Dang 2. Phương pháp đổi biến số(TH)

6 Câu [2D3-1.2-2] (Sở Điện Biên) Cho hàm số f ( x) ¡ liên tục ∫ f ( x) dx = 10, ∫ f ( 2x) dx bằng: A 30 B 20 C 10 D Lời giải Chọn D t = x ⇒ dt = 2dx Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Đặt: Ta có: Câu ∫ 6 1 f t d t = f ( x ) dx=5 ( ) ∫0 ∫0 f ( x ) dx = [2D3-1.2-2] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Tất nguyên hàm hàm f ( x) = A 3x − 3x − + C B 3x − + C 3x − + C C − Lời giải D − 3x − + C Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen Chọn B Áp dụng công thức ∫ dx = ax + b + C với a, b∈ ¡ a ax + b Hoặc dùng đạo hàm để kiểm tra ngược đáp án PT 12.1 Tất nguyên hàm hàm số ln | x + 1| + C A C 6ln | x + 1| + C f ( x) = B x + 3ln | x + 1| + C ln | x + 1| + C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen Chọn A k k dx = ln | ax + b | + C Áp dụng công thức ∫ ax + b với k , a, b∈ ¡ a PT 12.2 A Biết −2 −2 ∫ f ( x ) dx = , tính ∫ f ( x ) dx = B C 18 Lời giải D 16 Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen Chọn B ∫ 1 f ( 3x − ) dx = ∫ f ( x − ) d ( 3x − ) = ∫ f ( t ) dt = 30 −2 Câu [2D3-1.2-2] (THPT-n-Mơ-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho 2 1 ∫ f ( x ) dx = ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = , ∫ g ( x ) dx A B − C 11 D Lời giải Tác giả: Nguyễn Hồng Hạnh; Fb: Nguyễn Hồng Hạnh Chọn B Ta có: 2 2 1 ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ⇔ 2∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = ⇔ + ∫ g ( x ) dx = ⇔ ∫ g ( x ) dx = − 1 Câu [2D3-1.2-2] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2019) Biết nguyên hàm F ( x ) = e2 x ( a sin x + b cos x ) + f ( x ) = e2 x sin x ( a, b Ô ) Tính giá trị biểu thức T = a + 2b − A B C − D Lời giải Tác giả: Trần Thị Thúy; Fb: Thúy Minh Chọn B Hàm số f ( x) xác định ∀ x∈ ¡ Ta có 2x F ' ( x ) = 2e2 x ( a sin x + b cos x ) + e x ( a cos x − b sin x ) = e  ( 2a − b ) sin x + ( a + 2b ) cos x  F ( x) nguyên hàm f ( x) ¡ ⇔ F '( x) = f ( x) , ∀ x ∈ ¡ 2x 2x ⇔ e  ( 2a − b ) sin x + ( a + 2b ) cos x  = e sin x , ∀ x ∈ ¡ Vậy T = a+  1 = +  − ÷ − 2b −   = −   a =  2a − b = ⇔  b = − ⇔  a + 2b =  Câu [2D3-1.2-2] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Tìm họ nguyên hàm A C F ( x) = F ( x) = −1 ( x + 1) +C +C −1 ( x + 1) B D Lời giải F ( x) = F ( x) = F ( x) = ∫ −1 ( x + 1) ( x + 1) +C +C −1 ( x + 1) dx Tác giả:Mai Quỳnh Vân; Fb:Vân Mai Chọn C Ta có: F ( x) = ∫ dx = ∫ ( x + 1) dx = −3 ( x + 1) −3 ( x + 1) d(2x+1) ∫ ( x + 1) −1 = +C= +C 2 ( − 2) ( x + 1) −2 Câu [2D3-1.2-2] (Sở Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm hàm số ln x + ln x + C A ln x + C B f ( x) = ln x x ( ) C ln x + C D ln ln x + C Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hợp ; Fb: Hợp Nguyễn Chọn B ln x = dx Xét I = ∫ f ( x ) dx ∫ x t = ln x ⇒ dt = dx Đặt x 1 I = ∫ tdt = t + C = ln x + C Khi 2 π Câu [2D3-1.2-2] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Biết ∫  cos x + f ( x )  dx = − π , π ∫ f ( x ) dx − π A Chọn D bằng: B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Ngọc Duy; Fb: Ngọc Duy 5= Ta có π π π π − π − ∫  cos x + f ( x )  dx = ∫ cos x dx + ∫ f ( x ) dx − π π π π π − − = sin x + ∫ f ( x ) dx  π  π   f ( x ) dx = + ∫ f ( x ) d x π =  sin − sin  − ÷ + ∫π π π − − 2   4 π −1 ∫ f ( x ) dx = = − Suy Câu π [2D3-1.2-2] (Sở Quảng NamT) Cho hàm số f′ ( x ) dx Khi ∫ f A ( x) + C x f ( x) có đạo hàm liên tục khoảng ( 0;+ ∞ ) bằng: f ( x) + C dx ⇒ dx = 2dt x B ( ) ( ) C − f x + C D f x + C Lời giải Tác giả: Trần Tố Nga ; Fb: Trần Tố Nga Chọn D t = x ⇒ dt = Đặt Vậy Câu ∫ f′ x ( x ) dx = x ∫ f ′ ( t ) dt = f ( t ) + C = f ( x ) + C [2D3-1.2-2] (Chuyên Bắc Giang) Cho hai hàm số có đạo hàm F ( x ) G ( x ) = x ln ( x − 1) F ( x) , G ( x) F ( x) , G ( x) ( x + 1) ln ( x − 1) − x − x + C C ( x + 1) ln ( x − 1) + x − x + C B ∫ ( ) ( ) ( x − 1) ln ( x − 1) − x − x + C ( ) ( ) D x − ln x − − x + x + C Lời giải Tác giả: Hồng Văn Thơng; Fb: Thơng Hồng Chọn B Cách Dùng kiến thức nguyên hàm ∫ ( x) d ( F ( x) ) Ta có f x G x dx= F ′ x G x dx= G Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Đặt ( 1;+∞ ) Biết tách công thức MT x2 F ( x ) g ( x ) = x − Họ nguyên hàm f ( x ) G ( x ) A ∫ ( ) ( ) tách công thức MT xác định u = G ( x ) ,dv = d ( F ( x ) ) ⇒ u′ = G′ ( x ) , v = F ( x ) 2 x2 = x ln ( x − 1) − ∫ dx Khí đó: ∫ G ( x ) d ( F ( x ) ) = F ( x ) G ( x ) − ∫ F ( x ) G′ ( x ) dx x −1 2x2   I=∫ dx = ∫  ( x + 1) + ÷dx = x + x + 2ln x − + C Ta tính x −1 x −   = x + x + 2ln ( x − 1) + C , ∀ x > Suy ∫ f ( x ) G ( x ) dx = x ln ( x − 1) − ( x = ( x − 1) ln ( x − 1) − x − x + C + x + 2ln ( x − 1) ) + C Cách Dùng kiến thức tích phân + Máy tính cầm tay + Góc tiếp cận khác f ( x ) G ( x ) với x đoạn tập ( 1;+∞ ) Phân tích: họ ngun hàm Ta có cơng thức MT thuộc ( 1;+∞ ) nên ( F ( x ) G ( x ) ) ′ = F ′ ( x ) G ( x ) + F ( x ) G′ ( x ) = f ( x ) G ( x ) + F ( x ) g ( x ) Suy 3 2 ′ ∫ ( F ( x ) G ( x ) ) dx = ∫ ( f ( x ) G ( x ) + F ( x ) g ( x ) ) dx 3 x2 ⇔ ( x ln ( x − 1) ) − ∫ dx − ∫ f ( x ) G ( x ) dx = ( 1) x − 2 ( ) ( ) Thay hàm số (bỏ số C) vào vị trí f x G x cơng thức (1) Kiểm tra máy tính cầm tay Phép thử cho kết phương án Nhận xét Với tốn tìm ngun hàm có biểu thức liên quan đến đạo hàm Ta khai thác theo hướng dùng nguyên hàm phần (cách 1) xây dựng công thức đạo hàm kiểu ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C (Cách 2) Với dạng tốn tìm ngun hàm mà cho dạng cơng thức đáp án Ta sử dụng máy tính cầm tay tính thử tích phân với cận thuộc tập xác định (cách 2) Câu 10 [2D3-1.2-2] (THPT Nghèn Lần1) Họ nguyên hàm hàm số A x + 3 x + + C B + C C x + f ( x) = + C x2 x + x + + C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Dung ; Fb:Chau Ngoc Chọn B 2 u = x3 + ⇔ u = x3 + ⇔ udu = x 2dx I = ∫ du = u + C Đặt Khi 3 Với u = x +1 I= x + + C Câu 11 [2D3-1.2-2] (Đoàn Thượng) Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn f ′ ( x ) f ( x ) = x4 + x2 Biết f ( ) = Tính f ( ) A f ( 2) = 313 15 B f ( 2) = 332 15 f ( 2) = 324 15 f ( 2) = 323 15 C D Lời giải Tác giả: Trần Công Diêu; Fb: Trần Công Diêu Chọn B Theo đề: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) = x + x Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: f ( x) x5 x3 f ′ ( x ) f ( x ) dx = ∫ ( x + x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) d ( f ( x ) ) = ∫ ( x + x ) dx ⇒ +C = + 4 22 x x3 332 f ( 0) = ⇒ + C = ⇒ C = − ⇒ f ( x ) = + + ⇒ f ( 2) = Mà 15 Câu 12 [2D3-1.2-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho A, B, C ∈ ¡ ∫ x ( 3x − ) Tính giá trị biểu thức 12 A + 23 A 252 241 B 252 dx = A ( 3x − ) + B ( 3x − ) + C với 7B 52 C D Lời giải Tác giả: Trần Thị Thơm; Fb: Tranthom Chọn D Đặt t = 3x − ⇒ dt = 3dx ⇒ dx = dt Khi t + = ( t + 2t ) dt = x x − d x = t dt ∫ ) ∫ ( 3∫ =  t 2t   + ÷+ C 9  ( 3x − ) + ( 3x − ) + C 36 63 Từ ta có A= B= 12 A + B = 36 , 63 Suy Câu 13 [2D3-1.2-2] (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Họ nguyên hàm hàm số 20 x − 30 x + 3  f ( x) = ; +∞ ÷  khoảng  2x −  là? ( x + x + 1) C ( x − x + 1) A 2x − + C 2x − ( 4x − x + 1) 2x − D ( x − x + 1) x − + C B 2 Lời giải Tác giả:Minh Hạnh; Fb: fb.com/meocon2809 Chọn D  t2 + x = t = 2x − ⇒   Đặt  dx = tdt 20 x − 30 x + 5t + 15t + dx = ∫ tdt = ∫ ( 5t + 15t + ) dt == t + 5t + 7t + C ∫ Ta có t 2x − = t ( t + 5t + ) + C = x −  (2 x − 3) + 5(2 x − 3) +  + C = ( x − x + 1) x − + C Câu 14 [2D3-1.2-2] (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019) Biết ∫ x ( x + 1) A 100 ( x + 1) dx = 102 a ( x + 1) − 101 +C b B , a, b ∈ ¡ a − b D Giá trị hiệu C Lời giải Tác giả: Đinh Mạnh Thắng; Fb: Dinh Thang Chọn A ∫ x ( x + 1) 100 dx = 100  x + −  x + dx = ( ) ( )  2∫ 101 100 =  ∫ ( x + 1) d ( x + 1) − ∫ ( x + 1) 4 Do Vậy a = 408, b = 404 1 101 100 x + d x − x + dx  ( ) ( ) ∫  ∫ 102 101 x + x + ( ) ( ) d ( x + 1)  = − +C  408 404 a − b = Câu 15 [2D3-1.2-2] (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm hàm số A C f ( x) = sin x ( + sin x ) f ( x) = − +C +C + sin x f ( x) biết f ′( x) = cos x ( + sin x ) B f ( x) = +C + cos x D f ( x) = sin x +C + sin x Lời giải Tác giả: Đinh Gấm; Fb: đinh gấm Chọn C Ta có: f ( x) = ∫ cos x ( + sin x ) dx = ∫ ( + sin x ) d ( + sin x ) = − Câu 16 [2D3-1.2-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hàm số f ′ ( x) = f e = f e Tính x.ln x ( ) ( ) f ( x) +C + sin x xác định ( e;+ ∞ ) thỏa mãn A f ( e4 ) = ln f ( e4 ) = − ln B ( ) ( ) C f e = 3ln D f e = Lời giải Tác giả: Hồng Văn Thơng; Fb: Thơng Hồng 4 Chọn A Cách 1 dx, f ( e ) = Từ giả thiết suy x.ln x 1 f ( x) = ∫ dx = ∫ d ( ln x ) = ln ( ln x ) + C Ta có , x.ln x ln x f ( x) = ∫ ∀x> e f ( e2 ) = ⇔ ln ( ln e2 ) + C = ⇔ C = − ln ⇒ f ( x ) = ln ( ln x ) − ln Suy f Cách ( e ) = ln ( ln e ) − ln = ln − ln = 2ln − ln = ln 4 e4 dx = f ( e ) − f ( e ) ∫ Ta có e2 x ln x với f e = ( ) e4 dx ⇔ f e = ln ln e4 − ln ln e2 = ln x ln x e f (e ) = ∫ Suy Cách Dùng máy tính cầm tay Dạng tốn: Cho hàm f ( x) biết ( ) f ′ ( x) ( ) ( f ( a) ) Tính f ( b) b b a a f ′ ( x ) dx = f ( b ) − f ( a ) ⇒ f ( b ) = ∫ f ′ ( x ) dx + f ( a ) ∫ Suy luận: Nếu a < b ta có Thao tác máy tính: b ∫ f ′ ( x ) dx + f ( a ) Nhập vào máy tính a gán cho biến nhớ, giả sử A Gọi biến nhớ A hình trừ kết đáp án A, B, C, D Phép trừ cho giá trị đáp án e4 ∫ dx Thao tác hình x ln x , gán biến nhớ thực trừ cho kết đáp e2 án A, B, C, D Phép thử cho kết đáp án Câu 17 [2D3-1.2-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho F ( ) = Giá trị F ( − 1) A F ( x) nguyên hàm f ( x) = x + thỏa mãn bằng: B C Lời giải D Tác giả: Giáp Văn Quân ; Fb: quanbg.quan Chọn D Ta có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ dx = x + + C x+ Theo đề F ( 2) = nên + C = ⇔ C = ⇒ F ( − 1) = Câu 18 [2D3-1.2-2] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Gọi số A f ( x) = F ( x) nguyên hàm hàm x − x thỏa mãn F ( ) = Khi phương trình F ( x ) = x có nghiệm là: x = B x = C x = − D x = − Lời giải Tác giả: Huỳnh Trọng Nghĩa ; Fb: Huỳnh Trọng Nghĩa Chọn D Ta có: Đặt F ( x) = 8− x dx t = − x ⇒ t = − x2 ⇒ 2tdt = − xdx ⇒ xdx = -tdt F ( x) = ∫ Mà ∫ x x − x2 dx = ∫ − tdt = − ∫ dt = − t + C = − − x + C t F ( ) = ⇒ − − 22 + C = ⇒ C = F ( x ) = − − x2 + Ta có:  − x ≥ F ( x ) = x ⇔ − − x2 + = x ⇔ − x2 = − x ⇔  2  − x = ( − x ) x ≤  x ≤ ⇔ ⇔  x = 1− ⇔ x = 1−  2x − 4x − =     x = + Vậy ta chọn đáp án D binhlt.thpttinhgia1@thanhhoa.edu.vn Câu 19 [2D3-1.2-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Biết F ( x) nguyên hàm hàm số  3 F− ÷ − x F ( − ) = Tính    3  3  3 F  − ÷= F  − ÷= F  − ÷= A   B   C   f ( x) = 1− Lời giải   13 F  − ÷= D   Tác giả: Giáp Văn Quân ; Fb: quanbg.quan Chọn C   F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫  − ÷ dx = x + − x + C Ta có: 1− 2x    3 F  − ÷= Mà F ( − ) = nên C = Vậy   Câu 20 [2D3-1.2-2] (Kim Liên 2016-2017) Cho f ( x) = F ( x) 4x + x + x + F ( − ) = ln81 Tính F ( ) nguyên hàm hàm số A F ( ) = ln C F ( ) = ln − ln B F ( ) = 2ln − ln ( ) ( ) D F = ln + ln Lời giải Tác giả: Phí Văn Đức Thẩm ; Fb: Đức Thẩm Chọn D Cách Ta có: F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ • Đặt 4x + dx x + x+1 u = x2 + x + ⇒ du = ( x + 1) dx ⇔ 2du = ( x + 1) dx ⇔ 2du = ( x + ) dx 4x + 2du d x = ∫ u = 2ln u + C = 2ln x + x + + C • Khi ∫ x + x + F ( x ) = 2ln x + x + + C , mà F ( − ) = ln81 , thay vào ta được: Vậy nên F ( − ) = 2ln ( − ) + ( − ) + + C • Do ⇔ ln81 = 2ln3 + C ⇔ C = ln81 − 2ln3 = 2ln3 F ( x ) = 2ln x + x + + 2ln ⇒ F ( ) = 2ln 22 + + + 2ln = 2ln + 2ln = ( ln + ln 3) Cách Minh Thuận • Hàm số f ( x) = 4x + x + x + liên tục ¡ 2 4x + 4x + f x d x = d x = F − F − ⇒ F = ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ x2 + x + ∫ x + x + dx + F ( − ) −2 −2 −2 • Dùng MTCT bấm so sánh với đáp án Câu 21 [2D3-1.2-2] (Sở Điện Biên) ∫ f ( x ) dx = Cho ∫ g ( x ) dx = ∫ 4 f ( x ) − g ( x )  dx bằng: A 16 B 14 C 12 Lời giải Chọn A Ta có 5 1 ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = 4∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 4.6 − = 16 D 10 Giá trị ... a ) Nhập vào máy tính a gán cho biến nhớ, giả sử A Gọi biến nhớ A hình trừ kết đáp án A, B, C, D Phép trừ cho giá trị đáp án e4 ∫ dx Thao tác hình x ln x , gán biến nhớ thực trừ cho kết đáp e2... Cách Dùng kiến thức nguyên hàm ∫ ( x) d ( F ( x) ) Ta có f x G x dx= F ′ x G x dx= G Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Đặt ( 1;+∞ ) Biết tách công thức MT x2 F ( x ) g ( x ) = x − Họ nguyên... Thay hàm số (bỏ số C) vào vị trí f x G x công thức (1) Kiểm tra máy tính cầm tay Phép thử cho kết phương án Nhận xét Với tốn tìm ngun hàm có biểu thức liên quan đến đạo hàm Ta khai thác theo hướng