Thông tin tài liệu
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức http://thaytoan.net VẤN ĐỀ I: Chứng minh Bất đẳng thức phương pháp đổi biến số Dự đoán điều kiện đẳng thức xảy om B = a5 b5 Ví dụ 1: Cho a b Chứng minh rằng: Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = Do ta đặt: a x Từ giả thiết suy ra: b x , ( x R ) Ta có: B = a5 b5 (1 x )5 (1 x)5 10 x 20 x Đẳng thức xảy x = 0, hay a = b = Vậy B C = b3 a3 6b2 a2 9b c Ví dụ 2: Cho a b 3, a Chứng minh rằng: Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = 1; b = Do ta đặt a x , với x Từ giả thiết suy b x C = b3 a3 6b2 a2 9b = (2 x )3 (1 x )3 6(2 x )2 (1 x )2 9(2 x ) oc Ta có: = x x x = x( x 1)2 (vì x 0) Đẳng thức xảy x = x = tức a = 1, b = a = 0, b = Vậy C cu Ví dụ 3: Cho a b c Chứng minh rằng: A = a2 b2 c ab bc ca Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = c = Do ta đặt: a x, b y , ( x, y R ) Từ giả thiết suy ra: c x y A = a2 b2 c ab bc ca Ta có: bo = (1 x )2 (1 y)2 (1 x y)2 (1 x )(1 y ) (1 y)(1 x y ) (1 x y )(1 x ) = x xy y = x y y Đẳng thức xảy y = x y x = y = hay a = b = c =1 Vậy A 2 on g Ví dụ 4: Cho a b c d Chứng minh rằng: D = a2 b2 ab 3cd Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = c = d Do đặt: a c x , với x R Từ giả thiết suy b d x Ta có: D = (c x )2 (d x )2 (c x )(d x ) = c d x cd cx dx kh 3 = c2 d x 2cd cx dx 3cd x = c d x x 3cd 3cd 4 Đẳng thức xảy x = c d x x = c = d hay a = b = c = d Vậy D 3cd Ví dụ 5: Cho a b Chứng minh rằng: a3 b3 a4 b Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = Do đặt a x, b y Từ giả thiết suy x y Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác http://thaytoan.net Ta có: Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức a3 b3 a4 b (1 x )3 (1 y)3 (1 x )4 (1 y)4 (1 x )4 (1 y)4 (1 x )3 (1 y)3 x(1 x )3 y(1 y)3 x y 3( x y)( x xy y ) 3( x y ) x y ( Đúng x + y 0) Đẳng thức xảy x = y = hay a = b = Vậy bất đẳng thức chứng minh E = a2 (2 a) 32 Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = Do đặt a x Từ giả thiết suy x Ta có: E = (4 x )2 (2 x ) x 10 x 32 x x ( x 5)2 Đẳng thức xảy x = hay a = Vậy E oc c Ví dụ 7: Cho ab Chứng minh rằng: a2 b2 a b Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = Do đặt a x; b y Ta có: ab (1 x )(1 y) x y xy om Ví dụ 6: Cho a Chứng minh rằng: Mặt khác: a2 b2 a b (1 x )2 (1 y )2 (1 x ) (1 y ) x y x y Lại có: x y xy , với x, y nên ta có: cu x y x y ( x y ) xy x y (Đúng xy + x + y 0) Đẳng thức xảy x = y = hay a = b = Vậy BĐT chứng minh bo Dạng cho biết điều kiện tổng biến không ( khó) dự đoán điều kiện biến để đẳng thức xảy Đối với loại ta đổi biến 27 0 Đặt a = 1– x a + b = + y Từ giả thiết suy x, y nên ta có: b = + x + y 27 25 Từ : F = 3(1– x )2 (2 x y)2 3(1 – x )(2 x y) – = x y x y xy 4 F = 3a2 b2 3ab on g Ví dụ 8: Cho a 1; a + b Chứng minh rằng: kh 5 = x y y2 y 2 Đẳng thức xảy x = y = hay a = b = 2 Vậy bất đẳng thức F chứng minh Ví dụ 9: Cho a, b, c [1; 3] a + b + c = Chứng minh rằng: a) a2 b2 c2 14 b) a3 b3 c 36 Đặt a = x + 1; b = y + 1; c = z + Khi x, y, z [0; 2] x + y + z = Giả sử x = max{x; y; z} suy ra: x + y+ z = 3x x (x –1)(x –2) nên: x y2 z2 x ( y z)2 x (3 – x )2 2( x –1)( x – 2) 5 Tức là: x y2 z2 (*) Tương tự ta chứng minh x y3 z3 9 (**) Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức http://thaytoan.net a) Ta có: a2 b2 c2 ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 x y2 z2 2( x y z) (1) Thay (*) vào (1) ta có: a2 b2 c2 14 điều phải chứng minh b) Ta có: a3 b3 c3 ( x 1)3 ( y 1)3 ( z 1)3 x y3 z3 3( x y2 z2 ) 3( x y z) (2) Thay (*) (**) vào (2) ta có: a3 b3 c 36 điều phải chứng minh Đặt c om Ví dụ 10: Cho số thực a, b với a + b Chứng minh: ab a b 2 ab 1 ab Ta có: ab + bc + ca = –1 lúc BĐT cần chứng minh trở thành: ab (luôn đúng) .c a2 b2 c2 a2 b c2 2(ab bc ca) (a b c)2 Vậy bất đẳng thức chứng minh oc Dạng bất đẳng thức với điều kiện cho ba số có tích x y z Cách1 : Đặt a ; b ; c , với x, y, z y z x Sau số ví dụ làm sáng tỏ điều on g bo cu Ví dụ 11: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 1 a(b 1) b(c 1) c(a 1) Nhận xét: a, b, c số thực dương abc = nên ta đặt: x y z a ; b ; c , với x, y, z số thực dương y z x 1 1 Ta có: a(b 1) b(c 1) c(a 1) xy y z zx 1 1 1 y z z x x y yz zx xy xy zx yz xy zx yz Đây BĐT Néb–sít cho ba số dương xy, yz, zx, suy điều phải chứng minh kh Ví dụ 12: (Ôlimpic quốc tế 2000) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng: a b c b c a Nhận xét: a, b, c số thực dương thoả mãn abc = 1, nên ta đặt: x y z a ; b ; c , với x, y, z số thực dương y z x ( x y z)( y z x )(z x y ) 1 Ta có: 1 a b c xyz b c a (*) ( x y z)( y z x )( z x y ) xyz Đặt x m n; y n p; z p m Khi (*) (m n)(n p)( p m ) 8mnp (**) Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương ta có: m n mn ; n p np ; p m pm Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác http://thaytoan.net Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức Ba bất đẳng thức có hai vế dương nên nhân vế theo vế ta có bất đẳng thức cần chứng minh Chú ý: Ta chứng minh (*) theo cách sau đây: Do vai trò x, y, z có vai trò nhau, không tính tổng quát nên giả sử : x y z > Như x – y +z > y – z + x > + Nếu z – x + y (*) hiển nhiên + Nếu z – x + y > 0, áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương ta có: om ( x y z)( y z x ) x ; ( y z x )( z x y) y ; ( z x y)( x y z) z Nhân vế theo vế bất đẳng thức trên, suy (*) Vậy (*) cho x, y, z số thực dương, suy toán chứng minh Phát hiện: Việc đổi biến vận dụng (**) cách khéo léo giúp ta giải toán Ví dụ 13 sau đây: a ; y b ; z c oc Đặt x c Ví dụ 13: (Ôlimpic quốc tế 2001) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: a b c 2 a 8bc b 8ca c 8ab a 8bc b 8ca c 8ab Ta thấy x, y, z dương BĐT cần chứng minh trở thành S = x y z 2 cu a a2 8bc x = 1 Do x 2 a bc x a a 8bc a 8bc 8ca 8ab 1 ; Tương tự ta có: 1 y2 b2 z2 c2 a on g bo (1) 1 1 1 x y z Mặt khác S = x + y + z < S S S thì: T = 1 1 1 > 1 1 z2 x y2 x y z (2) – Ta thấy (S – x)(S – y)(S – z) =(x + y)(y + z)(z + x) 8xyz (theo (**) ví dụ 12) – Với ba số dương x + y, y + z, z + x, ta lại có (S x )(S y)(S z) 64 xyz (3) Suy ra: – Nhân (2) (3) vế với vế, ta được: (S – x )(S – y )(S – z2 ) 83 x y z2 S S S 1 z2 x y Từ suy ra: T > mâu thuẩn với (1) Vậy S = x + y + z 1, tức toán chứng minh kh hay: Ngược lại, số toán chứng minh bất đẳng thức mà biểu thức ( x y z biến đổi nó) có chứa biểu thức có dạng: ; ; , với x, y, z Lúc việc y z x x y z đặt a ; b ; c , với abc = phương pháp hữu hiệu, sau ví dụ y z x minh chứng điều này: Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức http://thaytoan.net c om Ví dụ 14: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: b c a a b c 1) 1 2) a b b 2c c a a b b 2c c a 1 1) BĐT a b c 2 2 2 b c a a b c Đặt x ; y ; z Ta có x, y, z số thực dương có tích xyz = b c a 1 1 1 Suy ra: 1 1 a b c x 2 y2 z2 2 2 2 b c a (x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2)(x + 2) (x + 2)(y + 2)(z + 2) (xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 12 xyz + 2(xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + xyz + xy + yz + zx xy + yz + zx Đây bất đẳng thức áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho ba số dương ta có: Cách : Ngoài cách đặt a cu oc xy yz zx 3 ( xyz)2 Suy điều phải chứng minh 2) Cách 1: Chứng minh tương tự câu 1) b c a a b c Cách 2: Ta có: 3 a b b c c a a b b 2c c a Áp dụng kết toán 1), ta suy bất đẳng thức cần chứng minh x y z ; b ; c ta có cách đổi biến khác Cụ thể y z x bo ta xét ví dụ sau: Ví dụ 15: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = 1.Chứng minh: a b c (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 (a 1)(b 1)(c 1) (*) on g 1 a 1 b 1 c 1 x 1 y 1 z ;y ; z –1 thoả mãn a + b = Chứng minh: ab a b2 Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức http://thaytoan.net b) Cho a + b + c + d = Chứng minh: (a c)(b d ) 2(ac bd ) c) Cho a + b + c Chứng minh: a4 b c a3 b3 c c om d) Cho a + b > b Chứng minh: 27a2 10b3 945 1 Bài 2: Cho a, b, c số dương Chứng minh: 8abc a 1 b 1 c 1 Bài 3: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) 5(a + b + c) – Bài 4: Cho số dương a, b, c cho abc = Chứng minh: a3 b3 c3 3 (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 a b c Bài 5: Cho số dương a, b, c cho abc = Chứng minh: (a b c 1) b c a Bài 6: Cho ba số a, b, c không âm thoả mãn: a + b + c = Chứng minh: 27(ab bc ca) 54abc Bài 7: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh: oc 2(1 a )(1 b )(1 c2 ) (1 a)(1 b)(1 c) 2(1 abc ) bo cu VẤN ĐỀ II: Chứng minh Bất đẳng thức cách sử dụng vai trò biến Ví dụ 1: Cho số thực a, b, c không âm Chứng minh rằng: a(a b)(a c) b(b c )(b a) c(c a)(c b) (*) on g Do vai trò a, b, c nên giả sử a b c + Nếu có hai ba số a, b, c BĐT hiển nhiên + Nếu a > b > c, chia hai vế (*) cho (a b)(b c)(a c) ta BĐT tương đương: a b c (1) 0 bc ac ab a b c a b (1) 0 ab bc ac 0 b c a c kh Ví dụ 2: Cho số thực a, b, c đôi khác thuộc đoạn [0; 2] Chứng minh rằng: 1 (*) 2 (a b) (b c ) (c a) Sử dụng BĐT Cô-si với x > 0, y > 0, ta có: Suy ra: x y ( x y )2 1 ( x y) .4 xy xy y x (1) Đẳng thức xảy x = y Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác http://thaytoan.net Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức om Do vai trò a, b, c nên giả sử a > b > c Áp dụng BĐT (1) cho cặp số 1 8 dương a – b b – c, ta có: 2 ( a b ) ( b c) ( a b b c) (a c)2 Đẳng thức xảy a – b = b – c 1 Suy ra: (a b)2 (b c )2 (c a)2 (a c)2 (c a)2 (a c)2 Mặt khác, a, c [0; 2] a > c nên < a – c Đẳng thức xảy a = c = 1 9 Do đó: (a b)2 (b c )2 (c a)2 (a c)2 Đẳng thức xảy (a; b; c) = (2; 1; 0) hoán vị .c Ví dụ 3: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a b c abc Chứng minh rằng: a b c ab bc ca Do vai trò a, b, c nên giả sử a b c 3c c a b c abc 3a a3 a c Từ giả thiết ta có: oc + Nếu a b c a b ab ab Do đó: (a b 2)2 4(a 1)(b 1) ab(a 1)(b 1) (a b ab)(ab 1) (4 a b)(a b 1) a b ab 4ab (a b 1) ab (1) bo cu 4ab Kết hợp với (1) ta có: ab a b ab c(a b 1) a b c ab bc ca (đpcm) + Nếu a b c ta có (a 1)(b 1)(c 1) a b c ab bc ca abc (2) Mặt khác, áp dụng BĐT Cô-si cho số dương, ta có: Mặt khác, từ giả thiết suy c a b c abc 4 abcabc abc Kết hợp với (2) ta có đpcm Đẳng thức xảy a = b= c = on g Ví dụ 4: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 1 a2 b2 c2 Do vai trò a, b, c nên giả sử a b c Vì abc = nên bc a Ta có: b2c 1 b2 c = 1 2 (1 b2 )(1 c2 ) (1 bc)2 1 b c 4a = bc a 1 a 2 (1) 2 a 1 b 1 c kh 1 c2 1 b Suy ra: Mặt khác ta có: 1 a 1 a (2) Trang 10 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức Khi ta có u ( x 3)2 x 1; v 2; u.v x x Từ bất phương trình (1.5) ta thấy u.v u v (*) Mà theo BĐT (3) ta có u.v u v (**) Từ (*) (**) suy u.v u v u , v hướng x x x x 10 x (Vì u , v ) x Vậy x = nghiệm bất phương trình (1.5) 1.3 Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình sau: Bài Giải bất phương trình sau: x x x 12 x 25 x 12 x 29 cos x cos2 x cos x cos2 x c Bài Giải phương trình sau: om http://thaytoan.net x x 50 x 12 on g bo cu oc Bài Giải bất phương trình sau: 5 x 5 x Bài Giải hệ phương trình sau: ( x y ) x y x y ( x y )2 x y x y 1 Bài Chứng minh hệ phương trình sau vô nghiệm: x y z4 2 x y z Bài Giải hệ phương trình sau: x y z 2 x y z x 2009 y 2009 z2009 kh Bài Giải hệ phương trình sau: 2009 x1 x2 x2008 2008 2008 2007 x x x 2008 2008 2008 Ứng dụng toán chứng minh bất đẳng thức 2.1 Phương pháp: Ta biến đổi BĐT cho sau xét véctơ có tọa độ thích hợp áp dụng ba BĐT véctơ xét trường hợp dấu xảy để chứng minh BĐT cho 2.2 Ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh x, y ta có: cos2 x cos2 y sin2 ( x y ) 4sin2 x sin2 y sin2 ( x y ) Trang 40 (2.1) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức http://thaytoan.net Ví dụ 2: Chứng minh x, y, z om Xét hai véctơ u (2 cos x cos y;sin( x y)); v (2 sin x sin y;sin( x y )) Khi ta có u cos2 x cos2 y sin2 ( x y ); v sin2 x sin2 y sin2 ( x y ) u v (2 cos( x y );2sin( x y )); u v Mà theo BĐT (1) ta có : u v u v cos2 x cos2 y sin2 ( x y ) sin2 x sin2 y sin2 ( x y ) Vậy BĐT (2.1) chứng minh ta có: x xy y2 x xz z2 y yz z2 (2.2) c Ta có (2.2) 2 y x z z y yz z2 x y oc Xét hai véctơ u x y; y ; v x z; z 2 2 Khi ta có u x xy y ; v x xz z2 cu 3 1 u v y z; y z ; u v y yz z2 2 2 Mà theo BĐT (1) ta có: u v u v x xy y x xz z2 y yz z2 Vậy BĐT (2.2) chứng minh bo Ví dụ 3: Cho số thực dương a, b, c thoả mãn ab bc ca abc Chứng minh rằng: a 2b b2 2c c a2 ab bc ca Ta có: on g a 2b b 2c2 c 2a 3 ab bc ca b a c b a 1 1 1 Xét ba véctơ u ; ; v ; ; w ; b a c b a c kh a2 b2 b 2c c 2a Khi ta có u ; v ; w ab bc ca 1 1 2 1 1 uv w ; ; u v w a b c a b c a b c 1 (Vì ab bc ca abc ) a b c Mà theo BĐT (1) ta có: a 2b b 2c c a2 u v w uvw ab bc ca Vì u , v , w nên dấu “=” xảy u , v , w hướng a b c Trang 41 c2 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác http://thaytoan.net Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức Mà ab bc ca abc suy a b c Vậy BĐT (2.3) chứng minh dấu “=” xảy a b c 2.3 Bài tập tự luyện * Bài Chứng minh x, y, z ta có: x xy y2 x xz z2 y2 yz z2 3( x y z) Bài Chứng minh a, b, c, d ta có: 2 (1 x )(1 y ) Bài Chứng minh a, b, c, x, y, z ta có: c ( x y)(1 xy ) a) ax by cz a2 b2 c2 x y z2 a b2 c2 x y2 z2 (a x )2 (b y )2 (c z)2 oc b) om (a c)2 (b d )2 a2 b2 c2 d Bài Chứng minh x, y ta có: c) a a a2 3a Bài Chứng minh x, y, z 0, x y z ta có: x2 y2 z2 xy cu 82 (Đề thi ĐH năm 2003) y2 z2 x2 Bài Cho ba số thực x , y, z đôi khác Chứng minh rằng: yz z x a) bo x y2 y z2 z2 x Bài Chứng minh với số thực a, b ta có: a b2 2a 2b 37 a2 b2 6a 6b 18 on g b) a a2 2a b b2 6b 10 Bài Chứng minh a, b, c ta có: a 2a a2 2ab b2 b2 2bc c2 c 2cd d d 10d 26 Bài Chứng minh a, b, c , abc ta có: bc ca ab (Đề thi ĐH NNI_2000) a ba c b cb a c ac b Bài 10 Cho x, y, u, v : u v2 x y Chứng minh rằng: 2 2 kh u( x y ) v( x y) Bài 11 Chứng minh x, y ta có: a) cos4 x cos4 y sin2 x sin2 y b) sin x sin2 x sin x sin2 x Bài 12 Chứng minh a, b c ta có: Bài 13 Chứng minh a, b, c ta có: Trang 42 c(a c) c(b c) ab Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức http://thaytoan.net a) a2 b2 c2 abc(a b c) b) a2 b2 c2 ab bc ca x xy y thoả mãn ta có: y yz z 16 Bài 15 Cho n ; a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn Chứng minh rằng: Bài 14 Chứng minh x, y, z i 1 ai2 bi2 n n bi i1 i1 x 1 x x 1 x Bài 16* Chứng minh x 0;1 ta có: Bài 17* Chứng minh a, b, c ab om n xy yz zx ta có: bc ca 2009 c 2009 a2 c 2009 a2 2009 b2 2009 b2 2009 c Bài 18* Cho n số thực a1 , a2 , , an Chứng minh rằng: oc (1 a1 )2 (a1 a2 )2 (an 1 an )2 (n an )2 (n 1) Ứng dụng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cu 3.1 Phương pháp: Phương pháp chủ yếu ta xét véctơ có tọa độ thích hợp sử dụng ba BĐT véctơ để tìm giá trị lớn nhất, giái trị nhỏ hàm số cho 3.2 Ví dụ Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ hàm số sau đây: TXĐ: bo f (x) x2 x x x on g 2 1 3 1 Ta có f ( x ) x x 3 3 Xét hai véctơ u x ; ; v x ; 2 2 Khi ta có u x x 1; v x x 1; u v 1; ; u v Mà theo BĐT (1) ta có u v u v f ( x ) Dấu “=” xảy x = Vậy giá trị nhỏ hàm số f(x) cho đạt x = kh Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f ( x ) cos2 x cos x cos2 x cos x TXĐ: Xét hai véctơ u (1 cos x;2); v (2 cos x;2) Khi đó: u cos2 x cos x 5; v cos2 x cos x 8; u v (3;4); u v Mà theo BĐT (1) ta có u v u v f ( x ) Dấu “=” xảy x 2 k 2 (k ) x Trang 43 2 l2 (l ) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác http://thaytoan.net Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức Vậy f(x) = đạt x 2 k 2 (k ) x 2 l2 (l ) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ khoảng 2000 ;2002 hàm số f ( x ) cos2 x cos x 10 cos2 x cos x om TXĐ: Xét hai véctơ u (3 cos x;1); v (cos x 1;1) Khi ta có u cos2 x cos x 10; v cos2 x cos x 2; u v 20 Mà theo BĐT (1) ta có u v u v f ( x ) 20 Dấu “=” xảy x k 2 (k ) Xét đoạn 2000 ;2002 ta có k = 1000; 1001 tương ứng với x 2000 ;2002 3.3.Bài tập tự luyện oc Bài Cho hàm số f ( x ) A sin x B cos x ( A2 B2 0) a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số .c Vậy đoạn 2000 ;2002 minf(x) = 20 đạt x 2000 x 2002 cos3 x a cos3 x 1 3a2 , x , a cos3 x Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức: cu b) Dùng câu a), chứng minh A f ( x , y ) x y x 12 y 37 x y x y 18 Bài Tìm giá trị lớn hàm số sau: ( x 6)2 100 ( x 1)2 bo f (x) Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số sau: y x px p2 x qx q2 ( p q) Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số sau: on g y a2 x a2 (c x )2 VẤN ĐỀ VIII: SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC kh Trong phần ta sử dụng đạo hàm thông qua việc xét tính đơn điệu hàm số dùng định lý Lagrage để chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt bất đẳng thức có biến số LOẠI SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ Chứng minh rằng: ex x với x Xét hàm số f ( x ) e x x liên tục khả vi với x Ta có: f ( x ) e x , f (0) + Nếu x f ( x ) e x f ( x ) đồng biến Trang 44 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức http://thaytoan.net f ( x ) f (0) e x x e x x (1) + Nếu x f ( x ) e x f ( x ) nghịch biến f ( x ) f (0) e x x e x x ex x Ví dụ Chứng minh rằng: YCBT với x x2 với x om Từ (1), (2) e x x (2) x2 x e x , x c x2 x e x Ta có f ( x ) x e x , f ( x ) e x , x Xét f ( x ) Do f ( x ) nghịch biến (0; ) f ( x ) f (0) với x (0; ) f ( x ) nghịch biến (0; ) f ( x ) f (0) , x x2 x2 x e x , x hay e x x với x 2 oc x3 sin x x sin x x (a) BĐT với x x x sin x (b) a) Ta chứng minh sin x x với x Xét hàm số f ( x ) sin x x f (0) x với x bo cu Ví dụ Chứng minh rằng: Ta có: f ( x ) cos x , x (0; ) f ( x ) nghịch biến (0; ) f ( x ) f (0) với x sin x x với x on g x3 sin x với x x3 x2 Ta có f ( x ) cos x g( x ) Xét hàm số f ( x ) sin x x g ( x ) sin x x với x > g( x ) đồng biến g( x ) g(0) với x b) Ta chứng minh x hay f ( x ) với x f ( x ) đồng biến f ( x ) f (0) với x kh x3 x3 hay x < sin x với x 6 x3 Từ a) b) x sin x x với x sin x x 2sin x 2tan x x 1 Ví dụ Chứng minh sin x Áp dụng BĐT Cô–si: 2 tan x sin x 2 Trang 45 với x tan x = sin x tan x 2.2 sin x tan x 1 2 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác http://thaytoan.net Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức sin x sin x tan x 1 2 2 tan x sin x tan x 1 2 sin x tan x 1 x 1 với x sin x tan x x f (0) Xét hàm số f ( x ) = sin x tan x x với x , Co si 1 cos x cos2 x Ta có: f ( x ) cos x 2 2 cos x cos x cos2 x (vì cos x cos2 x với x ) f ( x ) f ( x ) đồng biến f ( x ) f (0) với x đpcm sin x tan x x sin x tan x x với x x 1 Ví dụ Chứng minh 2.sin x 2 tan x x 1 2 oc c om YCBT với x cos x cos x 0 2 cos x bo Co si cu 3x Xét hàm số f ( x ) sin x tan x với x 2 cos x cos x Ta có f ( x ) cos x 2 2.cos2 x 2.cos2 x 3.3 on g f ( x ) , x 0; f ( x ) đồng biến 0; 2 2 3x f ( x ) f (0) sin x tan x , x 0; 2 2 3x sin x tan x , x 0; Đẳng thức xảy x 2 2 Mà 2.sin x 2 tan x 2 sin x tan x sin x tan x 2.2 3x 2.2 3x 1 2sin x tan x 2 2 kh , x 0; 2 x x Đẳng thức xảy 2sin x tan x Do 2.sin x 2 tan x x 1 22 với x 0; 2 Trang 46 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức Chứng minh 2. 3 2 59 f x2 18 3 2( x 1) với x 0; Ta có f ( x ) 3 x x 4 3 3 3 f ( x ) giảm 0; f ( x ) f , x 0; 4 4 4 Xét hàm số f x 2x 3 0; , 4 c 3 3 f f , 0; 4 4 3 59 2 Hay 2. , 0; 2 18 4 om Ví dụ Cho http://thaytoan.net với a b a : (a 1) (a 1)3 2.b a.(a3 2.b) b 2.a3 b 2.(a 1)3 b f (x) Ta có f b b x ( x 2.b) với a x a 2.x b cu Xét hàm số oc Ví dụ Chứng minh 2.( x b)2 0 f ( x ) (2.x b)2 bo f ( x ) đồng biến f (a) f b f (a 1) với a x a (a 1) (a 1)3 2.b a.(a3 2.b) b (đpcm) 2.a3 b 2.(a 1)3 b Chứng minh a.sin a b.sin b 2.(cos b cos a) YCBT a.sin a cos a > b.sin b 2.cos b Xét hàm số f ( x ) = x.sin x 2.cos x với x Ta có: f ( x ) sin x x.cos x 2.sin x , f (0) on g Ví dụ Cho a b f ( x ) cos x cos x x.sin x 2.cos x x.sin x kh f ( x ) (vì x sin x ) Do f ( x ) f (0) x 2 f ( x ) giảm khoảng 0; f (a) f (b) với a b 2 a.sin a cos a b.sin b 2.cos b hay a.sin a b.sin b 2.(cos b cos a) Ví dụ Chứng minh rằng: 4.tan 50.tan 90 3.tan 60.tan100 tan x Xét hàm số f ( x ) với x x Trang 47 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác http://thaytoan.net Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức sin tan ( ta có hàm số f ( x ) đồng biến 0; 2 5 Với < f (5) f (6) f 180 6 f , 180 5 6 tan 180 180 6.tan 50 5.tan 60 5 6 180 180 tan tức (2) Chứng minh tương tự ta có 10.tan 90 9.tan100 (3) x y y z z2 x x y z2 z x y x y z2 y x z3 x y z2 x.y.z oc BĐT (đpcm) .c Nhân (2) (3), vế theo vế, ta 4.tan 50.tan 90 3.tan 60.tan100 Ví dụ 10 Cho x y z Chứng minh: ) om 2.x sin x Ta có f ( x ) 0 2.x cos2 x cu x y z2 y x z3 x z2 z x x z x z 2 2 xz( x y z ) 1 y y y y y y y y y x z Đặt u , v Ta có u v y y Nên BĐT có dạng u3 v2 u2 v3 u.v(u v2 1) bo u3 (1 v) u2 v3 u.v(1 v2 ) v (1) + Nếu v (1) có dạng u2 2.u , tức (2) + Nếu v Xét hàm số f (u) u3 (1 v) u2 v3 u.v(1 v ) v với u on g Ta có f (u) 3.u2 (1 v) 2.u.v3 v(1 v ) f (u) 6.u(1 v) 2.v (do v u ) f (u) đồng biến u nên với u ta có f (u) f (1) Mà f (1) v3 4.v (v 1)(v v 3) nên f (u) f (u) đồng biến u Tức u ta có f (u) f (1) v2 2v (v 1)2 u3 (1 v) u2 v2 u2 v uv(1 v ) v với kh Vậy: Hay Ví dụ 11 2 u v x y y z z x x y2 z2 với x y z z x y Chứng minh a) Chứng minh x x2 x ln 1 x x với x x2 ln(1 x ) , x Trang 48 (đpcm) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức http://thaytoan.net x2 x2 , x , f ( x ) = 1 x 0, x 1 x 1 x đồng biến với x Xét f ( x ) = ln(1 x ) x f (x) x2 x2 0, x x ln(1 x ) với x 2 b) Chứng minh ln(1 x ) x, x Đặt g g( x ) x ln(1 x ) với x , g(0) x , x g ( x ) 1 x 1 x g( x ) , x x ln 1 x 0, x ln 1 x x , với x x2 x Ví dụ 12 Chứng minh Do x nên x x a) Chứng minh x 1 x x 1 x 1 x với x x 1 x x 1 x 1 bo 1 x 1 x , x x 1 1 x x x 1, Vì x nên x b) Chứng minh x c x2 ln(1 x ) x , với x oc x cu Từ a), b) om ln(1 x ) x x 1 1 x , x 1 , x , g 0 x 1 1 , với x g(x) đồng biến với x Ta có: g ( x ) 1 3 2 ( x 1) x x , x g( x ) g(0) với x , x x 1 x 1 on g Đặt g( x ) kh Vậy x x 1 1 x x2 x Ví dụ 13 Chứng minh rằng: (sin x )2 x 2 YCBT (sin x )2 x 2 x , x x 1 với x Xét hàm số f ( x ) = (sin x )2 x 2 với x Trang 49 với x Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác http://thaytoan.net Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức Ta có f ( x ) 2(sin x )3 cos x 2.x 3 , x cos x sin x sin x 2.x 3 2.(sin x )3 cos x x x0 3 x sin3 x cos x cos x x0 Đặt g( x ) = sin x.(cos x ) x g ( x ) (cos x ) (cos x ) sin2 x , g (0) om sin x cos x 2 g( x ) g(0) f ( x ) đồng biến 0; 2 2 x 2 1 4 với x 0; 2 2 sin x Hay 2 0; 2 oc Do sin x 2 2 x 2 x 0; 2 2 cu f (x) f = 2 2 với x c g ( x ) (cos x ) sin x với x g ( x ) g (0) = g ( x ) đồng biến 0; g ( x ) g (0) g( x ) đồng biến 2 Ví dụ 14 Cho số a, b, c > thoả mãn a2 b2 c2 Chứng minh rằng: a b c a c a b 3 (*) bo b c on g Từ giả thiết b2 c a2 , c a2 b2 a2 b2 c Thay vào (*) ta được: a b c a b c 2 2 2 2 b c c a a b a b c2 3 a2 b2 c2 a(1 a ) b(1 b2 ) c(1 c2 ) Xét hàm số f ( x ) x(1 x ) x x , x (0;1) f ( x ) 3.x kh f ( x ) , x 0; ;1 f ( x ) , x 3 3 f (x) f f (x) 3 Do a(1 a ) b(1 b2 ) a b c b 3 b2 Tương tự Do c a a(1 a2 ) c a b c(1 c2 ) 3 Trang 50 a2 c2 3 b , 3 a(1 a ) 3 c (đpcm) 3 a Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức http://thaytoan.net n Ví dụ 15 Cho e x1 x2 xn y1 y2 y3 ym n m xi yy i 1 i 1 i m xi yi Chứng minh: i 1 y 1 ln x ln x với x Ta có f ( x ) x e x x2 Nên f ( x ) hàm số nghịch biến Từ giả thiết ta có: ln x n ln y1 ln y2 ln yn ln x1 ln x2 x1 x2 xn y1 y2 yn ln y1 y1 c ln x1 x1 Từ ta có ln y1 y1 ………………… ln y1 ln xn x n y1 i 1 ln y1 n ln y1 m xi y y1 i 1 y1 i 1 i ln y2 y2 Mặt khác (1) cu n ln xi oc ln x2 x2 Hay om Xét hàm số f ( x ) ln y1 y1 ln y1 y1 ……………… ln y1 ln yn yn y1 on g bo ln y3 y3 m ln yi i 1 n Từ (1) (2) ln y1 m y y1 i 1 i (2) n m ln xi ln yi i 1 hay i 1 m xi yi i 1 y 1 kh LOẠI 2: DÙNG ĐỊNH LÝ LAGRANGE Định lý lagrange Nếu hàm số y f ( x ) liên tục đoạn a; b khả vi (a; b) tồn số f (b) f (a) c (a; b) cho f (c) ba Các ví dụ ba b ba ln với < a < b Ví dụ Chứng minh rằng: b a a Trang 51 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác http://thaytoan.net Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức 1 f ( x ) , f (c) x c Hàm số f x ln x thoả mãn định lý Larange a; b Xét hàm số : f ( x ) ln x ba b ba ln b a a Ví dụ Chứng minh với x, y R ta có: sin x sin y x y Xét hàm số f (t) sin t , f (t ) cos t f (c) cos c Hàm số f (t) sin t định lý Lagrange [x; y] c ( x; y) ta có: om f (b) f (a) ln b ln a c (a; b) : f (c) c ba ba 1 1 ln b ln a nên Do < a < c < b b c a b ba a Ví dụ Chứng minh rằng: ba oc sin x sin y x y , x; y R tan b tan a ba cos a cos b Xét hàm số f ( x ) tan x liên tục khả vi a; b f (c ) ba on g ba bo cos2 c f (b) f (a) tan b tan a c (a; b) cho f (c) ba ba tan b tan a ba tan b tan a ba cos2 c cos2 c Do a < c < b y cos x nghịch biến 0; nên 2 ba cos2 x , với a b cu f ( x ) c f ( y) f ( x) sin y sin x sin x sin y f (c ) cos c cos c 1 yx yx xy cos2 a cos2 c cos2 b ba cos2 a tan b tan a Ví dụ Cho x Chứng minh rằng: Xét hàm số f (t ) t với ba cos2 b với a b x a ( x 1) t x Ta có f (t ) t 1 kh f ( x ) f (1) Theo định lý Lagrange tồn c (1; x ) thoả mãn f (c) x 1 c 1 Ví dụ x x 1 Chứng minh rằng: x ( x 1) c 1 ln( x 1) x x a ( x 1) x f (t) ln t với t 1;1 x f (t ) ln t f (1 x ) f (1) Theo định lý Lagrange tồn c (1;1 x ) : f (c ) (1 x ) Xét hàm số Trang 52 (vì x, ) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức ln(1 x ) c x http://thaytoan.net ln(1 x ) x x hay c ln( x 1) x x Trường hợp gặp toán chưa thể vận dụng định lý Lagrange việc chọn hàm số thoả mãn điều kiện định lý Lagrange quan trọng 1 x x om Ví dụ Cho x Chứng minh rằng: (1) 1 1 1 x 1 x Đây dạng toán chưa thể vận dụng đính lý Lagrănge 1 Ta có: (1) (1 x ) ln với x x ln 1 x x oc c 1 Xét hàm số f ( x ) x ln = x ln( x 1) ln x x f ( x ) ln( x 1) ln x (2) 1 x Xét hàm số G G (t ) ln(t ) x; x 1 Theo định lý Lagrange tồn c ( x; x 1) G ( x 1) G( x ) ln( x 1) ln x ( x 1) x c 1 Vì c x nên ln( x 1) ln x c x 1 x 1 f ( x ) đồng biến x; x 1 1 f ( x 1) f ( x ) (1 x ) ln x ln 1 x x hay x bo 1 x 1 1 x 1 1 x với x on g Ví dụ Cho n Chứng minh rằng: Ta có: (*) x n (1 x ) x n 1 x < ne với x (0;1) 1 x n 2n(1 x ) với x (0;1) 2ne e Co si 2nx (2n 2nx ) x n 2n(1 x ) x.x x (2 n nx ) 2n 2n kh f ( x ) cu cho G (c) 2n 2n Từ (1) (2), ta chứng minh: n 1 n 1 e ln(2n 1) ln(2n) f (2n 1) f (2n) ln(2n 1) ln(2n) c (2n;2n 1) : f (c) 2n 2n c 1 ln(2n 1) ln(2n) Do 2n c n nên c 2n 2n Trang 53 (1) n 1 2n 2n 2n Xét hàm số f ( x ) ln x thoả định lý Lagrange 2n;2 n 1 (2 n 1) ln(2n 1) ln(2n) (*) (2) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác http://thaytoan.net Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức x n 1 x < Vậy ne với x (0;1) n Ví dụ Cho a b, n Chứng minh rằng: nan 1 (b a) b n a n nb n1 (b a) (1) f (b) f (a) bn an f (c) ncn1 ba ba om Xét hàm số: f ( x ) x n , x a; b f ( x ) nx n1 Theo định lý Lagrange tồn c (a; b) thoả mãn: bn a n n.cn 1 (b a) Nên ta có (1) nan 1 (b a) b n a n nb n1 (b a) n.an 1 (b a) n.cn 1 (b a) n.b n1 (b a) c (2) kh on g bo cu oc an 1 c n1 b n1 (vì n(b a) ) Bất đẳng thức (2) a c b, n Vậy (1) chứng minh Trang 54 [...]... Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a 2 bc b2 ca c2 ab abc bc ca ab Trang 15 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác http://thaytoan.net Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức VẤN ĐỀ IV: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TỪ NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC om Mở đầu: Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến ràng buộc bới một hệ thức. .. b, c là các số thực thuộc đoạn [1; 2] Chứng minh rằng: Trang 11 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác http://thaytoan.net Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 (a b c) 10 a b c Bài 5: Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0; 1] Chứng minh rằng: a(1 b) b(1 c) c(1 a) 1 (2) c I Một số phương pháp 1 Sử dụng hai bất đẳng thức cơ bản... = 3sin 4.0 3sin 3(1) 3 cu (1) Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: A2 = 3sin 4 cos 2 (32 42 )(sin2 cos2 ) 25 A5 bo Dấu "=" ở (1) xảy ra sin = –1 a = –1 minA = –3 sin cos maxA = 5 3 4 on g Đấu "=" ở (2) xảy ra V DẠNG 5: Đổi biến số đưa về bất đẳng thức tam giác 1 Phương pháp: kh x , y, z 0 A, B, C 0; a) Nếu 2 thì... kiến thức một cách hệ thống tôi (tác giả) đã lập bảng một số dấu hiệu nhận biết sau: ( Giả sử các hàm số lượng giác sau đều có nghĩa) 1 x 2 2 tan t 2 tan t 2 tan t 1 x 2 1 tan 2 t 1 tan 2 t xy 1 xy tan tan 1 tan tan on g 2 1 2 cos tan 2t sin 2t tan tan tan( ) 1 tan tan 1 1 2 cos 1 tan 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC... Chứng minh bất đẳng thức http://thaytoan.net Tacó AB AB AB sin A sin B 2 sin cos 2 sin 2 2 2 và C 60 0 sin C sin 60 0 2 sin 2 hay sin A sin B sin C om A B C 600 4 3 Từ đó suy ra sin A sin B sin C sin 600 4 sin 4 sin 600 4 2 3 3 (đpcm) 2 oc c VẤN ĐỀ V: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC... sau: Với a, b, c là ba số thực dương tuỳ ý, ta có: 1 1 4 1 1 1 9 (1) a b ab a b c abc om VẤN ĐỀ III: Chứng minh Bất đẳng thức có chứa biến ở mẫu cu oc Ví dụ 1: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng: 1 1 16 (*) ac bc 1 1 11 1 4 4 Áp dụng (1) ta có: 16 ac bc c a b c(a b) c a b 2 2 1 1 Đẳng thức xảy ra c , a ... ĐẠI SỐ I DẠNG 1: Sử dụng hệ thức sin 2 cos2 1 1 Phương pháp: x sin a) Nếu thấy x 2 y 2 1 thì đặt y cos Trang 19 cos2 t 2 cos2 t 1 cos 2t 2 tan t x2 1 kh 2 cos2 t 1 1 tan 2 t 2x 1 4 cos3 t 3 cos t cos3t 1 tan t 1 x 2 1 tan 2 t 4 cos3 t 3 cos t bo 2x Công thức lượng giác 1 tan 2 t 4 x3 3x 2 x2 1 Biểu thức lượng giác tương tự cu Biểu thức đại số với... thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ đó là bài toán đại số thuần tuý nhưng nếu biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác thì cách giải sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều Qua bài viết này tác giả mong muốn gửi đến các em học sinh một phương pháp mà từ trước đến nay thông thường các em ít nghĩ đến I Khi nào thì có thể vận dụng bất đẳng thức trong tam giác? Từ điều kiện a, b, c ... liệu học tập khác Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức http://thaytoan.net 1 1 1 abc 1 (đpcm) ab(a b c ) bc(a b c ) ca(a b c ) abc(a b c ) Đẳng thức xảy ra a b c 1 Suy ra: VT (*) II Bài tập áp dụng Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: 2 a3 2 b3 2c3 a b c a 6 bc b6 ca c 6 ab bc ca ab Bài 2: Cho ba số thực dương x, y, z thảo mãn x 2 y ... 1 x 1 2y 1 3z 7 Bài 3: Cho hai số a, b dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ab P= a(4 a 5b) b(4b 5a) Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a b c 2 Chứng minh rằng: ab bc ca 1 2c ab 2a bc 2 b ca Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: 3 6 1 ab bc ca a b c thức: M= a5 3 2 cu Bài 6: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a2 b2
Ngày đăng: 05/09/2016, 07:18
Xem thêm: Bất đẳng thức phương pháp đổi biến số , Bất đẳng thức phương pháp đổi biến số , Ví dụ 4. Chứng minh rằng với
