LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 Dạng 2. PP lượng giác hóa Nếu hàm f(x) có chứa 2 2 a x − thì đặt 2 2 2 2 2 (asin ) cos asin sin cos dx d t a t dt x t a x a a t a t = = = → − = − = Nếu hàm f ( x ) có chứa 2 2 a x + thì đặt 2 2 2 2 2 2 ( tan ) cos tan tan cos = = = → + = + = adt dx d a t t x a t a a x a a t t M Ộ T S Ố VÍ D Ụ M Ẫ U: Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm c ủ a các hàm s ố sau: a) ( ) 1 2 ; 2 4 = = − ∫ dx I a x b) ( ) 2 2 1 ; 1 = − = ∫ I x dx a c) ( ) 2 3 2 ; 1 1 = = − ∫ x dx I a x d) ( ) 2 2 4 9 ; 3 = − = ∫ I x x dx a H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) Đặ t 1 2 2 2 (2sin ) 2cos 2cos 2sin 2cos 4 4 4sin 2cos 4 dx d t t dt dx t dt x t I dt t C t x t t x = = = → → = = = = + − = − = − ∫ ∫ ∫ T ừ phép đặ t 1 2sin arcsin arcsin 2 2 x x x t t I C = ⇔ = → = + b) Đặ t 2 2 (sin ) cos sin 1 1 sin cos dx d t t dt x t x t t = = = → − = − = Khi đ ó 2 2 1 cos2 1 1 1 1 cos .cos cos2 sin 2 2 2 2 2 4 t t I x dx t t dt dt dt t dt t C + = − = = = + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Từ 2 2 2 cos 1 sin 1 sin sin 2 2sin .cos 2 1 arcsin t t x x t t t t x x t x = − = − = ⇒ → = = − = 2 2 arcsin 1 1 2 2 x I x x C → = + − + c) Đặt 2 2 (sin ) cos sin 1 1 sin cos dx d t t dt x t x t t = = = → − = − = Khi đó, 2 2 2 3 2 sin .cos 1 os2 1 1 sin sin2 cos 2 2 4 1 x dx t t dt c t I t dt dt t t C t x − = = = = = − + − ∫ ∫ ∫ ∫ Từ 2 2 2 cos 1 sin 1 sin sin 2 2sin .cos 2 1 arcsin t t x x t t t t x x t x = − = − = ⇒ → = = − = 2 3 arcsin 1 1 2 2 x I x x C → = − − + d) Đặt 2 2 (3sin ) 3cos 3sin 9 9 9sin 3cos dx d t t dt x t x t t = = = → − = − = Khi đó, 2 2 2 2 2 2 4 81 81 1 os4 9 9sin .3cos .3cos 81 sin .cos sin 2 4 4 2 c t I x x dx t t t dt t t dt t dt dt − = − = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Tài liệu bài giảng: 03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 81 1 1 81 1 os4 sin4 4 2 2 4 2 8 t dt c t dt t C = − = − + ∫ ∫ Từ 2 2 2 cos 1 sin 1 2 9 3sin sin2 1 3 9 arcsin 3 x t t x x x t t x t = − = − = ⇒ → = − = M ặt khác, 2 2 2 2 2 2 2 2 os2 1 2sin 1 2 1 sin4 2sin 2 . os2 2. 1 . 1 3 9 3 9 9 x x x x x c t t t t c t = − = − = − → = = − − T ừ đ ó ta đượ c 2 2 4 arcsin 81 2 3 1 . 1 . 4 2 6 9 9 x x x x I C = − − − + Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm c ủ a các hàm s ố sau: a) ( ) 1 2 ; 1 1 dx I a x = = + ∫ b) 2 2 2 5 I x x dx = + + ∫ c) ( ) 2 3 2 ; 2 4 x dx I a x = = + ∫ H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) Đặ t 2 2 2 1 2 2 2 (tan ) (1 tan ) (1 tan ) tan cos 1 tan 1 1 tan dt dx d t t dt t dt x t I dt t C t t x t = = = + + = → → = = = + + + = + ∫ ∫ T ừ gi ả thi ế t đặ t 1 tan arctan arctan . x t t x I x C = ⇔ = → = + b) Ta có 1 2 2 2 2 2 5 ( 1) 4 ( 1) 4 t x I x x dx x d x I t dt = + = + + = + + + → = + ∫ ∫ ∫ Đặ t 2 2 2 2 2 2 2 (2tan ) 2 cos cos 2tan 2 2 cos cos .cos 4 4 4tan cos cos du dt d u du du udu u t u I u u u t u u u = = = → → = = = + = + = ∫ ∫ ∫ 2 (sin ) 1 (1 sin ) (1 sin ) 1 (sin ) 1 (sin ) 1 1 sin (sin ) ln . 1 sin 2 (1 sin )(1 sin ) 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin d u u u d u d u u d u C u u u u u u + + − + = = = + = + − + − − + − ∫ ∫ ∫ ∫ T ừ phép đặ t 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2tan tan 1 sin 1 os 1 2 os 4 4 4 t t t t u u u c u c u t t = ⇔ = → = + → = − = − = + + T ừ đ ó ta đượ c 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 sin 1 1 4 2 5 ln ln ln . 1 2 1 sin 2 2 1 1 4 2 5 t x u t x x I C C C t x u t x x + + + + + + + = + = + = + + − − − + + + c) Đặ t 2 2 2 2 2 (2tan ) 2(1 tan ) os 2tan 4 4tan 4 dt dx d t t dt c t x t x t = = = + = → + = + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 4 2 2 4tan .2(1 tan ) sin sin .cos sin . (sin ) 4 tan 1 tan 4 4 4 cos cos 2 1 tan 1 sin t t dt t t tdt t d t I t t dt dt t t t t + → = = + = = = + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Đặ t ( ) 2 2 2 3 2 2 2 1 (1 ) (1 ) sin 4 4 4 1 2 (1 )(1 ) 1 u u u u u t I du du du u u u u + − − = → = = = − + − − ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 1 1 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 ) du du du d u d u u u du du u u u u u u u u u u − + − + + = − = + − = − + − − + − + − + − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 du du du u u C u u u u u u u u u u − − − + = − − − − = − − − + + − + − + + − − + + − − + ∫ ∫ ∫ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 sin 1 ln ln ln . 1 1 1 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1 u u t C I C C u u u u u u t t t − − − = − + + → = − + + = − + + − + + − + + − + + Từ giả thiết 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2tan tan 1 tan 1 os sin 2 os 4 4 4 x x x x t t t c t t c t x x = ⇔ = → = + = + ⇔ = → = + + 2 3 2 2 2 2 1 1 1 4 sin ln . 4 1 1 1 4 4 4 x x x t I C x x x x x x x − + ⇔ = → = − + + + − + + + + + Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm c ủ a các hàm s ố sau: a) 1 2 1 dx I x = − ∫ b) 2 2 2 4 dx I x x = − ∫ c) 3 2 2 2 dx I x x = − − ∫ H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) Đặ t 2 2 1 2 2 2 2 2 1 cos cos sin sin 1 cos sin sin sin .cot 1 1 1 cot 1 1 sin t dt t dt dx d dx t t dx t dt t x I t t t x x t x t − − = = = − = → ←→ → = = − − = − = − ∫ ∫ 2 2 sin (cos ) (cos ) 1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos (cos ) ln . sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) 2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos t dt d t d t t t t d t C t t t t t t t − + + + = − = = = = + − − + − + − ∫ ∫ ∫ ∫ T ừ phép đặ t 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 os 1 sin 1 cos ln . sin 2 1 1 x x x x c t t t I C t x x x x − + − = → = − = − ⇔ = → = + − − b) Đặ t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos 2cos sin sin 2 sin 8cot sin 4 4 2cot 4 4 4 sin sin t dt t dt dx d dx t t t x t t x t x x x t t − − = = = = → ←→ − = ⇒ − = − = − Khi đ ó, 2 2 2 2 2 2cos 1 1 sin cos . 8cot 4 4 4 sin . sin dx t dt I t dt t C t x x t t − = = = − = + − ∫ ∫ ∫ T ừ 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 os 1 sin 1 cos . sin 4 x x x c t t t I C t x x x − − = → = − = − ⇔ = → = + c) ( ) 1 3 3 2 2 2 2 2 ( 1) 2 2 ( 1) 3 3 3 t x dx d x dt dt I I x x x t t = − − = = → = = − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ Đặ t 2 2 2 2 2 3 3cos 3cos sin sin 3 sin sin 3 3 3cot 3 3 sin udu dt d udu dt u u t u u t u t u − = = − = = → ←→ − = − = − 3 2 2 2 2 3cos sin (cos ) (cos ) sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) sin . 3cot 3 dt udu udu d u d u I u u u u u u t − → = = = − = = − − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos (cos ) ln . 2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos u u u d u C u u u − + + + = = + − + − ∫ T ừ 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 1 1 3 3 3 1 1 1 os 1 cos ln ln . sin 2 2 3 2 2 1 1 1 t x x t t x t c u t I C C u t t t x x t x − − − + + − − = ⇒ = − ⇔ = → = + = + − − − − − − Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau: LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 4 2 2 1 arctan . dx x C x a a a = + + ∫ 2 2 1 ln . 2 dx x a C x a a x a + = + − − ∫ 2 2 1 ln . 2 dx x a C a x a x a − = + − + ∫ 2 2 ln . dx x x a C x a = + ± + ± ∫ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) 2 1 2 4 x dx I x = + ∫ 2) 2 2 2 1 x I dx x − = ∫ 3) 2 3 2 4 x dx I x = − ∫ 4) 4 2 1 3 2 I dx x x = − ∫ 5) 2 5 2 1 I x dx = + ∫ 6) 6 2 2 5 dx I x = − ∫ . ∫ ∫ ∫ ∫ Tài liệu bài giảng: 03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn. 9 x x x x I C = − − − + Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm c ủ a các hàm s ố sau: a) ( ) 1 2 ; 1 1 dx I a x = = + ∫ b) 2 2 2 5 I x x dx = + + ∫ . . 4 1 1 1 4 4 4 x x x t I C x x x x x x x − + ⇔ = → = − + + + − + + + + + Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm c ủ a các hàm s ố sau: a) 1 2 1 dx I x = − ∫ b) 2 2 2 4 dx I x x = − ∫ c) 3 2 2