SP cực TRỊ hàm ẩn phần 2

NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHĨM TỐN VD – VDCCỦA HÀM SỐ CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ y = f '( x) PHẦN 2: BIẾT BIỂU THỨC CỦA HÀM SỐ y = f ′( x) Dạng toán Biết biểu thức hàm số tốn khơng chứa tham số Dạng tốn Biết biểu thức hàm số toán chứa tham số Dạng toán Biết biểu thức hàm số tốn khơng chứa tham số Dạng tốn Biết biểu thức hàm số toán chứa tham số Dạng toán Biết biểu thức hàm số tốn khơng chứa tham số y = g ( x) = f ( x) + h ( x) xét cực trị hàm số y = f ′( x) y = g ( x) = f ( x) + h ( x) xét cực trị hàm số y = f ′( x) xét cực trị hàm số y = f ′( x) xét cực trị hàm số y = f ′( x) xét cực trị hàm số y = f ′( x) Dạng toán Biết biểu thức hàm số toán chứa tham số xét cực trị hàm số y = f ′( x) Dạng toán Biết biểu thức hàm số tốn khơng chứa tham số Dạng tốn Biết biểu thức hàm số tốn khơng chứa tham số Dạng toán 10 Biết biểu thức hàm số toán chứa tham số y = g ( x) = f ( u ( x) ) trong y = g ( x) = f ( u ( x) ) + h ( x) y = g ( x) = f ( u ( x) ) + h ( x) y = g ( x ) =  f ( u ( x ) )  k y = g ( x ) =  f ( u ( x ) )  k NHĨM xét cực trịTỐNVD hàm số – VDC y = f ′( x) Dạng toán Biết biểu thức hàm số toán chứa tham số y = g ( x) = f ( u ( x) ) xét cực trị hàm số y = f ′( u ( x) ) y = f ′( u ( x) ) y = f ( x) xét cực trị hàm số y = f ( x) xét cực trị hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số DẠNG Biết biểu thức y = g ( x) = f ( x) + h ( x) hàm số y = f ′( x) xét cực trị hàm số tốn khơng chứa tham số f ′( x) = y = f ( x) Cho hàm số có đạo hàm y = g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) số A B 2 x − x − x+3 9 Khi số điểm cực trị hàm NHĨM TỐN VD – VDC C D Lời giải Chọn D y = g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) ⇒ g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + 1) =  f ′ ( x ) − ( x + 1)  Ta có y = f ′( x) Vẽ hai hàm số y = x +1 hệ trục tọa độ, ta có NHĨM TỐNVD – VDC  x = −3 g ′ ( x ) = ⇔  x =  x = g′( x ) Bảng xét dấu hàm : y = g ( x) Từ bảng xét dấu ta có đáp án hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang có điểm cực trị NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số f ' ( x ) = ( − x ) ( x − 1) + x, ∀x ∈ ¡ y = f ( x) Cho hàm số g ( x ) = f ( x ) − x2 − A x = −1 có đạo hàm Hỏi hàm số đạt cực tiểu điểm đây? x =1 x=3 B C Lời giải D NHĨM TỐN VD – VDC Chọn B g ' ( x ) = f ' ( x ) − x = ( − x ) ( x − 1) + x − x = ( − x ) ( x − 1) Ta có x=0 x = g ' ( x ) = ⇔ ( − x ) ( x − 1) = ⇔   x = ±1 Ta có bảng biến thiên g ( x) Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số đạt cực tiểu ( 0; +∞ ) f ( x) Cho hàm số liên tục có đạo hàm f '( x ) = ln x − x ( 0; +∞ ) g ( x ) = f ( x ) + x + 2019 A x =1 có điểm cực trị khoảng B C Lời giải Hỏi hàm số ? D Chọn D g '( x) = f '( x) + = ln x − x + Ta có: h '( x) = ( 0; +∞ ) h( x) = ln x − x + Xét hàm số NHĨM TỐNVD – VDC Ta có: 1− x −1 = x x h '( x) = ⇔ x = Có h( x ) Bảng biến thiên hàm x sau: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang +∞ NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số h '( x ) + h( x ) −∞ −∞ NHĨM TỐN VD – VDC h( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ g '( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) Vậy ( 0; +∞ ) g '( x) Do khơng đổi dấu nên hàm số y = f ( x) Cho hàm số g ( x) liên tục ¡ khơng có cực trị khoảng f ' ( x ) = ( x + 1) ( x − 3x − ) có Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x ) + x3 − 3x − x + A B có điểm cực trị? C D Lời giải Chọn D y = f ( x) Vì hàm số ¡ liên tục ¡ g ( x ) = f ( x ) + x − 3x − x + nên hàm số liên tục g ' ( x ) = f ' ( x ) + 3x − x − = ( x + 1) ( x − x − ) + ( x + 1) ( x − 3) = ( x + 1) ( x − ) ( x + ) Có  x = −1 g ' ( x ) = ⇔  x =  x = −3 NHĨM TỐNVD – VDC Ta có bảng biến thiên x g '( x) −∞ −3 − −1 + g ( x) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang +∞ − + NHÓM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số g ( x) Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị y = f ( x) f ' ( x ) = x ( x + 1) ¡ Cho hàm số ( x − 2) liên tục có đạo hàm g ( x ) = f ( x ) + x3 + x − NHĨM TỐN VD – Hỏi hàm số có điểm cực tiểu? VDC A B C D Lời giải Chọn C Ta có: g ' ( x ) = f ' ( x ) + x ( x + 1) = x ( x + 1) ( x − x − x + ) x=0  x = −1  g ' ( x ) = ⇔ x ( x + 1) ( x − 1) ( x − ) = ⇔  x =  x = −  x = y = g ( x) Lập bảng biến thiên hàm số x -∞ - _ y' -1 + _ +∞ y + _ +∞ + +∞ NHĨM TỐNVD – VDC y = g ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực tiểu f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − ) y = f ( x) Cho hàm số có đạo hàm Khi g ( x ) = f ( x ) − x3 + 3x A x =1 đạt cực đại x=2 B C x = −1 Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang D x=3 hàm số NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Chọn A Ta có: g ( x ) = f ′ ( x ) − 3x + = ( x − 1) ( x − ) − ( x − 1) = ( x − 1) ( x − 3) x =  x2 −1 = g′ ( x ) = ⇔  ⇔  x = −1 x − =  x = NHĨM TỐN VD – VDC Bảng biến thiên: −∞ x −1 − g′( x ) + 0 +∞ − + g ( x) y = g ( x) Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số Cho hàm số y = f ( x) đạt cực đại x =1 f' x xác định ¡ có đạo hàm ( ) thỏa mãn f ′ ( x ) = ( − x ) ( x + ) g ( x ) + 2019 g ( x) < ∀x ∈ ¡ với với y = f ( − x ) + 2019 x + 2020 Hàm số đạt cực đại x0 = x0 = x0 = A B C x0 = D Lời giải NHĨM TỐNVD – VDC Chọn D h ( x ) = f ( − x ) + 2019 x + 2020 Đặt Ta có: h′ ( x ) = − f ′ ( − x ) + 2019 = − 1 − ( − x )  ( − x ) +  g ( − x ) − 2019 + 2019 = −x ( − x) g ( 1− x ) ; x = h′ ( x ) = ⇔  x = h( x) Bảng biến thiên hàm số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số x0 = Vậy hàm số đạt cực đại D = ( 0; +∞ ) y = f ( x) Cho hàm số Hàm số A có tập xác định y = g ( x) = f ( x) + x − x B NHĨM TỐN VD – VDC f '( x) = x ln x + x " x > có đạo hàm , có điểm cực trị? C D Lời giải Chọn A g '( x) = f '( x) + x − x = x ln x + x − x = x ( ln x + x − 1) ∀x > Ta có: , g '( x) = ⇔ ln x + x − = (*) h ( x ) = ln x + x − ∀x > Xét hàm số , h '( x) = +1 > y = h ( x) ( 0; +∞ ) ∀x > ⇒ x , Hàm số đồng biến khoảng Mặt khác: h(1) = ⇒ x =1 NHĨM TỐNVD – VDC Phương trình (*) có nghiệm Bảng xét dấu: y = g ( x) Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số f ′ ( x ) = x ( x − 2) f ( x) Cho hàm số có đạo hàm g ( x) = f ( x) + ( − x) Số điểm cực trị hàm số A B C D Lời giải 2 NHĨM TỐN VD – VDC Chọn B g′ ( x) = f ′( x ) − 3( − x ) = f ′ ( x ) − 3( x − 2) = ( x − 2) (x − x − 3) Ta có x = g ′ ( x ) = ⇔  x = −1  x = g ( x) Bảng biến thiên hàm số Từ BBT suy hàm số có điểm cực trị DẠNG Biết biểu thức hàm số toán chứa tham số y = f ( x) Câu 1: y = f ′( x) xét cực trị hàm số y = g ( x) = f ( x) + h ( x) NHĨM TỐNVD – VDC f ′ ( x ) = ( x − 3) ( x + 1) x∈¡ có đạo hàm với Có giá trị y = f ( x ) − mx m nguyên dương tham số để hàm số có điểm cực trị? A B C D Cho hàm số Lời giải Chọn A y′ = f ′ ( x ) − m = ( x − 3) ( x + 1) − m Xét đạo hàm y′ = ⇔ ( x − 3) ( x + 1) = m ; https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số ⇔ y′ = YCBT có nghiệm phân biệt g ( x ) = ( x − 3) ( x + 1) = x − x − Đặt g ′ ( x ) = x − x = x ( x − 1) ; ; BBT NHĨM TỐN VD – VDC Vậy −4 < m < −3 , mà m ngun nên khơng có y = f ( x) Câu 2: m y = f ′( x) Cho hàm số có đồ thị đạo hàm hình vẽ Có giá trị nguyên − 12 ; 12 ( ) y = f ( x ) + mx + 12 m tham số thuộc khoảng cho hàm số có điểm cực trị? A B 18 C 20 D 12 Lời giải Chọn C NHĨM TỐNVD – VDC y′ = f ′ ( x ) + m Đạo hàm YCBT ⇔ y′ = ⇔ f ′ ( x ) = − m ; y′ = Phương trình (có nghiệm đơn) (có nghiện đơn nghiệm kép) ⇔ y = −m y = f ′( x) đường thẳng cắt đồ thị đạo hàm điểm có có hồnh độ nghiệm đơn (bội https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số lẻ) hai điểm có điểm có hồnh độ bội chẵn  −m ≥ m ≥ ⇔ ⇔  − m ≤ −1  m ≤ −3 Kết hợp với có tất m ∈ ( −12 ; − 3] ∪ [ ; 12 ) m ∈ ( −12 ; 12 ) ta + 11 = 20 Cho hàm số A Tìm 0 ïï m x >   g ′ ( x ) = ⇔  x − = ⇔  x =   x + ln x − =   x + ln x − = (1)   ( 0; +∞ ) y = x + ln x − Hàm số đồng biến nên phương trình (1) có nghiệm nghiệm x =1 Dễ thấy nghiệm (1) Bảng biến thiên NHĨM TỐNVD – VDC 3  x0 ∈  ;3 ÷ y = g ( x) x = x0 = 2  Từ bảng biến thiên suy hàm số đạt cực tiểu Vậy y = f ( x) Cho hàm số điểm cực trị? A có đạo hàm B f ′ ( x ) = x − x ∀x ∈ ¡ , C https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23 Hàm số  x y = f 1 − ÷+ x  2 D có NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Lời giải Chọn C Xét hàm số  x g ( x ) = f  − ÷+ x  2  x  x2  x   x = − − − − + = − + = 0NHĨM ⇔ x = ±6TỐN VD –  ÷  ÷ g ′ ( x ) = − f ′ 1 − ÷+ 2       2  VDC = g′( x) Bảng xét dấu Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực trị y = f ( x) Cho hàm số điểm cực tiểu? A y = f ( ex ) − x f ′ ( x ) = x − x + 11 ∀x ∈ ¡ có đạo hàm , Hàm số có B C D Lời giải Chọn C g ( x ) = f ( ex ) − x Xét hàm số ex = x =  x ⇔ e = ⇔  x = ln ex = g ′ ( x ) = ex f ′ ( ex ) − = e3 x − 6e2 x + 11ex − = 0NHÓM  x = ln 3– VDC  TOÁNVD g′( x) Bảng xét dấu Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực tiểu DẠNG Biết biểu thức y = g ( x) = f ( u ( x) ) + h ( x) hàm số y = f ′( x) toán chứa tham số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24 xét cực trị hàm số NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số y = f ′( x) DẠNG Biết biểu thức hàm số tốn khơng chứa tham số f '( x ) = x + x y = f ( x) Câu 1: Cho hàm số xét cực trị hàm số có đạo hàm Số điểm cực tiểu hàm số NHĨM TỐN VD – VDC B C D Lời giải Chọn C Ta có f ( x ) = ∫ ( x + x ) dx = x + x + C f (0) = ⇒ C = f ( x ) = x + x + > 0, ∀x Do ta có g '( x ) = ( x − ) f ( x − x − 3) f ' ( x − x − 3) Ta có: x = 2 x − = g '( x) = ⇔  ⇔  x = −1 2  ( x − x − 3) + ( x − x − ) =  x = Bảng biến thiên NHĨM TỐNVD – VDC y = g ( x) Từ bảng biến thiên ta suy hàm số y = f ( x) Câu 2: có cực tiểu f ' ( x ) = 3x2 − Cho hàm số có đạo hàm có điểm cực trị? A B f ( 2) = C Lời giải Chọn A https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25 k f (0) = g ( x ) = f ( x − x − 3) A y = g ( x ) =  f ( u ( x ) )  Hàm số D g ( x ) =  f ( − x )  NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số y = f ( x) + Hàm số f ' ( x ) = 3x − có đạo hàm ⇒ y = f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ ( x − ) d x = x − x + C f ( ) = ⇒ 23 − 3.2 + C = ⇔ C = Mà NHĨM TỐN VD – VDC ⇒ f ( x ) = x3 − 3x + + g ( x ) =  f ( − x )  ⇒ g ' ( x ) = f ( − x )  f ( − x )  ' = − f ( − x ) f ' ( − x ) f g '( x) = ⇔   f 1 − x = ( nghiem kep ) ( − x ) − ( − x ) + =  ( − 2x ) =  − x = −2 ⇔ 1 − x = ⇔ 1 − x = ' ( 1− 2x ) = 1 − x = −1   1 − x = −1   x = ( nghiem boi ba )  ⇔ x =  x =  ⇒ x = 1, x = g′( x) = phương trình có nghiệm đơn g ( x ) =  f ( − x )  nghiệm bội ba NHĨM TỐNVD – VDC Bảng biến thiên: Vậy hàm số có điểm cực trị https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26 x=0 NHÓM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số y = f ( x) Câu 3: Cho hàm số bậc bốn trùng phương f ' ( x ) = x3 − x có đạo hàm g ( x) = f ( x) + f ( x) +1 f ( ) = −1, f ( −1) = −2 Hàm số có nhiều điểm cực tiểu? A B C Lời giải D Chọn B  x = −1 f ' ( x ) = ⇔ x − x = ⇔  x =  x = + y = f ( x) Bảng biến thiên hàm số bậc bốn trùng phương g′( x) = f ( x) f ′( x) + f ( x) f ′( x ) = +   f ( x) =  ⇔  f ′( x) =   f ( x) = −  NHĨM TỐNVD – VDC Dựa vào bảng biến thiên ta có:  x = x1 x = f ( x) = ⇔  , f ′( x) = ⇔  x = x x = ±   , https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27 NHĨM TỐN VD – VDC NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số x = a x = b f ( x) = − ⇔  x = c  x = d x1 < a < −1 < b < < c < < d < x2 thỏa mãn: g′( x) Khi để có nhiều điểm cực tiếu bảng xét dấu x g′( x) −∞ − a x1 + −1 − b + 0 g ( x) = f ( x) + f ( x) +1 Vậy hàm số DẠNG Biết biểu thức hàm số toán chứa tham số có nhiều y = f ′( x) DẠNG Biết biểu thức hàm số tốn khơng chứa tham số DẠNG 10 Biết biểu thức hàm số tốn chứa tham số NHĨM TỐN VD – x2 +∞ VDC d c − có dạng: + − y = f ′( u ( x) ) 0 + y = g ( x ) =  f ( u ( x ) )  xét cực trị hàm số xét cực trị hàm số NHĨM TỐNVD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28 − điểm cực tiểu xét cực trị hàm số y = f ′( u ( x) ) + y = f ( x) y = f ( x) k trong NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số NHĨM TỐN VD – VDC NHĨM TỐNVD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29 ... Trang 21 NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số f ′ ( x ) = ( − x ) ( x2 − 8) y = f ( x) Cho số có y = f ( x2 − 2) + x − x + 20 20 A hàm đạo D x − x + 20 20 Xét hàm số... toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số éD '' = m - £ ê êìï ïï D '' = m - > Û Û ê êï êí S =- 2m < êïï êïïỵ P = > ë Kết hợp với ïìï m ẻ Â ị m ẻ { - 2; - 1;0;1; 2; ; 20 18; 20 19} í ïïỵ m £ 20 19 20 22. .. điểm cực trị D NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số g '' ( x ) = f '' ( x ) − m2 = x − x − m2 Đạo hàm g ( x ) = f ( x ) − m2 x + 3m YCBT: Hàm số có điểm cực trị ⇔