Bài giảng môn toán lớp 6 một số phương pháp tìm x,y nguyên

Bài giảng môn toán lớp 6 Một số phương pháp tìm x,y nguyên Mét sè ph­¬ng ph¸p t×m x,y nguyªn I Ph­¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt chia hÕt 1 Ph­¬ng ph¸p ph¸t hiÖn tÝnh chia hÕt VÝ dô 1 3x + 17y = 159 (1) Gi¶i Gi¶ sö x, y lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m n (1) Ta thÊy 159 vµ 3x ®Òu chia hÕt cho 3 nªn 17y còng chia hÕt cho 3, do ®ã y chia hÕt cho 3 ( v× 17 vµ 3 nguyªn tè cïng nhau) §Æt y = 3t ( t lµ sè nguyªn) Thay vµo (1), ta ®­îc 3x + 17 3t = 159 x + 17t = 53 => x =53 17t Do ®ã ( t ) x 53 17t y 3t     Z.

Một số phương pháp tìm x,y nguyên I/ Phương pháp dùng tính chất chia hết: 1/ Phương pháp phát tÝnh chia hÕt: VÝ dô 1: 3x + 17y = 159 (1) Giải: Giả sử x, y số nguyên thoả mÃn (1) Ta thấy 159 3x chia hÕt cho nªn 17y cịng chia hÕt cho 3, y chia hết cho ( 17 nguyên tố nhau) Đặt y = 3t ( t số nguyên) Thay vào (1), ta ®­ỵc: 3x + 17.3t = 159  x + 17t = 53 => x =53 - 17t  x  53  17t  y  3t Do ®ã  ( t Z) Đảo lại thay biểu thức x y vào (1) nghiệm Vậy (1) có vô số (x; y) nguyên biểu thị c«ng thøc:  x  53  17t   y 3t ( t Z) 2/ Phương pháp đưa phương trình ước số: Ví dụ 2: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : x.y - x - y = Gi¶i: Ta cã: x.y - x - y =  x.( y -1) - y =  x (y - 1) - (y - 1) =  (x -1) (y - 1) = Do x, y số nguyên nên x - 1, y - số nguyên ước Suy trường hợp sau: x  ;   y 1   x 1   y 1  ;  x   1   y   3 ;  x   y Giải hệ ta có cặp : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0) 3/ Phương pháp tách giá trị nguyên: Ví dụ 3: Tìm x,y nguyên ví dụ cách khác Giải: Ta có: x.y - x - y =  x.(y-1) = y+2 Ta thÊy y  ( v× nÕu y=1 th× x.0 = (không có giá trị x,y thoả m·n ) y2  1 y 1 y 1 Do x nguyên nên nguyên => y-1 ước cđa => y-1=3; y-1=-3; y-1=1; yy 1 Do ®ã x = 1=-1 Ta có đáp số ví dụ DeThiMau.vn II/ Phương pháp xét số dư tõng vÕ: VÝ dơ 4: Chøng minh r»ng kh«ng cã x,y nguyên thoả mÃn biểu thức sau: a/ x2- y2 = 1998 b/ x2+ y2 = 1999 Gi¶i: a/ Ta thÊy x2 ; y2 chia cho chØ có số dư là: ; nên x2 - y2 chia cho cã sè d­ lµ : ; ; vế phải 1998 chia cho dư Vậy biểu thức giá trị nguyên thoả mÃn b/ Tương tự ta có x2 + y2 chia cho cã sè d­ lµ : 0; 1; vế phải 1999 chia cho dư Vậy biểu thức giá trị nguyên thoả mÃn Ví dụ 5: Tìm x,y nguyên thoả m·n : 9x + = y2+y (1) Gi¶i: Ta có phương trình (1) 9x+2 = y(y+1) Ta thấy vế trái phương trình số chia cho d­ nªn y.(y+1) chia cho cịng d­ ChØ cã thÓ: y = 3k+1; y+1 = 3k+2 ( k  Z ) Khi ®ã: 9x+2 = (3k+1).(3k+2)  9x  9k ( k  1)  x  k ( k  1) Thư l¹i: x= k.(k+1); y = 3k+1 thoả mÃn phương trình đà cho Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát: x k ( k  1)   y  3k  k Z III/ Phương pháp dùng bất đẳng thức: Phương pháp thứ tự ẩn: Ví dụ 6: Tìm số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng Giải: Gọi số nguyên dương phải tìm x, y, z Ta cã: x + y + z = x.y.z (1) Do x, y, z cã vai trß nh­ ë phương trình (1) nên thứ tự Èn nh­ sau: 1 x  y  z Do ®ã : x.y.z = x + y +z  3z Chia hai vế cho số dương z ta được: x.y  Do ®ã: x.y = 1; 2; 3 +Với x.y =1 => x=1, y=1thay vào (1)ta +z = z lo¹i +Víi x.y = =>x=1, y=2 thay vào (1) ta x = +Với x.y = => x=1, y=3 thay vào (1) ta z = loại trái với xếp y z Vậy ba số phải tìm 1; 2; Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn: DeThiMau.vn Ví dụ 7: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : 1   x y Gi¶i: Do vai trò bình đẳng x y Giả sử x y , dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị số nhỏ y Ta cã: 1   y  (1) y 1 Mặt khác x y   x y Do ®ã 1 1 2        x y y y y y nên y (2) Từ (1) (2) ta cã :  y  Do y  Z  y  4; 5;  1    x  12 x 1 + Víi y = ta được: loại x không sè nguyªn x 15 1 + Với y = ta được: x x +Với y =4 ta được: Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: (4; 12), (12; 4) , (6; 6) 3/ Phương pháp nghiệm nguyên: Ví dụ 8: Tìm số tự nhiên x cho 2x+3x=5x Gi¶i: Chia hai vÕ cho 5x, ta được: x x     (1)     +Víi x=0  vÕ tr¸i cđa (1) b»ng (loại) + Với x = vế trái (1) b»ng ( ®óng) + Víi x  th×: x x 3 2    ;       x x Nªn:         ( lo¹i) 5 5 Vậy x = IV/ Phương pháp dïng tÝnh chÊt cđa mét sè chÝnh ph­¬ng: 1/Sư dơng tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét sè chÝnh ph­¬ng:  Các tính chất thường dùng: số phương không tËn cïng b»ng 2, 3, 7, Sè chÝnh phương chia hết cho số nguyên tố p chia hÕt cho p2 DeThiMau.vn Sè chÝnh ph­¬ng chia cho có số dư 0; 1, chia cho cã sè d­ lµ 0; 1, chia cho cã sè d­ lµ 0; 1; VÝ dơ 11: Tìm số nguyên x để 9x+5 tích hai số nguyên liên tiếp Giải: Giả sử 9x+5 = n(n+1) với n nguyên 36x+20 = 4n2+4n => 36x+21= 4n2+4n+1 => 3(12x+7) = (2n+1)2 (1) Tõ (1) => (2n+1) , số nguyên tố => (2n+1)2 Mặt khác ta có 12x+7 không chia hết 3(12x+7) không chia hết cho Vậy chứng tỏ không tồn số nguyên x để 9x+5 tích hai số nguyên liên tiếp 2/ Tạo bình phương đúng: Ví dụ 12: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : 2x2+4x+2 = 21-3y2 (1) Giải: Phương trình (1) x   y  (2) Ta thÊy vÕ tr¸i chia hÕt cho => 3(7-y2)    y   y lỴ Ta lại có 7-y2 (vì vế trái 0) nên y2 = Khi phương trình (2) có dạng 2(x2+1) = 18 x   3  x  4; 2 Các cặp số (2; 1), (2; -1), (-4; 1), (-4; -1) thoả mÃn phương trình (2) nên nghiệm phương trình đà cho 3/ Xét số phương liên tiếp: Hiển nhiên hai số phương liên tiếp số phương Do với số nguyên a, x ta có: Không tồn x để a2 z2=xy=(ab)2 z=ab x  ta  Nh­ vËy :  y  tb víi t >  z  tab Đảo lại ta thấy công thức thoả mÃn (1) Vậy công thức nghiệm nguyên dương (1) 5/ Sư dơng tÝnh chÊt: " nÕu hai sè nguyên liên tiếp có tích số phương hai số nguyên liên tiếp " Ví dụ 15: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : x2+xy+y2=x2y2 (1) Giải: Thêm xy vào hai vế phương trình (1), ta được: x2+2xy+y2=x2y2+xy (2) x  y   xy( xy  1) Ta thấy xy xy+1 hai số nguyên liên tiếp có tích số phương nên tồn mét sè b»ng NÕu xy = tõ (1) => x2+y2=0 nªn x=y=0 NÕu xy+1=0 => xy= -1 nªn (x; y)=(1;-1) (x;y)=(-1;1) Thử cặp số (0;0), (1;-1), (-1;1) nghiệm phương trình (1) V/ Phương pháp lùi vô hạn ( nguyên tắc cực hạn): Ví dụ 16: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : x3+2y3=4z3 (1) Giải: Từ (1) ta thấy x , đặt x=2x1 với x1 nguyên hay vào (1) chia hai vế cho ta 4x31+y3=2z3 (2) Từ (2) ta thấy y , đặt y=2y1 với y1 nguyên thay vào (2) chia hai vế cho ta được: 2x31+4y31=z3 (3) Từ (3) ta thấy z đặt z = 2z1 với z1 nguyên Thây vào (3) chia hai vế cho 2, ta được: x13+2y13= 4z13 (4) Nh­ vËy nÕu (x; y; z) lµ nghiƯm cđa (1) (x1; y1; z1 ) nghiệm (1) Trong ®ã x = 2x1; y = 2y1; z = 2z1 Lập luận tương tự ta đến x, y, z chia hÕt cho 2k víi k  N Điều xảy x = y = z = Vậy phương trình (1) có nghiÖm nhÊt : x = y = z = DeThiMau.vn C Bài tập: Bài 1: Tìm x,y nguyên > tho¶ m·n : a 5x-y = 13 b 23x+53y= 109 c 12x-5y = 21 d 12x+17y = 41 Bài 2: Tìm x,y nguyên > thoả mÃn : a/ 1+y+y2+y3 = t3 b/ 1+y+y2+y3+y4 = t4 Bµi 3: Tìm x,y nguyên > thoả mÃn : a/ 5(x+y)+2 = 3xy b/ 2(x+y) = 5xy c/ 3x+7 = y(x-3) Bài 4: Tìm x,y nguyên > thoả mÃn : 5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt Bài 5: Tìm 12 số nguyên dương cho tỉng cđa chóng b»ng tÝch cđa chóng Bµi 6: Chứng minh rằng, với n số tự nhiên khác 0.ít có giá trị tập hợp số tự nhiên khác cho: x1+x2+x3+ +xn= x1x2x3.xn Bài 7: Tìm x,y nguyên >0 thoả mÃn : xy yz zx   3 z x y Bµi 8: Tìm x,y nguyên >0 thoả mÃn : a/ 4(x+y+z) = xyz b/ x+y+z+9-xyz = Bµi 10: Chøng minh phương trình 2x2-5y2=7 nghiệm nguyên Bài 11: Tìm x,y nguyên >0 thoả mÃn : x y  z  z   2( x y xy ) Bài 12: Tìm x,y nguyên >0 thoả mÃn : 1 1   1 x y z t DeThiMau.vn ... (x+1)2 Vô lí Vậy không tồn số nguyên dương x ®Ĩ : x(x+1) = k(k+2) 4/ Sư dơng tÝnh chất " hai số nguyên dương nguyên tố có tích số phương số số phương" Ví dụ 14: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : xy=z2 DeThiMau.vn... 1+y+y2+y3+y4 = t4 Bài 3: Tìm x,y nguyên > tho¶ m·n : a/ 5(x+y)+2 = 3xy b/ 2(x+y) = 5xy c/ 3x+7 = y(x-3) Bài 4: Tìm x,y nguyên > thoả mÃn : 5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt Bài 5: Tìm 12 số nguyên dương cho... loại x không số nguyên x 15 1 + Víi y = ta được: x x +Với y =4 ta được: Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: (4; 12), (12; 4) , (6; 6) 3/ Phương pháp nghiệm nguyên: Ví dụ 8: Tìm số tự nhiên