Lý thuyết sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ĐỂ TÌM NGUYÊN HÀM.. 1.[r]

Trang |

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ĐỂ TÌM NGUYÊN HÀM

1 Kiến thức cần nhớ - Vi phân:

   

       

t u x dt u x dx

u t v x u t dt v x dx 

  

 

  

- Công thức đổi biến:

     

f u x u x dx  f t dt

  F t  C F t x  C

2 Một số dạng toán thƣờng gặp

Dạng 1: Tính nguyên hàm phƣơng pháp đổi biến tu x  - Bƣớc 1: Đặt tu x , u x  hàm chọn thích hợp

- Bƣớc 2: Tính vi phân dt u x dx 

- Bƣớc 3: Biến đổi f x dx  thành g t dt 

- Bƣớc 4: Tính nguyên hàm: f x dx  g t dt  G t  C G u x  C

Ví dụ: Tính nguyên hàm 2x x2 1dx

Giải:

Đặt 2

1

t  x   t x  2tdt2xdx

Do đó: 2

2x x 1dx x 1.2xdx

  2

.2

3

t tdt t dt t C

     2 3

1

3 x C

  

Dạng 2: Tính nguyên hàm phƣơng pháp đổi biến xu t  - Bƣớc 1: Đặt xu t , u t  hàm số ta chọn thích hợp

- Bƣớc 2: Lấy vi phân vế dxu t dt 

- Bƣớc 3: Biến đổi f x dx   f u t  .u t dt  g t dt 

Trang |

Ví dụ: Cho nguyên hàm

1 d , 0;

2

I  x x x  

 

 , đặt xsint nguyên hàm I tính theo biến t trở thành:

A I  t sin 2t C

B cos

2

t

I   tC

C sin

2

t t

I   C

D cos

2

t t

I   C

Giải:

Đặt xsintdxcostdt 2

1x  1 sin t cos t

Suy

2 2 cos

1 d cos cos d cos d d

2

1 sin

cos d

2 2

t

x x t t t t t t

t t

t t C



   

 

      

 

   



(Vì 0; cos

2

x  x

 

2

cos x cosx

  )

Vậy sin

2

t t

I   C

Chọn C

Trang | 3 Bài tập

Câu 1: 3cos x dx

2 sin x

 bằng:

A 3ln sin x  C B 3ln sin x C C

 2

3sin x C

2 sin x  D  

3sin x

C ln sin x

 



Câu 2:

x x

x x

e e dx e e

 

 

 bằng:

A ln exex C B ln ex ex C C ln exex C D ln ex ex C

Câu 3: 3sin x cos xdx

3cos x 2sin x

 

 bằng:

A ln 3cos x 2sin x C B ln 3cos x 2sin x C

C ln 3sin x 2cos x C D ln 3sin x 2cos x C

Câu 4: Nguyên hàm sin x cos x

sin x cos x



 là:

A ln sin x cos x C B C

ln sin x cos x  C ln sin x cos x C D

C

sin xcos x

Câu 5: 24x dx

4x 2x



 

Trang |

A 2 C

4x 2x 5  B

1

C

4x 2x

 

 

C ln 4x22x 5 C D 1ln 4x2 2x C

2   

Câu 6: x e  x2 2x 3dx bằng:

A

2

x 2x

x

x e C

2

 

 

 

 

  B  

3

x x 3x

x e   C

C 1 x2 2x

e C

2

  D 1 x2 2x 3

e C

2

  

Câu 7: cot x2 dx sin x

 bằng:

A

cot x C

  B

2

cot x C

2  C

2

tan x C

  D

2

tan x C 

Câu 8: sin x5 dx cos x

 bằng:

A 14 C

4cos x

 

B 14 C

4cos x C

1 C

4sin x D

1 C 4sin x

 

Câu 9:

sin x.cosxdx

 bằng:

A

sin x C

6  B

6

sin x C

  C

6

cos x C

  D

6

cos x C 

Câu 10: ln x dx x ln x

 bằng:

A 1 1 ln x ln x C

    

 

  B

1

1 ln x ln x C

    

 

 

C

2 (1 ln x) ln x C

3

    

 

  D

1

2 ln x ln x C

3

    

 

 

Câu 11: 15 dx x.ln x

 bằng:

A

ln x C

  B 44 C

ln x

  C 14 C

4 ln x D

1 C ln x

Trang |

Câu 12: ln x dx x

 bằng:

A 3 ln x3 C

2  B  

3

2 ln x C C 2 ln x3 C

3  D  

3

3 ln x C

Câu 13:

2

x dx

2x 3

 bằng:

A 1

3x C

2   B

2

1

2x C

2   C

2

2x  3 C D 2 2x2 3 C

Câu 14: x.ex21dx bằng:

A 1 x2

e C

2

  B x2 1

e  C C 2ex21C D x e2 x21C

Câu 15: 2x x

e dx e 1

 bằng:

A (ex 1).ln ex 1 C B e ln ex x  1 C

C ex  1 ln ex 1 C D ln ex  1 C

Câu 16: x

e dx x

 bằng:

A x

e C B x

e C

  C

1 x

e C

  D 1

x

1 C e



Câu 17: x x

e dx e 1

 bằng:

A x

e  x C B x

ln e  1 C C

x x

e C

e x D x

1

C

ln e 1

Câu 18:

 2

x dx

x 1

 bằng:

A ln x 1   x C B ln x 1 C C C

x 1  D

1

ln x C

x

  



Trang |

A    

5

x x

C

5

 

  B    

5

x x

C

5

 

 

C

5

3

x 3x x

x C

5     D

5

3

x 3x x

x C

5    

Câu 20: Hàm số f (x)x x 1 có nguyên hàm F(x) Nếu F(0)2 giá trị F(3)

A 116

15 B Một đáp số khác C

146

15 D

886 105

ĐÁP ÁN