Ký hiệu : AB ,điểm đầu A và điểm cuối B Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa B điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó JJJG Độ dài của vectơ AB được ký hiệu là AB A JJJG Như vậy : AB = AB G J[r]
(1)Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa H ÌNH H ỌC 10 Ch ơng VECT Ơ www.saosangsong.com.vn/ SAVE YOUR TIME & MONEY SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL SUIT YOUR PACE Lop10.com (2) Chương Vectơ § Các định nghĩa : A Tóm tắt giáo khoa : Vectơ là đoạn thẳng có hướng,nghĩa là hai điểm mút đoạn thẳng đã rõ điểm nào là điểm đầu ,điểm nào JJJ là Gđiểm cuối Ký hiệu : AB ,điểm đầu A và điểm cuối B Độ dài vectơ là khoảng cách B điểm đầu và điểm cuối vectơ đó JJJG Độ dài vectơ AB ký hiệu là AB A JJJG Như : AB = AB G JG G Nếu không nói rõ điểm đầu và điểm cuối vectơ ta ký hiệu : a , b , x Hai vectơ gọi là cùng phương chúng nằm trên hai đường thẳng song song, cùng nằm rên đường thẳng A B C F D E G H JJJG JJJG • Hai vectơ AB và CD cùng hướng JJJG JJJG • Hai vectơ EF và GH ngược hướng Hai vectơ chúng cùng hướng và cùng độ dài G G G G Hai vectơ a và b ta viết a = b JJJG JJJG JJJG JJJG Ta có : AB = CD ⇔ AC = BD G a G b ( tính chất hình bình hành ABCD) G Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trung : Như vectơ-không có độ dài và cùng phương , cùng hướng với vectơ G Cho trước điểm A và vectơ a thì ta đựng điểm B cho : JJJG G AB = a B Giải toán : Ví dụ : Cho hai điểm phân biệt A và B.Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng và bao nhiêu vectơ khác nhau? Giải Một đoạn thẳng JJJ AB G hoặcJJJBA G Hai vectơ khác là AB và BA JJJG JJJG Ví dụ : Cho hai vectơ AB và AC cùng phương Kết luận gì ba điểm A, B , C www.saosangsong.com.vn Lop10.com (3) Chương Vectơ Giải JJJG JJJG Hai vectơ AB và AC cùng phương và có điểm A chung nên chúng nằm trên đường thẳng Vậy ba điểm A,B,C thẳng hàng Ví dụ : Cho tam giác ABC cân A Gọi M là trung điểm BC và N điểm AC JJJG JJJG a) Ta có AB = AC đúng hay sai? JJJG JJJG b) Các vectơ nào cùng hướng với AB ? ngược hướng với BC ? c) Các vectơ nào nhau? là trung Giải A JJJG JJJG a) Hai vectơ AB và AC không cùng phương nên chúng không B b) MN là đoạn nối trung điểm hai cạnh BC và AC nên MN và ABJJJ song G JJJJG song Vậy NM và AB là N hai vectơ cùng hướng JJJG Ba điểm B,C,M thẳng hàng nên các vectơ ngược hướng với BC là : JJJG JJJJG JJJG CB , CM , MB JJJJG JJJJG c) Ta có : BM = MC vì hai vectơ này cùng hướng và có độ dài M C JJJJG JJJG Ta có : CM = MB JJJG JJJG JJJG JJJG AN = NC , CN = NA Ví dụ : Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD cho JJJG JJJJG JJJJG JJJG AM = CN Chứng minh AN = MC và MD = BN Giải Ta có AM = CN ( theo gt) và AM // CN ( ví AB//CD) Do đó tứ giác AMNC là hình bình hành JJJG JJJJG Vậy AN = MC Tương tự tứ giác BMDN là JJJJG JJJG hình bình hành Vậy MD = BN A M B D N Ví dụ : Cho hình bình hành ABCD Gọi M và N là trung điểm JJJG JJJG JJJG CM cắt BD E và F.Chứng minh DE = EF = FB C củaAB và DC AN và Giải JJJJG JJJG Ta có AM = NC nên AMCN là hình bình hành Do đó AN // MC Suy E là trung điểm DF vì N là trung điểm DC và F là trung điểm EB vì M là trung điểm AB A M B F E D www.saosangsong.com.vn Lop10.com N C (4) Chương Vectơ JJJG JJJG JJJG Vậy DE = EF = FB C Bài tập rèn luyện : 1.1 : Cho hai điểm phân biệt A và B Câu nào sau đây đúng? a) Có đoạn AB hay BA JJJG JJJG b) Có hai vectơ khác AB và BA JJJG JJJG c) AB = BA = AB d) Cả ba câu đúng 1.2 : Cho điểm A Tìm tập hợp các điểm M cho : JJJJG a) AM = 4cm JJJJG G b) AM cùng phương với a cho trước 1.3 :JJJ Cho hình G JJJ G bình hành ABCD và E là điểm đối xứng C qua D Chứng tỏ : AE = BD 1.4 : Cho nửa lục giác ABCD nộiJJJtiếp đường tròn tâm O đường G kính AD Chỉ các vectơ với BC 1.5 : Cho tam giác ABC và điểm M tam giác.Gọi A’ , B’ ,C’ là trung điểm BC,CA , AB và N, P, Q là điểm đối xứng M qua A’ , B’ , C’ JJJG JJJG JJJJG JJJG a) Chứng tỏ : AQ = CN ; AM = PC b) Chứng tỏ ba đường thẳng AN , BP , CQ đồng qui D.Hướng dẫn giải và Đáp số : 1.1 Cả câu đúng 1.2 a) Điểm A cố định và độ dài AM = 4cm.Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A bán kính 4cm JJJJ G G b) AM cùng phương với a Vậy M chạy trên đường thẳng qua A và song song với G đường thẳng mang vectơ a 1.3 E là điểm đối xứng C qua D nên ta JJJ cóG DEJJJ =G CD = BA và DE//BA Do đó tứ giác ABDE là hình bình hành Vậy AE = BD B C E A B D A O D C JJJG JJJG JJJG 1.4.Tứ giác ABOA là hình thoi nên AO = BC = OD 1.5 Tứ JJJG giác JJJG AQBM là hìnhJJJJ bình hành G JJJ G vì có hai đường chéo giao trung điểm nên ta có : AQ = MB (1) và AM = QB (3) www.saosangsong.com.vn Lop10.com (5) Chương Vectơ Tương tự tứ MBNC là hình bình JJJGgiácJJJG hành nên CN = MB (2) JJJG JJJG Từ (1) và (2) ta có : AQ = CN Do đó tứ giác ACNQ là hình bình hành Vậy hai đường chéo AN và CQ giao trung điểm I Mặt JJJJG khác JJJG tứ giác AMCP là hình bình hành nên AM = PC (4) JJJG JJJG Từ (3) và (4) ta có QB = PC Do đó tứ giác BCPQ là hình bình hành nên hai đường chéo BP và CQ giao trung điểm I Vậy AN,BP và CQ đồng qui I A Q P B' C' M A' B C N § Tổng và hiệu hai vectơ A.Tóm tắt giáo khoa : G G JJJG G 1.Định nghĩa tổng các vectơ : Cho hai vectơ a và b Từ điểm A tùy ý vẽ AB = a , JJJG G G G JJJG G G JJJG từ điểm B vẽ BC = b thì vectơ AC gọi là tổng hai vectơ a và b Ký hiệu : AC = a + b B G G G a a b C G b A JJJG JJJG JJJG Như ta có : AB + BC = AC với A,B,C tuỳ ý (gọi là qui tắc điểm) G B b C G a G a A D G b G JJJG JJJG G JJJG JJJG ABCD là hình bình hành nên a = AB = DC và b = BC = AD JJJG JJJG JJJG Như AC = AB + AD ( gọi là qui tắc hình bình hành ) G G G G Tính chất : a) giao hoán : a + b = b + a G G G G G G b) kết hợp : ( a + b) + c = a + (b + c) G G G G c) vơi a ta có : a + = a G G G G JJJG d) Ta có a + b = AC = AC và a + b = AB + BC Mà AC ≤ AB + BC ( bất đẳng thức tam giác ABC) G G G G Vậy a + b ≤ a + b Vectơ đối vectơ : G G G Vectơ đối vectơ a là vectơ ngược hướng với a và có cùng độ dài với a G Ký hiệu : - a G G G Như a + ( - a ) = www.saosangsong.com.vn Lop10.com (6) Chương Vectơ JJJG JJJG Ta có AB = − BA Hiệu hai vectơ : Hiệu hai vectơ là tổng vectơ thứ với vectơ đối vectơ thứ hai G G G G Như a - b = a + ( - b ) A G G G a a -b G b O B JJJG JJJG JJJG Ta có AB = OB − OA với điểm O , A, B B.Giải toán : Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông A biết AB = a và AC = 2a.Tính độ dài vectơ tổng : JJJG JJJG JJJG JJJG AB + AC và vectơ hiệu AB − AC Giải JJJG JJJG JJJG Theo qui tắc hình bình hành thì AB + AC = AD với AD là đường chéo hình bình hành ABDC.Mà góc A vuông nên ABDC là hình chữ nhựt A Do đó AD = BC Áp dụng định lý Pythagore tam giác vuông ABC ta có : BC2 = AB2 + AC2 = a2 + 4a2 = 5a2 JJJG JJJG JJJG Vậy AB + AC = AD = AD = BC = a JJJG JJJG JJJG Theo qui tắc hiệu vectơ ta có : AB − AC = CB Vậy : JJJG JJJG JJJG C AB − AC = CB = BC = a B D Ví dụ : Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh các đẳng thức sau : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG a) AC + BD = AD + BC b) AB + CD = AD + CB JJJG JJJG JJJG JJJG c) AB − CD = AC − BD Giải a) Theo qui tắc điểm JJJG ta có : JJJG JJJG JJJG JJJGba JJJG AC = AD + DC ; BD = BC + CD JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Do đó : AC + BD = AD + DC + BC + CD = AD + BC JJJG JJJG G Vì DC + CD = b)GTheo tắcG ba điểm JJJG JJJ JJJGqui JJJ JJJG ta JJJcó G : JJJG JJJG AB + CD = ( AD + DB) + (CB + BD) = AD + CB JJJG JJJG G vì DB + BD = JJJG JJJG JJJG c) Theo qui tắc phép trừ ta có : CD = AD − AC JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG A Do đó : AB − CD = AB − ( AD − AC ) = ( AB − AD) + AC JJJG JJJG JJJG JJJG = DB + AC = AC − BD C B D Ví dụ : Cho sáu điểm A,B,C,D,E,F tùy ý Chứng minh : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AC + BD + EF = AF + BC + ED Giải www.saosangsong.com.vn Lop10.com (7) Chương Vectơ Theo qui tắcJJJG ba điểm cóG: JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ta JJJ AC = AF + FC ; BD = BC + CD ; EF = ED + DF Cộng theo vế đẳng thức ta : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AC + BD + EF = AF + BC + ED JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G vì FC + CD = FD và FD + DF = Ví dụ : Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC và G là trọng tâm Chứng minh JJJG JJJG JJJG G : GA + GB + GC = Giải A Vẽ hình bình hành BGCD Theo qui tắc hình bình hành ta có : JJJG JJJG JJJG GB + GC = GD mà GD = GM ( tính chất đường chéo ) và GA = 2GM ( tính chất trọng tâm ) JJJG JJJG nên GD = GA Do đó GA = −GD (ngược hướng) JJJG JJJG JJJG G Vậy : GA + GB + GC = G M B C D JJG JJG Ví dụ : Cho hai lực F1 , F2 có cường độ là 50N ,có điểm đặt O và hợp với góc 60o Tính cường độ lực tổng hớp hai lực này Giải JJG JJG JJJG Theo qui tắc hình bình hành thì : F1 + F2 = OR Mà OF1 = OF2 = 50N nên OF1 RF2 là hình thoi có góc O 60o và hai đường chéo OR và F1F2 vuông góc trung điểm H Ta có OH = 50 (đường cao tam giác cạnh 50 JJG JJG JJJG Vậy F1 + F2 = OR = OR = 2OH = 50 N F1 O H R F2 Ví dụ : Cho hình bình hành ABCD tâm O Chứng minh : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G a) BD − BA = OC − OB b) BC − BD + BA = Giải A D O a) Theo phép trừ ta có : JJJG qui JJJG tắcJJJG JJJG JJJG JJJG BD − BA = AD và OC − OB = BC JJJG JJJG mà AD = BC vì ABCD là hình bình hành JJJG JJJG JJJG JJJG Vậy : BD − BA = OC − OB B C JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG b) Ta có : BC − BD = DC mà DC = − BA JJJG JJJG JJJG G Vậy : BC − BD + BA = JJJG JJJG JJJG JJJG Ví dụ : Cho tam giác ABC cạnh a Tính độdài các vectơ : AB + BC và CA − CB www.saosangsong.com.vn Lop10.com (8) Chương Vectơ Giải JJJG JJJG JJJG Theo qui tắc ba điểm ta có : AB + BC = AC JJJG JJJG JJJG Vậy AB + BC = AC = AC = a JJJG JJJG JJJG Theo qui tắc phép trừ ta có : CA − CB = BA JJJG JJJG JJJG Vậy CA − CB = BA = AB = a C.Bài tập rèn luyện : 1.6 : ChoJJJhình hành ABCD và MJJJJ làGđiểm tùy ý Chứnh minh : G JJJbình G JJJ G JJJG tâm JJJJG OJJJG b) MA + MC = MB + MD a) AB + OA = OB 1.7 : Cho tam giác ABC vuông A biết AB = a và góc B = 60o Tính độ dài các vectơ JJJG JJJG JJJG JJJG tổng và hiệu : AB + AC và AB − AC 1.8 : Cho hình bình hành ABCD.Gọi M và N là trung điểm AD và BC.Chứng minh : JJJG JJJG JJJG G JJJG JJJG JJJG G a) AD + MB + NA = b) CD − CA + CB = G G G 1.9 : Cho các vectơ a và b khác G G G G a)Khi nào thì ta có : a + b = a + b G G G G b) Khi nào thì ta có : a + b = a − b 1.10 : Cho giác ABC cạnh a ,đường cao AH Tính độ dài các vectơ: JJJGtam JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG b) AB − AC c) AB + AC a) AB + BH JJJG JJJG 1.11 : Cho tam giác ABC Nếu vectơ tổng AB + AC nằm trên đường phân giác n thì tam giác ABC là tam giác gì? BAC 1.12 : Cho hình vuông ABCD cạnh a JJJ Tính độ dài các vectơ : JJJG JJJG JJJG JJJG G JJJG a) AC − AB b) AB + AD c) AB + BC JJG JJG 1.13 : Cho hai lực F1 , F2 có cường độ 60N và 80N , có điểm đặt tai O và vuông góc Tính cường độ lực tổng hợp chúng D.Hướng dẫn giải và đáp sốJJJ : G JJJG JJJG M 1.6 a) Theo qui tắc ba điểm ta có : OA + AB = OB JJJG JJJG JJJG b) Ta có MA = MB + BA và JJJG JJJJG JJJG JJJJG Vậy MA + MC = MB + MD vì A D JJJJG JJJJG JJJG MC = MD + DC JJJG JJJG G BA + DC = ( vectơ đối ) 1.7 Tam giác ABC vuông A có góc B = 60o là nửa tam giác BC = 2AB = 2a và AC = a a) hình JJJG bình hành ABDC ta có : JJJGVẽ JJJG AB + AC = AD và AD = AM JJJG JJJG JJJG Vậy AB + AC = AD = AD = 2AM = 2a JJJG JJJG JJJG b) Theo bài hiệu thì ta có : AB − AC = CB = Bc = 2a O C B A B M C D www.saosangsong.com.vn Lop10.com (9) Chương Vectơ JJJG JJJG JJJG 1.8 a) Ta có NA + AD = ND JJJG JJJG JJJG Tứ giác MBND là hình bình hành nên : MB = DN = − ND JJJG JJJG JJJG G Vậy AD + MB + NA = JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG b) Ta có CD − CA = AD mà AD = −CB JJJG JJJG JJJG G Vậy CD − CA + CB = B JJJG G JJJG G 1.9 a) Từ điểm A kẻ AB = a và BC = b thì ta có : G G JJJG JJJG JJJG JJJG G G G G a + b = AC Do đó a + b = a + b ⇔ AC = AB + AC A M D N C hay ACG = ABG+ BC Điều này xảy A, B , C thẳng hàng theo thứ tự này Vậy hai vectơ a và b cùng hướng JJJG G JJJG G b) Từ điểm A kẻ AB = a và AD = b và xét hình bình hành ABCD G G JJJG Theo qui tắc hính bình hành ta có : a + b = AC G G JJJG Theo qui tắc hiệu vectơ ta có : a − b = DB G G G G JJJG JJJG Do đó a + b = a − b ⇔ AC = DB hay AC = BD G Điều này xảy ABCD là hình chữ nhựt Vậy AC vuông góc với BD hay hai vectơ a và G b vuông góc 1.10 JJJG JJJG JJJG a) Ta có AB + BH = AH Tam giác ABC cạnh a nên đường cao a AH = A JJJG JJJG a Vậy độ dài ( AB + BH ) AH = JJJG JJJG JJJG b)Ta có AB − AC = CB JJJG JJJG Vậy độ dài ( AB − AC ) BC = a JJJG JJJG JJJG c)Vẽ hình bình hành ABDC thì ta có AB + AC = AD Mà AD = 2AH = JJJG JJJG Vậy độ dài ( AB + AC ) AD = H B C D 1.11 Tam giác ABC cân A B JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 1.12 a) Ta có AC − AB = BC Vậy độ dài ( AC − AB ) BC = a JJJG JJJG JJJG b) Ta có AB + AD = AC JJJG JJJG Vậy độ dài ( AB + AD ) AC = a JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG c) Ta có : AB + BC = AC Vậy độ dài ( AB + BC ) AC = a JJG JJG 1.13 Vectơ hợp lực là tổng hai vectơ F1 , F2 F2 F1 vuông góc với F2 nên vectơ tổng là đường chéo hình chữ nhựt JJG JJG JJJG OF1RF2 Ta có F1 + F2 = OR www.saosangsong.com.vn Lop10.com C O A F1 (10) 10 Chương Vectơ Mà OR = F1F2 = 602 + 802 = 10 10 §3.Tích vectơ với số A.Tóm tắt giáo khoa : G G G Định nghĩa : Tích vectơ a ≠ với số thực k ≠ là vectơ , ký hiệu là k a , cùng G G hướng với a k > , ngược hướng với a k < và cò độ dài G k a A JJJG JJJG CD = AB B D C E F JJJG JJJG EF = − CD G G G G Ta qui ước a = và k = G G Tính chất : Với vectơ a , b và số thực k, l ta có : G G G G a) k (a + b) = ka + kb G G G b) (k + l) a = k a + l a G G c) k(l a ) = (k.l) a G G G G G G G G d) a = a ; (- 1) a = - a ; k a = ⇔ k = hay a = Điều kiện để hai vectơ cùng phương : G G G G Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( b ≠ ) cùng phương là có G G số thực k để a = k b Điều kiện để ba điểm thẳng hàng : JJJG JJJG Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là có số thực k cho AB = k AC B Giải toán : Dạng 1: CM đẳng thức vectơ Ví dụ : Gọi I là trung điểm đoạn AB.Chứnh minh với điểm M ta luôn có : JJJG JJJG JJJG MA + MB = 2MI Giải JJJG JJJG JJG JJJG JJJG JJG Theo quiJJJG tắc baJJJG điểm ta có : MA = MI + IA và MB = MI + IB JJJG JJG JJG Do đó : JJG + GMB = 2MI + IA + IB JJG MA Mà IA + IB = vì I là trung điểm AB JJJG JJJG JJJG Vậy MA + MB = 2MI M A I B Ví dụ : Cho tam giác ABC,trọng tâm G www.saosangsong.com.vn Lop10.com 10 (11) 11 Chương Vectơ JJJG JJJG JJJG G a) Chứng minh GA + GB + GC = JJJG JJJG JJJJG JJJJG b) Chứng minh MA + MB + MC = 3MG với điểm M tùy ý Giải JJJG JJJG JJG a) Gọi I là trung điểm BC ta có : GB + GC = 2GI (theo bài 1) JJJG JJG mà GA = −2GI (tính chất trọng tâm) JJJG JJJG JJJG G Vậy GA + GB + GC = M A b) Theo qui tắc ba điểm thì với điểm M JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG ta có : MA = MG + GA ; MB = MG + GB ; MC = MG + GC JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG Vậy MA + MB + MC = 3MG + GA + GB + GC = 3MG JJJG JJJG JJJG G ( vì theo câu a ta có GA + GB + GC = ) G C I B Ví dụ : Cho tam giác ABC.Lần lượt lấy các điểm M, N, P trên các đoạn 1 BC ; CP = CA AB,BC và CA cho AM = AB , BN = 3 JJJG JJJG JJJJG G Chứng minh : AN + BP + CM = Giải Ta có : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG BN = BC ⇔ AN − AB = BC (1) 3 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG CP = CA ⇔ BP − BC = CA (2) 3 JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG AM = AB ⇔ CM − CA = AB (3) 3 Công theo vế (1) ,(2) ,(3) ta : JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AN + BP + CM − ( AB + BC + CA) = ( AB + BC + CA) 3G JJJJG G JJJG JJJG JJJG G JJJG JJJ Mà AB + BC + CA = Vậy AN + BP + CM = A M P B N C Dạng 2: CM điểm A, B, C thẳng hàng JJJG JJJG Ta chứng minh AB = k AC G G G G G G G ⎧⎪ a + b + c = (1) Ví dụ Cho ba vectơ a, b, c thỏa ⎨ G G G G ⎪⎩2a − b + 4c = (2) G G G Chứng minh a và b cùng phương với c Giải Công theo vế hai đẳng thức trên ta : G G G G G G 5G 3a + 5c = ⇔ a = − c Vậy a cùng phương với c G G G 5G G 2G G G Từ (1) suy : b = - a - c = c − c = c Vậy b cùng phương với c 3 Ví dụ Cho hình bình hành ABCD.Gọi I là trung điểm CD.Lấy điểm M trên đoạn BI www.saosangsong.com.vn Lop10.com 11 (12) 12 Chương Vectơ cho BM = 2MI Chứnh minh ba điểm A,M,C thẳng hàng Giải JJJJG JJJG Theo giả thiết ta có : BM = MI Do đó theo qui tắc hiệu vectơ ta có : JJJJG JJJG JJG JJJJG AM − AB = 2( AI − AM ) Suy JJJJG JJG JJJG AM = AI + AB Mà theo qui tắc I là trung điểm CD nên ta có : JJG JJJG JJJG 2AI = AC + AD JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Vậy AM = AC + AD + AB = AC Hệ thức này chứng tỏ A, M, C thẳng hàng A D M I C B * Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và H là trực tâm.Gọi D là điểm đối xứng A qua O a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.Suy : JJJG JJJG JJJG JJJG HA + HB + HC = HO JJJG JJJG JJJG JJJG b) Chứng minh OA + OB + OC = OH Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng với G là tâm tam giác ABC Giải a) Ta có : BH ⊥ AC ( vì H là trực tâm) DC ⊥ AC ( vì AD là đường kính) Do đó BH // DC ( vì cùng ⊥ với AC) Tương tự CH // BD vì cùng ⊥ với AB Vậy tứ giác BHCD là hình bình hành Theo qui tắc hình bình hành ta có : JJJG JJJG JJJG HB + HC = HD BC và HD là hai đường chéo hình bình hành nên giao trung điểm M Trong tam giác AHD , O là trung điểm AD nên ta có : JJJG JJJG JJJG HA + HD = HO JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Vậy HA + HB + HC = HA + HD = HO A O H G B C M D b)Theo qui tắc ba JJJ điểm có :JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G ta JJJG OA = OH + HA ; OB = OH + HC ; OC = OH + HC JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Vậy OA + OB + OC = 3OH + HO = OH (1) vì HO = −OH JJJG JJJG JJJG JJJG c) G là tâm tam giác ABC nên ta có : OA + OB + OC = 3OG (2) JJJG JJJG So sánh (1) và (2) ta có : OH = 3OG Vậy ba điểm O, G ,H thẳng hàng ( gọi là đường thẳng Ơle) *Ví dụ : Cho tam giác ABC và I là trung điểm BC.Tìm tập hợp các JJJG JJJG JJJJG điểm M thỏa : 2MA = MB + MC A Giải I là trung điểm BC nên ta có : JJJG JJJJG JJJG MB + MC = MI JJJG JJJG JJJJG Do đó 2MA = MB + MC M B www.saosangsong.com.vn Lop10.com I C 12 (13) 13 Chương Vectơ JJJG JJJG ⇔ MA = MI ⇔ MA = MI Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực AI JJJG JJJG G * Ví dụ : Tìm điểm C trên đoạn AB cho : CA − 2CB = JJJJG JJJG JJJG Cho điểm M mặt phẳng và gọi MN là vectơ định : MN = MA − MB Chứng tỏ đường thẳng MN qua điểm cố định Giải JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Ta có CA = 2CB ⇔ CB + BA = 2CB ⇔ BA = CB Do đó B là trung điểm AC JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G Ta có : MN = MA − MB ⇔ MN = MC + CA − 2( MC + CB) = − MC vì CA − 2CB = Vậy M , N , C thẳng hàng.Suy đường thẳng MN qua điểm cố định C JJJG JJJG trung điểm AD.Gọi *Ví dụ 9: Cho tam giác ABC.Gọi B là điểm định BD = BC và I là JJJJG JJJG M là điểm thỏa AM = x AC với x là số thực JJJG JJG JJJG a) Tính BI theo BA và BC JJJJG JJJG JJJG b) Tính BM theo BA và BC c) Tính x để ba điểm B, I, M thẳng hàng Giải a) I là trung điểm AD nên ta có : JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG BI = ( BA + BD) = ( BA + BC ) = BA + BC JJJJG JJJG JJJJG 2JJJG 3JJJG JJJG b) Ta có : AM = x AC ⇔ BM − BA = x( BC − BA) JJJJG JJJG JJJG Do đó : BM = (1 − x) BA + xBC c) Ba điểm B, I, M thẳng hàng có số k cho : JJJJG JJG JJJG JJJG k JJJG k JJJG BM = k BI ⇔ (1 − x) BA + xBC = BA + BC Do đó : 2(1 – x) = 3x Vậy x = A M I B D C C.Bài tập rèn luyện : 1.14 Cho hình bình hành ABCD tâm OJJJ và gọi G làJJJG trọng tâm tam giác ABC JJJG G JJJG JJJG JJJG JJJG a) Chứng minh : AB + AC = AG và AB + AC + AD = AO JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG b) Cho M là điểm tùy ý,chứng minh : MA + MB + MC + MD = 4MO 1.15 Cho tứ giác ABCD.Gọi MJJJ và N là trung điểm AC và BD G JJJG JJJJG Chứng minh : AB + CD = MN 1.16 Gọi G và G’ lần lượtJJJG là trọng tâm củaJJJJ haiG tam giác ABC và A’B’C’ JJJG JJJJG Chứng minh : AA ' + BB ' + CC ' = 3GG ' 1.17 Cho tam giác ABC trọng tâm G.Gọi I là trung điểm AG JJJG JJJG JJG G Chứng minh : AB + AC + 6GI = *1,18 Cho tam = và AC = 4.Gọi AD là phân giác JJJGgiác ABC JJJG có AB JJJG gòc A Tính AD theo AB và AC www.saosangsong.com.vn Lop10.com 13 (14) 14 Chương Vectơ *1.19 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và điểm H định : JJJG JJJG JJJG JJJG OA + OB + OC = OH Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC JJJG JJJJG (Hướng dẫn : Chứng minh AH = 2OM với M là trung điểm BC ) JJJG JJJG JJJG 1.20 Cho tam giác ABC trọng tâm G.Tính AB theo GB và GC 1.21 : Cho tam giác JJJG ABC trọngJJJG tâm G và I là trung điểm AG Kấy điểm K trên đoạn AC Tính AK theo AC để ba điểm B, I, K thẳng hàng *1.22 Cho tam giác ABC JJJG JJJG G a) Xác định điểm D thỏa DA + 3DB = JJJG JJJG b) Tìm tập hợp các điểm M thỏa MA + 3MB = *1.23 Cho tam giác ABC JJJG JJJG G a) Xác định điểm D thỏa DB − 3DC = Cho M là điểm và JJJJG JJJG JJJJG b) MN = MB − 3MC Chứnh minh đường thẳng MN qua điểm cố định D.Hướng dẫn giải A 1.14 Gọi E là trung điểm AC ta có : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AB + AC = AE mà AE = AG JJJG JJJG JJJG AB + AC = AG Vậy Theo qui tắc JJJG JJJG JJJG hình bình JJJG hành JJJG ta JJJGcó :JJJG JJJG AB + AD = AC Do đó AB + AD + AC = AC = AO 1.15 : N là trung điểm BD nên JJJGcủaJJJG JJJG ta có : AB + AD = AN M là trung điểm củaJJJG AC nên JJJJG ta có : AC = AM JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG Do đó AB + AD − AC = 2( AN − AM ) JJJG JJJG JJJJG ⇔ AB + CD = MN D O G B E C A D N M B C 1.16 Theo quiJJJG tắc hiệu ta GcóJJJ :G JJJJG JJJJG JJJG JJJG hai JJJG vectơ JJJG JJJJ AA ' = GA ' − GA ; BB ' = GB ' − GB ; CC ' = GC ' − GC JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG Do đó : AA ' + BB ' + CC ' = GA ' + GB ' + GC ' − (GA + GB + GC ) JJJG JJJG JJJG G Mà G là trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB + GC = và G’ là tâm JJJG tam JJJJG giac JJJJG A’B’C’ JJJJG nên ta có : GA ' + GB ' + GC ' = 3GG ' ( bài 2b giải toán)JJJG JJJG JJJJG JJJJG Vậy AA ' + BB ' + CC ' = 3GG ' JJJG JJJG JJJJG JJJG 1.17 Ta có AB + AC = AM = AG ( M là trung điểm BC) JJJG JJG I là trung điểm AG nên AG = −2GI JJJG JJJG JJG G Vậy : AB + AC + 6GI = www.saosangsong.com.vn Lop10.com A K I G B C 14 (15) 15 Chương Vectơ *1.18 Theo tính chất đường phân giác góc A tam giác ABC ta có : DB AB = = DC AC JJJG JJJG Do dó 3DC = 4DB mà hai vectơ DB , DC ngược hướng JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG nên ta có : 3DC = −4 DB ⇔ 3( AC − AD) = −4( AB − AD) JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ⇔ AD = AB + AC ⇔ AD = AB + AC 7 1.19 Xem bài phần giải toán B D A A 1.20 G là trọng nên ta có JJJ :G JJJGtâm JJJGtam JJJGgiác G ABCJJJ G JJJG GA + GB + GC = ⇔ GB + GC = −GA JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Vậy AB = GB − GA = GB + GB + GC = 2GB + GC *1.21 I là trung JJJG điểm JJJG JJG AG nên BA + BG = BI JJG JJJG JJJG JJJG ⇔ BI = BA + ( BA + BC ) JJG JJJG JJJG ⇔ BI = BA + BC JJJG JJJG Đặt AK = x AC thì ta có : JJJG JJJG JJJG JJJG BK − BA = x( BC − BA) JJJG JJJG JJJG ⇔ BK = (1 − x) BA + xBC C K I G B C JJJG JJG Vậy B, I , K thẳng hàng có số k cho BK = k BI ⇔ (1 − x) = 6x ⇔ 15x = ⇔ x = JJJG JJJG G JJJG JJJG *1.22 a) Ta có : DA + 3DB = ⇔ DA = −3DB Vậy D chia đoạn AB theo tỉ số -3 JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG b) Ta có : MA + 3MB = ⇔ MD + DA + 3( MD + DB) = JJJJG ⇔ 4MD = ⇔ DM = Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tậm D bán kính JJJG JJJG G JJJG JJJG * 1.23 Ta có : DB − 3DC = ⇔ DB = 3DC Vậy điểm số JJJJG tỉJJJJ G 3JJJG JJJJG JJJG JJJJD G chia JJJG đoạn JJJJG BC theo Ta có : MN = MB − 3MC ⇔ MN = MD + DB − 3( MD + DC ) JJJJG JJJJG ⇔ MN = −2 MD Vậy đường thẳng MN qua điểm D cố định §4 Trục tọa độ A Tóm tắt giáo khoa Định nghĩa : Trục tọa độ (còn gọi là trục hay trục số) là đường thẳng trên đó đã xác định điể O nà G vectơ i có đọ dài www.saosangsong.com.vn Lop10.com 15 (16) 16 Chương Vectơ G O i x’ x G Điểm O là gốc tọa độ và vectơ i là vectơ đơn vị trục G Ký hiệu : trục (O; i ) hay trục x’Ox Tọa độ điểm ,của vectơ trên trục tọa độ : G JJJJG G * Cho điểm M trên trục (O; i ) thì có số m xác định để OM = mi Số m gọi là tọa độ điểm M trên trục G G * Cho vectơ a cùng phương với trục (O; i ) thì tồn số thực t cho G G a = ti G JJJJG Số t gọi là tọa độ vectơ a Như tọa độ điểm M là toạ độ vectơ OM 3.G Độ dài đại số : Cho hai điểm AJJJvà JJJ G B nằm trên trục Ox thì tọa độ vectơ AB gọi là đọ dài đại số vectơ trục Ký hiệu : AB JJJG AB trên G Như : AB = AB i JJJG G Trên trục (O; i ) cho hai điểm A và B có tọa độ a và b thì độ dài đại số AB là : AB = b – a G Hệ thức Sa-lơ : Cho ba điểm A, B , C tuỳ ý trên trục (O; i ) thì ta có : AB + BC = AC B.Giải toán Ví dụ1.Trên trục Ox cho các điểm A,B,C.D có tọa độ là -3 ; ; -1 , a) Hãy biểu diễn các điểm này trên trục JJJG JJJG JJJG b) Tính độ dài đại số các vectơ : AB , AC , CD Giải a) -3 -1 A C O B D JJJG Ta có OA = −3, OB = 2, OC = −1, OD = b) Ta có : AB = OB − OA = – (- 3) = AC = OC − OA = - – (-3) = và CD = OD − OC = – (-1) = JJJG G JJJG G G Ví dụ Trên trục (O; i ) cho hai điểm A và B với OA = −2i ; OB = 4i Tính tọa độ trung điểm M đoạn AB Giải M là trung điểm AB nên ta có : JJJJG JJJG JJJG G G G JJJJG G 2OM = OA + OB = −2i + 4i = 2i ⇔ OM = i Vậy tọa độ M là Cách khác : M là trung điểm AB nên AM = MB ⇔ xM – xA = xB - xM x +x −2 + ⇔ 2xM = xA + xB ⇔ xM = A B = =1 2 *Ví dụ Trên trục Ox cho điểm A, B, C, D có tọa độ a b c d và thỏa hệ thức : www.saosangsong.com.vn Lop10.com 16 (17) 17 Chương Vectơ AC.BD + AD.BC = Tìm hệ thức a , b , c , d Giải Theo công thức tính độ dài đại số vectơ theo tọa độ ta có : AC.BD + AD.BC = ⇔ (c – a)(d – b) + (d – a)(c – b) = hay : 2(ab + cd) = ac + ad + bc + bd Vậy (a + b)(c+ d) = 2(ab + cd) C Bài tập rèn luyện : G 1.24 Trên trục (O; i ) cho ba điểm A, B , C có tọa độ ; ; -1.Tìm tọa JJJG JJJG JJJJG G độ điểm M trên trục cho : MA + MB + MC = G 1.25 Trên trục (O; i ) cho hai điểm A và B cò tọa độ a và b a) Tìm tọa độ trung điểm M đoạn ABJJJG JJJG b) Tìm tọa độ điểm C trên trục cho CA = −2CB G *1.26 Cho trên trục (O; i ) ba điểm A B , C có tọa độ -2 ; ; Tìm tọa độ điểm M trên trục cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ *1.27 Cho trên trục Ox bốn điểm A, B , C , D thỏa AC.BD + AD.BC = Gọi I và J là trung điểm AB và CD.Chứng minh rằng: AB2 + CD2 =4IJ2 D Hướng dẫn giải JJJG JJJG JJJJG G JJJG JJJJG JJJG JJJJG G 1.24 Ta có : MA + MB + MC = ⇔ OA − OM + OB − OM = JJJJG JJJG JJJG JJJG G G G G 3OM = OA + OB + OC = 2i + 5i − i = 6i JJJJG G Do đó OM = 2i Vậy tọa độ M trên trục là JJJJG JJJG JJJG G G G 1.25 a) Ta có : 2OM = OA + OB = + bi = (a + b)i JJJJG G Do đó OM = (a + b)i Vậy tọa độ M trên trục là (a + b) 2JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJ2G JJJG JJJG b) Ta có : CA = −2CB ⇔ OA − OC = −2(OB − OC ) ⇔ 3OC = OA + 2OB JJJG G G G Do đó OC = + 2bi = (a + 2b)i a + 2b Vậy tọa độ C trên trục là *1.26 Gọi x là tọa d0ộ củ M trên trục thì ta có : MA = (-2 - x) ; MB = ( – x) ; MC = (3 – x) Do đó MA + MB2 + MC2 = ( -2 – x)2 + ( – x)2 + (3 – x)2 = + 4x + x2 + – 4x +x2 + – 6x + x2 = 3x2 – 6x + 17 = 3( x2 – 2x) + 17 = 3(x – 1)2 +14 ≥ 14 Dấu “ = “ xảy x – = hay x = Vậy MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ 14 x = *1.27 Gọi a , b , c , d là tọa độ A , B , C , D trên trục Ox a+b I là trung điểm AB nên ta có : xi = www.saosangsong.com.vn Lop10.com 17 (18) 18 Chương Vectơ J là trung điểm CD nên ta có : xj = c+d c+d a+b − ) = [(c + d ) + (a + b) − 2(a + b)(c + d )] 2 mà theo giả thiết AC.BD + AD.BC = ⇔ (a + b)(c + d) = 2(ab + cd) Do đó : IJ = ( x j − xi ) = ( Vậy 4IJ2 = [(a + b)2 + (c + d)2 – 4(ab + cd)] = (b – a)2 + (c – d)2 = AB2 + CD2 § Hệ trục tọa độ A.Tóm tắt giáo khoa Định nghĩa : Hệ trục tọa độ vuông góc gồm hai trục Ox và Oy vuông góc với G G Vectơ đơn vị trên trục Ox là i và trên trục Oy là j Điểm O là gốc tọa độ Trục Ox là trục hoành và trục Oy là trục tung G G Ký hiệu Oxy hay (O ; i , j ) Tọa độ vectơ , điểm : G G * Trong hệ trục tọa độ vuông góc (O ; i , j ) G G G u = xi + y j thì cặp số (x; y) G gọi là tọa độ vectơ u G G Ký hiệu u = (x ; y) hay u (x; y) số thứ nhứt x là hoành độ và số thứ hai y G là tung độ vectơ u G G * Trong hệ trục tọa độ (O ; i , j ) ,tọa độ vectơ JJJJG OM gọi là tọa độ điểm M Ký hiệu M(x; y) với x là hoành độ và y là tung độ điểm M Nhận xét : Gọi H và K là hình chiếu M lên Ox và Oy thì : JJJJG G G JJJG JJJG M(x; y) ⇔ OM = xi + y j = OH + OK JJJG G JJJG G Như OH = xi hay x = OH và OK = y j hay y = OK M G j O G i Biểu thức tọa độ các phép toán vectơ: www.saosangsong.com.vn Lop10.com 18 (19) 19 Chương Vectơ G G Cho u = (x ; y) và v = ( x '; y ') thì ta có : G G ⎧x = x' 1) u ( x; y ) = v( x '; y ') ⇔ ⎨ ⎩y = y' G G 2) u + v = ( x + x '; y + y ') G G 3) u − v = ( x − x '; y − y ') G 4) ku = (kx; ky ) với k ∈ R G G ⎧ x = kx ' x y 5) u = (x ; y) và v = ( x '; y ') cùng phương ⇔ ⎨ hay = x' y' ⎩ y = ky ' với x’ ≠ và y’ ≠ hay xy’ – yx’ = 6) Cho hai điểm A(xA;yJJJ A )và B(xB; yB ) thì : G tọa độ AB = (xB – xA ; yB – yA ) Độ dài đoạn AB = ‘ ( xB − x A ) + ( y B − y A ) B.Giải toán Dạng : Tìm toạ độ điểm M Cách 1: Tìm đặc tính vectơ điểm M, từ đó sử dụng công thức (1), (2), (3) , (4) Cách 2: Thiết lập phương trình hay hệ phương trình toạ độ điểm M dựa vào đặc tính điểm M Các công thức (5), (6) điều kiện cùng phương hai vectơ, công thức khoảng cách hai điểm là các phương trình cần thiết lập Ví dụ : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A(xA; yA )và B(xB; yB) Tính tọa độ diểm M đoạn AB Giải M là trung điểm AB nên ta có : JJJJG JJJG JJJG G G OM = (OA + OB ) = ( x A + xB )i + ( y A + yB ) j 2 x A + xB y A + y B Vậy tọa độ M là ( ) ; 2 JJJJG JJJG CáchJJJJ khác: Ta có AM = MB G JJJG Mà AM =(xM – xA ; yM – yA ) và MB = (xB – xM ; yB – yM) JJJJG JJJG ⎧ x − x A = x B − xM x + x y + yB Vậy M ( A B ; A ) (*) Do đó AM = MB ⇔ ⎨ M 2 ⎩ yM − y A = y B − y M (*) là công thức toạ độ trung điểm cần nhớ Ví dụ : Cho tam giác ABC biết A(xA;yA ) ; B(xB; yB) và C(xC ; yC).Tính tọa dộ trọng tâm G tam giác ABC Giải JJJG JJJG JJJG JJJG Theo tính chất trọng tâm ta có : OG = OA + OB + OC www.saosangsong.com.vn Lop10.com 19 (20) 20 Chương Vectơ ⎧ x = x A + xB + xC ⇔⎨ G ⎩3 yG = y A + yB + yC x + x + x y + yB + yC Vậy tọa độ trọng tâm G ( A B C ; A ) (*) 3 (*) là công thức toạ độ trọng tâm cần nhớ Ví dụ : Cho A(1; 4) , B(-2 ; 2) và C(4; 0) a) Chứng minh A , B , C là ba đỉnh JJJJ G tam giác b) Tính tọa độ vectơ trung tuyến AM kẻ từ A c) Tính tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Giải JJJG JJJG a) Ta có : AB = ( -3; -2) và AC =( 3; -4) JJJG JJJG −3 −2 nên AB và AC không cùng phương Ta thấy ≠ −4 Suy A,B,C không thẳng hàng và chúng tạo thành tam giác b) Toạ JJJJ G độ trung điểm M BC là M( 1; 1) Vậy : AM = ( + ; – ) = (3 ; -1) 1− + 4 + + ) hay G(1 ; 2) c) Tọa độ trọng tâm G ( ; 3 Ví dụ Cho hai điểm A(xA;yA )và B(xB; yB) Tìm tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ Giải JJJG JJJG M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔ MA = k MB với k ≠ x A − kxB ⎧ ⎪⎪ xM = − k ⎧ x A − xM = k ( xB − xM ) Vậy ⎨ ⇔⎨ ⎩ y A − yM = k ( y B − yM ) ⎪ y = y A − kyB M 1− k ⎩⎪ G G *Ví dụ Cho vectơ a =(2m + 1; 3m -2) và b = (2; 1) G G a) Tìm m để a cùng phương với b G b) Tìm tọa độ vectơ có độ dài cùng phương với b Giải G G a) a cùng phương với b ta có : 1(2m + 1) – 2(3m – 2) = Vậy m = G G b) Gọi (x ; y) là tọa độ vectơ đơn vị i cùng phương với b thì ta có ⎧ x − 2y = Giải hệ này ta x = , y = ½ hay x = -1 , y = -1/2 ⎨ 2 ⎩x + y = *Ví dụ Cho điểm A(-2; 1) , B (-4; 5) a) Tìm M trên trục Ox cho A,B,M thẳng hàng b) Tìm N trên trục Ox cho ABNO là hình thang cạnh đáy AO c) Tím giao điểm I hai đường chéo hình thang www.saosangsong.com.vn Lop10.com 20 (21)