Dang 2. Phương pháp đổi biến số(TH)

Câu [2D3-2.2-2] (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Biết dx = a ln + b ln + c ln x + x , a, b, c∈ Z Tính giá trị T I=∫ A = a+ b+ c D T = T = B T = C T Lời giải = − Tác giả: ; Fb:Nguyễn Tiến Phúc Chọn A Cách 4 dx dx dx = − ∫3 x2 + x ∫3 x ∫3 x + = ln ( x ) − ln ( x + 1)  = ln − ln − ln + ln = 4ln − ln − ln ⇒ a = 4; b = − 1; c = − ⇒ T = − − = Cách dx ∫ x2 + x Ta có: e = ea ln 2+ b ln 3+ 5ln c = 2a.3b.5c dx ∫ x2 + x 16 − − a b c e3 = = = ⇒ a = 4; b = − 1; c = − Nhập 15 Câu [2D3-2.2-2] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Giả sử hàm số thỏa mãn A π 0 f ( x) liên tục đoạn [ 0;2] ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ f ( 2sin x ) cos xdx B −3 C Lời giải D −6 Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Mai; Fb: Thanh Mai Nguyễn Chọn A t = 2sin x ⇒ dt = 2cos xdx ⇒ dt = cos xdx + Đặt x = ⇒ t = 0; x = + Đổi cận π ⇒ t = 2 1 I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 20 20 Vậy Câu f ( x ) dx = [2D3-2.2-2] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho ∫ A B C Lời giải Chọn D Khi ∫ f D ( x ) dx x ∫ f ( x ) dx = x 1 ∫ f ( x ) d ( x ) = 2∫ f ( t ) dt = π Câu [2D3-2.2-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho π A I = ∫ u du π cot x I = ∫ dx π sin x B I = ∫ u du u = cot x Mệnh đề I = − ∫ u du C Lời giải D I = ∫ udu Tác giả: Trần Tân Tiến; Fb: Tân Tiến Chọn B Đặt u = cot x ⇒ du = − Khi x= dx sin x π π ⇒ u=1 x= ⇒ u= ; π cot x I = ∫ dx = − ∫ u 3du = ∫ u 3du π sin x Suy Câu [2D3-2.2-2] (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho ∫ f ( x ) dx = 10 Tính D J = tích phân J = ∫ f ( x + ) dx A J = B J = 10 J = 50 C Lời giải Tác giả:ĐẶNG DUY HÙNG ; Fb: Duy Hùng Chọn A x = 0⇒ t =  Đặt t = x + , dt = 5dx ; Đổi cận  x = ⇒ t = 9 1 J = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 10 = 54 54 Câu    ÷dx = a ln + b ln ∫ [2D3-2.2-2] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho  x + x +  với số nguyên Mệnh đề đúng? A a + 2b = B a − 2b = C a + b = − D a + b = Lời giải a, b Chọn A A ( x + ) + B ( x + 1) ( A + B ) x + ( A + B ) 1 A B = = + = = ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) Ta có: x + 3x + ( x + 1) ( x + ) x + x + Đồng thức ta có hệ phương trình: { { A+ B = A=1 ⇔ 2A + B = B = −1 1 ⇒ = − x + 3x + x + x + 1 1     ⇒ ∫ − ÷dx = ∫  ÷dx = ( ln x + − ln x + ) = ( ln − ln 3) − ( ln1 − ln ) x + 3x +  x +1 x +  0 0 = ln − ln ⇒ a = 2, b = − Vậy Câu a + 2b = [2D3-2.2-2] (THPT-n-Mơ-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Diện tích hình phẳng phần gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức sau đây? A C S= ∫ ( −x −1 S= ∫(x −1 − x + x + ) dx 2 + x − x − ) dx B D S= ∫(x −1 S= ∫(x −1 − x − x + 10 ) dx + x − x − 10 ) dx Lời giải Tác giả: Thái Lê Minh Lý; Fb: Lý Thái Lê Minh Chọn A S = ∫  ( − x + x + 8) − ( x − 3x + )  dx = −1 ∫ ( −x −1 − x + x + ) dx Câu [2D3-2.2-2] (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = 1 Tính A I = ∫  f ( x + 1) + x + 1 dx I = 11 I = B C I = 14 D I = Lời giải Tác giả:Lê Thị Ngọc Thúy ; Fb: Lê Thị Ngọc Thúy Chọn B Ta có 1 1 0 0 I = ∫  f ( x + 1) + x + 1 dx = ∫ f ( x + 1) dx + ∫ ( x + 1) dx = ∫ f ( x + 1) dx + ( x + x ) 1 = ∫ f ( x + 1) dx + ⇒ dx = dt Đặt t = x + Với x = ⇒ t = 1; x = 1⇒ t = 3 1 ⇒ I = ∫ f ( t ) dt + = ∫ f ( x ) dx + = + = 21 21 Câu f ( x ) dx = 2019 ∫ [2D3-2.2-2] (THPT SỐ TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019) Cho Giá trị π I = ∫ f ( cos x ) sin xdx 2019 A 2019 B − C 4038 Lời giải Chọn D t = cos x ⇒ dt = − 2sin xdx ⇒ sin xdx = − dt Đặt x = ⇒ t =   π x= ⇒t=0 Đổi cận  1 2019 I = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = 21 20 Do 2019 D Câu 10 [2D3-2.2-2] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019) Cho ln5 I= ∫ ( e + 1) e dx x x ex − ln Đặt t = e x − Chọn mệnh đề I = 2∫ ( t + ) dt ln A B I = 2∫ ( t + ) dt ∫ (t + 2)dt ln C I= D Lời giải I = ∫ ( t + ) dt Tác giả:Trần Anh Tuấn ; Fb: tuantran Chọn C t = ex − suy dt = e x = t + e x dx ex − Đổi cận: x = ln ⇒ t = x = ln ⇒ t = ln I = ∫ ( e + 1) Suy ln 2 ex x ex − dx = ∫ ( t + ) dt Câu 11 [2D3-2.2-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho I ≥ A a = I=∫ B C Vô số giá trị a dx x + a , với a = t = x + a ⇒ t = x + a ⇒ tdt = dx x = ⇒ t = a , x = 1⇒ t = + a I= 2+ a ∫ a tdt = t 2+ a ∫ a dt = t 2+ a a I ≥ 1⇔ 2+ a − a ≥ ⇔  a > ⇔ ⇔  a ≤ nguyên để D Không có giá trị a Lờigiải Tácgiả: Kim Liên; Fb: Kim Liên Chọn D Đặt a > Tìm a = 2+ a − a  a > ⇔ + a ≥ a +  + a ≥ a + + a a >   ⇔ < a ≤ a ≤  4 Vậy giá trị a Câu 12 [2D3-2.2-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho hàm số y = f ( x) A có đồ thị hình vẽ bên Tính tích phân I = B I= C I = ∫ f ( x − 1) dx −1 I= D I= Lời giải Tác giả : Lê Tuấn Anh; Fb: Anh Tuan Anh Le Phản biện: Nguyễn Văn Hoạch; Fb : Nguyễn Hoạch Chọn D t = x − ⇒ dt = 2dx ⇒ dx = dt Đặt Đổi cận: x = − t = − ; x = t = 15 −2 15 ⇒ I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt −3 −3 −2 −2 15 f ( t ) dt = − S ∆ ABC ∫ f ( t ) dt = ( S ∆CDE + S ∆EFG + SGFHI ) ∫ Mà − ; −2 2 Ta có : Vậy S ∆ABC = S ∆EFG = I= 1 1 S∆CDE = OD.CE = 2.4 = SGFHI = ( + ) = ; 2; 2 ( S∆CDE + SGFHI ) = 2 Câu 13 [2D3-2.2-2] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho tích phân I = ∫ f ( x ) dx = 32 Tích phân J = ∫ f ( x ) dx A J =8 B J = 64 C J = 16 D J = 32 Lời giải Tác giả: Huỳnh Trọng Nghĩa ; Fb: Huỳnh Trọng Nghĩa Chọn C Ta có J = ∫ f ( x ) dx t = x ⇒ dt = 2dx ⇒ dx = dt Đặt x=0⇒t =0 Đổi cận: x = ⇒ t = 4 1 J = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = 32 = 16 20 Ta chọn đáp án C π Câu 14 [2D3-2.2-2] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho đúng? 1 nên π π 0 I = 16∫ cos2 tdt = 8∫ ( + cos2t ) dt e Câu 25 ln x ∫ [2D3-2.2-2] (Đặng Thành Nam Đề 17) Cho x ( ln x + ) dx = a + b ln + c ln với số hữu tỷ Giá trị A −2 3a + b + c B − C a , b , c D Lời giải Chọn B t = ln x ⇒ dt = dx Đặt x Đổi cận: x = 1⇒ t = ; x = e ⇒ t = Khi đó: e I =∫ 1 ln x x ( ln x + ) dx = ∫ t ( t + 2) dt = ∫   d t = − dt  2 ∫ t + t + t + ( ) ( )  0  t +2−2 1   =  ln t + + = − − ln + ln ÷ t+20  a=− Suy ra: Do đó: 3; b = − 1; c = 3a + b + c = − Câu 26 [2D3-2.2-2] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Cho a a, b, c∈ ¥ * phân số b tối giản Giá trị A B a+ b+ c C ln x ∫ ( x + 1) a dx = ×ln − c ×ln b với D Lời giải Tác giả: Phan Thanh Tâm ; Fb: Phan Thanh Tâm Chọn A dx  u = ln x du =    x  dv = dx ⇒   v = − + = x x + ( ) Đặt   x +1 x +1 ln x 3 x dx 3 d x = ln x − = ln − ln x + = ln − ln + ln = ln − ln 2 ∫ ∫ x + x + 4 Ta có ( x + 1) a =  b =  Suy  c = Do a+ b+ c = ( x − 1) dx =  x −  b + C  ÷ 2018 ∫ a x+ 2 [2D3-2.2-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Biết ( x + ) , x ≠ − , với a , b nguyên dương Mệnh đề đúng? A a < b B a = b C a = 3b D b − a = 4034 2016 Câu 27 Lời giải Tác giả: Bùi Nguyên Sơn; Fb: Bùi Nguyên Sơn Chọn C Cách b  x −1  F ( x) =  ÷ +C, Xét hàm số a x+ 2 x ≠ − Ta có: b −1 b −1 b −1 b −1 3b ( x − 1) 3b ( x − 1) b  x −   x − ′ ′ b  x −  = = F′ ( x) =  ÷  ÷ +C =  ÷ a x+ 2  x+ 2 a  x +  ( x + ) a ( x + ) b −1+ a ( x + ) b +1 ( x − 1) = 3b ( x − 1)  a = 3b 2018 b +1 a ( x + ) Suy  b = 2017 Khi ( x + ) b −1 2016 Cách x − dt = dx t= ( x + ) , ta có: Đặt x+ 2, ( x − 1) dx =  x −  2016 dx =  x −  2016 3dx ∫ ( x + ) 2018 ∫  x + ÷ ( x + ) ∫  x + ÷ ( x + ) 2016 2017 2016 t 2017  x −1  = ∫ t dt = +C =  ÷ 3.2017 3.2017  x +  2017  x −1   ÷ 3.2017  x +  ln ∫ 1+ ex e +3 x A Khi  b = 2017   a = 3b Vậy phương án C b  x −1  =  ÷ a  x +  Suy Câu 28 [2D3-2.2-2] +C (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Biết dx = a + b ln + c ln T = − B T = với a , b , c số nguyên Tính T = a + b + c C T = D T = Lời giải Tác giả: Phạm Cao Thế; Fb: Cao Thế Phạm Chọn B ln Xét I= ∫ 1+ Đổi cận ex e +3 x dx Đặt t = e x + ⇒ t = e x + ⇒ 2tdt = e xdx x = ⇒ t = , x = ln ⇒ t = 3 2t   I =∫ dt = ∫  − ÷dt = ( 2t − 2ln t + ) t +1 t + 1 Khi = − 4ln + 2ln3 2 Suy a = , b = − , c = nên T = a + b + c = Câu 29 [2D3-2.2-2] (Chuyên KHTN lần2) (Chuyên KHTN lần2) Cho hàm số thỏa mãn A 0 f ( x) liên tục ¡ ∫ f ( x ) dx = Tích phân ∫ f ( x ) dx B 10 C D Lời giải Tác giả: Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân Phản biện: Đỗ Hữu Nhân ; Fb: Do Huu Nhan Chọn C I = ∫ f ( x ) dx Xét tích phân: Đặt t = x ⇒ dt = 2dx ⇒ dx = Đổi cận: với dt x = ⇒ t = , x = 1⇒ t = 2 1 I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = = 20 20 Khi đó: π2 Câu 30 [2D3-2.2-2] (Đoàn Thượng)Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ ∫ f ( x ) dx = 2018 Tính π I = ∫ xf ( x ) dx A I = 1008 B I = 2019 C I = 2017 D I = 1009 Lời giải Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng; Fb: dungmanhnguyen Chọn D π π2 π π2 1 1 I = ∫ xf ( x ) dx = ∫ f ( x2 ) d ( x ) = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx = 2018 = 1009 20 20 20 Ta có e Câu 31 [2D3-2.2-2] (KonTum 12 HK2) Cho biết Giá trị biểu ∫ ln x + a dx = + b x , với a , b số nguyên + log a thức 2b B A.-1 C.8 Lời giải D.6 Tácgiả:Kim Liên; Fb:Kim Liên Chọn C e I =∫ ln x + dx x ⇒ 2tdt = dx x Với x = ⇒ t = Đặt t = ln x + x= e⇒ t = 2t 16 I = ∫ 2t dt = = 3 − Suy Ta có: + log a = Vậy 2b 2 a = 16 , b = − Câu 32 [2D3-2.2-2] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho hàm số 0 −1 f ( x) liên tục ¡ có ∫ f ( x ) dx = 2; ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( x − ) dx A I = B I= C I Lời giải = D I= Tác giả: Lê Thị Giang; Fb: giang lê Chọn C I= t = − x + , u = x − , ta có Với =− 2 ∫ f ( − 2x + 1) dx + ∫ f ( 2x − 1) dx −1 1 1 1 f − x + d − x + + f x − d x − ( ) ( ) ( ) ( ) = − ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( u ) du −∫1 ∫1 23 20 1 = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = + = 20 20 Vậy I = Câu 33 [2D3-2.2-2] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Cho  x +2 a c d x = + 2ln  ÷ ∫1 x  x + ÷ b d với   a c a, b, c, d số nguyên, b d phân số tối a + b + c + d B 18 giản Giá trị A 16 C 25 Lời giải D 20 Tác giả: Vũ Danh Được ; Fb: Danh Được Vũ Chọn B 2  x + 2  x + 2 d x = ∫1 x  x + ÷÷ ∫1  x + ÷÷ d     (  t + 1 x +1 = ∫ ÷ dt t   ) 3 1  1  = ∫ 1 + + ÷dt =  t + 2ln t − ÷ = + 2ln t t  t 2 Do  2 Câu 34 ∫x [2D3-2.2-2] (KonTum 12 HK2) Cho biết Giá trị A a + b + c + d = 18 x + 1dx = a − với a , b b số tự nhiên a − b − B C Lời giải D Tác giả: ; Fb: Biện Tuyên Chọn A 1 1 x x + 1dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1) = ( x + 1) x + = 2 − ∫ 20 Cách 1: 0 ⇒ a = 2, b = Vậy a − b = − Cách 2: Đặt Ta có x + = t ⇒ x + = t ⇒ x d x = t dt x = ⇒ t = 1, x = ⇒ t = 2 t3 2 2 −1 x x + 1dx = ∫ t dt = = ∫ 31 Khi đó: ⇒ a = 2, b = Vậy a − b = − Cách 3: dùng MTCT Bước 1: Tính tích phân lưu lại A (SHIFT → STO → A) Bước 2: Rút b= a −1 A Bước 3: MODE nhập Được cặp số f ( x) = x −1 A với Start: , End: 18 , Step: (vì a, b∈ ¥ ) x = , f ( x ) = thỏa mãn Suy a = , b = 2017 Câu 35 [2D3-2.2-2] (Lý Nhân Tông) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ f ( 2017 x ) dx A I =0 B I =1 C I= Lời giải Chọn C 2017 D I = 2017 t = 2017 x ⇒ dt = 2017dx ⇒ dx = Đặt Đổi cận dt 2017 x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 2017 I= 2017 Khi 2017 ∫ 1 = 2017 2017 f ( t ) dt = Câu 36 [2D3-2.2-2] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho tích phân I = ∫ f ( x ) dx = 32 Tính tích phân J = ∫ f ( x ) dx = 32 A J = 64 B J C J Lời giải = D J = 16 Tác giả: Lê Trọng Hiếu ; Fb: Hieu Le Chọn D Đặt t = x ⇒ dt = 2dx ⇒ Đổi cận : dt = dx x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 4 1 J = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = I = 16 20 0 Câu 37 Câu [2D2-5.3-4] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tính tổng tham số m để phương trình e x + ( m − m ) e − x = 2m T giá trị nguyên có hai nghiệm phân biệt nhỏ log e A T = 28 B T = 20 C T Lời giải = 21 D T = 27 Tác giả: Hoàng Vũ ; Fb: Hoàng Vũ Chọn D ( ) e + m − m e = 2m ⇔ e x −x x (m + Đặt t = ex , ( t > 0) (1) ⇔ t − 2mt + m2 − m = (*) − m) ex − 2m = (1) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt t1; t2 thỏa mãn ∆>0   S  < < 10 ⇔ ⇔  P>0   (t1 − 10)(t2 − 10) > x1 ; x2 thỏa: log e ⇔ phương trình (*) có hai < t1 < t2 < 10  m>0  < m < 10  4m >    ⇔ m ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 1; + ∞ ) < m < 10    m2 − m > m ∈  −∞; 21 − 41 ÷∪  21 + 41 ; + ∞ ÷   ÷  ÷ 2  m − 21m + 100 >      Câu 38 [2D3-2.2-2] (HSG Bắc Ninh) Cho ∫ f ( x ) dx = 1 B A x1 < x2 < Khi I=∫ f C ( x ) dx x D Lời giải Tác giả:Trần Kim Nhung; Fb:Nhung tran thi kim Chọn A x=t⇒ Đặt Ta có: I =∫ f dx = dt Với x = → t = 1; x = → t = x ( x ) dx=2 1 ∫ f ( t ) dt = 2.2 = (Vì ∫ f ( x ) dx = ) x 2 Câu 39 [2D3-2.2-2] (Kim Liên 2016-2017) Cho sai ? A I = ∫ u du 2 I= 27 B I = ∫ x x − 1dx I = ∫ u du u = x − Mệnh đề 32 I= D C Lời giải Tác giả: Lưu Thế Dũng; Fb: Lưu Thế Dũng Chọn C u = x − ⇒ du = xdx Đổi cận: Với x = u = ; với x = Đặt I = ∫ x x − 1dx = ∫ Khi u = 2 32 32 u du = u = = 27 I = ∫ u du 3 mệnh đề sai Câu 40 [2D3-2.2-2] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN NĂM 2019) Cho Tính J = ∫ f ( x + ) dx ∫ f ( x + 1) dx = 10 J = A J = B J = 10 C J = 50 D Lời giải Tác giả: ; Fb: Nguyễn Út Chọn D Ta có Nên ∫ 8 3 10 = ∫ f ( x + 1) dx = ∫ f ( x + 1) d ( x + 1) ⇒ ∫ f ( x ) dx = 10 1 f ( 5x + ) dx = ∫ f ( x + ) d ( x + ) = ∫ f ( x ) dx = 50 54 Câu 41 [2D3-2.2-2] (Yên Phong 1) Cho tích phân cho trở thành tdt ∫ A tdt ∫ B I = ∫ x x + 9dx t dt ∫ C Lời giải Khi đặt t = x2 + tích phân t dt ∫ D Tác giả: Hà Toàn; Fb: Hà Toàn Chọn D Đặt t = Đổi cận: x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = xdx 5 Khi I = ∫ t dt ... Chọn C Đặt t = 3x + ⇒ dt = 3dx ⇒ dx = dt Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ J = ∫ f ( 3x + 1) dx = ∫ f ( t ) dt = I = = 31 Khi 3 t = Vậy phương án C Câu 21 [2D3 -2.2 -2] (THPT YÊN DŨNG SỐ LẦN 4) Cho I... 2sin xdx ⇒ sin xdx = − dt Đặt x = ⇒ t =   π x= ⇒t=0 Đổi cận  1 2019 I = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = 21 20 Do 2019 D Câu 10 [2D3 -2.2 -2] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019)... C t = ex − suy dt = e x = t + e x dx ex − Đổi cận: x = ln ⇒ t = x = ln ⇒ t = ln I = ∫ ( e + 1) Suy ln 2 ex x ex − dx = ∫ ( t + ) dt Câu 11 [2D3 -2.2 -2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho I ≥ A a