Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán Bài 3 - TS. Nguyễn Mạnh Thế

BÀI À QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA MỘT SỐ BIẾN NGẪU NHIÊN TS N TS Nguyễn ễ M Mạnh h Thế v1.0012107210 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Tình Siêu thị Metro nhận thấy thời gian số lượng khách hàng phải đợi quầy để chờ toán lâu Siêu thị q y định ị cần thêm số q quầyy p phục ụ vụ ụ Số lượng ợ gq quầyy p phục ụ vụ sau nâng cấp hợp lý Biết: Thời gian phục vụ trung bình 01 khách phút Điều t tra t 100 iờ đếm đế số ố khách h hàng hà đế quầy đến ầ phục h vụ vòng giờ: Số khách/giờ Số lần 100 200 300 400 500 600 700 13 27 27 18 1 v1.0012107210 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG (tiếp theo) Câu hỏi gợi mở Câu 1: Một quầy phục vụ khách? Câu 2: Số khách trung bình đến quầy phục vụ vịng bao nhiêu? Câu 3: Số quầy phục vụ cần thiết bao nhiêu? Câu 4: Nếu gọi X biến ngẫu nhiên số người đến quầy phục vụ X tuân theo phân phối gì? Câu 5: Thời gian phục vụ khách hàng khác Gọi Y biến ngẫu nhiên thời gian phục vụ khách hàng Y tuân theo phân phối gì? hàng v1.0012107210 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG (tiếp theo) Kết luận Biến ngẫu nhiên tn theo phân phối Pốt Xơng thường dùng để mô tả số lần xuất kiện khoảng thời gian Ví dụ: Số lượng người đến quầy phục vụ ột khoảng kh ả thời gian i cho h trước t ướ Phân phối mũ dùng để mô hình q trình g mà ộ đối tượng ợ g Poisson,, tình trạng thái A chuyển sang trạng thái B với xác suất không đổi λ đơn vị thời gian Ví dụ: d Thời gian i phục h vụ khách h hàng hà (khá h hàng (khách hà chuyển từ trạng thái chưa phục vụ sang phục vụ) v1.0012107210 NỘI DUNG Giới thiệu quy luật phân phối thường gặp: • Quy luật ậ phân â phối ố không ô – một; ộ • Quy luật phân phối nhị thức; • Quy luật phân phối Poisson; • Quy luật phân phối đều; • Quy luật phân phối chuẩn; • Quy luật phân phối bình phương; • Quy luật phân phối Student; • Quy luật phân phối Fisher – Snedecor; • Quy luật phân phối lũy thừa v1.0012107210 QUY LUẬT PHÂN PHỐI KHÔNG – MỘT A(p) Khái hái niệm iệ Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị với xác suất cho công thức: P  X  x   p x q1 x q = 1- p Thì X có phân phối theo quy luật - với tham số p: X ~ A(p) Ví dụ: Tại phịng thí nghiệm, xác suất thành cơng thí nghiệm 25% Chọn 25% Ch ngẫu ẫ nhiên hiê ộ thí nghiệm hiệ Khi biến biế ngẫu ẫ nhiên hiê X số ố kết thành công nhận hai giá trị Vậy ậy X àb biến ế ngẫu gẫu nhiên ê có p phân â p phối ố A (0, (0,25) 5) P  X  1   0,25   0,75   0,25 P  X     0,25   0,75   0,75 v1.0012107210 QUY LUẬT PHÂN PHỐI KHÔNG – MỘT A(p) (tiếp theo) Các tham số đặc trưng Cho X ~ A(p), ta có: • Kì vọng: E  X   0.q  1.p  p   E X  02.q  12.p  p • Phương sai:    E  X  V X E X 2  p  p2  pq • Độ lệch chuẩn: x  pq v1.0012107210 QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n, p) Khái niệm Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối theo quy luật nhị thức với tham số n, p, ký hiệu: X~ B(n, p) X nhận giá trị: 0, 1, 2, , n với xác suất ương ứng cho công thức Bernoulli: p  X  x   Cnx p x qn  x đó: x  0,1, ,n q   p v1.0012107210 QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n, p) (tiếp theo) Các tham số đặc trưng: Cho n biến ngẫu độc lập có Xi có phân phối A(p) n Lập biến ngẫu nhiên X tổng Xi: X   X i i 1 S ra: X~B(n, Suy X B( p)) Ta có: E  X i   p ; V  X i   pq; i  1, 2, , n n n   Từ suyy ra: E  X   E   X i    E  X i   np  i1  i1  n  n V  X   V   X i    V  X1   npq  i1  i1 v1.0012107210 VÍ DỤ Ví dụ: Tỷ lệ thí nghiệm thành cơng viện nghiên cứu 25% Tiến hành q quan sát ộ thí nghiệm g ệ viện ệ nghiên g cứu Gọi ọ X số thí nghiệm thành cơng thí nghiệm Hãy tính P(X) Tính Tí h kì vọng phương h saii ủ X Giải: X nhận ậ g giá trị: ị 0,, 1,, 2,, 3,, 4,, với xác suất: P  X  x   C  0.25   0.75  x x 5 x E  X  =5×0.25=1.25 5×0.25 1.25 V  X  =5×0.25×0.75=0.9375 10 v1.0012107210 QUY LUẬT PHÂN PHỐI POISSON Khái hái niệm iệ Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối Poisson với tham số   Ký hiệu: X~P(λ) Nếu X nhận giá trị: 0, 1, 2,…, n,… với xác suất tương ứng cho công thức: P  X  x   e  x x! Các tham số đặc trưng E  X   , V  X    Các công thức chứng minh cung cấp giáo trình v1.0012107210 11 QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU U[a, b] Khái niệm Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối đoạn [a,b] Ký hiệu: X ~ U [a,b] Nếu hàm mật độ xác suất có dạng:   f  x   b  a  0 x   a,b  ,  x   a,b 13 v1.0012107210 QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU U[a, b] (tiếp theo) Các tham số đặc trưng: Cho biến ngẫu nhiên liên tục X ~ U[a,b] Ta có: E(X)  a  b Kì vọng: E(X )  (a  ab  b2 ) Phương sai: V  X  2 ab b  ab  a2        b  a   12 Các công thức chứng minh cung cấp giáo trình v1.0012107210 14 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N  , 2  Khái hái niệm iệ Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có quy luật phân phối chuẩn ký hiệu X ~ N(, 2 ) hàm mật độ xác suất có dạng: f x   2   x   e 2 Các tham số đặc trưng Cho X ~ N(, 2 ) Ta có E  X    V  X   2 16 v1.0012107210 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N  , 2  (tiếp theo) Phân phối chuẩn tắc: Biến ngẫu nhiên liên tục U có phân phối theo quy luật chuẩn N(0;1) gọi biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc tắc Hàm mật độ xác suất U ký hiệu   x  x  2 e x2  Hàm phân phối xác suất U ký hiệu   x   x  x e  2   x2 dx Trước tiên ta định nghĩa hàm   x  sau:   x   Từ ta thấy: x e  2  x2 dx  x Giá trị hàm   x  tra bảng phân phối chuẩn tắc x v1.0012107210 17 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N  , 2  (tiếp theo) Cơng thức tính xác suất: Biến ngẫu nhiên liên tục X ~ N(, 2 ) Đặt: U  X   ; Suy ra: U ~ N(0,1)  Ta có cơng thức tính xác suất cho biến ngẫu nhiên có quy luật phân phối chuẩn: b  a p  a  X  b   0    0         18 v1.0012107210 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N  , 2  (tiếp theo) Giá trị tới hạn chuẩn tắc Giá trị u gọi giá trị tới hạn chuẩn tắc mức      1 biến ngẫu nhiên U nếu: P  U  u    Về mặt ặt hình hì h học, h diệ tích tí h ủ  diện tam giác cong giới hạn đường cong hàm mật độ   x  , trục Ox, đường thẳng x  u 19 v1.0012107210 QUY LUẬT PHÂN PHỐI KHI – BÌNH PHƯƠNG x (n) Định nghĩa Nếu X1 , X , , X n biến ngẫu nhiên độc lập phân phối chuẩn h ẩ tắc tắ N(0;1) N(0 1) thì: n x   Xi2 biến ngẫu nhiên có quy luật phân phối x (n) i1 Ta chứng g minh được: ợ E(x )  n V(x )  2n Chú ý: ý Khi n lớn (n>40) phân phối x (n) hội tụ phân phối chuẩn 21 v1.0012107210 QUY LUẬT PHÂN PHỐI STUDENT T(n) Khái niệm Cho U, V biến ngẫu nhiên độc lập: V ~ x (n) U ~ N(0,1) Đặt T  Đặt: U V n Quy luật phân phối xác suất T gọi quy luật Student với n bậc tự do: T ~ T(n) Chú ý: • Với n lớn (n>30) biến ngẫu nhiêu có phân phối Student hội tụ nhanh biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc u: t n   u  • Cho   (0,1) giá trị t (n) gọi giá trị tới hạn mức α phân  phối Student P{ | T | t (n)  }   v1.0012107210 22 QUY LUẬT PHÂN PHỐI FISHER – SNEDECOR F(n1 ,n2 ) Khái niệm: Cho hai biến ngẫu nhiên V1 , V2 V1 ~ x (n1 ); V ~ x (n ) Đặt F  V1 / n1 V2 / n2 Quy luật phân phối xác suất F gọi quy luật Fisher-Snedecor với  n1 ,n2  bậc tự Kí hiệu: F  n1 ,n2  23 v1.0012107210 QUY LUẬT PHÂN PHỐI LŨY THỪA Khái niệm • Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi phân phối theo quy luật lũy thừa (quy luật mũ) hàm mật độ xác suất có dạng: x0 0 f(x)   x x0 e Trong  số dương • Hàm phân phối xác suất của có dạng sau: x x  F(x)   f(x)dx   e x dx   e x • Các tham số đặc trưng quy luật phân phối lũy thừa: 1 V(X)  E(X)    24 v1.0012107210 PROPERTIES Allow user to leave interaction: Anytime Show ‘Next Slide’ Button: Don't show Completion Button Label: Next Slide ... rạc X nhận giá trị với xác suất cho công thức: P  X  x   p x q1 x q = 1- p Thì X có phân phối theo quy luật - với tham số p: X ~ A(p) Ví dụ: Tại phịng thí nghiệm, xác suất thành cơng thí nghiệm... X nhận ậ g giá trị: ị 0,, 1,, 2,, 3, , 4,, với xác suất: P  X  x   C  0.25   0.75  x x 5 x E  X  =5×0.25=1.25 5×0.25 1.25 V  X  =5×0.25×0.75=0. 937 5 10 v1.0012107210 QUY LUẬT PHÂN... N(0;1) gọi biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc tắc Hàm mật độ xác suất U ký hiệu   x  x  2 e x2  Hàm phân phối xác suất U ký hiệu   x   x  x e  2   x2 dx Trước tiên ta