Đang tải... (xem toàn văn)
bai tap hinh hoc 10 chuong 1 vecto
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Vectơ CHƯƠNG I VECTƠ I VECTƠ Các định nghĩa • Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B AB • Giá vectơ đường thẳng chứa vectơ • Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ, kí hiệu AB • Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu • Hai vectơ đgl phương giá chúng song song trùng • Hai vectơ phương hướng ngược hướng • Hai vectơ đgl chúng hướng có độ dài Chú ý: + Ta cịn sử dụng kí hiệu a , b , để biểu diễn vectơ + Qui ước: Vectơ phương, hướng với vectơ Mọi vectơ Các phép toán vectơ a) Tổng hai vectơ • Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB + BC = AC • Qui tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành, ta có: AB + AD = AC ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ; • Tính chất: a+b =b+a; a+0=a b) Hiệu hai vectơ • Vectơ đối a vectơ b cho a + b = Kí hiệu vectơ đối a − a • Vectơ đối • a − b = a + ( −b ) • Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB − OA = AB c) Tích vectơ với số • Cho vectơ a số k ∈ R ka vectơ xác định sau: + ka hướng với a k ≥ 0, ka ngược hướng với a k < + ka = k a • Tính chất: k ( a + b ) = ka + kb ; (k + l)a = ka + la ; k ( la ) = (kl)a ka = ⇔ k = a = • Điều kiện để hai vectơ phương: a vaø b ( a ≠ ) phương ⇔ ∃k ∈ R : b = ka • Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ≠ 0: AB = k AC • Biểu thị vectơ theo hai vectơ không phương: Cho hai vectơ không phương a , b x tuỳ ý Khi ∃! m, n ∈ R: x = ma + nb Chú ý: • Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: M trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ MA + MB = ⇔ OA + OB = 2OM (O tuỳ ý) • Hệ thức trọng tâm tam giác: G trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = ⇔ OA + OB + OC = 3OG (O tuỳ ý) Trang Vectơ www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ Baøi Cho tứ giác ABCD Có thể xác định vectơ (khác ) có điểm đầu điểm cuối điểm A, B, C, D ? Baøi Cho ∆ABC có A′, B′, C′ trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh: BC′ = C ′ A = A′ B′ b) Tìm vectơ B′C′ , C′ A′ Baøi Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh: MP = QN ; MQ = PN Bài Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: a) AC − BA = AD ; AB + AD = AC b) Nếu AB + AD = CB − CD ABCD hình chữ nhật Baøi Cho hai véc tơ a , b Trong trường hợp đẳng thức sau đúng: a + b = a − b Bài Cho ∆ABC cạnh a Tính AB + AC ; AB − AC Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB + AC + AD Baøi Cho ∆ABC cạnh a, trực tâm H Tính độ dài vectơ HA, HB, HC Bài Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài vectơ AB + AD , AB + AC , AB − AD Baøi 10 a) VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ không phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình Bài Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh: a) AB + DC = AC + DB b) AD + BE + CF = AE + BF + CD Baøi Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh: a) Nếu AB = CD AC = BD b) AC + BD = AD + BC = 2IJ c) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA + GB + GC + GD = d) Gọi P, Q trung điểm AC BD; M, N trung điểm AD BC Chứng minh đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm Baøi Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm BC CD Chứng minh: 2( AB + AI + JA + DA) = 3DB Baøi Cho ∆ABC Bên ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh: RJ + IQ + PS = Baøi Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến I trung điểm AM a) Chứng minh: IA + IB + IC = b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI www.MATHVN.com Trang Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Vectơ Bài Cho ∆ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh: a) AH = 2OM b) HA + HB + HC = HO c) OA + OB + OC = OH Baøi Cho hai tam giác ABC A′B′C′ có trọng tâm G G′ a) Chứng minh AA′ + BB′ + CC′ = 3GG′ b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Baøi Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: AM = AB + AC 3 Baøi Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm thuộc AC cho CN = NA K trung điểm MN Chứng minh: a) AK = AB + AC b) KD = AB + AC Bài 10 Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: a) AM = OB − OA b) BN = OC − OB c) MN = ( OC − OB ) 2 Baøi 11 Cho ∆ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: a) AB = − CM − BN c) AC = − CM − BN c) MN = BN − CM 3 3 3 Baøi 12 Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G a) Chứng minh: AH = AC − AB CH = − ( AB + AC ) 3 b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MH = AC − AB Bài 13 Cho hình bình hành ABCD, đặt AB = a , AD = b Gọi I trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BCI Phân tích vectơ BI , AG theo a , b Baøi 14 Cho lục giác ABCDEF Phân tích vectơ BC BD theo vectơ AB AF Bài 15 Cho hình thang OABC, AM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AM theo vectơ OA, OB, OC Baøi 16 Cho ∆ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB = 3MC , NA = 3CN , PA + PB = a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng Baøi 17 Cho ∆ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB a) Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 = b) Đặt BB1 = u , CC1 = v Tính BC , CA, AB theo u vaø v Baøi 18 Cho ∆ABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI Gọi F điểm cạnh BC kéo dài sao cho 5FB =2FC a) Tính AI , AF theo AB AC b) Gọi G trọng tâm ∆ABC Tính AG theo AI vaø AF Baøi 19 Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng G qua B a) Chứng minh: HA − 5HB + HC = b) Đặt AG = a , AH = b Tính AB, AC theo a vaø b Trang Vectơ www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 3: Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị trí điểm hình vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng OM = a , O a xác định Ta thường sử dụng tính chất về: – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k – Hình bình hành – Trung điểm đoạn thẳng – Trọng tâm tam giác, … Baøi Cho ∆ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA − MB + MC = Bài Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I M điểm tuỳ ý không nằm đường thẳng AB Trên MI kéo dài, lấy điểm N cho IN = MI a) Chứng minh: BN − BA = MB b) Tìm điểm D, C cho: NA + NI = ND ; NM − BN = NC Bài Cho hình bình hành ABCD a) Chứng minh rằng: AB + AC + AD = AC b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: AM = AB + AC + AD Baøi Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD, BC a) Chứng minh: MN = ( AB + DC ) b) Xác định điểm O cho: OA + OB + OC + OD = Baøi Cho điểm A, B, C, D Gọi M N trung điểm AB, CD, O trung điểm MN Chứng minh với điểm S bất kì, ta có: SA + SB + SC + SD = 4SO Baøi Cho ∆ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: b) 2JA + JC − JB = CA a) 2IB + 3IC = c) KA + KB + KC = 2BC d) 3LA − LB + LC = Baøi Cho ∆ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: IA − 3IB = 3BC b) JA + JB + JC = a) 2 c) KA + KB − KC = BC d) LA − LC = AB − AC Baøi Cho ∆ABC Hãy xác định điểm I, F, K, L thoả đẳng thức sau: a) IA+ IB −IC = BC b) FA + FC= AB + AC + FB c) 3KA + KB + KC = d) 3LA − 2LB + LC = Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hãy xác định điểm I, F, K thoả đẳng thức sau: a) IA + IB + IC = ID b) FA + FB = 3FC − FD c) KA + 3KB + KC + KD = Baøi 10 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD = MC + AB , ME = MA + BC , MF = MB + CA Chứng minh D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh véc tơ MA + MB + MC vaø MD + ME + MF Baøi 11 Cho tứ giác ABCD a) Hãy xác định vị trí điểm G cho: GA + GB + GC + GD = (G đgl trọng tâm tứ giác ABCD) b) Chứng minh với điểm O tuỳ ý, ta có: OG = ( OA + OB + OC + OD ) www.MATHVN.com Trang Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Vectơ Baøi 12 Cho G trọng tâm tứ giác ABCD A′, B′, C′, D′ trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh: a) G điểm chung đoạn thẳng AA′, BB′, CC′, DD′ b) G trọng tâm của tứ giác A′B′C′D′ Baøi 13 Cho tứ giác ABCD Trong trường hợp sau xác định điểm I số k cho vectơ v k MI với điểm M: a) v = MA + MB + MC c) v = MA + MB + MC + MD b) v = MA − MC − MB d) v = MA + MB + MC + 3MD Baøi 14 a) VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng • Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm thoả mãn đẳng thức AB = k AC , với k ≠ • Để chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức minh hai điểm M, N trùng ta chứng OM = ON , với O điểm MN = Baøi Cho bốn điểm O, A, B, C cho : OA + 2OB − 3OC = Chứng tỏ A, B, C thẳng hàng Baøi Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, BD lấy điểm K cho: BH = BC , BK = BD Chứng minh: A, K, H thẳng hàng HD: BH = AH − AB; BK = AK − AB Baøi Cho ∆ABC với I, J, K xác định bởi: IB = IC , JC = − JA , KA = − KB a) Tính IJ , IK theo AB vaø AC (HD: IJ = AB − AC ) b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J trọng tâm ∆AIB) Baøi Cho tam giác ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho , NA =3CN , PA + PB = MB = 3MC a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng Baøi Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F, E cho 1 AD = AF, AB = AE Chứng minh: 2 a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCF, DBEC hình bình hành Baøi Cho ∆ABC Hai điểm I, J xác định bởi: IA + 3IC = , JA + JB + 3JC = Chứng minh điểm I, J, B thẳng hàng Baøi Cho ∆ABC Hai điểm M, N xác định bởi: 3MA + MB = , NB − 3NC = Chứng minh điểm M, G, N thẳng hàng, với G trọng tâm ∆ABC Trang Vectơ www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng Baøi Cho ∆ABC Lấy điểm M N, P: MB − MC = NA + NC = PA + PB = a) Tính PM , PN theo AB vaø AC b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng Bài Cho ∆ABC Về phía ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh tam giác RIP JQS có trọng tâm Baøi 10 Cho tam giác ABC, A′ điểm đối xứng A qua B, B′ điểm đối xứng B qua C, C′ điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC A′B′C′ có chung trọng tâm Baøi 11 Cho ∆ABC Gọi A′, B′, C′ điểm định bởi: A′B + A′C = , B′C + 3B′A = , 2C ′A + 3C ′B = Chứng minh tam giác ABC A′B′C′ có trọng tâm Bài 12 Trên cạnh AB, BC, CA ∆ABC lấy điểm A′, B′, C′ cho: AA′ BB′ CC ′ = = AB BC AC Chứng minh tam giác ABC A′B′C′ có chung trọng tâm Bài 13 Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý Gọi A′, B′, C′ điểm đối xứng M qua trung điểm K, I, J cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng qui điểm N b) Chứng minh M di động, đường thẳng MN qua trọng tâm G của ∆ABC Baøi 14 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: 3MA + MB = , CN = BC Chứng minh đường thẳng MN qua trọng tâm G ∆ABC Baøi 15 Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, D E hai điểm cho BD = DE = EC a) Chứng minhAB + AC = AD + AE b) Tính AS = AB + AD + AC + AE theo AI Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng Baøi 16 Cho tam giác ABC Các điểm M, N xác định hệ thức BM = BC − AB , CN = x AC − BC a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng IM IN Baøi 17 Cho ba điểm cố định A, B, C ba số thực a, b, c cho a + b + c ≠ b) Xác định x để đường thẳng MN trung điểm I BC Tính a) Chứng minh có điểm aGA + bGB + cGC = G thoả mãn b) Gọi M, P hai điểm di động cho MP = aMA + bMB + cMC Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng Baøi 18 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN = MA + 3MB − MC a) Tìm điểm I thoả mãn IA + 3IB − IC = b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm định. cố Baøi 19 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN = MA − MB + MC a) Tìm điểm I cho IA − IB + IC = b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định c) Gọi P trung điểm BN Chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định Baøi 20 a) www.MATHVN.com Trang Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Vectơ VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ để đưa tập hợp điểm biết Chẳng hạn: – Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng – Tập hợp điểm cách điểm cố định khoảng khơng đổi đường trịn có tâm điểm cố định bán kính khoảng khơng đổi – Baøi Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho: b) MA + MB = MA + MB a) MA + MB = MA − MB HD: a) Đường tròn đường kính AB b) Trung trực AB Bài Cho ∆ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA + MB + MC = MB + MC b) MA + BC = MA − MB c) MA + MB = MB − MC d) MA + MB + MC = MA − MB − MC HD: a) Trung trực IG (I trung điểm BC, G trọng tâm ∆ABC) b) Dựng hình bình hành ABCD Tập hợp đường trịn tâm D, bán kính BA Bài Cho ∆ABC a) Xác định điểm I cho: 3IA − IB + IC = b) Chứng minh đường thẳng nối điểm M, N xác định hệ thức: MN = MA − MB + MC qua điểm cố định c) Tìm tập hợp điểm H cho: 3HA − HB + HC = HA − HB d) Tìm tập hợp điểm K cho: KA + KB + KC = KB + KC Baøi Cho ∆ABC a) Xác định điểm I cho: IA +3 IC = IB − b) Xác định điểm D cho: 3DB − DC = c) Chứng minh điểm A, I, D thẳng hàng d) Tìm tập hợp điểm M cho: MA + 3MB − MC = MA − MB − MC Baøi a) Trang Vectơ www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng II TOẠ ĐỘ Trục toạ độ • Trục toạ độ (trục) đường thẳng xác định điểm gốc O vectơ đơn vị e Kí hiệu ( O; e ) • Toạ độ vectơ trục: u = (a) ⇔ u = a.e M (k ) ⇔ OM = k.e • Toạ độ điểm trục: • Độ dài đại số củavectơ trục: AB = a ⇔ AB = a.e Chú ý: + Nếu AB hướng với e AB = AB Nếu AB ngược hướng với e AB = − AB + Nếu A(a), B(b) AB = b − a + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trục, ta có: AB + BC = AC Hệ trục toạ độ • Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc với Vectơ đơn vị Ox, Oy i , j O gốc toạ độ, Ox trục hồnh, Oy trục tung • Toạ độ vectơ hệ trục toạ độ: u = ( x; y ) ⇔ u = x.i + y j • Toạ độ điểm hệ trục toạ độ: M ( x; y ) ⇔ OM = x.i + y j • Tính chất: Cho a = ( x; y ), b = ( x′ ; y′ ), k ∈ R , A( x A ; y A ), B( xB ; yB ), C ( xC ; yC ) : x = x′ + a=b⇔ y = y′ + a ± b = ( x ± x ′ ; y ± y′ ) + ka = (kx; ky ) + b phương với a ≠ ⇔ ∃k ∈ R: x′ = kx vaø y′ = ky ⇔ x ′ y′ = (nếu x ≠ 0, y ≠ 0) x y + AB = ( x B − x A ; yB − y A ) + Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: x I = + Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: xG = x A + xB ; yI = x A + x B + xC y A + yB ; yG = y A + yB + yC 3 x − kx B y − kyB + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: x M = A ; yM = A 1− k 1− k ( M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔ MA = k MB ) www.MATHVN.com Trang Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Vectơ VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trục Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ −2 a) Tìm tọa độ AB b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB c) Tìm tọa độ điểm M cho MA + 5MB = d) Tìm tọa độ điểm N cho NA + 3NB = −1 Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ −3 a) Tìm tọa độ điểm M cho 3MA − MB = b) Tìm tọa độ điểm N cho NA + 3NB = AB Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A(−2), B(4), C(1), D(6) 1 + = a) Chứng minh rằng: AC AD AB b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh: IC ID = IA c) Gọi J trung điểm CD Chứng minh: AC AD = AB AJ Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c a) Tìm tọa độ trung điểm I AB b) Tìm tọa độ điểm M cho MA + MB − MC = c) Tìm tọa độ điểm N cho NA − 3NB = NC Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C, D tuỳ ý a) Chứng minh: AB.CD + AC.DB + DA.BC = b) Gọi I, J, K, L trung điểm đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh đoạn IJ KL có chung trung điểm Bài a) VẤN ĐỀ 2: Toạ độ hệ trục Baøi Viết tọa độ vectơ sau: 1 a) a = 2i + j ; b = i − j ; c = 3i ; d = −2 j 3 1 b) a = i − j ; b = i + j ; c = −i + j ; d = −4 j ; e = 3i 2 Baøi Viết dạng u = xi + yj biết toạ độ vectơ u là: a) u = (2; −3); u = (−1; 4); u = (2; 0); u = (0; −1) b) u = (1;3); u = (4; −1); u = (1; 0); u = (0; 0) Baøi Cho a = (1; −2), b = (0;3) Tìm toạ độ vectơ sau: a) x = a + b; y = a − b; z = 2a − 3b 1 b) u = 3a − 2b; v = + b; w = 4a − b 1 2 a) Tìm toạ độ vectơ d = 2a − 3b + 5c Baøi Cho a = (2; 0), b = −1; , c = (4; −6) Trang Vectơ www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng b) Tìm số m, n cho: ma + b − nc = c) Biểu diễn vectơ c theo a , b Baøi Cho hai điểm A(3; −5), B(1; 0) a) Tìm toạ độ điểm C cho: OC = −3 AB b) Tìm điểm D đối xứng A qua C c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3 Baøi Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Tìm tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB Baøi Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2) a) Tìm toạ độ vectơ AB, AC , BC b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB c) Tìm tọa độ điểm M cho: CM = AB − AC d) Tìm tọa độ điểm N cho: AN + BN − 4CN = Baøi Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2) a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng A qua C b) Tìm toạ độ điểm E đỉnh thứ tư hình bình hành có đỉnh A, B, C c) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC Baøi a) BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I Bài Cho tam giác ABC với trực tâm H, B′ điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ vectơ AH vaø B′C; AB′ vaø HC Baøi Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD a) Chứng minh: AC + BD = AD + BC = 2IJ b) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA + GB + GC + GD = c) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng AC BD; M, N trung điểm đoạn thẳng AD BC Chứng minh ba đoạn thẳng IJ, PQ MN có chung trung điểm Baøi Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD = MC + AB , ME = MA + BC , MF = MB + CA Chứng minh điểm D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh hai tổng vectơ: MA + MB + MC MD + ME + MF Baøi Cho ∆ABC với trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA + IB + IC = b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ∆ABC Chứng minh: a) AI = AO + AB b) 3DG = DA + DB + DC www.MATHVN.com Trang 10 Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Vectơ Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I J trung điểm BC, CD ( ) AD + AB b) Chứng minh: OA + OI + OJ = c) Tìm điểm M thoả mãn: MA − MB + MC = Baøi Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D E điểm xác định AD = AB , AE = AC 5 a) Tính AG, DE , DG theo AB vaø AC b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng Baøi Cho ∆ABC Gọi D điểm xác định AD = AC M trung điểm đoạn BD a) Tính AM theo AB AC IB AM b) AM cắt BC I Tính IC AI Bài Cho ∆ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện: a) Chứng minh: AI = c) MA + MB = MA − MB a) MA = MB b) MA + MB + MC = d) MA + MB = MA + MB e) MA + MB = MA + MC Bài 10 Cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2) a) Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài 11 Cho A(2; 3), B(−1; −1), C(6; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ABC c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Bài 12 Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1) Tìm toạ độ điểm M, N, P cho: a) Tam giác ABC nhận điểm M, N, P làm trung điểm cạnh b) Tam giác MNP nhận điểm A, B, C làm trung điểm cạnh Trang 11 ... D đối xứng A qua C b) Tìm toạ độ điểm E đỉnh thứ tư hình bình hành có đỉnh A, B, C c) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC Bài a) BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I Baøi Cho tam giác ABC với trực tâm H, B′ điểm... www.MATHVN.com Vectơ VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ để đưa tập hợp điểm biết Chẳng hạn: – Tập hợp điểm cách hai... b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng Bài Cho ∆ABC Về phía ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh tam giác RIP JQS có trọng tâm Bài 10 Cho tam giác ABC, A′ điểm đối xứng