Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán Bài 1 - TS. Nguyễn Mạnh Thế

BÀI BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT TS N TS Nguyễn ễ M Mạnh h Thế v1.0012107210 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI Tình Cơng ty xử lý nước thải Hà Nội cần diện tích mặt Hồ Gươm Hà Nội để ể xử lý nước Câu hỏi gợi mở Câu 1: Nếu coi Hồ Gươm hình trịn, trịn diện tích Hồ Gươm tính nào? Câu 2: Thực ự tế,, Hồ Gươm không gp phải hình trịn,, khơng biểu diễn dạng hàm Vậy làm cách để tính diện tích mặt hồ? Câu 3: Bạn đưa đề xuất để tính thể tích đá vơi khai thác từ núi? v1.0012107210 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI (tiếp theo) Kế luận Kết l ậ • Sử dụng lý thuyết xác suất hiệu số toán thực tế mà áp dụng cơng cụ giải tích gặp khó khăn • Ví dụ: Thể tích núi ví dụ cần thiết thực tế, đặc biệt với công ty khai thác đá hay công ty xi măng v1.0012107210 MỤC TIÊU • Nhắc lại kiến thức giải tích tổ hợp; • Định nghĩa xác suất, loại biến cố; • Các định lý công thức xác suất, công ô thức thứ Bayes; B • Cơng thức Becnouli Becnouli v1.0012107210 PROPERTIES Allow user to leave interaction: Anytime Show ‘Next Slide’ Button: Don't show Completion Button Label: Next Slide PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ • Định nghĩa phép thử; • Định nghĩa biến cố; • Phân loại biến cố góc độ khác nhau; • Biểu đồ Venn v1.0012107210 1.1 ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa phép thử: Phép thử thực nhóm điều kiện xác định (có thể lặp lại nhiều lần) để quan sát tượng có xảy ả hay khơng Hiện tượng xảy không kết phép thử gọi biến cố Mỗi lần gieo roulette phép thử v1.0012107210 1.2 PHÂN LOẠI CÁC BIẾN CỐ Dưới góc độ xảy hay khơng: • Biến cố chắn: Là biến cố định xảy kết phép thử Ký hiệu  hay U • Biến cố khơng thể có: Là biến cố định không xảy kết phép thử Ký hiệu hay  V • Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố xảy khơng xảy phép thử thực hiện Thường ký hiệu chữ in hoa: A, B, C, v1.0012107210 1.2 PHÂN LOẠI CÁC BẾN CỐ (tiếp theo) Dưới góc độ có phân tích nhỏ hay khơng: • Biến cố sơ cấp: Là biến cố phân tích thành biến cố nhỏ Ký hiệu ω • Biến cố phức hợp: Là biến cố phân tích thành biến cố nhỏ Biến cố mặt chẵn biến cố phức hợp 10 v1.0012107210 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ • Định ị h nghĩa hĩ cổ ổ điển điể ề xác suất ấ m P A  n m: Số kết cục đồng khả thuận lợi n: Tổng ổ g số kết ết cục ất đồ đồng g khả ả ă g xảy • Định nghĩa thống kê xác suất P(xuất mặt 6) = 1/6 P(A)  lim f(A) n  Người thí Số lần Số lần sấp nghiệm gieo (n) (m) Tần suất (f) Buffon ff 4040 2048 0,5080 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 v1.0012107210 P(xuất mặt sấp)=0,5 15 CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CƠNG THỨC XÁC SUẤT • Xác suất có điều kiện; • Công thức nhân xác suất; • Công thức cộng xác suất; • Cơng thức ứ xác suất ấ đầy ầ đủ; ủ • Cơng thức Bayes; • Cơng thức Becnoulli 16 v1.0012107210 3.1 XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN Định nghĩa: Xác suất biến cố A tính với giả thiết biến cố B xảy gọ gọi xác suất A với điều kiện ệ B Ký hiệu: P(A B) Ví dụ: Có hộp sản phẩm tốt sản phẩm xấu Để ngẫu ẫ nhiên sản phẩm (tốt xấu) vào hộp, sau lấy ngẫu ẫ nhiên từ hộp sản phẩm Gọi A = "sản sản phẩm bỏ vào tốt tốt“ Gọi B = "sản phẩm lấy tốt" Ta có: P(B A )  11 P(B A )  11 17 v1.0012107210 3.2 CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT Định lý 3.1: P(AB)  P(A)  P(B A)  P(B)  P(A B) P(AB) Hệ 3.1: P(A B)  Với P(B) > P(B) Hệ 3.2: Nếu A,B hai biến cố độc lập P(AB) = P(A) x P(B) Định lý 3.2: P(A1 A A n )  P(A1 )  P(A A1 )   P(An A1 A An1 ) Hệ 3.3: 3: Nếu hệ biến cố A1 , A , , A n độc lập toàn phần: P(A1 A A n )  P(A1 )  P(A )   P(A n ) 18 v1.0012107210 3.3 CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT Định lý 3.3: 3: P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB) Hệ 3.4: Nếu hai biến cố A; B xung khắc P(A+B) = P(A) + P(B) Hệ 3.5: Nếu biến cố A1, A2, , An đôi xung khắc thì: n  n  P   A i    P(A i )  P(A )  P(A )   P(A n )  i 1  i 1 Hệ ệq 3.6: P(A) ( )   P(A) ( ) Ví dụ: Hai xạ thủ người bắn phát vào bia A biến cố xạ thủ thứ bắn trúng trúng P(A) = 0,7 07 B biến cố xạ thủ thứ hai bắn trúng P(B) = 0,8 Tính xác suất để có phát tên trúng bia Ta có: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) P (AB) = P(A).P(B) = 0,7.0,8 = 0,56 P(A+B) = 0,7 +0,8 – 0,56 = 0,94 20 v1.0012107210 3.4 CÔNG THỨC BAYES n • Cơng thức xác suất đầy đủ: P  A    P  A i  P  A / A i  i 1 Với A1, A2,… , An ột hệ đầy đầ đủ biến biế cố ố P(A i A) P(A i )  P(A A i )  • Công thức Bayes: P(A i A)  P(A) P(A) Ví dụ: Xác suất lấy bóng xấu Đã lấy bóng xấu, tính xác suất để hộp lấy loại v1.0012107210 20 3.4 CÔNG THỨC BAYES (tiếp theo) Gọi A biến cố "bóng đèn lấy xấu", A1 biến cố hộp rút thuộc loại A2 biến biế cố ố hộ hộp rút út th thuộc ộ lloạii 2 Vì bóng đèn rút thuộc loại nên A1, A2 lập thành hệ đầy đủ biến cố Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P  A   P  A  P P  A / A   P  A  P P  A / A2  ; P  A1   ; P  A   5 Vậy: v1.0012107210 P  A / A1   29 P A    10 150 ; P A / A2    10 3.4 CÔNG THỨC BAYES (tiếp theo) n • Công thức xác suất đầy đủ: P  A    P  A i  P  A / A i  Gọi A biến cố "bóng đèn lấy xấu", i1 A1 biến cố hộp rút thuộc loại Vớibiến A1, cố Aố2,… ột hệ loại đầ i biến biế cố ố A2 biế hộ hộp, Arút ún làramột thuộc h ộ lđầy 2đủ P(A i A) P(A i )  P(A A i ) Theo công thức Bayes ta có:  • Cơng thức Bayes: P(A i A)  P(A) P(A) Ở đây: y Ví dụ: P  A1 / A   v1.0012107210 P A 11 Xác suất lấy 29 bóng xấu P A   ; P A / A   ; P A  10 150 Vậy: P  A1  P  A / A1  Đã lấy bóng xấu, tính xác suất để P  A1 / A   10  29 hộp lấy loại 29 150 20 3.5 CƠNG THỨC BERNOULLI • Thực lặp lại n lần phép thử cách độc lập Xác suất xuất biến cố A lần thử p • Khi đó, xác suất ất để t n lần lầ thử cho h có ó đú k lần lầ biến biế cố ốA xuất (k lần thành cơng) tính cơng thức Bernoulli: Pn (k)  Cknpk (1  p)n k k  0,1,2, ,n Ví dụ: p  p(A)  Xác suất ấ lần lầ gieo có ó lần mặt là: 2 25 1 5 P4 (2)  C 24      216 6 6 24 v1.0012107210 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Nội dung chính: Phép thử ngẫu nhiên biến cố Phân loại biến cố Định nghĩa xác suất • Định nghĩa cổ điển • Định nghĩa thống kê Các định lý cơng thức tính xác suất • Cơng thức nhân xác suất • Cơng thức cộng xác suất • Cơng thức Bayes • Cơng thức xác suất đầy đủ • Cơng thức Bernoulli Lưu ý: Để tính xác suất cần phân loại xác suất để tìm g thức tính hợp ợp lý ý cơng 26 v1.0012107210 PROPERTIES Allow user to leave interaction: Anytime Show ‘Next Slide’ Button: Don't show Completion Button Label: Next Slide ... (n) (m) Tần suất (f) Buffon ff 4040 2048 0,5080 Pearson 12 000 6 019 0,5 016 Pearson 24000 12 012 0,5005 v1.0 012 107 210 P(xuất mặt sấp)=0,5 15 CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CƠNG THỨC XÁC SUẤT • Xác suất có điều... dụ: P  A1 / A   v1.0 012 107 210 P A 11 Xác suất lấy 29 bóng xấu P A   ; P A / A   ; P A  10 15 0 Vậy: P  A1  P  A / A1  Đã lấy bóng xấu, tính xác suất để P  A1 / A   10  29... thức nhân xác suất; • Công thức cộng xác suất; • Công ô thức ứ xác suất ấ đầy ầ đủ; ủ • Cơng thức Bayes; • Cơng thức Becnoulli 16 v1.0 012 107 210 3 .1 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN Định nghĩa: Xác suất biến