[r]
(1)O x y
M x y
1 -1
1.Định nghĩa
Lấy M nửa đường trịn đơn vị tâm O Xét góc nhọn = xOM Giả sử M(x; y) sin = y (tung độ)
cos = x (hoành độ) tan = y tung độ
x hoành độ
(x 0)
cot =
x hoành độ y tung độ
(y 0)
Chú ý: – Nếu tù cos < 0, tan < 0, cot <
– tan xác định 900, cot xác định 00 1800 2 Tính chất
Góc phụ Góc bù
0 0
sin(90 ) cos
cos(90 ) sin
tan(90 ) cot
cot(90 ) tan
0 0
sin(180 ) sin
cos(180 ) cos
tan(180 ) tan
cot(180 ) cot
3 Giá trị lượng giác góc đặc biệt
4 Các hệ thức
sin
tan (cos 0)
cos cos
cot (sin 0)
sin
tan cot (sin cos 0)
2
2
2
2
2
sin cos
1
1 tan (cos 0)
cos
1 cot (sin 0)
sin
Chú ý: 0sin 1; 1 cos 1
I GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁẳ ẳỦƠ MỘT GĨẳ ểẤT KÌ
TỪ
0 ĐẾN 1800
00 300 450 600 900 1800
sin
2
2
3
1
cos
2
2
1
0 –1
tan
3
1 3
cot
3
(2)Dạng ỊộTính giá trị lượng giác số góc đặc biệt
*Dựa vào định nghĩaờ tìm tung độ y v0 à hoành độ x c0 ủa điểm M nửa đường trịn đơn vị với
góc xOM từ tính giá trị lượng giácặ
0
0
0
sin y c; os x ; tan y ; cot x
x y
*Dựa vào tính chất ặHai góc bù có sin có cơsinờ tanờ cotan đối Bài Ị: Tính giá trị biểu thức sauữ
a) a b c
sin cos sin 90 b) acos 900bsin 900csin 1800
c) a2 b2 c2
sin 90 cos 90 cos180 d) 3sin29002 cos26003 tan2450
e) a2 a a
4 sin 45 3( tan 45 ) (2 cos 45 ) Bài Ư:Tính giá trị biểu thức sauữ
a) sinxcosx x bằng ẽ
0
; 450; 600 b) sinxcos 2x x bằng ốạ
0
; 300 Bài Ợ:Cho 135 0hãy ính sin ộ os ộ tant c cotv
Bài Ủ: Cho tan giác cân ABC có góc B góc C 150.Hãy tính giá trị lượng giác
góc Aớ
Dạng Ưộẳhứng minh hệ thức giá trị lượng giác
*Dựa vào giá trị lượng giác góc 00 1800
*Dựa vào tính chất tổng ố góc tam giác 1800 *Sử dụng hệ thức sin2 os2 1; tan sin ; tan
os cot
c
c
Bài Ộ: Chứng minh đẳng thức sauữ
a) x x x x
(sin cos ) 1 sin cos b) sin4xcos4x12 sin2x cos2x
c) 2x 2x 2x 2x
tan sin tan sin d) sin6xcos6x 1 sin2x cos2x e) sinx cosx(1tanx)(1cotx) 1 sinx cosx
Bài 6: a) Chứng minh sin2x +cos2x = ( 00 x 1800) b) Chứng minh + tan2 x =
2 cos x
( Với x 900 )
c) Chứng minh + cot2 x = sin x
( Với 00 < x < 1800 )
4
) : sin os sin
d CM c
Bài 7: Cho tam giác ABC , Chứng minh
a)sinAsin(BC) b)sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC c)cos(A + C) + cos B = d)tan( A – C) + tan( B + 2C) =
(3)O A
B a
b
a
b
Bài Ế:Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào
2 2
) sin os sin os
a A c c b B) sin4cos42 sin21
Dạng Ợộẳho biết giá trị lượng giác góc .tìm giá trị lượng giác lại của Pp:Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác góc hệ thức liên hệ giá trị nhưặ
2 2
2
1 sin os
sin cos 1;1 tan ;1 cot ; tan ; cot
os sin
cos sin
c c
Bài ạ:Cho biết os ãy ính sin tan
c H t v
Bài Ịả:Cho góc , biết 00 900 tan 2.Tính sin v cà os
Bài ỊỊ: Cho góc ,biết os
c Hãy tính sin ; tan ; cot
Bài ỊƯ: Cho góc ,biết tan 2.tính cos và sin Bài ỊỢ:Cho sin
4
với 900 1800.Tính cos tan
Bài ỊỦ:Cho biết giá trị lượng giác gócộ tính giá trị biểu thứcữ
a) x x
sin , 90 180
3
Tính A x x
x x
tan cot
tan cot
b) tan 2 Tính B
3
sin cos sin cos sin
1 Góc hai vectơ
Cho a b, 0
T
ừ điểm O vẽ OAa OB, b
Khi a b, AOB
với ẽ0AOB 180
0
Chú ý:
+ a b,
= 900
ab
+ a b, = 00
a b,
c
ùng hướng + a b,
= 1800
a b,
ngược hướng
+ a b, b a,
2 Tích vơ hướng hai vectơ
Định nghĩaữ a b a b cosa b,
Đặc biệtặ a a a2 a2
Tính chấtữ Với a b c, ,
bất k
ì vàkR, ta có:
(4)+ a b. b a.
;
a bc a ba c
; ka.bk a b . a.kb
; 2
0; 0
a a a
+ 2 2
2
ab a a bb
; 2
2
2
ab a a bb
;
2
a b ab ab
+ a b
> a b,
nhọn + a b
< a b,
tù
a b
= a b,
vuoâng Biểu thức toạđộ tích vơ hướng
Cho a
= (a1, a2), b
= (b1, b2) Khi đóữ a b a b1 1a b2 2
a a2 a2
1
; a b a b
a b
a a b b
1 2
2 2
1 2
cos( , )
;
a b a b a b
1 2
Cho
A A B B
A x( ;y ), B x( ;y ) Khi đóữ
B A B A
AB (x x )2(y y )2
Dạng 1:Xác định góc Ư vectoộ
Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Tính góc a) AB
AC
b) AB
vaø BC
c) AG
vaø BC
d) GB
vaø GC
c) GA
vaø AC
Bài 2: Cho hình vng ABCDớtínhữ
os ; ;sin ; ; os ;
c AC BA AC BD c AB CD Dạng Ư:Tính tích vơ hướng hai vectơ
Áp dụng công thức định nghĩaữ a b a b c osa b,
Dùng tính chất phân phốiữa b c. a b a c
Bài Ợ.Cho tam giác ABC vuông Aộ AB ắ aộ BC ắ ĩaớ Tính tích vơ hướngữ
a) AB AC
b) AC CB
c) AB BC
Bài Ủ.Cho tam giác ABC cạnh aớ Tính tích vơ hướngữ
a) AB AC . b) AC CB. c) AB BC . Bài Ộ Cho tam giác ABC có AB ắ ạộ BC ắ ồộ AC ắ ờớ
a) Tính AB AC
, suy giá trị góc Aớ
b) Tính CACB
c) Gọi D điểm CA cho CD ắ ọớ Tính CD CB
(5)
Bài Ấ.Cho hình vng ABCD cạnh aớ Tính giá trị biểu thức sauữ
a) AB AC
b) (ABAD)(BDBC)
c) (ACAB)(2ADAB)
d) AB BD
e) (ABACAD)(DADBDC)
HD: a) a2 b)
a2 c) 2a2 d) a2 e) Bài Ừ Cho tam giác ABC có AB ắ ĩộ BC ắ ốộ CA ắ ọớ
a) Tính AB AC
, suy cosAớ
b) Gọi G trọng tâm ABC Tính AG BC
c) Tính giá trị biểu thức S ắ GA GB GB GC GC GA
d) Gọi AD phân giác góc BAC (D BC) Tính AD
theo AB AC,
, suy AD HD: a) AB AC
2
, cosA
b) AG BC
5
3
c) S 29
d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB AB DC AC
AD AB AC
3
5
, AD 54
5
Dạng 3:Chứng minh đẳng thức vecto có liên quan đến tích vơ hướngộ Sử dụng tính chất phân phối tích vơ hướng phép cộng vectoớ Dùng quy tắc ố điểmặ ABBC AC
hay quy tắc hiệuặABOB OA
Bài Ế.Cho bốn điểm Aộ Bộ Cộ D bất kìớ Chứng minhữDA BC DB CA DC AB 0
Bài ạ.Cho tam giác ABC với ba trung tuyến ADộ BEộ CFớ Chứng minhữ
BC AD CA BE AB CF 0
Bài Ịả.Cho hai điểm Mộ N nằm đường trịn đường kính AB ắ ĩRớ Gọi I giao điểm hai
đường thẳng AM BNớ
a) Chứng minhữ AM AI AB AI ,BN BI BA BI
b) Tính AM AI BN BI
theo R
Bài ỊỊ.Cho tam giác ABC có trực tâm Hộ M trung điểm BCớ Chứng minhữ
MH MA BC2
1
4
Bài ỊƯ Cho hình chữ nhật ABCDộ M điểm bất kìớ Chứng minhữ
a) MA2 MC2 MB2 MD2
b) MA MC MB MD
c) MA2 MB MD MA MO
(O tâm hình chữ nhậtđớ
Dạng Ủ Chứng minh vng góc Ư vectơộ Sử dụng tính chất tích vơ hướngặaba b 0
Bài ỊƯ.Cho tam giác ABC có góc A nhọnớVẽ bên ngồi tam giác ABC tam giác vuông cân
đỉnh A ABD ACEớGọi M trung điểm BCớChứng minh rằngữAM vng góc với DE
Bài ỊỢ Cho hình chữ nhật ABCD có ABavà ADa 2.Gọi K trung điểm cạnh
AD.Chứng minh rằngữBK AC
Bài ỊỦứCho tam giác ABC cân AB AC.Gọi H trung điểm cạnh BCộD hình chiếu
vng góc H cạnh ACộ M trung điểm đoạn HDớChứng minh rằngữAM BD
Bài ỊỘ.Cho tứ giác ABCD có ĩ đường chéo AC BD vng góc với cắt MớGọi
(6)Dạng Ộ:Tính độ dài vectơặ tính khoảng cách Ư điểm Cho vectơ aa a1; 2 bb b1ậ 2ớ Ta có ữ a ba b1ớ1a b2ớ
Cho vectơ uu u1; 2.Ta cóữu u12u22
Cho điểm
2
; , ; Ta có ữ
A A B B B A B A
A x y B x y AB AB x x y y
Bài ĐềớCho tam giác ABC có AB ắ ĩộ AC ắ ọộ A ắ ềẽ0 M trung điểm BCớ
a) Tính BCộ AMớ
b) Tính IJộ Iộ J xác định bởiữ 2IAIB0, J B2J C
HD: a) BC = 19, AM =
7
b) IJ = 2 133
Bài Đồớ Cho tam giác ABC có AợĐậ –1), B(5; –3), C(2; 0)
a) Tính chu vi nhận dạng tam giác ABCớ
b) Tìm toạđộđiểm M biết CM2AB3AC
c) Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABCớ
Bài ĐờớCho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8)
a) Tính AB AC
Chứng minh tam giác ABC vuông Aớ
b) Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABCớ
c) Tìm toạđộtrực tâm H trọng tâm G tam giác ABCớ
d) Tính chu viộ diện tích tam giác ABCớ
e) Tìm toạđộđiểm M Oy để Bộ M, A thẳng hàngớ
f) Tìm toạđộđiểm N Ox để tam giác ANC cân Nớ
g) Tìm toạđộđiểm D để ABDC hình chữ nhậtớ
h) Tìm toạđộđiểm K Ox để AOKB hình thang đáy AOớ
i) Tìm toạđộđiểm T thoả TA2TB3TC0
k) Tìm toạđộđiểm E đối xứng với A qua Bớ
l) Tìm toạđộđiểm I chân đường phân giác đỉnh C ABC
6