𝑥𝑜)  Tâ ̣p giá tri ̣: (0; +∞)

 Đa ̣o hàm:

𝑎𝑥 ′ = 𝑎𝑥 ln 𝑎 ; 𝑒𝑥 ′ = 𝑒𝑥 (lim 𝑥→0

𝑒𝑥− 𝑥 = 1) Nếu 𝑢 = 𝑢 𝑥 : 𝑎𝑢 ′ = 𝑢′ 𝑎𝑢 ln 𝑎 ; 𝑒𝑢 ′ = 𝑢 𝑒𝑢  Chiều biến thiên:

𝑎 > 1: 𝑦′ = 𝑎𝑥 ln 𝑎 > 0, ∀𝑥 (vì 𝑎𝑥 > 0, ∀𝑥 và ln 𝑎 > 0) ⇒ 𝑦′ đồng biến ℝ < 𝑎 < 1: 𝑦′ = 𝑎𝑥 ln 𝑎 < 0, ∀𝑥 (vì 𝑎𝑥 > 0, ∀𝑥 và ln 𝑎 < 0) ⇒ 𝑦′ nghịch biến ℝ  Giới ̣n:

𝑎 > 1: lim𝑥→−∞𝑎𝑥 = 0; lim𝑥→+∞𝑎𝑥 = +∞ đồ thị của hàm số có tiê ̣m câ ̣n ngang là tru ̣c hoành < 𝑎 < 1: lim𝑥→−∞𝑎𝑥 = +∞; lim𝑥→+∞𝑎𝑥 = đồ thị của hàm số có tiê ̣m câ ̣n ngang là tru ̣c hoành  Đồ thị:

đồ thi ̣ hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 cắt trục tung ta ̣i điểm (0; 1) nằm trục 𝑂𝑥 (𝑎𝑥 > 0, ∀𝑥) và tiệm cận với tru ̣c 𝑂𝑥

đồ thi ̣ hàm số 𝑦 = 𝑎

𝑥

đối xứng với đồ thi ̣ 𝑦 = 𝑎𝑥 qua trục 𝑂𝑦 II Hàm số logarit: 𝑦 = log𝑎𝑥 (0 < 𝑎 ≠ 1)

 Tâ ̣p xác ̣nh: 𝐷 = (0; +∞)

 Hàm số 𝑦 = log𝑎𝑥 liên tục 0; +∞ (∀𝑥𝑜 ∈ 0; +∞ : lim𝑥→𝑥𝑜 log𝑎𝑥 = log𝑎𝑥𝑜)  Tâ ̣p giá tri ̣: ℝ

 Đa ̣o hàm: log𝑎𝑥 ′ =

𝑥 ln 𝑎; ln 𝑥 ′ =

𝑥 (lim𝑥→0

ln 𝑥 +

𝑥 = 1; ∀𝑥 ∈ 0; +∞ ) Nếu 𝑢 = 𝑢 𝑥 > 0: log𝑎𝑢 ′ =

𝑢′

𝑢.ln 𝑎; ln 𝑢 ′ =𝑢′

𝑢 Nếu 𝑢 = 𝑢 𝑥 ≠ 0: ln 𝑢 ′ = 𝑢′

𝑢 ; log𝑎 𝑢 ′ = 𝑢′

𝑢.ln 𝑎  Chiều biến thiên:

𝑎 > 1: 𝑦′ =

𝑥.ln 𝑎 > 0, ∀𝑥 ∈ 0; +∞ ⇒ 𝑦′ đồng biến 0; +∞ < 𝑎 < 1: 𝑦′ =

𝑥.ln 𝑎 < 0, ∀𝑥 ∈ 0; +∞ ⇒ 𝑦′ nghịch biến 0; +∞  Giới ̣n:

𝑎 > 1: lim𝑥→0+ log𝑎𝑥 = −∞; lim𝑥→0− log𝑎𝑥 = +∞ < 𝑎 < 1: lim𝑥→0+ log𝑎𝑥 = +∞; lim𝑥→0− log𝑎𝑥 = −∞  Đồ thị:

đồ thi ̣ hàm số 𝑦 = log𝑎𝑥 nhận tru ̣c tung tiê ̣m câ ̣n đứng

CHUYÊN ĐÊ ̀ HÀM MŨ – LOGARIT http://violet.vn/lhhanh

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

III Hàm số lũy thừa: 𝑦 = 𝑎𝛼 (𝛼 là hằng số thực tùy ý)  Tâ ̣p xác ̣nh: 𝐷 = ℝ+∗

Trừ các trường hợp sau:

 Hàm số 𝑦 = 𝑥𝑛 (𝑛 ∈ ℕ∗) xác định ∀𝑥 ∈ ℝ

 Hàm số 𝑦 = 𝑥𝑛 (𝑛 ∈ ℤ− ∨ 𝑛 = 0) xác định ∀𝑥 ≠  Hàm số lũy thừa liên tục tập xác định của nó

Chú ý: 𝑛 𝑥 = 𝑥

𝑛 nếu 𝑥 > đó hàm số 𝑦 = 𝑥

𝑛 không đồng nhất vớ i hàm số 𝑦 = 𝑥𝑛 (𝑛 ∈ ℕ∗) Ví dụ: 𝑦 = 𝑥3

xác định ∀𝑥 ∈ ℝ; 𝑦 = 𝑥13 xác định ∀𝑥 >  Đa ̣o hàm:

hàm số lũy thừa 𝑦 = 𝑎𝛼 (𝛼 ∈ ℝ) có đạo hàm tại mọi điểm 𝑥 > và 𝑥𝛼 ′ = 𝛼 𝑥𝛼 −1 nếu 𝑢 = 𝑢 𝑥 > 0: 𝑢𝛼 ′ = 𝛼 𝑢𝛼−1 𝑢′

 Chiều biến thiên và đồ thi ̣: 𝑦′ = 𝛼 𝑥𝛼 −1 (𝑥 ∈ (0; +∞)) 𝛼 > ⇒ 𝑦 đồng biến 0; +∞

𝛼 < ⇒ 𝑦 nghịch biến 0; +∞

Do 1𝛼 = 1, nên đồ thị hàm số lũy thừa đều qua điểm (1; 1)

B. Các loại bài tập:

1 Loại 1: HÀM SỐ MŨ 1) Khảo sát và vẽ đồ thị:

a 𝑦 = 3𝑥 b 𝑦 =

𝑥

c 𝑦 = −3 𝑥 d 𝑦 = 𝑥

e 𝑦 = 0,4𝑥 f 𝑦 = 2,5𝑥 g 𝑦 = −0,4 𝑥 h 𝑦 = 2,5 𝑥 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 2𝑥 đoạn −1; 3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 𝑥 đoạn −1; 4) Chứng minh rằng hàm số 𝑦 =2𝑥−2−𝑥

3 đồng biến ℝ 5) Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a 𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 + 𝑒𝑥 b 𝑦 = sin 𝑥 − cos 𝑥 𝑒2𝑥 c 𝑦 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

𝑒𝑥+𝑒−𝑥 d 𝑦 = 2𝑥 − 𝑒𝑥 e 𝑦 = 2𝑥3𝑥4𝑥 f 𝑦 = 3𝑥

2𝑥4𝑥 g 𝑦 = 5𝑥 2𝑥2 h 𝑦 =𝑥3+2𝑥

𝑒𝑥

i 𝑦 =ln 3.sin 𝑥+cos 𝑥 3𝑥

j 𝑦 =𝑒−𝑥 2𝑥

k 𝑦 = 𝑥2 2−𝑥 2𝑎 2

l 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑥

m 𝑦 = 2ln 𝑥𝑥 n 𝑦 = 3sin23𝑥 o 𝑦 = 10𝑥 tan 𝑥 p 𝑦 = 101−sin43𝑥 q 𝑦 = 𝑥 𝑒cos 𝑥+sin 𝑥 r 𝑦 = 𝑒𝑥3 cos2 𝑥

3

s 𝑦 = sin2 𝑒𝑥2+3𝑥−2 t 𝑦 = 𝑎 𝑒−𝑥𝑎 + 𝑥 𝑒−

𝑥 𝑎

u 𝑦 =𝑎 𝑒

𝑥 𝑎 + 𝑒−

CHUYÊN ĐÊ ̀ HÀM MŨ – LOGARIT http://violet.vn/lhhanh

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

6) Cho 𝑓 𝑥 = 4𝑥 4𝑥+2

a Cho 𝑎 + 𝑏 = tính 𝑓 𝑎 + 𝑓(𝑏) b Suy ra: 𝑆 = 𝑓

2007 + 𝑓

2007 + ⋯ + 𝑓 2006 2007 Loại 2: HÀM SỐ LOGARIT

1) Tìm tập xác định của các hàm số: a 𝑦 = log3 𝑥2+ 2𝑥

b 𝑦 = log92 − 𝑥2 c 𝑦 = log 2

3−𝑥 d 𝑦 =

log4𝑥−3 e 𝑦 = log2

10−𝑥 f 𝑦 = log3 − 𝑥 g 𝑦 = log21−𝑥

1+𝑥 h 𝑦 = log3 𝑥 −

i 𝑦 = 2𝑥−3 log5𝑥−2

j 𝑦 = log1

𝑥 𝑥2−1

k 𝑦 = log1

−𝑥2+ 4𝑥 + l 𝑦 =

log2𝑥−1

m 𝑦 = log(𝑥2+ 3𝑥 + 2) n 𝑦 = log1

3 𝑥−1 𝑥+1

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a 𝑦 = log2𝑥

b 𝑦 = log1

𝑥 c 𝑦 = log2𝑥

d 𝑦 = log2 𝑥 + e 𝑦 = log4 𝑥

3) Chứng minh rằng hàm số: 𝑦 = log1

𝑥 − log1

(𝑥 + 1) đồng biến tập số thực dương 4) Tìm các đa ̣o hàm:

a 𝑦 =ln 𝑥 𝑥 𝑛

b 𝑦 = ln sin 𝑥 ln cos 𝑥

c 𝑦 = 𝑥2−1 log2𝑥

d 𝑦 = ln 𝑒4𝑥 𝑒4𝑥+1 e 𝑦 = 𝑥2 log

3𝑥

f 𝑦 = ln 𝑒𝑥cos 𝑥 + 𝑒−𝑥sin 𝑥 g 𝑦 = ln4 sin 2𝑥

h 𝑦 = + ln sin 𝑥 2008 i 𝑦 = log2 ln 2𝑥

j 𝑦 = log2 log3 log5𝑥 k 𝑦 = ln tan 𝑥

2+ 𝜋 l 𝑦 = log2 sin 2𝜋𝑥 +𝜋

2 m 𝑦 = ln sin + 𝑥2 n 𝑦 = sin2 ln 𝑎3 + 𝑥3 o 𝑦 = ln 1+𝑥2

1−𝑥2

p 𝑦 = ln 𝑥+ 1−𝑥2 𝑥 q 𝑦 = sin2 1−ln 𝑥

𝑥 r 𝑦 = ln tan 𝑥 −

2 sin2𝑥 s 𝑦 = ln 𝑥2+𝑎2+𝑥

𝑥2+𝑎2−𝑥 t 𝑦 =

2 6ln 𝑥 3− 𝑥 3+ u 𝑦 = ln

𝑥+ 𝑥2−1

v 𝑦 = ln 𝑥 + 𝑥2− − 𝑥 𝑥2−1

w 𝑦 = ln 1+𝑒𝑥−1 1+𝑒𝑥+1 x 𝑦 = 𝑥2 + − ln 1

𝑥+ + 𝑥2 y 𝑦 = ln sin 2𝑥

1−sin 2𝑥 z 𝑦 =𝑥

2 𝑥

2+ 𝑎 +𝑎

CHUYÊN ĐÊ ̀ HÀM MŨ – LOGARIT http://violet.vn/lhhanh

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

3 Loại 3: HÀM SỐ LŨY THỪA

1) Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: a 𝑦 = 𝑥3

b 𝑦 = 𝑥4 c 𝑦 = 𝑥 d 𝑦 = 𝑥3

e 𝑦 = 𝑥−4 f 𝑦 = 𝑥𝜋2

2) Tìm tập xác định các hàm số: a 𝑦 = 𝑥 − −3

b 𝑦 = 𝑥2− 4𝑥 + −2 c 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2+ 2𝑥 14 d 𝑦 = 𝑥4 2− 3𝑥 − 4

e 𝑦 = 𝑥3− 𝜋3 f 𝑦 = 𝑥2+ 𝑥 − −13

3) Tính đạo hàm các hàm số sau: a 𝑦 = 3𝑥 + 𝑒

b 𝑦 = 𝑥3 c 𝑦 = ln3 22𝑥 d 𝑦 = cos 𝑥3 e 𝑦 =

𝑥2−4𝑥+3 2 f 𝑦 = 𝑥3− 𝜋3 g 𝑦 =

𝑥2+𝑥−6

h 𝑦 = 𝑥4 3− 3𝑥2+ 2𝑥 i 𝑦 = 𝑥+1 𝑥−2

4 𝑥−3

j 𝑦 = + ln 3𝑥 k 𝑦 = + ln3 3𝑥 l 𝑦 = ln sin 1−𝑥

4

m 𝑦 = 4𝑥5+2

3𝑥4 n 𝑦 =

𝑥+ 𝑥

o 𝑦 = 1+𝑥3 1−𝑥3

p 𝑦 = sin3 2𝑥+ cos3𝑥 q 𝑦 = 𝑥5 𝑥3 − 8 r 𝑦 = 2𝑥4 − 3𝑥 3 𝑒3𝑥 s 𝑦 =tan 𝑥

𝑥2

t 𝑦 =ln 𝑥 𝑥 𝑛

u 𝑦 = + sin4 23𝑥 3

4) Cho 𝑓 𝑥 = − 𝑥3 2+16

𝑥2 Tính 𝐴 = 12 𝑓