Bài 7 cực trị hàm trùng phương(2)

CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG  Câu Cho hàm số  y = ax + bx + c   a ¹  Trong điều kiện nào sau đây thì hàm số có ba  ( ) cực trị:  A.  a, b  cùng dấu và  c  bất kì.  B.  a, b  trái dấu và  c  bất kì.  C.  b =  và  a, c  bất kì.  D.  c =  và  a, b  bất kì.  Hướng dẫn giải:   éx = ê Ta có  y ' = 4ax + 2bx = x 2ax + b ; y ' = Û ê b   êx = 2a ë ( ) Để hàm số có ba cực trị thì phương trình  x = - Û- b  có hai nghiệm phân biệt khác 0  2a b > Û ab <  Khi đó  a, b  trái dấu và  c  bất kì.  2a   Câu Cho hàm số  y = ax + bx +   a ¹  Để hàm số có một cực tiểu và hai cực đại thì  ( ) a, b  cần thỏa mãn:  A.  a < 0, b <   B.  a < 0, b >   C.  a > 0, b <   D.  a > 0, b >   Hướng dẫn giải:   éx = ê Ta có  y ' = 4ax + 2bx = x 2ax + b ; y ' = Û ê b   êx = 2a ë ( ) ìa < (dang thi ) ìïa < ï   Để hàm số có một cực tiểu và hai cực đại Û í b Ûí >0 ïïỵb > ỵ 2a   Câu Cho hàm số  y = ax + bx +   a ¹  Để hàm số có một cực đại và hai cực tiểu thì  ( ) a, b  cần thỏa mãn:  A.  a < 0, b ¹   B.  a ¹ 0, b >   C.  a > 0, b <   D.  a > 0, b >   Hướng dẫn giải:   éx = ê Ta có  y ' = 4ax + 2bx = x 2ax + b ; y ' = Û ê b   êx = 2a ë ( ) ìa > (dang thi ) ìïa > ï   Để hàm số có một cực tiểu và hai cực đại Û í b Ûí >0 ïï îb < î 2a   Câu Cho hàm số  y = ax + bx +   a ¹  Để hàm số chỉ có một cực trị và là cực tiểu thì  ( ) a, b  cần thỏa mãn:  A.  a < 0, b £   B.  a < 0, b >   C.  a > 0, b <   D.  a > 0, b ³   Hướng dẫn giải:   éx = ê Ta có  y ' = 4ax + 2bx = x 2ax + b ; y ' = Û ê b   êx = 2a ë ( ) () Để hàm số có một cực trị thì  *  vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0Û - éb = b    £ 0Û ê êëab > 2a Khi đó, để cực trị này là cực tiểu thì  a >  Vậy  a > 0, b ³     Câu Tìm số cực trị của hàm số sau:  y = x - x +   A.  x = 0; x = 1; x = -1.  B. 3.  Hướng dẫn giải:   éx =   y ' = x3 - x; y ' = Û ê ëêx = ±1 Vậy hàm số có 3 cực trị.    C.  y = 1; y =   D. Cả ba đáp án A, B, C.  Câu Số điểm cực đại của hàm số  y = - x - x +  là:  A. 0.  B. 1.  C. 2.  D. 3.  Hướng dẫn giải:   y ' = -4 x - x; y ' = Û x =    x  y'        Vậy hàm số có 1 cực đại.    +  -¥       0  0        –      +¥     +¥     Câu Số điểm cực đại của hàm số  y = x + 100  là:  A. 1.  B. 2.  C. 0.  D. 3.  Hướng dẫn giải:   y ' = x3 ; y ' = Û x =    x  y'          –  Vậy hàm số khơng có cực đại.      -¥   0  0        Câu Đồ thị hàm số  y = - x + x +  có:  A.  1 điểm cực đại và khơng có điểm cực tiểu.  B.  1 điểm cực tiểu và khơng có điểm cực đại.  C.  1 điểm cực đại và   điểm cực tiểu.  D.  1 điểm cực tiểu và   điểm cực đại.  Hướng dẫn giải:   éx = ê Ta có  y ' = -4 x + x = -4 x x - ; y ' = Û êx =   ê ëêx = -1 ( )     +    Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm cực trị. Lại có hệ số của  x  là  -1 <  nên đồ thị hàm số có  1  điểm cực tiểu và   điểm cực đại.    Câu Đồ thị hàm số  y = x - x + ax + b  có điểm cực tiểu  A 2; -2  Tìm tổng  a + b   ( A. –14.  B. 14.   C. –20.  ) ( ) D. 34.  Hướng dẫn giải:   Ta có  y ' = x - x + a  và  y '' = 12 x -   Do  A 2; -2  là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên   ( ) ì y ' (2) = ì32 - 12 + a = ï ìïa = -20 ï ïï Ûí Þ a + b = -14     í y '' (2) > Û í48 - > ï ï ïb = 34 ỵ ïỵ y (2) = -2 ï ỵ16 - 12 + 2a + b = -2   Câu 10 Hàm số  y = x4 - x - :  A.Nhận điểm  x =  làm điểm cực tiểu.  B.Nhận điểm  x = -  làm điểm cực đại.  C. Nhận điểm  x =  làm điểm cực đại.  D. Nhận điểm  x =  làm điểm cực đại.  Hướng dẫn giải:   éx =    y ' = x - x; y ' = Û ê êx = ± ë x  y'  -¥     -      0      +¥     –  0  +  0  –  0  +    Þ xCT = ± 2, xCD =     Câu 11 Đồ thị hàm số  y = x - x +  có bao nhiêu điểm cực trị có tung độ dương?  A. 1.  B. 2.  C. 3.  D. 4.  Hướng dẫn giải:   é Þy= êx = ê ê   Ta có:  y ' = x - x = x x - ; y ' = Û êx = Þ y = ê êx = Þ y = ê ë ( )   Câu 12 Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực tiểu của hàm số  y = x - x  là:  A.  y = -1   B.  y =   C.  y = x -   D.  y = x   Hướng dẫn giải:   éx =    y ' = x3 - x; y ' = Û ê ëêx = ±1 x  y'    –1    0    –  0  +  0  +¥         0  y                –1      Phương trình đường thẳng đi qua 2 cực tiểu:  y = -1    -¥     –        1  0      –1    +          ( Câu 13 Tìm  m  để hàm số  y = mx + m - x + 10  có 3 cực trị.  ém < -3   êë0 < m < ) ém £ -3   ëê0 < m £ A.  ê ém £ -3   ëê0 £ m < B.  ê C.  ê Hướng dẫn giải:   ( ( y ' = 4mx + m - x = x 2mx + m -    ) ) Hàm số có 3 cực trị Û y ' =  có 3 nghiệm phân biệt  ém £ -3   êë0 £ m £ D.  ê +¥   +¥     Û 2mx + m2 - =  có 2 nghiệm phân biệt khác 0  ì ém < -3 ï D ' = -2 m m - >    Ûí Ûê ùợm - ở0 < m < ( )   Câu 14 Tìm  m  để hàm số  y = x - mx - x + 3m  đạt cực tiểu tại điểm  x =   A.  m =   B.  m = -6   C.  m =   D.  m = -3   Hướng dẫn giải:   y ' = x - 2mx -    Hàm số đạt cực tiểu tại x =   Þ y ' = Þ 4.2 - 2m.2 - = Þ m =   () éx = -1    ëêx = Khi đó  y ' =  có 2 nghiệm  ê x  y'    –  -¥     Vậy  m =  thỏa mãn   –1  0    –  2  0  +¥   +      Câu 15 Tìm  m  để hàm số  y = x + ax + b  đạt cực trị tại điểm  x =  và giá trị cực trị tương  ứng bằng –2.  A.  a = ; b =   B.  a = - ; b =   C.  a = ; b = -   Hướng dẫn giải:   ì ì1 + 2a = = a ï ì ï ï y ' (1) = ï    y ' = x3 + 2ax; GT Û í Û í1 Ûí ïỵ y (1) = -2 ï + a + b = -2 ï ỵ4 ïb = î   D.  a = - ; b = -   Câu 16 Tìm  m  để 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số  y = x - 2(m + 1) x + m  tạo thành 3 đỉnh  của một tam giác vuông.  A.  m =   B.  m = -1   C.  m =   D.  m = ±1   Hướng dẫn giải:   ( y ' = x - (m + 1) x = x x - m -   ) Hàm số có 3 cực trị  y ' =  có 3 nghiệm phân biệt   Û x - m - =  có 2 nghiệm phân biệt khác 0  ìïD = (m + 1) > Ûí Û m > -1 ùợ m - 1ạ ( ) ( A 0; m , B ) ( ) m + 1; -2m - , C - m + 1; -2m -  là ba điểm cực trị.    Tam giác ABC vuông Û AB AC = Û - m + + m + ( ) ( ) ém = -1(L)    = 0Û ê êm = TM ( ) ë   Câu 17 Tìm  m  để đồ thị hàm số  y = x - 2mx + 2m + m  có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của  tam giác đều.  B.  m = 3   A.  m =   C.  m = - 3   D.  m = ± 3   Hướng dẫn giải:   ( y ' = x - 4mx = x x - m   ) Hàm số có 3 cực trị  y ' =  có 3 nghiệm phân biệt   Û x - m =  có 2 nghiệm phân biệt khác 0  ì ïD = m > Ûí Û m > ùợ- m ( ) ( A 0; 2m + m , B ) ( ) m ; m - m + 2m , C - m ; m - m + 2m  là ba điểm cực trị.  ém = (L) Tam giác ABC đều Û AB = BC Û AB = BC Û m + m = 4m Û ê ê ê ëm = (TM )     Câu 18 Cho hàm số  y = x - 2mx +  Tìm các giá trị của tham số  m  để đồ thị hàm số có ba  điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1.  A.  m = 1; m = -1 ±     B.  m = 1; m = -1 +   -1 +   D.  m = 1; m = -1 -   C.  m = -1; m =   Hướng dẫn giải:   ( y ' = x - 4mx = x x - m   ) Hàm số có cực trị thì  y ' =  có 3 nghiệm phân biệt   Û x - m =  có 2 nghiệm phân biệt khác 0  ìïD ' = 4m > Ûí Û m > ùợ- m A (0;1) , B ( ) ( ) m ;1 - m , C - m ;1 - m  là ba điểm cực trị.  S ABC = yB - y A xC - xB = m m , AB = AC = m + m , BC = m   é êm = TM ( ) ê ê m + m m -1 + AB AC.BC = = 1Û m3 + = 2m Û êêm = R= (TM )    4S ABC 4m m ê ê êm = -1 - (L) êë ( )   Câu 19 Hàm số  y = x + 2mx + m + m  có ba cực trị khi:.  A.  m =   B.  m >   C.  m <   D.  m ¹   Hướng dẫn giải:   ( éx =   êëx = - m Ta có  y ' = x3 + 4mx = x x + m ; y ' = Û ê ) Để hàm số có ba cực trị Û y ' =  có ba nghiệm phân biệt Û - m > Û m <     Câu 20 Đồ thị hàm số  y = ax + bx + c  có điểm cực đại  A (0; -3)  và có điểm cực tiểu  B (-1; -5)   Khi đó giá trị của  a, b, c  lần lượt là:  A.  -3; -1; -5   B.  2; -4; -3   C.  2;4; -3   D.  -2; 4; -3   Hướng dẫn giải:   Ta có  y ' = 4ax + 2bx  và  y '' = 12ax + 2b   ìï y ' (0) = Ûb <   ïỵ y '' (0) < Đồ thị có điểm cực đại  A 0; -3 Û í ( ) ìï y ' (-1) = ïì2a + b =   Ûí ïỵ y '' (-1) > ïỵ6a + b > Đồ thị có điểm cực tiểu  B -1; -5 Û í ( ) ìïc = -3   ïỵa + b + c = -5 Mặt khác  A, B Ỵ C : y = ax + bx + c Û í ( ) ì 2a + b = ì2a + b = ìa = ï ï ï ï ï ï Vậy ta có hệ phương trình  íc = -3 Û ía + b = -2 Û íb = -4  (thỏa mãn)  ï ï ï ï ï ï ỵ a + b + c = -5 îc = -3 î c = -3   ( Câu 21 Tìm  m  để đồ thị hàm số  y = x - m - m + x + m -  có một điểm cực đại, hai điểm  ) cực tiểu và thỏa mãn khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.  A.  m = -   B.  m = Hướng dẫn giải:     C m =     D.  m = -   éx =   êx = ± m - m + ë 2 ù ê Ta có  y ' = x - m - m + x = x é êx - m - m + ú ; y ' = Û ( ) ( ë ( )û ) Suy ra đồ thị có hai điểm cực tiểu là  A - m - m + 1; yCT  và  B ( m - m +1; y ) CT   éỉ ùú ê Khi đó  AB = m - m + = ỗ m - ữữ + Du=xyra m = ỗ ờố ứ ỳỷ ë ( )   Câu 22 Cho hàm số  y = - x + 2mx -  có đồ thị là  (Cm )  Tìm các giá trị của  m  để tất cả các  ( ) điểm cực tiểu của  Cm  đều nằm trên các trục tọa độ.  A.  m £   B.  m =   C.  m >   ém £   ëêm = D.  ê Hướng dẫn giải:   ( éx =   ëêx = m Ta có  y ' = -4 x + 4mx = -4 x x - m ; y ' = Û ê ) Để hàm số có ba điểm cực trị Û m >   Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là  ( ) A (0; -4) Î Oy ,  B - m ; m -  và  C ( ) m ; m -   ém = -2 (L)   êm = tm ( ) ë u cầu bài tốn Û B, C Ỵ Ox Û m - = Û ê   Câu 23 Giá trị của tham số  m  bằng bao nhiêu để đồ thị hàm số  y = x - 2mx +  có ba điểm  cực trị  A 0;1 ,  B ,  C  thỏa mãn  BC = ?.  ( ) A.  m = ±   B.  m = Hướng dẫn giải:     C.  m =   D.  m = ±   ( éx =   ëêx = m Ta có  y ' = x - 4mx = x x - m ; y ' = Û ê ) Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị Û y ' =  có ba nghiệm phân biệt Û m >   Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:  A 0;1 , B ( ) ( ( ) ) m ;1 - m  và  C - m ;1 - m   Yêu cầu bài toán:   BC = Û m = Û m = Û m =  (thỏa mãn điều kiện).    Câu 24 Tìm  m  để đồ thị hàm số  y = x - (3m + 1) x + (m + 1)  có ba điểm cực trị tạo thành  tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.  A.  m = -   B.  m =   3 C.  m = -    D.  m =   Hướng dẫn giải:   éx =   ê ëx = (3m + 1) ù ê Ta có  y ' = x - 3m + x = x é ëx - 3m + û ; y ' = Û ) ( ) ( Để hàm số có ba cực trị Û 3m + > Û m > -   ( ) Khi đó đồ thị có ba điểm cực trị là   ( ) A 0; (m + 1) ,  B - (3m + 1); -9m2 - 4m +  và  C ( ) ( 2(3m +1); -9m - 4m +1)   æ m + + -9 m - m + ( ) ỗ ố ( Suyratatrngtõmcatamgiỏc ABC l G = ỗ ỗ0; ộ ờm = (tm) ê Yêu cầu bài toán:  G º O Û (m + 1) + -9m - 4m + = Û ê   êm = - L () êë (   ) ) ư÷÷   ÷ ø Câu 25 Cho hàm số  y = mx + (m - 1) x + - 2m  Tìm  m  để đồ thị hàm số chỉ có 1 điểm cực  trị.  A.  m £ 0; m ³   B.  m £ 0; m ³   C.  m £ 1; m ³   D.  m £ -1; m ³   Hướng dẫn giải:   Nếu  m =  thì  y = - x + Þ y ' = -2 x; y ' = Û x = Þ  Hàm số có 1 cực trị.  Vậy  m =  thỏa mãn.  Nếu  m ¹  thì  y ' = 4mx + m - x = x 2mx + m -   ( ) ( ) Để đồ thị hàm số có 1 cực trị thì  y ' =  có 1 nghiệm Û 2mx + m - =  vơ nghiệm hoặc có  nghiệm kép  x =   éD = 8m (1 - m) < ê êìD = 8m - m = ( ) Û êém < 0, m >    Û êï êí -0 êëm = êï = ê ï 2m ëỵ Vậy  m £ 0; m ³     Câu 26 Cho hàm số  y = x4 - mx +  Tìm  m  để đồ thị hàm số chỉ có cực tiểu mà khơng có  2 cực đại.  A.  m ³   B.  m ³ -2   C.  m £   D.  m £   Hướng dẫn giải:   ( y ' = x - 2mx = x x - m   ) Do hệ số của  x  dương nên đồ thị chỉ có cực tiểu mà khơng có cực đại khi và chỉ khi  y ' =  có 1  nghiệm.  Û x - m =  vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép  x =    ém < Ûê Û m £    ëêm =   Câu 27 Cho hàm số  y = x - 2m (m - 1) x + m +  Tìm  m  để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu  và các điểm cực trị tạo thành một tam giác vng cân.  A.  m = -1 ±   B.  m = 1±   C.  m = 1±   D.  m = -1 ±    Hướng dẫn giải:   ( y ' = x - 4m (m - 1) x = x x - m + m   ) ém <    êëm > Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì  y ' =  có 3 nghiệm phân biệt Û ê Các điểm cực trị:   ( m - m; -m (m -1) + m +1), C (- m - m; -m (m -1) + m +1)   AB m - m ; - m (m - 1) ; AC - m - m ; - m (m - 1) ( ) ( ) A (0; m + 1) , B 2 2 2 2 2       é ê êm = (L)   ê 4    DABC  vuông cân Û AB AC = Û - m - m + m (m - 1) = Û êm = 1(L) ê ê êm = 1± (TM ) êë ( )   Câu 28 Tìm tất cả giá trị của tham số  m  để đồ thị hàm số  y = x - (2m - 1) x + m2 + m  có ba  điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32.  A.  m =    B.  m =    C.  m = Hướng dẫn giải:   éx = ê y ' = x - 2m (2m - 1) x; y ' = Û ê 2m -   êx = ë    D.  m =   Để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì thì  y ' =  có 3 nghiệm phân biệt Û 2m - > Û m >    Các điểm cực trị:   2 ỉ 2m - ỉ 2m - ö 2m - 1) 2m - 1) ( ( ỗ ữ ỗ ;;A 0; m + m , B ỗ + m + m ữ , C ỗ+ m + m ữữ ỗ ữ ỗ ữ 4 è ø è ø ( ) ổ Gi H ltrungimca BC ị H ỗ ç0; - ç è (2m - 1) ö + m + m ÷÷    ÷ ø 2 2m - 1) AH = ( 2m - 1) 2m - 2m - 1 ; BC = ; S ABC = AH BC = ( = 32 2    Û (2m - 1) = 32768 Û 2m - = Û m =   Câu 29 Tìm tất cả giá trị của tham số  m  để đồ thị hàm số  y = x - 2mx + m + m  có ba điểm  cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng  120°   A.  m =    3 C.  m = 3    B.  m =    D.  m = -1   Hướng dẫn giải:   éx = y ' = x3 - 4mx; y ' = Û ê   êëx = m Để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì thì  y ' =  có 3 nghiệm phân biệt Û m >    Các điểm cực trị:   ( ) ( A 0; m + m , B ) ( ) m ; m , C - m ; m    Gọi  H  là trung điểm của BC Þ H 0; m    ( ) AH = m ; AB = m + m ém = (L)    ê AH = AB Û 2m = m + m Û 4m = m + m Û 3m - m = Û ê êm = (TM ) êë   ( Câu 30 Với giá trị của tham số  m  thì đồ thị hàm số  y = x - - m x + m +  có ba điểm cực  ) trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.  A.  m =    B.  m = -    C.  m =    D.  m = -2   Hướng dẫn giải:   éx = y ' = x3 - - m x; y ' = Û ê   êëx = - m ( ) Để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì thì  y ' =  có 3 nghiệm phân biệt Û1 - m > Û-1 < m <  (*)  Ta chọn ngay đáp án C do chỉ có đáp án C thỏa mãn (*)      ... Để hàm số có một cực trị thì  *  vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0Û - éb = b    £ 0Û ê êëab > 2a Khi đó, để cực trị này là cực tiểu thì  a >  Vậy  a > 0, b ³     Câu Tìm số cực trị của hàm số sau: ...  là ba điểm cực trị.   ém = (L) Tam giác ABC đều Û AB = BC Û AB = BC Û m + m = 4m Û ê ê ê ëm = (TM )     Câu 18 Cho hàm số  y = x - 2mx +  Tìm các giá trị của tham số  m  để đồ thị hàm số có ba  điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1. ... = Û ê ) Để hàm số có ba điểm cực trị Û m >   Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là  ( ) A (0; -4) Ỵ Oy ,  B - m ; m -  và  C ( ) m ; m -   ém = -2 (L)   êm = tm ( ) ë Yêu cầu bài toán Û