Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 11 năm 2019-2020 được biên soạn bởi Trường THPT Phúc Thọ hệ thống kiến thức cho học sinh, giúp các em vận dụng kiến thức đã được học để giải các bài tập nhằm chuẩn bị cho kì thi sắp diễn ra. Mời các em cùng tham khảo đê cương.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÚC THỌ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KỲ II KHỐI 11 NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn: Tốn A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH I Lý thuyết Giới hạn a, Giới hạn dãy số GIỚI HẠN HỮU HẠN Giới hạn đặc biệt: 1 lim = ; lim k = (k ∈ ¢ + ) n →+∞ n n →+∞ n n lim q = ( q < 1) ; lim C = C GIỚI HẠN VÔ CỰC Giới hạn đặc biệt: k + lim n = +∞ lim n = +∞ (k ∈ ¢ ) lim q n = +∞ (q > 1) Định lí: a) Nếu lim un = +∞ lim = un n →+∞ n →+∞ Định lí: a) Nếu lim un = a, lim = b • lim ( un + ) = a + b b) Nếu lim un = a, lim = ±∞ lim • lim ( un − ) = a − b un =0 c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim = a.vn > un +∞ lim = a.vn < −∞ • lim ( un ) = a.b un a • lim = (nếu b ≠ ) b b) Nếu un ≥ 0, ∀n lim un = a a ≥ lim un = a c) Nếu un ≤ , ∀n lim = lim un = d) Nếu lim un = a lim un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u S = u1 + u1q + u1q + = ( q < 1) 1− q d) Nếu lim un = +∞, lim = a a > +∞ lim ( un ) = a < −∞ * Khi tính giới hạn có dạng vơ định: ∞ , , ∞ – ∞, 0.∞ phải tìm cách khử dạng vô ∞ định b, Giới hạn hàm số Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: lim x = x0 ; lim c = c (c: số) x → x0 Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: +∞ k = 2n lim x k = +∞ ; lim x k = x →+∞ x →−∞ −∞ k = 2n + lim c = c ; lim c = x →±∞ x →±∞ x k 1 lim− = −∞ ; lim+ = +∞ x →0 x x →0 x 1 lim− = lim+ = +∞ x →0 x x →0 x Một vài quy tắc giới hạn vô cực: * Quy tắc 1: Nếu lim f ( x) = L ≠ lim g ( x ) = ±∞ thì: x → x0 Định lí: f ( x) = L lim g ( x ) = M a) Nếu xlim → x0 x → x0 [ f ( x) + g ( x) ] = L + M thì: xlim → x0 lim [ f ( x) − g ( x) ] = L − M x → x0 lim [ f ( x).g ( x) ] = L.M x → x0 f ( x) L = (nếu M ≠ 0) x → x0 g ( x ) M b) Nếu f ( x ) ≥ lim f ( x) = L lim x → x0 x → x0 L ≥ xlim →x lim f ( x) = L f ( x) = L x → x0 f ( x) = L lim f ( x) = L c) Nếu xlim → x0 x → x0 L>0 Giới hạn bên: lim f ( x) = L ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x) = L L0 L x − Xác định a để hàm số liên tục x = Câu 48: Cho hàm số f ( x ) = ax + x ≤ A a = B a = C a = D a = 2x + + x ≥ −1 m Tìm để hàm số liên tục ¡ f x = ( ) Câu 49: x −1 x < − x + 2mx + 3m + A m = B m = −5 C m = D m = −1 Câu 50: Cho hàm số f ( x ) liên tục [ −3; 4] , f ( −3 ) = −1, f ( ) = Có thể kết luận số nghiệm phương trình f ( x ) = [ −3; 4] ? A Vơ nghiệm B Có nghiệm C Có nghiệm D Khơng thể kết luận Câu 51: Cho phương trình x + x − = Khẳng định sau sai? A Phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) 1 B Phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng ; 1÷ 2 C Phương trình cho vơ nghiệm D Phương trình cho có nghiệm Câu 52: Cho phương trình x − x + x + = (1) Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Phương trình (1) có nghiệm khoảng ( −2;1) B Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng ( 0; ) C Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng ( −2;0 ) D Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng ( −1;1) CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM Câu 53: Số gia hàm số f ( x ) = x − x + điểm x0 = ứng với số gia ∆x = bao nhiêu? A −17 B C 17 D −5 Câu 54: Số gia hàm số y = x − điểm x0 = ứng với số gia ∆x = 0,1 bao nhiêu? A − 0, 01 B 0, 21 C 0,99 D 0, 41 Câu 55: Số gia hàm số f ( x ) = x − x + ứng với x ∆x là: A ∆x ( ∆x + x − ) B x + ∆x C ∆x ( x − 4∆x ) ∆y ứng với x0 = ∆x Câu 56: Cho hàm số y = x − x Tỷ số ∆x A ∆x + B ∆x + C ∆x + Đạo hàm hàm số điểm x = y=x +x Câu 57: A 32 B 33 C 34 Câu 58: Cho hàm số f ( x ) = x − Đạo hàm hàm số x = là: A B C Câu 59: Cho hàm số f ( x ) = x − x − x Giá trị f ′ ( −1) bao nhiêu? D x − 4∆x D ∆x + D 35 D Không tồn A −2 B −1 C D Câu 60: Một chất điểm chuyển động có phương trình s = t ( t tính giây, s tính mét) Vận tốc chất điểm thời điểm t0 = A m s B m s C m s D m s Câu 61: Đạo hàm hàm số y = x − x + là: A x − x B x − x Câu 62: Hàm số sau có y ' = x + ? x x +1 3( x + x) A y = B y = x x3 C x − x C y = x3 + x − x D x − x D y = 2x2 + x −1 x + biểu thức sau đây: x 2 2 4 A 10 x + + B 10x − C 10x + D 10x + x x x x Đạo hàm hàm số biểu thức sau đây: y = −2 x + x Câu 64: 1 6 A −14 x + x B −14x + C −14 x + D −14x + x x x Câu 65: Cho hàm số y = 3x + x + Để y ′ ≤ x nhận giá trị thuộc tập sau đây: 9 2 A − ;0 B − ;0 C −∞; − ∪ [ 0; +∞ ) D −∞; − ∪ [ 0; +∞ ) 2 9 Câu 66: Cho hàm số f ( x ) = x + x − x + Để f ′ ( x ) ≤ x có giá trị thuộc tập hợp sau đây: 7 A − ;1 B −1; C − ;1 ÷ D − ;1 3 Câu 67: Cho hàm số f ( x ) = 2mx − mx Số x = nghiệm bất phương trình f ' ( x ) ≤ khi: Câu 63: Đạo hàm hàm số y = x − A m ≥ B m ≤ −1 : Câu 68: Đạo hàm y = 2x + x + − ( x + 1) − ( x − 1) 2 A B ( x + x + 1) ( x + x + 1) C −1 ≤ m ≤ C ( 2x D m ≥ −1 −1 + x + 1) D x + x − Đạo hàm ′ hàm số y Câu 69: Cho hàm số y = x+2 x2 + x + x2 + x + A 1+ B C ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2) x + x + Câu 70: Đạo hàm y = x + x −1 ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1) A − B − C − ( x + x − 1) ( x + x − 1) ( x + x − 1) x + x − Đạo hàm y = Câu 71: x2 + x −1 ( x + 1) ( x + 1) 2 A B ( x + x − 1) ( x + x − 1) x + x + Câu 72: Đạo hàm y = 2x + x −1 24 ( x + 1) 24 ( x + 1) − 2 A B ( x2 + x − 1) ( x + x − 1) C − C − (x ( x + 1) + x − 1) D + x − 1) ( 2x D − D + x + 1) 2 x2 + 8x + ( x + 2) D − 16 ( x + 1) ( 2x ( x + 1) ( 2x + 4) (x (x + x − 1) 2 ( x + 1) 2 + x − 1) 16 ( x + 1) ( 2x + x − 1) − x + x Tập nghiệm bất phương trình ′ f ( x) > Câu 73: Cho hàm số f ( x ) = x −1 A ¡ \{1} B ∅ C ( 1; +∞ ) D ¡ Câu 74: Đạo hàm y = ( x − x ) : A 10 x − 28 x + 16 x3 B 10 x − 14 x + 16 x C 10 x + 16 x Câu 75: Đạo hàm hàm số f ( x) = ( − x ) A 10 x ( − x ) biểu thức sau đây: B 10 ( − x ) Câu 76: Đạo hàm hàm số y = ( x − x ) A y ' = 2016 ( x − x ) 10 2015 2016 D x − x3 + 16 x C 20 x ( − x ) D −20 x ( − x ) B y ' = 2016 ( x − x ) 2015 9 là: ( 3x − 4x ) 2 C y ' = 2016 ( x − x ) ( 3x − x ) 2 D y ' = 2016 ( x − x ) ( 3x − x ) Câu 77: Đạo hàm y = x − x + 3x − 6x − A B 3x − x + 3x − x + Câu 78: Đạo hàm y = x − x x − 6x2 ′= y A y′ = B x − x3 x − x3 Câu 79: Đạo hàm hàm số y = x x − x là: A y ' = 2x − B y ' = 3x − x C 3x − D 3x − x + C y′ = C y ' = x − 12 x 2 x − x3 x − 3x 3x − x + D y′ = D y ' = + cot 2 x cot x D y ′ = x − 6x2 x − x3 x2 − 2x −1 x2 − 2x x2 − 2x x2 − 2x x2 − 2x Câu 80: Cho hàm số f ( x ) = x − x Để f ′ ( x ) < x có giá trị thuộc tập hợp đây: 1 1 1 2 1 A −∞; ÷ B 0; ÷ C ; ÷ D ; +∞ ÷ 3 3 3 3 3 π Câu 81: Hàm số y = sin − x ÷ có đạo hàm là: 2 π π A y′ = cos − x ÷ B y′ = −2 cos − x ÷ 2 2 π π C y′ = − cos − x ÷ D y′ = cos − x ÷ 2 2 Đạo hàm hàm số là: y = 3sin x + cos x Câu 82: A y ' = 3cos x − sin 3x B y ' = 3cos x + sin 3x C y ' = cos x − 3sin x D y ' = −6 cos x + 3sin x có đạo hàm biểu thức sau đây: Câu 83: Hàm số g ( x ) = cos x 2sin x sin x 2sin x A B − C − D − 2 cos x cos 2x cos x cos 2 x Câu 84: Hàm số y = sin x − cos x có đạo hàm là: 1 1 − + A y ′ = B y ′ = sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x − + C y ′ = D y ′ = sin x cos x sin x cos x Câu 85: Hàm số y = cot x có đạo hàm là: + tan 2 x −(1 + tan 2 x) ′ B y = C cot x cot x Hàm số y = x tan x có đạo hàm là: 2x 2x A tan x + B C cos x cos 2 x Hàm số y = ( + sin x ) ( + cos x ) có đạo hàm là: A y ′ = cos x − sin x + B C y ′ = cos x − sin x + cos x D Hàm số sau có đạo hàm y′ = x sin x ? A y = x cos x B y = sin x − x cos x C sin x Hàm số y = có đạo hàm là: x x sin x − cos x x cos x − sin x A y ′ = B y ′ = C x x2 A y ′ = Câu 86: Câu 87: Câu 88: Câu 89: y′ = tan x + 2x cos 2 x −(1 + cot 2 x) cot x D tan x + x cos 2 x y ′ = cos x + sin x + cos x y ′ = cos x + sin x + y = sin x − cos x y′ = D y = x cos x − cos x x cos x + sin x x sin x + cos x D y ′ = x x2 Câu 90: Hàm số y = cot x có đạo hàm là: −8 cos3 x −8cos3 x −8cos x −4 cos x ′ ′ ′ A y ′ = B C D y = y = y = sin x sin x sin 2 x sin x Câu 91: Cho hàm số y = sin + x Đạo hàm y ′ hàm số 2x + x cos + x cos + x A B − 2 2+ x 2+ x x ( x + 1) cos + x cos + x C D 2 2+ x 2+ x Câu 92: Cho hàm số y = f ( x ) = cos x Hãy chọn khẳng định đúng? π A f ′ ÷ = −1 2 B f ′ ( x ) = −2sin x π C y y′ + 2sin x = D f ′ ÷ = cos x 2 π x Câu 93: Cho hàm số y = sin − ÷ Khi phương trình y ' = có nghiệm là: 2 π π π π A x = + k 2π B x = − kπ C x = − + k 2π D x = − + kπ 3 3 Câu 94: Phương trình tiếp tuyến đường cong (C): y = x − x + điểm M (−1;8) là: A y = −2 x + B y = x − C y = − x + D y = x − 3 Câu 95: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = x − x + x − điểm có hồnh độ x0 = −2 A y = 18 x + 19 B y = 18 x − 19 C y = 20 x + D y = 20 x − Câu 96: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = x − x + x − điểm có hồnh độ x0 = −2 A y = 16 x − 37 B y = 16 x + 37 C y = x − 11 D y = x + 11 Câu 97: Cho hàm số y = x + x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục Ox , có phương trình: A y = 3x − y = −3 x + 12 B y = 3x + y = −3 x − 12 C y = x − y = −2 x + D y = x + y = −2 x − 3 Câu 98: Cho đường cong (C): y = x Tiếp tuyến (C) có hệ số góc k = 12 , có phương trình: A y = 12 x ± 16 B y = 12 x ± C y = 12 x ± D y = 12 x ± Câu 99: Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) , tiếp tuyến có hệ số góc x0 + y0 bằng: A B C D x Câu 100: Gọi (C) đồ thị hàm số y = − − x − x + Có hai tiếp tuyến (C) có hệ số góc 3 Đó tiếp tuyến: 29 3 37 A y = x + y = x + B y = x − y = x − 24 4 12 37 13 29 C y = x + y = x + D y = x − y = x + 12 4 24 Câu 101: Cho hàm số y = x + 3x − x + có đồ thị (C) Trong số tiếp tuyến (C), có tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Hệ số góc tiếp tuyến bằng: 11 15 19 A − B − C − D − 2 2 Cho hàm số có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = x − 6x + 9x Câu 102: d : y = x có phương trình: A y = x + 40 B y = x − 40 C y = x + 32 D y = x − 32 x Câu 103: Số tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x ) = sin x , x ∈ [ 0; 2π ] song song với đường thẳng y = A B C D Câu 104: Gọi (C) đồ thị hàm số y = x + x Tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng d : x + y = có phương trình là: A y = x − B y = 3x − C y = x − D y = x + 4 Câu 105: Cho hàm số y = x − 3x có đồ thị (C) Các tiếp tuyến khơng song song với trục hồnh kẻ từ gốc tọa độ O(0;0) đến (C) là: A y = x y = −2 x B y = x y = − x 4 C y = x y = − x D y = 3x y = −3 x 3 x2 Cho hàm số y = − x + có đồ thị (C) Từ điểm M (2; −1) kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân Câu 106: biệt Hai tiếp tuyến có phương trình: A y = − x + y = B y = − x + y = x + C y = − x − y = x − D y = − x − y = x + Câu 107: Hàm số có đạo hàm cấp hai 6x ? A y = 3x B y = x C y = x D y = x x − x Đạo hàm cấp hai hàm số Cho hàm số y = f ( x ) y = f x = ( ) Câu 108: x −1 −2 A y ′′ = + B y ′′ = C y ′′ = D y ′′ = ( 1− x) (1− x) (1− x) (1− x) Câu 109: Cho hàm số y = cos x Khi y ''(0) A – B C – D −2 Câu 110: Cho y = 3sin x + cos x Tính giá trị biểu thức A = y ''+ y là: A B C A = cos x D A = 6sin x + cos x Câu 111: Cho hàm số y = sin x Hãy chọn khẳng định khẳng định sau: A y − y′′ = B y + y′′ = C y = y′ tan x D y + ( y′ ) = π ( 4) Câu 112: Xét hàm số f ( x ) = cos x − ÷ Trên đoạn [ 0; π ] , phương trình f ( x ) = −8 có nghiệm π 5π π 5π π π A x = , x = B x = , x = C x = 0, x = D x = 0, x = 6 B HÌNH HỌC I VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa phép toán uuur uuur uuur + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC uuur uuur uuur + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD , ta có: AB + AD = AC uuur uuur uuur uuuu r + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ , ta có: AB + AD + AA ' = AC ' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý uu r uur r uuu r uuur uur Ta có: IA + IB = ; OA + OB = 2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC , O tuỳ ý uuu r uuur uuur r uuu r uuu r uuur uuur Ta có: GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý uuu r uuur uuur uuur r uuu r uuur uuur uuur uuur Ta có: GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG r r r r r r + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a ≠ 0) ⇔ ∃!k ∈ ¡ : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( k ≠ 1) , O tuỳ ý uuu r uuur uuur uuur uuuu r OA − kOB Ta có: MA = k MB; OM = 1− k Sự đồng phẳng ba vectơ • Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng r r r r r • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , a b khơng phương r r r r r r Khi đó: a , b , c đồng phẳng ⇔ ∃ ! m, n ∈ ¡ : c = ma + nb r r r r r r r r • Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý Khi đó: ∃ ! m, n, p ∈ ¡ : x = ma + nb + pc Tích vơ hướng hai vectơ • Góc hai vectơ không gian: uuur r uuur r r r · · AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC (00 ≤ BAC ≤ 1800 ) • Tích vơ hướng hai vectơ khơng gian: rr r r r r r r r + Cho u , v ≠ Khi đó: u v = u v cos(u , v ) rr r r r r + Với u = v = Qui ước: u v = r r rr + u ⊥ v ⇔ u v = II HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC r r r Vectơ phương đường thẳng: a ≠ VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai đường thẳng: • a′ // a, b′ // b ⇒( a¶, b ) = ( a· ', b ') r r r r • Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u , v ) = α · α neu 00 ≤ α ≤ 1800 Khi đó: a, b = 0 180 − α neu 90 < α ≤ 180 • Nếu a // b a ≡ b ( a¶, b ) = 00 ( ) Chú ý: 00 ≤ ( a¶, b ) ≤ 90 Hai đường thẳng vuụng gúc ã a b ( aả, b ) = 900 r r rr • Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a ⊥ b ⇔ u v = • Lưu ý: Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo III ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng a, b ⊂ ( P ), a ∩ b = O ⇒ d ⊥ ( P) d ⊥ a, d ⊥ b Tính chất • Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng a // b a ≠ b ⇒ ( P) ⊥ b ⇒ a // b • • ( P ) ⊥ a a ⊥ ( P), b ⊥ ( P ) ( P) // (Q) ( P ) ≠ (Q) ⇒ a ⊥ (Q) ⇒ ( P ) // (Q) • • a ⊥ ( P) ( P ) ⊥ a, (Q) ⊥ a a // ( P) a ⊄ ( P) ⇒b⊥a ⇒ a // ( P) • • b ⊥ ( P ) a ⊥ b, ( P ) ⊥ b Định lí ba đường vng góc Cho a ⊥ ( P ), b ⊂ ( P ) , a′ hình chiếu a ( P ) Khi b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ Góc đường thẳng mặt phẳng • Nếu d ⊥ (P) ( d· , ( P) ) = 900 • Nếu d ⊥ ( P ) ( d· , ( P) ) = ( d· , d ') với d ′ hình chiếu d ( P ) Chú ý: 00≤ ( d· , ( P) ) ≤ 900 IV HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Góc hai mặt phẳng a ⊥ ( P) ⇒ ( (ÃP ), (Q) ) = ( aả, b ) ã b ⊥ ( Q ) a ⊂ ( P ), a ⊥ c • Giả sử ( P ) ∩ ( Q ) = c Từ I ∈ c , dựng ⇒( (·P ), (Q) ) = ( a¶, b ) b ⊂ ( Q ), b ⊥ c 0 · Chú ý: ≤ ( ( P), (Q) ) ≤ 90 Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác ( H ) ( P ) , S ′ diện tích hình chiếu ( H ′ ) ( H ) ( Q ) , ϕ = ( (·P), (Q ) ) Khi đó: S ′ = S cosϕ Hai mặt phẳng vng góc • (P) ⊥ (Q) ⇔( (·P ), (Q) ) = 900 ( P ) ⊃ a ⇒ ( P ) ⊥ (Q ) • Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau: a ⊥ (Q) Tính chất ( P ) ⊥ (Q), ( P) ∩ (Q) = c ⇒ a ⊥ (Q) • a ⊂ ( P ), a ⊥ c ( P ) ⊥ (Q) ⇒ a ⊂ ( P) • A ∈ ( P) a ∋ A, a ⊥ (Q) ( P ) ∩ (Q ) = a ⇒ a ⊥ ( R) • ( P ) ⊥ ( R ) (Q) ⊥ ( R) V KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Cho điểm M đường thẳng ∆ Trong mp ( M , ∆ ) gọi H hình chiếu vng góc M ∆ Khi đó: d ( M , ∆ ) = MH Nhận xét: - OH ≤ OM , ∀M ∈ ∆ - Nếu ∆ ∆ ' song song với d (∆, ∆ ') = d ( M , ∆ ') = d ( N , ∆) Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Cho mặt phẳng ( α ) điểm M , gọi H hình chiếu điểm M mặt phẳng ( α ) Khi đó: d ( M , ( α ) ) = MH Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng Cho đường thẳng ∆ mặt phẳng ( α ) song song với Khi d ( ∆, ( α ) ) = d ( M , ( α ) ) , M ∈ ∆ , M - Nếu ∆ cắt (α ) ∆ nằm (α ) d (∆, (α )) = Khoảng cách hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( α ) ( β ) song song với Khi đó: d ( ( α ) ,( β ) ) = d ( M ,( β ) ) = d ( N,( α ) ) , M ∈( α ) , N ∈( β ) Khoảng cách hai đường thẳng Cho hai đường thẳng chéo a, b Độ dài đoạn vng góc chung MN a b gọi khoảng cách hai đường thẳng a b II BÀI TẬP PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH TRONG KHƠNG GIAN Câu 1: Qua phép chiếu song song, tính chất khơng bảo tồn ? A Chéo B đồng qui C Song song D thẳng hàng Câu 2: Câu 3: Câu 4: Câu 5: Phép chiếu song song theo phương l không song song với a b , mặt phẳng chiếu ( P ) , hai đường thẳng a b biến thành a′ b′ Quan hệ a b không bảo toàn phép chiếu song song ? A ( α ) / / ( P ) B ( α ) ≡ ( P ) C ( α ) / /l ( α ) ⊃ l D Cả đáp án sai Phép chiếu song song theo phương l không song song với a b , mặt phẳng chiếu ( P ) , hai đường thẳng a b biến thành a′ b′ Quan hệ a b khơng bảo tồn phép chiếu song song ? A Cắt B Chéo C Song song D Trùng Hình chiếu hình chữ nhật khơng thể hình hình sau? A Hình thang B Hình bình hành C Hình chữ nhật D Hình thoi Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Xác định điểm M , N tương ứng đoạn AC ', B ' D ' cho MN song song với BA ' tính tỉ số A Câu 6: Câu 7: Câu 8: B Câu 10: D VECTO TRONG KHÔNG GIAN r r r r r r Cho ba vectơ ar , br, cr không đồng phẳng Xét vectơ rx = 2ar − br; u y = −4a + 2b; z = −3b − 2c Chọn khẳng định u r r đúng? r u r A Hai vectơ y; z phương B Hai vectơ x; y phương r r r u r r C Hai vectơ x; z phương D Ba vectơ x; y; z đồng phẳng Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Chọn đáp án sai đẳng thức sau: uuuu r uuuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur A AC ' = CC ' − CB − CD ' = BB ' + BA + BC B BD uuu r uuur uuur uuuur r uuur uuu r uuur uuuur D AB + BC '+ CD + D ' A = C AA ' + AB = AD + DD ' Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt uuur r uuur r uuur r AB = b; AC = c; AD = d Khẳng định sau đúng? uuur r r r uuur r r r uuur r r r uuur r r r A MP = c + d + b B MP = c + b − d C MP = d + c − b D MP = d + b − c 2 2 Chọn mệnh đề sai: uuur uuur uuur uuuu r A AB + AD + AA ' = AC ' với ABCD A′B′C ′D′ hình hộp uuur uuur uuur B AB + BC = AC uuur uuur uuur C AB + AD = AC với ABCD hình bình hành uuur uuur uuur D AB − AC = BC Trong không gian cho điểm O bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để ( Câu 9: MA MC ' C ) ( ) ( ) ( ) A, B, C, D tạo thành hình bình hành là: uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur A OA + OB = OC + OD B OA + OC = OB + OD 2 uuu r u uur uuur uuu2r uuu r u uu r uuur uuu2r r C OA + OC = OB + OD D OA + OB + OC + OD = Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Tìm giá trị k thích Câu 11: uuuu r uuur uuur hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN = k AC + BD ( ) 1 B k = C k = D k = 2 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hãy mệnh đề sai mệnh đề sau đây: Câu 12: uuur uuu r uuur uuur r uuu r uuur AD + CA + BC + DB = A B AB.AC = a A k = uuur uuur uuur uuur uuu r uuur C AC.AD = AC.CD D AB ⊥ CD hay AB.CD = r Cho tứ diện ABCD cạnh 3a Tính uuur uuu AC.CB Câu 13: 9a −9 a a2 3a B C D A 2 2 Trong kết sau đây, kết đúng? Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Ta có Câu 14: uuu r uuur AB.EG bằng: D a2 a a uu r r uuur r uuur r gọi G trọng tâm tam giác BCD Trong Cho tứ diện ABCD Đặt u AB = a, AC = b, AD = c, Câu 15: đẳng thức sau, đẳng thức đúng? uuur r r r uuur r r r uuur r r r uuur r r r A AG = a + b + c B AG = a + b + c C AG = a + b + c D AG = a + b + c Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi O tâm hình lập phương Chọn đẳng thức đúng? 1 1 Câu 16: uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur A AO = AB + AD + AA1 B AO = AB + AD + AA1 uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur C AO = AB + AD + AA1 D AO = AB + AD + AA1 3 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC r uuuu r? Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ uuu AB DH Câu 17: A 450 B 900 C 1200 D 600 Trong không gian cho hai hình vng ABCD ABC’D’ có chung cạnh AB nằm hai mặt Câu 18: uuuur uuu r phẳng khác nhau, có tâm O O’ Hãy xác định góc cặp vectơ AB OO ' ? A 600 B 450 C 1200 D 900 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD BAC · · · = BAD = 600 , CAD = 900 Gọi I J Câu 19: uu r uuur trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ IJ CD ? A 450 B 900 C 600 D 1200 Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c Khẳng định sau sai? Câu 20: A Nếu a b vuông góc với c a//b B Nếu a//b c ⊥ a c ⊥ b C Nếu góc a c góc b c a//b D Nếu a b nằm mp (α) // c góc a c góc b c Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC · Hãy xác định góc cặp vectơ · · ASB = BSC = CSA Câu 21: uuu r uuu r SC AB A 1200 B 450 C 600 D 900 Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC’ có chung cạnh AB nằm hai mặt Câu 22: phẳng khác Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AC, CB, BC’ C’A Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình vng D Hình thang Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác Góc AB CD là? Câu 23: A 1200 B 600 C 900 D 300 Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm SC Câu 24: BC Số đo góc ( IJ, CD) bằng: A 900 B 450 C 300 D 600 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Giả sử tam giác AB’C A’DC’ có góc nhọn Góc hai Câu 25: đường thẳng AC A’D góc sau đây? A a2 B C ( ( ( ) ) ) ( ( ( ) ( ) ) ) Câu 26: Câu 27: · · · A AB'C B DA'C' C BB'D Trong mệnh đề mệnh đề là? · D BDB' A Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ vng góc với đường thẳng thứ hai B Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song với C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với chúng cắt D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba vng góc với uuur uuuu r Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Gọi M trung điểm AD Giá trị u B1M BD1 là: 1 1 3 a B a C a D a Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm CD, α góc AC BM Chọn A Câu 28: khẳng định đúng? 3 A cos α = B cos α = C cos α = D α = 600 r r Cho a = 3; b = 5; góc r r 1200 Chọn khẳng định sai khẳng định sau: a b Câu 29: r r r r r r r r A a + b = 19 B a − b = C a − 2b = 139 D a + 2b = r r r r Cho hai vectơ ar , br thỏa mãn: a = 4; b = 3; a − b = Gọi α góc hai vectơ ar , br Chọn Câu 30: khẳng định đúng? A cos α = B α = 300 C cos α = D α = 600 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Câu 31: Cho hình chóp SABC có SA⊥(ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác SBC ABC Mệnh đề sai mệnh đề sau? A BC ⊥ (SAH) B HK ⊥ (SBC) C BC ⊥ (SAB) D SH, AK BC đồng quy Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi E , F hình chiếu A lên SB, SD Khẳng định sau đúng? A SC ⊥ ( AED ) B SC ⊥ ( AFB ) Câu 33: C AC ⊥ ( SBD ) D SC ⊥ ( AEF ) Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật ABCD, SA vng góc với đáy Hỏi BC vng góc với mặt phẳng sau đây: A (SAC) B (SBD) C (SAB) D (SCD) Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang vng A D, có AD=CD=a, AB=2a, SA⊥(ABCD), E trung điểm AB Chỉ mệnh đề mệnh đề sau: A CE ⊥ (SAB) B CB ⊥ (SAB) C ∆SDC vuông C D CE ⊥ (SDC) Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng ABCD, SA vng góc với đáy Khi góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng đáy độ, biết AB=a, SB=a A 300 B.600 C 900 D 1200 Cho hình chóp tam giác S.ABC, cạnh đáy 2a , cạnh bên 3a Gọi γ góc Câu 36: SA (ABC) Tính tan γ 5 A B C D Câu 37: Câu 38: Câu 39: Câu 40: Câu 41: Câu 42: Câu 43: Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, SA ^ (ABC) Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SC,cắt SC E cắt SB F Thiết diện (P) hình chóp S.ABC là: A Hình thang vng B Tam giác C Tam giác cân D Tam giác vng Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác Tính số đo góc SA (ABC) A 600 B 750 C 450 D 300 Mệnh đề sau sai? A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song B Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng thứ ba song song C Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O SA ^ (ABCD) Các khẳng định sau, khẳng định sai? A SA ^ BD B SC ^ BD C SO ^ BD D AD ^ SC Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆ cho trước? A B Vô số C D Cho tứ diện SABC có SA ⊥(ABC) AB⊥BC Số mặt tứ diện SABC tam giác vuông là: A B C D Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ^ (ABCD), SA = a Gọi α góc SC mp(ABCD) Chọn khẳng định khẳng định sau: A α = 300 B cos α = C α = 450 D α = 600 Cho a, b, c đường thẳng khơng gian Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Nếu a ⊥ b b ⊥ c a // c B Nếu a vng góc với mặt phẳng (α) b // (α) a ⊥ b C Nếu a // b b ⊥ c c ⊥ a Câu 45: D Nếu a ⊥ b, c ⊥ b a cắt c b vng góc với mặt phẳng (a, c) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu O mp(ABC) Xét mệnh đề sau: I Vì OA ⊥ OB OA ⊥ OC nên OC ⊥ (OAB) II Do AB ⊂ (OAB) nên AB ⊥ OC (1) III Có OH ⊥ (ABC) AB ⊂ (ABC) nên AB ⊥ OH.(2) IV Từ (1) (2) ⇒AB ⊥ (OCH) Trong mệnh đề trên, mệnh đề là: A I, II, III, IV B I, II, III C II, III, IV Câu 46: Câu 47: Câu 48: D IV, I Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA (ABC), SA = a Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với trung tuyến SM tam giác SBC Thiết diện (P) hình chóp S.ABC có diện tích bằng? a2 a2 a 16 A B C a D 16 Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a Trên đường thẳng qua O vng góc với (ABCD) lấy điểm S Biết góc SA ( ABCD) có số đo 450 Tính độ dài SO a a A SO = a B SO= a C SO = D SO= 2 Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a Lấy điểm S khơng thuộc (ABCD) cho SO⊥(ABCD) Tính số đo góc SC ( ABCD) A 750 B 450 C 300 D 600 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 6a , cạnh bên 8a Gọi γ góc Câu 49: SB (ABC) Tính cos γ B C D A 3 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC · Biết tan SOB = Câu 50: Câu 51: Cho hai mặt phẳng (P) (Q), a đường thẳng nằm (P) Mệnh đề sau sai? A Nếu a//b với b = (P) ∩(Q) a // (Q) B Nếu (P) ⊥ (Q) a ⊥ (Q) C Nếu a cắt (Q) (P) cắt (Q) D Nếu (P)//(Q) a//(Q) Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng ABCD cạnh 2a , SA ⊥ mặt phẳng đáy, SC= a 15 Gọi γ góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Khi tan γ A B C D 5 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , SA vng góc với đáy Gọi M Câu 52: trung điểm AC Khẳng định sau sai? A BM ⊥ AC B ( SBM ) ⊥ ( SAC ) C ( SAB ) ⊥ ( SBC ) D ( SAB ) ⊥ ( SAC ) Câu 53: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật ABCD, AB= a , BC= , SB ⊥ (ABCD), SC= 2a Gọi α góc mặt phẳng (SAD) (ABCD) Khi sin α A Câu 54: a B 2 C D Cho hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD A′B ′C ′D′ có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (ABCD) (ABC’) có số đo 600 Cạnh bên hình lăng trụ bằng: A 2a B 3a C a D a Câu 55: Câu 56: Cho hình chóp S.ABC có (SBC) ^ (ABC) SBC tam giác cạnh a ABC tam giác vng · A góc ABC 300 Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (SAB) (ABC) Chọn khẳng định khẳng định sau? A tan ϕ = 3 B ϕ = 600 C ϕ = 300 D tan ϕ = Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA = SB Góc (SAB) (ABCD) α Chọn khẳng định khẳng định sau? A α = 600 B cos α = C cos α = D cos α = Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh , SA ⊥ (ABCD), SB= a Gọi β góc a Câu 57: hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) cos β 14 B 14 C 14 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng ABCD cạnh A Câu 58: 21 a , SD ⊥ đáy, SD= 2a Khi sin D góc hai mặt phẳng (SCB) mp(ABCD) Câu 59: Câu 60: Câu 61: Câu 62: Câu 63: A B 21 C 21 D 7 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60 Tính độ dài đường cao SH a a a a A SH = B SH = C SH = D SH = 3 Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a SA vng góc với đáy SA = a Gọi (P) mặt phẳng qua SO vng góc với (SAD) Diện tích thiết diện (P) hình chóp S.ABCD bao nhiêu? a2 A a B a C D a 2 2 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng ABCD cạnh a , SA ⊥ đáy, SD= 2a Khi góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) A 300 B 450 C 600 D 900 Cho hai mặt phẳng (P) (Q) song song với điểm M không thuộc (P) (Q) Qua M có mặt phẳng vng góc với (P) (Q)? A B C D vơ số Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang vuông ABCD (vuông A B), SA ⊥ (ABCD), AD= 3a ,BC= a ,AC= 2a ,SA= a Gọi β góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) Khi cos β B C D 2 Cho hình chóp cụt tứ giác ABCD A′B′C ′D′ cạnh đáy nhỏ ABCD a cạnh đáy Câu 64: lớn A’B’C’D’bằng a Góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính chiều cao OO’ hình chóp cụt cho a a 2a 3a A OO’= B OO’ = C OO’ = D OO’ = 3 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật ABCD, SD ⊥ (ABCD), AB= a , DB= a , SC= Câu 65: a Gọi γ góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Khi tan γ A 1 C D 15 5 Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với AC = AD = BC = A Câu 66: B BD = a, CD = 2x Gọi I, J trung điểm AB CD Tính IJ theo a x? ( a + x2 ) ( a − x2 ) a2 − x2 a2 + x2 B IJ = C IJ = D IJ = 2 2 KHOẢNG CÁCH Cho tứ diện ABCD cạnh a Khi khoảng cách từ A đến mp(BCD) A IJ = Câu 67: A a B a C 3a D 2a 3 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 3a Gọi α góc Câu 68: SA (ABC) Tính tan α 26 B 26 C 13 D 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a , cạnh bên tạo với đáy góc 30 Tính A Câu 69: Câu 70: khoảng cách từ S đến mp(ABCD) a B a C a A 2 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng ABCD cạnh D a ,SA ⊥ (ABCD), SA= a Tính a khoảng cách từ B đến mp(SCD) Câu 71: A a B a 30 C a Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật ABCD có AB= 3a , BC= 2a , SC ⊥ mặt phẳng đáy, D a SB= 2a Tính khoảng cách từ C đến mp(SAB) a A 2a B a D a C Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có cạnh đáy , cạnh bên 3a a Câu 72: Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD) a 30 a a 15 a A B C D Câu 73: Câu 74: Câu 75: Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy 2a chiều cao a Tính khaỏng cách từ tâm O đáy ABC đến mặt bên: a 2a A B C a D a 10 Cho hình thang vuông ABCD vuông A D, AD = 2a Trên đường thẳng vng góc D với (ABCD) lấy điểm S với SD = a Tính khỏang cách đường thẳng DC ( SAB) a 2a a A a B C D 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có ba kích thước AB = a, AD = 2a, AA 1= 3a Khoảng 1 1 cách từ A đến mặt phẳng (A1BD) bao nhiêu? A a B a C a D a Câu 76: Câu 77: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy cạnh bên a Khoảng cách từ AD đến mp(SBC) bao nhiêu? 2a a 3a A B a C D 3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ∆ ABC cạnh 2a , cạnh bên tạo với đáy góc 600 Tính d(S,(ABC))=? 2a C a D a Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh a Khoảng cách BB’ AC bằng: A 2a Câu 78: B a a a a B C D 3 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng Câu 79: đáy 300 Hình chiếu H A mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’ Khoảng cách hai đường thẳng AA’ B’C’ là: a a a a A B C D Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang vng ABCD ( vng A D), DC=AD= a , AB= 2a Câu 80: , SA ⊥ mp đáy, SA= 3a Tính d(A,(SCD))=? A 3a B 3a 10 C a 10 D a 10 10 10 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật ABCD có AB= 2a , BC= 3a , SA ⊥ (ABCD), SA= Câu 81: a Tính d(A,(SBC))=? A 2a B a 13 C 3a 22 D 2a 3 11 Cho tứ diện OABC, OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC = a A Câu 82: Câu 83: Câu 84: Khoảng cách OA BC bao nhiêu? a a a A B C a D 2 Cho hình chóp A BCD có cạnh AC ⊥ (BCD) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng: a 11 4a 3a 2a A B C D 3 Cho tứ diện SABC SA, SB, SC vng góc với đôi SA = 3a, SB = a, SC=2a Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng: 3a 7a 8a A B C Câu 85: D 5a 6 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân A , SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) BC = cm Khoảng cách hai đường thẳng SA BC A cm B 2 cm C cm D cm ... '' = + cot 2 x cot x D y ′ = x − 6x2 x − x3 x2 − 2x −1 x2 − 2x x2 − 2x x2 − 2x x2 − 2x Câu 80: Cho hàm số f ( x ) = x − x Để f ′ ( x ) < x có giá trị thuộc tập hợp đây: 1 1 1 2? ?? 1 A... P = D lim Câu 11: Trong giới hạn sau đây, giới hạn – 1? 2n − 2n − 2n − A lim B C lim lim −2n3 − −2n − −2n3 + 2n2 Câu 12: Dãy số sau có giới hạn vô cực? −1 + 2n 5n + + 2. 3n n2 + n + A un = B... trị lim Câu 20 : x →1 x2 −1 A B 2 x + x − bằng: Câu 21 : xlim →−4 x2 + 4x A −1 B x + − x + x + Câu 22 : lim x→0 x A −∞ B − f ( x) = Tính lim f ( x) − Câu 23 : Cho lim x ? ?2 x ? ?2 A B Câu 24 : xlim →−1