Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán bài 5 TS nguyễn mạnh thế

BÀI KHÁI NIỆM Ệ PHƯƠNG PHÁP MẪU TS N TS Nguyễn ễ M Mạnh h Thế v1.0012107210 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Tình ì ố Điều tra mức thu nhập cá nhân tháng (triệu đồng) huyện Đơng Anh, Anh ta có bảng số liệu mẫu sau: Thu nhập 1-2 Số người 10 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 Cần phải tính thu nhập bình quân đầu người độ chênh lệch thu nhập để xác định mức sống người dân mức độ đồng thu nhập vùng Câu hỏi gợi mở Câu 1: Thu nhập bình quân đầu người bao nhiêu? Câu 2: Độ chênh lệch thu nhập bao nhiêu? Câu 3: Độ chênh lệch bình qn hiệu chỉnh? v1.0012107210 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Kết luận Thống g kê: n X  G(X1 , X , , X n )   X i n i1 gọi trung bình mẫu Thống kê: n 2 S S  (X  X)  i n i1 gọi độ lệch chuẩn mẫu mẫu Thống kê: n 2 S'  S'  (X  X)  n  i1 i gọi độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh v1.0012107210 MỤC TIÊU • Cơ sở lý thuyết mẫu; • Tổng thể nghiên cứu; • Mẫu ngẫu nhiên; • Thống Thố kê; kê • Mẫu ngẫu nhiên hai chiều; • Quy Q y luật ậ p phân p phối xác suất số thống kê v1.0012107210 CỞ SỞ LÝ THUYẾT MẪU Khái niệm phương pháp mẫu: Bài toán: Cần nghiên cứu tính chất định tính định lượng phần tử ộ tập ậ hợp h đó Ta có hai phương pháp thực nghiên cứu: Nghiên cứu tồn Nghiên cứu phận • Chi phí lớn kinh tế, tế phá hủy tồn tập hợp cần nghiên cứu • Ta lấy tập nghiên cứu toàn phần tử tập • Khơng thể nghiên cứu tồn • Đưa kết luận cho phần tử tập hợp nghiên cứu Vậy ta thấy nghiên cứu tồn tập hợp khơng khả thi Đây phương pháp nghiên cứu mẫu (Sampling) v1.0012107210 TỔNG THỂ NGHIÊN CỨU Định nghĩa: Tổng thể tập hợp phần tử cần nghiên cứu tính chất định tính định lượng số phần tử tổng thể gọi cỡ tổng thể, lượng, thể ký hiệu N N a) Biến định lượng b) Biến định tính Mã hóa: Lấy giá trị biến định lượng làm mã biến Mã hoá: Gán tính chất định tính biến ứng với số ngun Vậy nghiên cứu tổng thể ta ln giả sử các phần tử có dấu hiệu định lượng v1.0012107210 TỔNG THỂ NGHIÊN CỨU (tiếp theo) Mô tả tổng thể Cho tổng thể với phần tử { x1 , x , , x n } Với Ni số lần giá trị xi xuất ệ g tổng g thể, ta có: N1  N2   Nk  N Đặt fi  xi fi Ni (i  k), fi gọi tần suất xi tổng thể: N x1 f1 x2 … f2 … xk fk Dễ thấy: f1  f2   fk  Trung bình tổng thể: Phương sai tổng thể: k k m   Ni x i   fi x i i 1 N i1 k N s   (x i  m)   fi x i2  (m)2 i 1 N i1 v1.0012107210 MẪU NGẪU NHIÊN • Các phương pháp lấy mẫu; • Định nghĩa mẫu ngẫu nhiên; • Mơ tả mẫu ngẫu nhiên:  Theo biều đồ tần suất;  Theo tổ chức đồ v1.0012107210 3.1 CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY MẪU M đích Mục đí h • Ta khơng thể nghiên cứu cặn kẽ phần tử tổng thể, phải nghiên cứu hạn chế nhóm nhỏ rút từ tổng thể gọi mẫu, mẫu từ rút kết luận cho tổng thể • Một mẫu gọi đại diện tốt cho tổng thể mẫu ngẫu nhiên (random sample) Các phương pháp lấy mẫu • Cách chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản:  Chọn mẫu ngẫu nhiên có hồn lại;  Chọn mẫu ngẫu nhiên khơng hồn lại • Chọn mẫu phân cấp: Chia tổng thể thành k tổng thể phận ta thực cách lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản tổng thể thành phần v1.0012107210 3.2 ĐỊNH NGHĨA MẪU NGẪU NHIÊN Một ộ mẫu ẫ ngẫu ẫ nhiên h ê cỡ ỡ n ủ biến b ế ngẫu ẫ nhiên h ê X ộ tập ậ biến bế ngẫu nhiên X1, X2,… Xn độc lập có phân phốí với biến ngẫu nhiên X Trong Xk quan sát biến ngẫu nhiên X Quan sát Xk nhận giá trị xk Khi giá trị x1 , x , , x n gọi giá trị cụ thể mẫu ngẫu nhiên X1 , X , , X n ; Ví dụ: Khi gieo xúc xắc lần ta mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, X3, X4, X5) với giá trị ỗ lần gieo (3, 5, 2, 3, 1) 10 v1.0012107210 THỐNG KÊ Cách h tính í h giá iá trịị thống hố kê đặc đặ trưng mẫu ẫ cho h mẫu ẫ thu h gọn Nếu mẫu cho dạng khoảng ta chọn khoảng điểm đại diện xi  ai1  , i  1,2, ,k lúc ta có mẫu thu gọn Lập bảng tính sau: Khoảng giá trị mẫu a0 – a1 a – a2 ai-1 – ak-1 – ak  v1.0012107210 xi ni ni xi ni x i2 x1 n1 n1x1 n1x12 x2 xi xk n2 ni nk n n2x2 nixi nkxk A n2x22 nixi2 nkxk2 B x A n s2  B  (x)2 n s '2  n s n 1 15 THỐNG KÊ (tiếp theo) Ví dụ: Điều tra mức thu nhập cá nhân tháng (triệu đồng), ta có bảng số l ệ mẫu liệu ẫ sau: Thu nhập 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 Số người 10 Tính giá trị đặc trưng mẫu x s , s '2 , s, x, s s' 16 v1.0012107210 THỐNG KÊ (tiếp theo) Bài giải: Ta lập lậ bả bảng tính í h sau Khoảng thu nhập 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7  xi ni 1,5 25 2,5 3,5 4,5 5,5 , 6,5 n i x i n i x i2 10 15 20 17,5 31,5 , 16,5 13 22,5 50 61,25 141,75 90,75 , 84,5 n =35 113,5 450,75 x  113.5 / 35  3,243 s  450,75 / 35  (3 (3,243) 3)2  2,363 363 s  2,363  1,573 s '2  v1.0012107210 n 35 s  2,363  2, 43 n 1 34 s '  2, 43  1,559 17 MẪU NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Khái niệm: Một mẫu ngẫu nhiên cỡ n véc tơ ngẫu nhiên (X, Y) tập véc tơ ngẫu nhiên (X1, Y1), (X2, Y2)… (Xn, Yn) độc lập có phân phốí với biến ngẫu nhiên (X, Y) Trong véc tơ (Xi, Yi) quan sát thứ i véc tơ ngẫu nhiên (X, (X Y) Y) Ký hiệu (xi, yi) giá trị mẫu (Xi, Yi) ( i = 1, 2, , n) Bộ giá trị {(x1, y1), (x2, y2)… (xn, yn)} gọi giá trị cụ thể (X1, Y1), (X2, Y2)… (Xn, Yn) Ví dụ: Lấy mẫu điều tra thu nhập tiêu dùng (triệu đồng/tháng) 10 hộ gia i đình đì h ta t thu th đượ giá iá trị t ị mẫu: ẫ (2; 1.4), (2, 1.5), (3; 1.8), (4; 1.8), (2; 1.5), (4; 3.5), (7; 5.5), (3; 1.4), (4; 3.5), (5; 3.7) v1.0012107210 18 5.1 PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ MẪU Dạng 1: Lập bảng hai dòng sau: xi x1 x2 … xn yi y1 y2 … yn Dạng 2: Ta thu gọn mẫu biểu diễn dạng bảng chữ nhật sau: yi xi x1 x2 … xi … xk bj Ta có: h   nij j 1 v1.0012107210 y1 y2 … yj … yh n11 n21 … ni1 … nk1 b1 n12 n22 … ni2 … nk2 b2 n1j n2j nij nkjj bj n1h n2h nih nkh bh a1 a2 … ak k b j   nij i 1 k h  n i 1 j 1 ij n   n 19 5.2 THỐNG KÊ ĐẶC TRƯNG MẪU HAI CHIỀU Trung bình mẫu: • Véc tơ ngẫu nhiên hai chiều (X, (X Y) gọi trung bình mẫu véc tơ ngẫu nhiên (X, (X Y), Y) X Y trung bình mẫu biến ngẫu nhiên h phần thành hầ X Y Y • Giá trị thống kê mẫu mẫu ngẫu nhiên hai chiều (x, y) 20 v1.0012107210 5.2 THỐNG KÊ ĐẶC TRƯNG MẪU HAI CHIỀU (tiếp theo) Hệ ệ số ố tương quan mẫu ẫ Định nghĩa Hệ số tương quan mẫu mẫu ngẫu nhiên hai chiều ký hiệu R xác định bởi: n XY  (X)(Y) thống kê XY   X k Yk R SXS Y n k 1 Giá trị hệ số tương quan mẫu mẫu cụ thể: {(x1 , y1 ),(x , y ), ,(x n , y n )} r v1.0012107210 xyy  ((x)(y) )(y) r sXsY n k h xy   x l y l   nij x i y j n l1 n i1 j1 n x   xl n l1 n sX  x l  (x) ( )2  n l1 n y   yl n l1 n sY  y l  (y)2  n l1 21 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA MỘT SỐ THỐNG KÊ Định nghĩa Phân phối xác suất thống kê gọi phân â phối ố mẫu ẫ Ví dụ: d Phân phối xác suất X gọi phân phối mẫu thống kê trung bình mẫu 23 v1.0012107210 6.1 BIẾN NGẪU NHIÊN GỐC CĨ PHÂN PHỐI 0-1 Cho X~A(p) Xét mẫu ngẫu nhiên (X1 , X , , X n ) rút từ X X p Định lý 1: Thống kê U  n có quy luật phân phối N(0,1) p(p  1) n đủ lớn lớ Chú ý: Thống kê U viết lại dạng U  f  f p p(p  1) n k , với k số lần mẫu nhận giá trị n 24 v1.0012107210 6.2 HAI BIẾN NGẪU NHIÊN GỐC CÓ PHÂN PHỐI 0-1 Cho X~A(p1) Y~A(p2) Xét hai mẫu ngẫu nhiên (X1 , X , , X n ) (Y1 , Y2 , , Ym ) rút từ X Y Định lý 2: Thống kê U  X  Y  (p1  p2 ) p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 )  n m có quy luật phân phối N(0,1) N(0 1) Chú ý: X Y thay f1 f2 f1  k1 k ; f2  , n m với k1 số lần mẫu ngẫu nhiên X nhận giá trị 1, k2 số lần mẫu ngẫu nhiên Y nhận giá trị 25 v1.0012107210 6.3 BIẾN NGẪU NHIÊN GỐC CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …Xn) rút từ biến ngẫu nhiên   X có quy luật phân phối chuẩn N , 2  Định lý 3: Thống kê trung bình mẫu X có phân phối chuẩn N X , 2X       X   X n  U  n ~ N(0,1) 2         X   n n  Định ị lý ý 4: • Thống kê T  X   n có quy luật phân bố student với n-1 bậc tự S' (n  1)S'2 • Thống kê X  có quy luật phân phối bình phương với n-1 bậc  tự 26 v1.0012107210 6.4 HAI BIẾN NGẪU NHIÊN GỐC CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN Cho hai Ch h i biến biế ngẫu ẫ nhiên hiê độc độ lập lậ X àY X ~ N(1 , 12 ), Y ~ N(2 , 22 ) Xét mẫu ngẫu nhiên (X1 , X , , X n ) rút từ X mẫu ngẫu nhiên (Y1 , Y2 , , Ym ) rút từ Y Định lý 5: Thống kê U  X  Y  (1  2 ) 12 n  22 m có quy lụât phân phối chuẩn N(0,1) Định lý 6: Thống kê T  X  Y  (1  2 ) nm(n  m  2) nm nS2  mS2 X Y có quy luật phân phối student với n + m – bậc tự Các thống kê U T sử dụng phần ước lượ lượng kiểm kiể định đị h tiếp tiế theo th 27 v1.0012107210 TĨM TẮT CUỐI BÀI Nội dung Khái niệm mẫu ngẫu nhiên tổng thể nghiên cứu Các phương pháp lấy mẫu ẫ Thống kê thống kê đặc trưng mẫu mẫu Quy luật phân phối xác suất số thống kê kê 28 v1.0012107210 PROPERTIES Allow user to leave interaction: Show ‘Next Slide’ Button: Completion Button Label: Anytime Don't show Next Slide ... THỐNG KÊ (tiếp theo) Bài giải: Ta lập lậ bả bảng tính í h sau Khoảng thu nhập 1-2 2-3 3-4 4 -5 5-6 6-7  xi ni 1 ,5 25 2 ,5 3 ,5 4 ,5 5 ,5 , 6 ,5 n i x i n i x i2 10 15 20 17 ,5 31 ,5 , 16 ,5 13 22 ,5 50... 16 ,5 13 22 ,5 50 61, 25 141, 75 90, 75 , 84 ,5 n = 35 113 ,5 450 , 75 x  113 .5 / 35  3,243 s  450 , 75 / 35  (3 (3,243) 3)2  2,363 363 s  2,363  1 ,57 3 s '2  v1.0012107210 n 35 s  2,363  2, 43... 21 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA MỘT SỐ THỐNG KÊ Định nghĩa Phân phối xác suất thống kê gọi phân â phối ố mẫu ẫ Ví dụ: d Phân phối xác suất X gọi phân phối mẫu thống kê trung bình mẫu 23 v1.0012107210