Bài tập một số phương pháp tìm nguyên hàm

 Bài 02 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số Nếu ò f ( x) dx = F ( x) +C ị f éëu( x) ùû.u'( x) dx = F éëu( x) ùû+C Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = ị f ( x) dx , ta phân tích ù f ( x) = gé ëu( x) ûu'( x) ta thực phép đổi biến số t = u( x) , suy dt = u'( x) dx Khi ta nguyên hàm: ò g( t) dt = G ( t) +C = G éëu( x) ùû+C Chú ý: Sau tìm họ nguyên hàm theo t ta phải thay t = u( x) Phương pháp lấy nguyên hàm phần Cho hai hàm số u v liên tục đoạn [ a;b] có đạo hàm liên tục đoạn [ a;b] Khi đó: ịudv = uv- ịvdu Để tính ngun hàm ị f ( x) dx ( *) phần ta làm sau: Bước Chọn u, v cho f ( x) dx = udv (chú ý  dv = v'( x) dx ) Sau tính v = ị dv du = u'.dx Bước Thay vào công thức ( *) tính ịvdu Chú ý Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân ịvdu dễ tính ịudv Ta thường gặp dạng sau ésin x ù údx P ( x) đa thức ● Dạng I = ò P ( x) ê êcos xú , ë û ìï u = P ( x) ïï ésin x ù Với dạng này, ta đặt ïí ïï dv = ê údx ê ïỵï ëcos xú û ax+b ● Dạng I = ò P ( x) e dx , P ( x) đa thức ìï u = P ( x) Với dạng này, ta đặt ïí ïï dv = eax+bdx ỵ ● Dạng I = ị P ( x) ln( mx + n) dx , P ( x) đa thức ìï u = ln( mx + n) ï Với dạng này, ta đặt í ïï dv = P ( x) dx ỵ ésin x ù x úe dx ● Dạng I = ị ê êcos xú ë û ìï ìï u = ex é ù ïï u = êsin x ú ï êcos xú đặt ngược lại ïïí ésin x ù Với dạng này, ta đặt ïí ë û ïï ïï dv = ê údx êcos xú ïïỵ dv = exdx ïïỵ ë û CÂU HỎI TRẮC NGHIEÄM Vấn đề PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ A ò f ( u) du = F ( u) +C Mệnh đề ? B ò f ( 2x - 1) dx = 2F ( x) - 1+C ò f ( 2x - 1) dx = 2F ( 2x - 1) +C C ò f ( 2x - 1) dx = F ( 2x - 1) +C Câu Biết D ò f ( 2x - 1) dx = F ( 2x - 1) +C Li gii t u = 2x - 1ắắ đ du = 2dx du 1 Khi ị f ( 2x - 1) dx = ò f ( u) = ò f ( u) du = F ( u) +C = F ( 2x - 1) +C 2 2 Chọn D ỉ 1ư 2017 - ÷ ÷ Câu Tìm hàm số F ( x) thỏa mãn F Â( x) = ( 2x +1) v F ỗ ç ÷= 2018 ç è 2ø A F ( x) = ( 2x +1) 2018 2018 ò( 2x +1) ( 2x +1) 2018 + 2018 4036 2016 + 2018 2017 dx t u = 2x +1ắắ đ du = 2dx C F ( x) = 2017( 2x +1) Lời giải Ta có B F ( x) = + 2018 D F ( x) = 4034( 2x +1) 2016 + 2018 2018 ( 2x +1) 1 u2018 2017 x + d x = u d u = +C = ( ) ò ò 2 2018 4036 ổ 1ữ - ữ= 2018 ắắ đ C = 2018 Theo gi thit F ỗ ỗ ỗ ố 2ữ ø 2017 Khi Vậy F ( x) = ( 2x +1) +C 2018 + 2018 Chọn B 4036 Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x( x2 +1) A ò f ( x) dx = - 10 x +1) +C ( 20 10 ò f ( x) dx = 2( x +1) +C Lời giải Ta có ị f ( x) dx = ò x( x C Khi Vậy ị x( x +1) dx = ò f ( x) dx = 20( x B ò f ( x) dx = 20( x D ò f ( x) dx = ( x 2 10 +1) +C 10 +1) +C +1) dx t t = x2 +1ắắ đ dt = 2xdx 10 t10 t d t = +C = ( x2 +1) +C ò 2 10 20 10 +1) +C Chọn B Câu (ĐỀ MINH HỌA NĂM 2016 – 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = 2x - A ò f ( x) dx = 3( 2x - 1) C ò f ( x) dx = - Lời giải Ta có Khi ị 2x - 1+C 2x - 1+C ò f ( x) dx =ò B ò f ( x) dx = 3( 2x - 1) D ò f ( x) dx = 2x - 1+C 2x - 1dx Đặt t = 2x - đ t2 = 2x - 1ắắ ® tdt = dx 2x - 1dx = ò t.tdt = ò t2dt = t3 +C = ( 2x - 1) 2x - 1+C Chọn B 3 Câu Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = F ( 1) = ×Tính é F ( e) ù ë û 2x - +C ln x × ln2 x +1 x ù A é ëF ( e) û = 3× Lời giải Ta có ị ù B é ëF ( e) û = × ù C é ëF ( e) û = 3× ù D é ëF ( e) û = × ln x × ln2 x +1dx x ® tdt = Đặt t = ln2 x +1 ị t2 = ( ln2 x +1) ắắ ln x dx x ( ) ln2 x +1 ln x t3 Khi 2 +C ị x × ln x +1dx = ò t dt = +C = 1 ® +C = Û C = Theo giả thiết F ( 1) = ¾¾ 3 Suy F ( x) = ( ) ln2 x +1 3 ù Chn B ắắ độ ởF ( e) ỷ = × Câu Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = ln x F ( e ) = x Mệnh đề sau đúng? ln2 x ln2 x A F ( x) = B F ( x) = +C +2 2 ln2 x ln2 x C F ( x) = D F ( x) = - + x +C 2 ln x dx dx Đặt t = ln x ¾¾ ® dt = Lời giải Ta có ị f ( x) dx = ò x x 2 ln x t ln x Khi ị dx = ị tdt = +C = +C x 2 Theo giả thit F ( e2 ) = ắắ đ ln2 ( e2 ) +C = Û C = ln2 x + Chọn B Chú ý: Đáp án A gọi họ nguyên hàm hàm số f ( x) Suy F ( x) = Câu Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = thỏa ex +1 F ( 0) = - ln2 Tìm tập nghiệm S phương trình F ( x) + ln( ex +1) = A S = { ±3} B S = { 3} x D S = { - 3} C S = Æ x x e +1- e e ò ex +1dx = ò ex +1 dx = ò dx - ò ex +1dx = x Đặt Khi t = ex +1ắắ đ dt = exdx x e dt x x ò ex +1dx = ò t = ln t +C = ln e +1 +C = ln( e +1) +C dx = x - ln( ex +1) +C Do ị x e +1 ® 0- ln2 +C = - ln2 Û C = Theo giả thiết F ( 0) = - ln2 ¾¾ Lời giải Ta có ex ị ex +1dx x Suy F ( x) = x - ln( e +1) x x x Xét phương trình F ( x) + ln( e +1) = Û x - ln( e +1) + ln( e +1) = Û x = Chọn B Câu Hàm F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = xex ? A F ( x) = ex + 2 C F ( x) = - ex +C x2 e +5 2 D F ( x) = 2- ex B F ( x) = ( ) ( ) dx Đặt t = x2 ắắ đ dt = 2xdx đ xdx = dt 1 t x2 t Khi ị f ( x) dx = ị e dt = e +C = e +C 2 Vì F ( x) nguyên hàm f ( x) nên đáp án A với C = , đáp án B Lời giải Ta có x2 ò f ( x) dx = ò xe , đáp án D với C = - Vậy có đáp án C sai Chọn C Cách trắc nghiệm Ta thấy đáp án A, B, D sai khác số nên chắn nguyên hàm f ( x) với C = eln x dx t = ln x Mệnh đề sau đúng? x et t t A I = ò te dt B I = ò e dt C I = ò dt D I = ị tdt t ® dt = dx Khi I = ị et dt Chọn B Lời giải Đặt t = ln x ¾¾ x Câu 10 Kí hiệu F ( x) họ nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x cos x Mệnh đề sau đúng? cos5 x cos4 x A F ( x) = +C B F ( x) = +C sin5 x sin4 x C F ( x) = D F ( x) = +C +C Câu Cho I = ò Lời giải Ta có Khi ị f ( x) dx = ò sin t5 x cosxdx Đặt t = sin x ắắ đ dt = cos xdx ò f ( x) dx = ò t dt = +C = sin5 x +C Chọn D Câu 11 Biết F ( x) nguyên hàm hàm số ỉ pư ÷= Tính F ( 0) Fỗ ữ ỗ ữ ỗ ố2ứ A F ( 0) = - ln2 + C F ( 0) = - ln2- sin x dx Lời giải Ta có ị 1+ 3cos x f ( x) = sin x 1+ 3cos x ln2+ D F ( 0) = - ln2- B F ( 0) = - dt sin x dt 1 dx = - ò = - ln t +C = - ln 1+ 3cos x + C Khi ị 1+ 3cos x t 3 ỉ p÷ đ C = ữ= ắắ Theo gi thit F ỗ ỗ ỗ ố2ữ ứ đ dt = - 3sin xdx ® sin xdx =Đặt t = 1+ 3cos x ¾¾ Suy F ( x) =- 1 ln 1+ 3cos x + ắắ đ F ( 0) = 2- ln22 = 2- ln2 Chọn B 3 ỉ 2p ÷ 0; ÷ Câu 12 Cho F ( x) nguyên hàm hm s f ( x) = cot x trờn ỗ ç ÷ ç 3ø è ỉ ỉ pư ÷ çp ÷ ÷ ÷ thỏa F ç ç ÷= Tớnh F ỗ ữì ỗ ỗ ố4ứ ố2ứ ổ pử ữ ữ A F ỗ ỗ ữ= - ln ç è2ø ỉ pư ÷ C F ç ç ÷ ữ= - ln2 ỗ ố2ứ Li gii Ta cú Khi ỉ pư ÷ = ln2 ÷ B F ç ç ÷ ç è2ø ỉ pư ÷ D F ỗ ỗ ữ ữ= - 2ln2 ỗ ố2ứ cos x ò cot x dx = ò sin x dx cos x dt ò cot x dx = ò sin x dx = ị t ® dt = cos xdx Đặt t = sin x ¾¾ = ln t +C =ln sin x +C ỉ1 ỉ pư ÷ ữ = ắắ đ lnỗ ữ+C = C = ln ÷ Theo giả thiết F ç ç ç ÷ ç ç ÷ è4ø è 2ø ỉ pư ÷= ln = ln2 Chọn B đF ỗ ữ Suy F ( x) = ln( sin x ) + ln ắắ ỗ ữ ỗ è2ø ( ) ( ) ( ) Câu 13 Gọi F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = tan2x thỏa mãn ỉ pư ổ pử ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ Fỗ Fỗ F ( 0) = Tớnh ỗ ữ ỗ ữ T = 2e è6ø - e è2ø A T = B T = C T = - D T = sin2x dx Lời giải Ta có ò tan2x dx = ò cos2x Đặt t = cos2x ắắ đ dt = - 2sin2xdx đ sin2xdx = - dt sin2x dt 1 dx =- ò = - ln t +C =- ln cos2x +C Khi ị tan2x dx = ị cos2x t 2 ® C = Theo giả thiết F ( 0) = ¾¾ Suy F ( x) = - ỉ ỉ p÷ p÷ ổử 1ữ ln cos2x ắắ đF ỗ = v F ỗ = - lnỗ = ln ữ ữ ỗ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç6ø ç2÷ è2ø è ø 2 è Vậy T = eln - e0 = 2- 1= Chọn A ( 2) sin x Câu 14 Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = e cos x F ( p) = Khẳng định sau đúng? sin x sin x A F ( x) = e + B F ( x) = e +C cos x C F ( x) = e + cosx D F ( x) = e +C ® dt = cos xdx ò f ( x) dx = ò e cosxdx Đặt t = sin x ¾¾ ị f ( x) dx = ò e cosxdx = ò e dt = e +C = e +C sin x Lời giải Ta có Khi sin x t t sin x ® esin p +C = Û 1+C = Û C = Theo giả thiết F ( p) = ¾¾ sin x Suy F ( x) = e + Chọn A Câu 15 Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = F ( 0) = 2017 Khẳng định sau đúng? tan x A F ( x) = e - tan x B F ( x) = e tan x C F ( x) = e + 2016 tan x D F ( x) = e + 2018 Lời giải Ta có Khi ị f ( x) dx = ị ò f ( x) dx = ò etan x ® dt = dx dx Đặt t = tan x ¾¾ cos2 x cos x etan x dx = ò et dt = et +C = etan x +C cos2 x etan x cos2 x ® etan0 +C = 2017 Û C = 2016 Theo giả thiết F ( 0) = 2017 ¾¾ tan x Suy F ( x) = e + 2016 Chọn C Vấn đề PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 16 Gọi F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = ln x thỏa mãn F ( 1) = Tính F ( e ) A F ( e ) = Lời giải Ta có Khi 2 2 B F ( e ) = 3e + C F ( e ) = - e + ìï u = ln x ị ln xdx Đặt ïíïïỵ dv = dx Þ ị ln xdx = x ln x - òdx =x ln x - 2 D F ( e ) = e + ìï ïï du = dx x í ïï ỵï v = x x +C ®- 1+C = Û C = Theo gi thit F ( 1) = ắắ đ F ( e2 ) = e2 + Chọn D Suy F ( x) = x.ln x - x + ¾¾ Câu 17 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho F ( x) = hàm hàm số f ( x) x nguyên 3x3 Tìm nguyên hàm hàm số f '( x) ln x ln x ln x + +C +C B ò f '(x)ln xdx = 3 x 5x x 5x5 ln x ln x C ò f '( x) ln xdx = + +C D ò f '( x) ln xdx = - + +C x 3x x 3x f ( x) 3x2 1 Lời giải Ta có F '( x) = = = ¾¾ ® f ( x) = x x x x ìï ïï du = dx ïì u = ln x x Û í Xét ị f '( x) ln xdx Đặt ïí ïï dv = f '( x) dx ïï ỵ v = f ( x) ïỵï A ị f '( x) ln xdx = f ( x) ln x + +C Chọn C x3 3x ln( ln x) Câu 18 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x ln( ln x) ln( ln x) A ò B ò dx = ln x.ln( ln x) +C dx = ln x.ln( ln x) + ln x +C x x ln( ln x) ln( ln x) C ò dx = ln x.ln( ln x) - ln x +C D ò dx = ln( ln x) + ln x +C x x ln( ln x) dx Lời giải Đặt t = ln x Þ dt = Suy ò dx = ò ln t dt x x ì dt ìï u = ln t ïïï du = Þ í t Đặt ïí ïïỵ dv = dt ïï ỵï v = t Khi ị f '( x) ln xdx = ln x f ( x) - ị Khi ị ln t dt = t ln t - òdt = t ln t - x dx = t +C = ln x.ln( ln x) - ln x +C Chọn C x Câu 19 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = xe x2 x e +C x2 x x x C ò xe dx = xe - e +C D ò xexdx = ex + ex +C ïì u = x ïì du = dx x Þ ïí Lời giải Ta có ị xe dx Đặt ïí ïïỵ dv = exdx ïïỵ v = ex A Khi ị xe dx = e + xe +C x x x B ò xe dx = xe - ò e dx = xe x x x x ò xe dx = x ex +C Chọn C x Câu 20 Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = ( x - 1) e thỏa mãn F ( 0) = Tìm F ( x) x A F ( x) = ( x - 1) e x B F ( x) = ( x - 2) e x C F ( x) = ( x +1) e +1 x D F ( x) = ( x - 2) e + Lời giải Ta có Khi ị( x - ïì u = x - 1) ex dx t ùớ ị ùợù dv = exdx ïìï du = dx í ïỵï v = ex ò( x- 1) e dx = ( x - 1) e - òe dx = ( x - 1) e x x x x ex +C = ( x - 2) ex +C ® ( 0- 2) e0 +C = Û C = Theo giả thiết F ( 0) = 1¾¾ x Vậy F ( x) = ( x - 2) e + Chọn D - x Câu 21 Cho F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = x.e thỏa mãn điều kiện F ( 0) = - Tính tổng S nghiệm phương trình F ( x) + x +1= A S = - B S = C S = D S = - ì ì u = x d u = d x ï ï - x Þ ïí Lời giải Ta có ị x.e dx Đặt ïí ïỵï dv = e- xdx ïỵï v = - e- x Khi ị xe - x dx = - xe- x + ò e- xdx =- xe- x - e- x +C ®- 1+C = - Û C = Theo giả thiết F ( 0) = - 1¾¾ - x - x x Suy F ( x) = - xe - e =- e ( x +1) x Xét phương trình F ( x) + x +1= Û - e ( x +1) + x +1= éx = - Û ( x +1) ( - ex +1) = Û ê ¾¾ ® S = - 1+ =- Chọn D êx = ë Câu 22 Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = x sin x thỏa mãn F ( p) = 2p Tính giá trị biểu thức T = 2F ( 0) - 8F ( 2p) A T = 6p B T = 4p C T = 8p ìïï u = x ìï du = dx Þ ïí Lời giải Ta có ị x sin xdx Đặt í ïỵï dv = sin xdx ïỵï v = - cosx Khi D T = 10p ị x sin xdx = - x cosx + òcos xdx = - x cos x + sin x +C ® p +C = 2p Û C = p Theo giả thiết F ( p) = 2p ¾¾ ìï F ( 0) = p đ ùớ ắắ đT = 2p - 8.( - p) = 10p Suy F ( x) =- x cos x + sin x + p ¾¾ ïï F ( 2p) = - p ỵ Chọn D Câu 23 Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = x cos2 F ( 0) = ×Tính F ( p) x thỏa p2 + × 2 p2 D F ( p) = +1 A F ( p) = Lời giải Ta có B F ( p) = ị x cos p2 - × C F ( p) = p2 + × ỉ x 1+ cos xư ÷dx = xdx + x cos xdx dx = ò xỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 2ũ 2ò 1 x2 x2 ( 1) x d x = + C = +C1 2ò 2 ïì u = x ïì du = dx Þ ïí  ị x cos xdx Đặt ïí ï ỵï dv = cos xdx ïỵï v = sin x 1 ( 2) Suy ò x cos xdx = x sin x - ò sin xdx = ( x sin x + cos x +C2 ) 2 x x2 Từ ( 1) ( 2) , suy ò x cos2 dx = +C1 + ( x sin x + cos x +C2 ) 1 1 Theo giả thiết F ( 0) = ¾¾ ® C1 + + C2 = Û C1 + C2 = 2 2 x2 p2 Suy F ( x) = + ( x sin x + cos x) ắắ đ F ( p) = - Chọn B 4 f x = x2 cos x ( ) Câu 24 Tìm nguyên hàm hàm số  ( ) ò x cos xdx = x sin x - 2x cosx + 2sin x + 2C B ò x cos xdx = x sin x + 2x cosx - 2sin x C ò x cos xdx = x sin x + 2x cosx - 2sin x - 2C D ò x cos xdx = x sin x + x cos x - sin x - C A 2 2 2 2 ìï u = x2 Þ Lời giải Đặt ïí ïỵï dv = cos xdx Khi Tính ịx ïíìï du = 2xdx ïỵï v = sin x ( 1) cos xdx = x2 sin x - 2ị x sin xdx ïì u = x ị x sin xdx Đặt ïíïỵï dv = sin xdx Þ ïìï du = dx í ïỵï v = - cosx ò x sin xdx =- x cosx + ò cosxdx = - x cosx + sin x +C ( 2) ( 2) , suy ò x cos xdx = x sin x - 2( - x cos x + sin x +C ) Ta Từ ( 1) 2 = x2 sin x + 2x cos x - 2sin x - 2C Chọn C x Câu 25 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = e sin x x x A ò e sin xdx = e sin x +C B ò e sin xdx = 2( e sin x + e cos x) +C C ò e sin xdx = e cos x +C D ò e sin xdx = 2( e sin x - x x x x ìï u = sin x ị Li gii t ùớ ùợù dv = exdx Khi x x ìï du = cos xdx ïí ïỵï v = ex ị sin xe dx = e sin x - òcos xe dx = e sin xx x x ïì u = cos x x Þ Tính K = ị cos xe dx Đặt ïí ïỵï dv = exdx x ( 1) K ïìï du = - sin xdx í ïỵï v = ex ( 2) x x Suy K = e cos x + ò sin xe dx Từ ( 1) ( 2) , suy x ò sin xe dx = e sin x x x ( e cosx + òsin xe dx) x x ex cos x) +C Û 2ò sin xexdx = ex sin x - ex cos x Û òsin xe dx = 2( e sin x x x ex cos x) Vì nguyên hàm sai khác số C nên ta Chọn D  ... + Chọn B Chú ý: Đáp án A gọi họ nguyên hàm hàm số f ( x) Suy F ( x) = Câu Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = thỏa ex +1 F ( 0) = - ln2 Tìm tập nghiệm S phương trình F ( x) + ln( ex +1)... ( x) = x.ln x - x + ¾¾ Câu 17 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho F ( x) = hàm hàm số f ( x) x nguyên 3x3 Tìm nguyên hàm hàm số f '( x) ln x ln x ln x + +C +C B ò f '(x)ln xdx = 3 x 5x x 5x5 ln... thiết F ( 0) = 2017 ¾¾ tan x Suy F ( x) = e + 2016 Chọn C Vấn đề PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 16 Gọi F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = ln x thỏa mãn F ( 1) = Tính F ( e ) A F ( e ) =