Giúp HS nắm vững cách giải một số PTLG mà sau một vài phép biến đổi đơn giản có thể đưa về PTLGCB. Đó là PT bậc nhất và bậc hai đối với một HSLG...
Bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP A MỤC TIÊU Về kiến thức : Giúp HS nắm vững cách giải số PTLG mà sau vài phép biến đổi đơn giản đưa PTLGCB Đó PT bậc bậc hai HSLG Về kỹ : Giúp HS nhận biết giải thành thạo dạng PT Về tư thái đợ : Có tinh thần hợp tác, tích cực tham gia học, rèn luyện tư logic B TÓM TẮT KIẾN THỨC Bài toán 1: Phương trình bậc hàm số lượng giác Phương pháp chung: - Chuyển PT lượng giác Bài tốn 2: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Phương pháp chung: - Có dạng: a [ f ( x) ] + bf ( x ) + c = (a ≠ 0) Bài tốn 3: Phương trình bậc sinx cosx Phương pháp chung: - Có dạng: a sin x + b cos x = c - Đ/k có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2 - P2 giải: Chia hai vế PT cho a + b , sau đưa PT lượng giác Bài tốn 4: Phương trình bậc hai sinx cosx Phương pháp chung: - Có dạng: a sin x + b.sin x.cos x + c cos x = d - P2 giải: + Nhận xét cosx = không thỏa mãn PT + Vậy cosx ≠ Chia hai vế PT cho cos2x ta PT: a tan x + btanx + c = phương trình bậc hai tanx Bài tốn 5: Một số phưong trình lượng giác khác Phương pháp chung: - Dùng công thức lượng giác đưa PT dạng tích C NỢI DUNG BÀI DẠY II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng asin x + bsin x + c = Đặt t = sinx Điều kiện −1 ≤ t ≤ acos2 x + bcos x + c = t = cosx −1 ≤ t ≤ atan2 x + btan x + c = t = tanx x≠ acot2 x + bcot x + c = t = cotx π + kπ (k ∈ Z) x ≠ kπ (k ∈ Z) Nếu đặt: t = sin2 x hoaë c t = sin x điề u kiệ n : ≤ t ≤ Giải phương trình sau: 1) 2sin2x + 5cosx + = 3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x Baøi 5) 4sin2 x − 2( + 1) sin x + = Vũ Hoàng Anh-0984960096 2) 4sin2x – 4cosx – = 4) tan2 x + ( 1− 3) tan x − = 6) 4cos3 x + 2sin2x = 8cos x Bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp 7) tan2x + cot2x = Baøi Giải phương trình sau: 1) 4sin 3x + 2( + 1) cos3x − = 8) cot22x – 4cot2x + = 2) cos2x + 9cosx + = 3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4) + tan2x = cosx 7) = cotx + sin2 x 5) cos x − ( 3+ 3) tan x − 3+ = 6) – 13cosx + 8) 9) cos2x – 3cosx = 4cos2 Baøi x Cho phương trình 1+ tan2 x =0 + 3cot2x = cos x 10) 2cos2x + tanx = sin3x + cos3x 3+ cos2x Tìm nghiệm phương sin x + ÷= 1+ 2sin2x trình thuộc ( ; 2π ) Bài Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + Tìm nghiệm phương trình thuộc ( −π ; π ) Baøi π π Giải phương trình : sin4 x + sin4 x + ÷+ sin4 x − ÷ = 4 4 III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX DẠNG: a sinx + b cosx = c (1) Cách 1: • Chia hai vế phương trình cho (1) ⇔ • Đặt: sinα = a2 + b2 ta được: a sin x + a2 + b2 a b , cosα = a2 + b2 a2 + b2 phương trình trở thành: a2 + b2 cos x = sinα sin x + cosα cos x = 2 a +b c a2 + b2 a2 + b2 = cosβ (2) ≤ ⇔ a2 + b2 ≥ c2 • (2) ⇔ x = α ± β + k2π (k ∈ Z) Cách 2: x π a/ Xét x = π + k2π ⇔ = + kπ có nghiệm hay không? 2 x b/ Xét x ≠ π + k2π ⇔ cos ≠ Vũ Hoàng Anh-0984960096 a2 + b2 c Điều kiện để phương trình có nghiệm là: c c ( α ∈ 0, 2π ) ⇔ cos(x − α ) = • b Bài tập mợt số phương trình lượng giác thường gặp x 2t 1− t2 Đặt: t = tan , thay sin x = , cos x = , ta phương trình bậc hai theo t: 1+ t2 1+ t2 (b + c)t2 − 2at + c − b = (3) Vì x ≠ π + k2π ⇔ b + c ≠ 0, nên (3) có nghiệm khi: ∆ ' = a2 − (c2 − b2) ≥ ⇔ a2 + b2 ≥ c2 Giải (3), với nghiệm t0, ta có phương trình: tan x =t Ghi chú: 1/ Cách thường dùng để giải biện luận 2/ Cho dù cách hay cách điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2 3/ Bất đẳng thức B.C.S: y = a.sin x + b.cos x ≤ a2 + b2 sin2 x + cos2 x = a2 + b2 ⇔ y = − a2 + b2 vaømax y= a2 + b2 ⇔ Baøi sin x cos x a = ⇔ tan x = a b b Giải phương trình sau: 1) cos x + 3sin x = 2) sin x + cos x = 3) 3cos3x + sin3x = 4) sin x + cos x = 2sin5x 5) ( − 1) sin x − ( + 1) cos x + − 1= π 6) 3sin2x + sin + 2x÷ = 2 Bài Giải phương trình sau: 1) 2sin2 x + 3sin2x = 2) sin8x − cos6x = 3( sin6x + cos8x) π 3) 8cos x = 4) cosx – 3sin x = 2cos − x÷ + 3 sin x cos x 5) sin5x + cos5x = cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6) + = – 3(3cosx – 4sinx – 6) Bài Giải phương trình sau: 1) 3sinx – 2cosx = 2) cosx + 4sinx – = 3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = Baøi Giải phương trình sau: π π π 1) 2sin x + ÷ + sin x − ÷ = 2) 3cos2x + sin2x + 2sin 2x − ÷ = 2 4 4 6 Bài Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = có nghiệm Bài Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – vơ nghiệm IV PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Cách 1: • Kiểm tra cosx = có thoả mãn hay khơng? π + kπ ⇔ sin2 x = ⇔ sin x = ± Khi cos x ≠ , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ ta được: Lưu ý: cosx = ⇔ x = • Vũ Hoàng Anh-0984960096 Bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp • a.tan2 x + b.tan x + c = d(1+ tan2 x) Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t: (a − d)t2 + bt + c− d = Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 1− cos2x sin2x 1+ cos2x (1) ⇔ a + b + c = d 2 ⇔ b.sin2x + (c − a).cos2x = 2d − a − c (đây phương trình bậc sin2x cos2x) Bài Giải phương trình sau: 1) 2sin2 x + ( 1− 3) sin x.cos x + ( 1− 3) cos2 x = 2) 3sin2 x + 8sin x.cos x + ( − 9) cos2 x = 3) 4sin2 x + 3sin x.cos x − 2cos2 x = 4) sin2 x + sin2x − 2cos2 x = 5) 2sin2 x( 3+ 3) sin x.cos x + ( − 1) cos2 x = −1 6) 5sin2 x + 3sin x.cos x + 3cos2 x = 7) 3sin2 x + 8sin x.cos x + 4cos2 x = ( 9) ( 8) − 1) sin2 x + sin2x + ( + 1) cos2 x = + 1) sin2 x − 3sin x.cos x + ( − 1) cos2 x = 10) 3cos4 x − 4sin2 x cos2 x + sin4 x = 11) cos2x + 3sin2x + sinx.cosx – = 12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = Bài Giải phương trình sau: −1 2 Bài Tìm m để phương trình : (m + 1)sin x – sin2x + 2cos x = có nghiệm Bài Tìm m để phương trình : (3m – 2)sin 2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos2x = vô nghiệm 1) sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = Vũ Hoàng Anh-0984960096 2) 3sin x.cos x − sin2 x = ...Bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp 7) tan2x + cot2x = Baøi Giải phương trình sau: 1) 4sin 3x + 2( + 1) cos3x − = 8) cot22x... kiện để phương trình có nghiệm là: c c ( α ∈ 0, 2π ) ⇔ cos(x − α ) = • b Bài tập mợt sớ phương trình lượng giác thường gặp x 2t 1− t2 Đặt: t = tan , thay sin x = , cos x = , ta phương. .. = ± Khi cos x ≠ , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ ta được: Lưu ý: cosx = ⇔ x = • Vũ Hoàng Anh-0984960096 Bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp • a.tan2 x + b.tan