Dang 1. Định nghĩa, tính chất và nguyên hàm cơ bản(VDT

Câu [2D3-1.1-3] (Sở Quảng Ninh Lần1) Cho hàm số f '( x) = A f ( x) xác định x − , f ( ) = 2017 , f ( ) = 2018 Tính S = f ( 3) − f ( − 1) S = ln 4035 B S = C S Lời giải = ln D S R \ { 1} thỏa mãn = Chọn D Trên khoảng ( 1;+∞ ) : ∫ f ' ( x ) dx = ∫ dx x − = ln ( x − 1) + C1 ⇒ f ( x ) = ln ( x − 1) + C1 f (2) = 2018 ⇒ C1 = 2018 Mà f ' ( x ) dx = ∫ dx Trên khoảng ( −∞;1) ∫ x − = ln ( − x ) + C2 ⇒ f ( x ) = ln ( − x ) + C2 f (0) = 2017 ⇒ C2 = 2017 Mà  ln( x − 1) + 2018 x > f ( x) =  Vậy  ln(1 − x) + 2017 x < Suy Câu f ( 3) − f ( −1) = [2D3-1.1-3] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số số f ( x) = ( 0;π ) F ( x) nguyên hàm hàm 2cos x − sin x khoảng ( 0; π ) Biết giá trị lớn F ( x ) khoảng Chọn mệnh đề mệnh đề sau π  F  ÷= 3 − A    2π F B   ÷=  π  F  ÷= − C   Lời giải  5π F D   ÷= 3−  Tác giả: Nguyễn Văn Mộng ; Fb: Nguyễn Văn Mộng Chọn A Ta có: ∫ f ( x ) dx = ∫ = 2∫ 2cos x − cos x d x = d x − ∫ sin x ∫ sin x dx sin x d ( sin x ) − ∫ dx = − + cot x + C sin x sin x sin x Do F ( x) F ( x) nguyên hàm hàm số có cơng thức dạng Xét hàm số F ( x) = − F '( x) = f ( x) = Xét 2cos x − sin x khoảng ( 0; π ) nên hàm số + cot x + C với x ∈ ( 0; π ) sin x + cot x + C xác định liên tục ( 0; π ) sin x 2cos x − sin x 2cos x − 1 π = ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) sin x F '( x) = ⇔ Trên khoảng F ( x) = − f ( x) = ( 0;π ) , phương trình F ' ( x ) = có nghiệm x= π Bảng biến thiên: π  max F ( x ) = F  ÷ = − + C ( 0;π )  3 Theo đề ta có, Do đó, F ( x) = − − 3+ C = ⇔ C = + cot x + sin x π  F  ÷= 3 − Khi đó,   Vậy ta chọn A Câu [2D3-1.1-3] (Sở Quảng Ninh Lần1) Biết ln có hai số ngun hàm hàm số đầy đủ nhất? A a∈ ¡ , b∈ ¡ B f ( x) thỏa mãn a = 1, b = a b để F ( x) = ax + b ( 4a − b ≠ ) x+ f ( x ) = ( F ( x ) − 1) f ′ ( x ) Khẳng định C a = 1, b = Lời giải −1 D a = 1, b ∈ ¡ \ { 4} Tác giả:Trịnh Văn Thạch; Fb: Trịnh Văn Thạch Chọn D Do 4a − b ≠ nên F ( x ) ≠ C ∀ x ∈ ¡ f ( x ) nên f ( x ) nguyên hàm hàm số Từ giả thiết Vì ln có hai số f ( x ) = ( F ( x ) − 1) f ′ ( x ) ⇔ Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân a b để F ( x) = ax + b ( 4a − b ≠ ) x+ hàm f ( x) f ′ ( x) = F ( x) − f ( x) dx ta được: ( ) ( ) ∫ F ( x ) − dx = ∫ f ( x ) dx ⇔ 2ln F ( x ) − = ln f ( x ) + C với C số 2f x f′ x  ( a − 1) x + b −  2ln F ( x ) − + ln e = ln f ( x ) ⇔ f ( x ) = e ( F ( x ) − 1) = e  ÷ x+   C C C  C  ( a − 1) x + b −   f ( x ) = e  ÷ x+4    ⇔  C  ( a − 1) x + b −  ÷  f ( x ) = −e  x+4     ( a − 1) x + b −  f ( x ) = e  ÷ x+ Trường hợp   C Ta có F′( x) = f ( x) ⇒ f ( x) = 4a − b ( x + 4) Đồng hệ số ta có: a =  a = b = C e ( ( a − 1) x + b − ) = 4a − b ∀x ∈ ¡ ⇔  C ⇔  C e b − = − b ( )   b = 4e −    eC Loại b= điều kiện 4a − b ≠  4eC −  a ; b = ( )  1; C ÷ e  Do   ( a − 1) x + b −  f ( x ) = − e  ÷ x+ Trường hợp   C Ta có F′( x) = f ( x) ⇒ f ( x) = 4a − b ( x + 4) Đồng hệ số ta có: a =  a = b = C −e ( ( a − 1) x + b − ) = 4a − b ∀x ∈ ¡ ⇔  C ⇔  C − e b − = − b ( )   b = 4e +    eC Loại b= điều kiện 4a − b ≠  4eC +  a ; b = ( )  1; C ÷ e  Do  Tổng hợp hai trường hợp ta chọn đáp án D Câu [2D3-1.1-3] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Biết F ( x) π  π  F ÷= F ÷ nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x   Tính   π  π  π  π  F  ÷= F ÷= F ÷= F ÷= A   B   C   D   Lời giải Tác giả: Hồ Xuân Dũng;Fb:Dũng Hồ Xuân Chọn D π Ta có π  π  π  ∫ sin xdx = F  ÷ − F  ÷ = − F  ÷ π π 1 π π sin x d x = − cos x = − cos − cos  ÷= ∫π π 2 3 Mà π π  F  ÷ = 1− = Do   4 Câu [2D3-1.1-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Biết ( −∞ ; +∞ ) Gọi F ( x ) nguyên hàm 5− e B A x ex f ′ ( x) ex Lời giải Ta có f ( − x ) = ( x e x ) ′ = e x + x e x , ∀ x ∈ ( −∞ ; +∞ ) Do f ( − x ) = e ( ) − ( − x ) e ( ) , ∀ x ∈ ( −∞ ; +∞ ) − −x thỏa mãn 7− e C Chọn A − −x nguyên hàm f ( − x) khoảng F ( ) = , giá trị F ( − 1) D Suy f ( x ) = e− x ( − x ) , ∀ x ∈ ( −∞ ; +∞ ) f ′ ( x ) =  e− x ( − x )  ′ = e− x ( x − ) ⇒ f ′ ( x ) e x = e − x ( x − ) e x = x − F ( x ) = ∫ ( x − 2) d x = ( x − 2) + C Bởi 2 F ( 0) = ( − 2) + C = C + F ( 0) = ⇒ C = − Từ ; 1 2 F ( x ) = ( x − ) − ⇒ F ( − 1) = ( − − ) − = Vậy 2 Nên Câu [2D3-1.1-3] (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho F ( x ) nguyên f ( x ) = e x ( x3 − x ) Hàm số F ( x + x ) có điểm cực trị? hàm hàm số A B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Vũ Hoàng Trâm; Fb: Hoang Tram Chọn B F ( x) f ( x ) = e x ( x3 − x ) ⇒ F ' ( x ) = f ( x ) = e x ( x − x ) nguyên hàm hàm số x = F ' ( x ) = ⇔ e x ( x − x ) = ⇔ x3 − x = ⇔  x = −  x = 2 F ' ( x + x ) = ( x + 1) F ' ( x + x )  2x + = ⇔ x = −  x =  x + x = ⇔  x = −1   ( x + 1) F ' ( x + x ) = ⇔   x = x + x = ⇔   x = −2   x + x = −2 ( ptvn )  Vậy, phương trình cực trị Câu F ' ( x + x ) = có nghiệm phân biệt Do đó, hàm số F ( x + x ) có điểm [2D3-1.1-3] (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Giả sử hàm số f ( x) ¡ , nhận giá trị dương khoảng ( 0;+∞ ) f ( 1) = 1, f ( x ) = f ' ( x ) 3x + với x > Mệnh đề sau đúng? tục A < f ( ) < B < f ( ) < C Lời giải < f ( 5) < D có đạo hàm liên thỏa < f ( ) < mãn Chọn C f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + Ta có ⇔ f ′ ( x) f ( x) = 3x + 3x + + C 4 f ( 1) = ⇒ C + = ⇔ C = − Vì 3 ⇔ ln f ( x ) = 2 ⇒ ln f ( x ) = 3x + − ⇔ f ( x ) = e 3 Vậy Câu x + 1− 4 ⇒ f ( ) = e ≈ 3,8 < f ( 5) < [2D3-1.1-3] (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số f ( x) f ( x)  3 f = x2  ÷ f ( 1) = − Giá trị   x 1 A 96 B 64 C 48 có đạo hàm ¡ \ { 0} thỏa mãn f ′ ( x) + D 24 Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Thùy Linh; Fb: Nguyễn Linh Chọn A Ta có f ′ ( x) + f ( x) x4 3 ′ ′ = x ⇔ xf ( x ) + f ( x ) = x ⇔  xf ( x )  = x ⇒ xf ( x ) = ∫ x dx = + C x x4 − 5 f x = ⇒ ( ) f ( 1) = −1 ⇒ C = − Khi x Câu  3 f  ÷=   96 [2D3-1.1-3] (Cụm trường chuyên lần1) Biết hàm số F ( x ) = ( ax + bx + c ) e− x nguyên hàm f ( x ) = ( x − x + ) e − x ¡ Giá trị biểu thức f ( F ( ) ) : −1 A e B C 20e2 Lời giải 3e D 9e Tác giả: Nguyễn Văn Nghĩa; Fb: https://www.facebook.com/nghia.nguyenvan.1705 Chọn D ) ( ( ax ′ + Tính F ( x ) = ( ) ′ + bx + c ) e− x =  − ax + ( 2a − b ) x + b − c  e− x = x − x + e − x ( )  a = −2   2a − b = − ⇔  Suy  b − c = + Tính  a = −2  b =  c = − nên F ( x ) = − x + x − e− x  ( ) F ( ) = − suy f ( F ( ) ) = f ( − 1) = 9e Câu 10 [2D3-1.1-3] (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hai hàm số F ( x ) = ( x + ax + b ) e x , f ( x ) = ( x + 3x + ) e x Biết a, b số thực để F ( x ) nguyên hàm A f ( x ) Tính S = a + b S = −6 B S = 12 C S = D S = Lời giải Tác giả: Hồng Văn Thơng; Fb: Thơng Hồng Chọn D Nhận xét: Bài chặt chẽ thêm điều kiện ¡ F ( x) nguyên hàm f ( x) Từ giả thiết ta có F′ ( x) = f ( x) , ∀ x ∈ ¡ ⇔ ( x + a ) e x + ( x + ax + b ) e x = ( x + 3x + ) e x , ∀ x ∈ ¡ ⇔ x + ( + a ) x + a + b = x + 3x + , ∀ x ∈ ¡ a + =  Đồng hai vế ta có a + b = Suy S = a+ b= Câu 11 [2D3-1.1-3] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho nguyên hàm hàm số biểu thức f ( x) = 2x + 1 F = ( ) x + x + x khoảng ( 0;+∞ ) thỏa mãn Giá trị S = F ( 1) + F ( ) + F ( 3) + + F ( 2019 ) 2019 A 2020 F ( x) 2019.2021 B 2020 C 2018 2020 2019 D 2020 − Lời giải Tác giả: Nguyễn Công Anh; Fb: conganhmai Chọn C  2x + 2x + 1   d x = d x = − ∫ x ( x + 1) ∫  x ( x + 1) ÷÷dx x + x + x Ta có:   1 1 F ( x) = − + +c F ( 1) = F ( x) = − + +1 Suy ra: x x + mà nên c = Hay x x+1 F ( x) = ∫ Ta có: S = F ( 1) + F ( ) + F ( 3) + + F ( 2019 )  1   1   1    S =  − + + 1÷ +  − + + 1÷ +  − + + 1÷ + +  − + + 1÷        2019 2020  1 S = −1+ + 2019.1 = 2018 + = 2018 2020 2020 2020 Câu 12 [2D3-1.1-3] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (1) = x(4 − f '( x)) = f ( x) − với x > Tính f (2) A B C D Tác giả: Đinh Thị Thu Huế ; Fb:Huedinh Chọn C Ta có x(4 − f '( x)) = f ( x) − ⇔ f ( x) + xf '( x) = x + ⇔ ( xf ( x) ) ' = x + ⇒ xf ( x) = ∫ ( xf ( x) ) 'dx = ∫ ( x + 1) dx = x + x + C x = f (1) = + C ⇔ = + C ⇔ C = Với Do xf ( x) = x + x Vậy f (2) = 2.22 + hay f (2) = Câu 13 [2D3-1.1-3] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số mãn A f ( x) > , ∀ x ∈ ¡ e− f ′ ( x ) − f ( x ) = Tính f ( − 1) B e3 f ( x ) > , nên ta có: f ′ ( x) f ′ ( x) ∫ f ( x ) dx = ∫ 2dx ⇔ ∃ C ∈ ¡ : ln f ( x ) = x + C ⇒ ln f ( x ) = x + C Cho x = ⇒ ln f ( 1) = + C ⇔ ln1 = + C ⇔ C = − 2 x−2 ⇒ f ( − 1) = e − Do đó: ln f ( x ) = x − ⇔ f ( x ) = e f ′ ( x) − f ( x) = S = a+ b+ c = − ⇔ f ( x) =2⇒ biết xác định f ( 1) = ¡ , thỏa C e D e − Lời giải Tác giả: Trần Hồng Minh; Facebook: Hồng Minh Trần Chọn A Vì y = f ( x) Câu 14 [2D3-1.1-3] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số ¡ \ { − 2} thoả mãn f ( ) + f ( − 3) f ′ ( x) = f ( x) xác định 3x − x + , f ( ) = f ( − ) = Giá trị biểu thức A 12 B C 10 + ln ln D − 20ln Lời giải Tác giả: Nguyễn Hồng Hạnh; Fb: Nguyễn Hồng Hạnh Chọn A f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ Ta có: + Xét khoảng ( − 2; + ∞ ) 3x −   dx = ∫  − ÷ dx = 3x − 7ln x + + C , ∀ x ∈ ¡ \ { − 2} x+ x +   ta có: f ( ) = ⇔ −7ln + C = ⇒ C = + 7ln Do đó, f ( x ) = 3x − 7ln x + + + 7ln , với x∈ ( − 2; + ∞ ) Suy f ( ) = − 7ln + 7ln = − 7ln + Xét khoảng ( −∞ ; − 2) ta có: f ( − ) = ⇔ − 12 − 7ln + C = ⇒ C = 14 + 7ln Do đó, f ( x ) = 3x − 7ln x + + 14 + 7ln , với x ∈ ( −∞ ; − ) Suy f ( −3) = + 7ln f ( ) + f ( −3) = + 7ln + − 7ln = 12 Vậy Câu 15 [2D3-1.1-3] (Chuyên Vinh Lần 3)Biết Hỏi đồ thị hàm số A Vô số điểm y = F ( x) B F ( x) nguyên hàm hàm số có điểm cực trị? C Lời giải f ( x) = x − cos x x2 D Tác giả: Võ Minh Chung; Fb: Võ Minh Chung Chọn C Vì F ( x) nguyên hàm hàm số x − cos x ⇔ =0⇔ ′ F ( x ) = Ta có: x Xét hàm số g ( x) g ( x) = x − cos x đồng biến [ − 1;1] ( 2) f ( x) = x − cos x x − cos x F ′( x) = f ( x) = nên suy ra: x2 x  x − cos x =   x ∈ [ − 1;1] \ { 0} ( 1) [ − 1;1] , ta có : g ′( x) = + sin x ≥ 0, ∀ x ∈ [ − 1;1] Suy hàm số [ − 1;1] Vậy phương trình g ( x) = x − cos x = có nhiều nghiệm ( 0;1) g ( 0) = − cos ( ) = −1 < , g (1) = − cos ( 1) > nên g ( ) g ( 1) < Suy ∃ x0 ∈ ( 0;1) cho g ( x0 ) = ( 3) Mặt khác ta có: hàm số Từ ( 1) , ( 2) , ( 3) g ( x) = x − cos x suy ra: phương trình nghiệm bội lẻ nên Vậy đồ thị hàm số F ′ ( x) đổi qua y = F ( x) liên tục F ′ ( x) = có nghiệm x0 ≠ Đồng thời x0 x = x0 có điểm cực trị PHÂN TÍCH VÀ PHÁT TRIỂN CÂU 43: Cơ Nguyễn Thị Bích Ngọc – Fb: Bích Ngọc PHÂN TÍCH: Bản chất toán muốn khai thác định nghĩa nguyên hàm hàm số cách giải phương trình chứa hàm số hỗn hợp gồm đa thức hàm số lượng giác Phương trình sử dụng tính chất đơn điệu hàm số dẫn đến số nghiệm tối đa một, cần nhẩm nghiệm sử dụng định lí liên tục hàm số suy phương trình có nghiệm F ( x) Câu 16 [2D3-1.1-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Biết nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x + x − Hỏi đồ thị hàm số y = F ( x ) có điểm cực trị? B Lời giải A Vô số điểm C D Chọn D F / ( x) = f ( x ) = cos x + x − Ta có f / ( x) = − sinx + x ; f // ( x) = − cos x + ≥ ∀ x ∈ R Suy hàm số nghiệm Mặt khác đồng biến f / (0) = suy x = Do hàm số nên dấu Mà f / ( x) f / ( x) f / ( x) / R , từ dẫn đến phương trình f ( x) = nghiệm phương trình liên tục khoảng ( −∞ ;0 ) ; ( 0; +∞ ) có nhiều f / ( x) = vô nghiệm khoảng không đổi khoảng f / (− 1) < 0; f / (1) > Vậy hàm số suy f / ( x ) < ∀ x ∈ ( −∞ ;0 ) f ( x) nghịch biến khoảng ( −∞ ;0 ) f (0) = nên phương trình f ( x) = nghiệm x = Vậy đồ thị hàm số y = F ( x) f / ( x) > ∀ x ∈ ( 0; +∞ ) đồng biến khoảng có nghiệm x= ( 0;+∞ ) Mà hay phương trình F / ( x) = có có điểm cực trị BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho hàm số F ( x) = u( x) ∫ g ( t ) dt Tìm đạo hàm hàm số F ( x ) v( x ) CHỨNG MINH: Gọi G( t) F ( x) = Suy ra: nguyên hàm hàm số g ( t ) Theo định nghĩa tích phân, ta có: u( x ) ∫ g ( t ) dt = G (u ) − G ( v ) v( x ) F ′( x) =  G (u ) − G ( v )  ′ = u′.G′ (u ) − v′.G′ (v) = u′.g (u ) − v '.g (v)  u( x) ′  ∫ g ( t ) dt ÷ = u ′.g (u ) − v '.g (v)  ÷ Vậy, ta có cơng thức tổng qt:  v( x )  ... TÍCH VÀ PHÁT TRIỂN CÂU 43: Cơ Nguyễn Thị Bích Ngọc – Fb: Bích Ngọc PHÂN TÍCH: Bản chất toán muốn khai thác định nghĩa nguyên hàm hàm số cách giải phương trình chứa hàm số hỗn hợp gồm đa thức hàm. .. dụng tính chất đơn điệu hàm số dẫn đến số nghiệm tối đa một, cần nhẩm nghiệm sử dụng định lí liên tục hàm số suy phương trình có nghiệm F ( x) Câu 16 [2D3 -1.1 -3] (Chuyên Vinh Lần 3) Biết nguyên hàm. .. x) F ( x) nguyên hàm hàm số có cơng thức dạng Xét hàm số F ( x) = − F ''( x) = f ( x) = Xét 2cos x − sin x khoảng ( 0; π ) nên hàm số + cot x + C với x ∈ ( 0; π ) sin x + cot x + C xác định liên