BÀI 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC của một góc

BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0° ĐẾN 180° MỤC TIÊU: Kiến thức - Trình bày kiến thức việc xác định giá trị lượng giác góc dựa vào nửa đường tròn đơn vị - Phát biểu vận dụng tính chất giá trị lượng giác góc bù - Ghi nhớ bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt -Xác định góc hai vectơ Kỹ - Tính giá trị lượng giác góc đặc biệt góc biết số giả thiết - Tính giá trị biểu thức lượng giác với giá thiết cho trước I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa   Với góc  0    180 ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho xOM   giả sử điểm M có tọa độ M  x0 ; y0  Khi • Tung độ y0 điểm M gọi sin góc  , kí hiệu sin   y0 ; • Hồnh độ x0 điểm M gọi cơsin góc  , kí hiệu cos  x0 ; • Tỉ số y0  x0  0 gọi tang góc  x0 Kí hiệu tan x • Tỉ số  y0  0 gọi cơtang góc  y0 Kí hiệu cot  Các số sin  , cos  , tan  , cot  gọi giá trị lượng giác góc  Tính chất giá trị lượng giác góc bù  sin   sin 180      tan    tan 180    cot    cot 180    cos    cos 180     Cho MN /Ox, xOM   xON  180   Khi yM  yN  y0 , xM  xN  x0 Trang Góc hai vectơ Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O ta vẽ OA  a OB  b Góc AOB với số đo từ 0° đến 180° gọi góc hai vectơ a b Ta kí hiệu góc hai vectơ (a, b ) Nếu (a, b )  90 ta nói a b vng góc với nhau, kí hiệu a  b b  a Chú ý: (a, b )  (b , a ) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính giá trị lượng giác số góc đặc biệt Phương pháp giải • Dựa vào định nghĩa, tìm tung độ y0 hoành độ x0 điểm M nửa đường trịn đơn vị với góc xOM   từ ta có giá trị lượng giác sin   y0 ;cos   x0 y x tan   ;cot   x0 y0 • Dựa vào tính chất hai góc bù nhau:  sin   sin 180      tan    tan 180    cot    cot 180    cos    cos 180     Ví dụ: Tìm giá trị lượng giác góc  , biết   135 Hướng dẫn giải Trang Cách Lấy điểm M nửa đường tròn đơn vị cho xOM  135 Khi ta có yOM  45  2 Từ suy M    ;    Vậy sin135  2 ;cos135   ; 2 Cách Ta có 135° 180° – 135° bù nên   sin135  sin 180  135  sin 45   ;  cos135   cos 180  135   cos 45   ; sin135 tan135   1; cos135 cot135   1 tan135 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho góc   150 Hãy tính sin  , cos  , tan  cot   Hướng dẫn giải Vì 150° 180° – 150° bù nên   sin150  sin 180  150  sin 30  ;   cos150   cos 180  150   cos 30   tan150  Ví dụ Cho ; sin150  ;cot150     cos150 tan150 ABC có B  15 , C  45 Giá trị sinA tanA A sin A  ; tan A   B sin A  ; tan A   Trang 3 ; tan A   Hướng dẫn giải D sin A  ; tan A   C sin A  Ta có A  180  ( B  C)  180  60  120 Vì 120° 180° – 120° bù nên   sin A  sin120  sin 180  120  sin 60   ;  cos A  cos120   cos 180  120   cos 60   tan A   Chọn đáp án B Ví dụ Cho ABC Giá trị sin( AB, AC) cos( AB, BC) A sin( AB, AC )  ;cos( AB, BC )   2 3 ;cos( AB, BC )   2 1 C sin( AB, AC )  ;cos( AB, BC )   2 B sin( AB, AC )  D sin( AB, AC )  ;cos( AB, BC )   2 Hướng dẫn giải Ta có ( AB, AC )  BAC  60  sin( AB, AC )  sin 60  Ta có ( AB, BC)  120  cos( AB, BC)  cos120 Mà 120° 60° hai góc bù nên cos( AB, BC )   cos 60   Vậy sin( AB, AC )  ;cos( AB, BC )   2 Chọn đáp án D Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho góc   135 Giá trị lượng giác tan  , cot  A tan   1;cot   B tan   3;cot   C tan   1;cot   1 D tan    3;cot    Câu Cho tam giác ABC vng A có AC = 2BC Giá trị tan ( AC, BC ) A tan( AC, BC)   B tan( AC, BC )  C tan( AC, BC)  D tan( AC, BC )   Trang Câu Trong mặt phẳng tọa độ xOy, lấy điểm M nửa đường tròn đơn vị cho xOM  150 Tọa độ điểm M 1 3 A M  ;   2    1 B M   ;     1 C M    ;      1 D M    ;    Câu Cho hình thoi ABCD có A  60 Tìm mệnh đề mệnh đề sau A cos( BD, BC )  B cos( BD, BC )  C cos( AC , AD)  D cos( AB, AD)  2 Câu Cho ABC có đường cao AH Tìm mệnh đề D sin AHC  3 B cos BAH  C sin ABC  2 Câu Cho hình vng ABCD Mệnh đề sai? A sin BAH  A cos( AC, BA)   B sin( AC, BD)  C cos( AB, CD)  1 D sin( AB, CD)  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M nửa đường tròn đơn vị cho xOM  135 Gọi N điểm đối xứng M qua trục tung đặt   xON Tính cot  C cot   D cot  khơng tồn Câu Cho hình bình hành ABCD Trong khẳng định đây, khẳng định sai? B cot   1 A cot   A tan( AB, DC)  B sin( AB, AD)  sin( DA, DC) C cos( AB, AD)  cos( DA, DC)  D cos( AB, CD)  Câu Cho hình thang ABCD vng A D, biết AB  AD  a, CD  2a Tính cos( BD, CB) A cos( BD, CB)  C cos( BD, CB)  B cos( BD, CB)  1 D cos( BD, CB)   ABC cân A, A  20 Gọi BM đường phân giác ABC Tính Câu 10 Cho cos( BM , MC ) A cos( BM , MC )  C cos( BM , MC )  Câu 11 Cho Câu 12 Cho D cos( BM , MC )   2 ABC có I, J trung điểm AB AC Khi giá trị cos( AB, IJ ) Bài tập nâng cao A B cos( BM , MC )   B  C D  ABC có trọng tâm G Giá trị tan ( AB, GA) Trang C tan( AB, GA)   B tan( AB, GA)  A tan( AB, GA)  D tan( AB, GA)   Câu 13 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  a 2, AD  a Gọi M trung điểm cạnh CD,  góc hai vectơ AM BD Tính tan  C tan   B tan   A tan    Đáp án trắc nghiệm 1-C 2-C 11-B 12-C D tan  không tồn 3-D 4-B 5-C 6-D 7-A 8-D 9-C 10-D 13-D  Hướng dẫn giải Câu 12 Xét tam giác ABC có G trọng tâm tam giác, suy AG vừa trung tuyến, vừa đường cao, đường BAC 60 phân giác kẻ từ đỉnh A tam giác ABC  BAG    30 2 Mà ( AB, GA) BAG hai góc bù nên tan( AB, GA)   tan 30   3 Chọn đáp án C Câu 13 Gọi N giao điểm AM BD Xét  ADM vng D, ta có tan AMD  Xét  ADB vng A, ta có tan ADB  AD a   DM a 2 AB a   AD a Từ suy AMD  ADB  AM  DB  ( AM , BD)  90 Suy tan  không tồn Chọn đáp án D Dạng Tính giá trị lượng giác góc biết giá trị lượng giác Trang Bài tốn Chứng minh hệ thức giá trị lượng giác Ví dụ mẫu   Ví dụ Chứng minh với góc  0    180 ta có sin   cos   Hướng dẫn giải Vẽ nửa đường tròn đơn vị (0;1) Lấy điểm M  x0 ; y0  nửa đường trịn cho xOM   Khi sin   y0 ;cos   x0 Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có x02  y02  OM   sin2   cos2   (điều phải chứng minh)   Ví dụ Cho góc  thỏa mãn 0    180 Chứng minh (với   90 ); cos  b)  cot   (với   0 ;  180 sin  Hướng dẫn giải a)  tan    sin  cos2   sin    2 cos  cos  cos2  (điều phải chứng minh) a) Ta có  tan    cos2  sin   cos2  b) Ta có  cot      2 sin  sin  sin  (điều phải chứng minh) Lưu ý: Chúng ta áp dụng kết ví dụ " sin   cos   1 để chứng minh hệ thức giá trị lượng giác cách nhanh chóng mà khơng cần sử dụng hình học Ví dụ Cho góc  Chứng minh sin   cos6   3sin  cos   Hướng dẫn giải Ta có VT  sin   cos6   3sin  cos      sin   cos  sin   sin  cos   cos   3sin  cos   sin   sin  cos   cos   3sin  cos   sin   2sin  cos   cos    sin   cos   2  (điều phải chứng minh) Bài tốn Tính giá trị lượng giác góc biết giá trị lượng giác Phương pháp giải • Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác góc  hệ thức liên hệ giá trị Trang sin  cos  ;cot   ; cos  sin  1  tan   ;1  cot   cos  sin  Ví dụ: Cho sin   0    90 Tính giá trị lượng giác cos  , tan  ,cot  sin   cos   1; tan   Hướng dẫn giải Ta có sin   cos     cos   2  cos    Vì 0    90 nên cos   Vậy  cos2   2 sin   ;cos   ; tan   ;cot   2 3 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho sin   90    180 Giá trị cos  tan  A cos    3 ; tan    3 B cos    ; tan    C cos    ; tan    D cos    ; tan    Hướng dẫn giải  cos    Ta có sin   cos    cos    sin       4  cos       Vì 90    180 nên cos   sin  ; tan    cos  Chọn đáp án A Vậy cos    Ví dụ Cho góc  , biết 0    90 tan   Giá trị sin  cos  24 A cos   ;sin   B cos   ;sin   5 5 24 C cos   ;sin   D cos   ;sin   5 5 Trang Hướng dẫn giải  cos    1 25 16   1   cos    Ta có  tan   2 cos  cos  16 16 25  cos     Vì 0    90 nên cos   4 3 Vậy cos   ;sin   cos  tan     5 Chọn đáp án D Ví dụ Cho biết sin15  6 Giá trị cos15 tan15 A cos15   6 ; tan15   B cos15   6 ; tan15  2  C cos15  6 ; tan15   D cos15  6 ; tan15  2  Hướng dẫn giải    2 Ta có sin 15  cos 15   cos 15   sin 15       4        6  cos15    6  cos15        Vì  15  90 nên cos15  6 sin15 ; tan15    cos15 Chọn đáp án C Vậy cos15  Ví dụ Tính giá trị lượng giác  , biết sin   cos   Hướng dẫn giải Theo ra, ta có sin   cos   cos    sin  cos    sin       2 2 sin   cos   sin   cos   sin   (  sin  )   2sin   2 sin     sin   2 2 ;cos    sin     ; 2 sin  tan    1;cot    cos  tan  Vậy sin   Trang Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho góc nhọn  có sin   Giá trị tan  2 B tan    C tan   7 Câu Cho cot   3 90    180 Giá trị sin  D tan    10 10 B sin    C sin   10 10   Câu Cho cos x  2sin x  0, voi 90  x  180 Giá trị cos x D sin    A tan   A sin   A cos x  B cos x   C cos x  2 D cos x   D cos    Câu Cho tan 180      , với 0    90 Giá trị cos  5 B cos    C cos x  5 Câu Trên nửa đường tròn đơn vị, cho điểm M hình vẽ Biết cos xOM   , diện tích AOM A cos   1  B SAOM  C SAOM  Câu Cho biết sin   cos   m Giá trị sin .cos  A sin  cos   m2 B sin .cos   2m A S AOM  m2 C sin  cos   Bài tập nâng cao A AOM  m2  D sin  cos   Câu Cho 0    180 thỏa mãn sin   Chu vi D S cos  Xét ABC cân C có AB  sin  , AC  cos  ABC 1 B 1 C D 2 Câu Trên nửa đường tròn đơn vị, cho điểm M, N, A hình vẽ Biết xOM  135 , tính diện tích MNA Trang 10 A SMNA  Câu Cho B SMNA  C SMNA  D SMNA  ABC cân A có AB  đường cao AH, BK Giả sử BAH  15 Tính tích AK.BK  Đáp án trắc nghiệm 1-C 2-A A AK BK  B AK BK  3-B 4-C C AK.BK  5-D 6-D 7-A D AK.BK  8-C 9-C  Hướng dẫn giải Câu    sin      cos  sin   cos   sin  Ta có    4sin     sin    sin   cos   sin   cos          Vì    180 nên sin   Suy AB  sin   ; AC  cos   2 Vậy CABC  2CA  AB  2cos   sin   1 Chọn đáp án A Câu   2  sin xOM  sin135   yM    2  Ta có xOM  135   cos xOM  cos135   x     M 2 1 2 Suy SMNA  SMNO   xM  yM      2 2 Chọn đáp án C Câu Trang 11 Ta có BAH  15  BAC  30 Suy AK  AB  cos BAK   cos30  BK  AB  sin BAK   sin30  Vậy AK.BK  3.1  Dạng Tính giá trị biểu thức lượng giác Phương pháp giải Dùng cơng thức lượng giác tính giá trị lượng giác có biểu thức lượng giác cần tính biến đổi biểu thức lượng giác cần tính giá trị lượng giác biết Ví dụ: Cho tanx  Khi sin x  2sin x.cos x sin x  2sin x.cos x cos x A  2 cos x  3sin x cos x  3sin x cos x tan x  tan x 22  2.2     tan x  3.22 Ví dụ mẫu 2sin x  3cos x Ví dụ Cho tan x  Giá trị biểu thức M  sin x  cos x A B C D Hướng dẫn giải 2sin x  3cos x 2sin x  3cos x tan x  2.2  cos x     Ta có M  sin x  cos x sin x  cos x tan x  1 cos x Vậy M  Chọn đáp án D cot x  tan x Ví dụ Cho sin x  Giá trị biểu thức Q  cot x  tan x 25 25 A  B  C D 37 2 37 Hướng dẫn giải 16 sin  2 Ta có sin   cos     cos    cos    tan x   25 25 cos2  16 2 Trang 12 cot x  tan x 1 cot x  tan x  tan x cot x 16   25    Do Q  cot x  tan x cot x  tan x  tan x   cot x 16 25 Vậy Q   Chọn đáp án B Ví dụ Cho tan x  2cot x  1 90  x  180 Giá trị biểu thức A  tan x  cot x 15 15 A 15 B  C 4 Hướng dẫn giải  tan x  cot x  1  tan x  1  cot x   (1  cot x).cot x  Ta có   tan x.cot x   tan x.cot x  D 15 cot x   cot x  cot x     cot x    Vì 90  x  180 nên cot x  1  2 Suy cot x    tan x  cot x   15 Vậy A  tan x  cot x  (2)       2 Chọn đáp án C Bài tốn Tính giá trị biểu thức lượng giác chứa góc đặc biệt Phương pháp giải • Sử dụng giá trị lượng giác góc đặc biệt • Sử dụng tính chất giá trị lượng giác góc bù 2  sin   sin 180      tan    tan 180    cot    cot 180    cos    cos 180     Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức P  sin 30 cos30  sin 45 cos 45 Hướng dẫn giải Ta có P  sin 30 cos30  sin 45 cos 45 2 3 2        2 2 4 32 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức P  cos 60  cos80  cos100  cos120 Hướng dẫn giải Vậy P  Trang 13    cos 180   80    cos100 Ta có cos 60   cos 180  60   cos120 ; cos80     P  cos 60  cos80  cos100  cos120     cos 60  cos120  cos80  cos100     Ví dụ mẫu Ví dụ Giá trị biểu thức sin 30 cos 45 sin 60  cos30.sin 45 cos 60 A B -1 C Hướng dẫn giải Ta có sin 30 cos 45 sin 60  cos30.sin 45 cos 60 D 2 3        2 2 2 Chọn đáp án C Ví dụ Giá trị biểu thức: P  cos 0  cos1  cos 2   cos178  cos179  cos180 thuộc khoảng sau đây? A (0;1) B (-1;1) C (1;2) D (-1;0) Hướng dẫn giải   cos1   cos 180     cos179 ; cos   cos 180     cos178 ; Ta có cos 0   cos 180  0   cos180 ;         Suy P  cos 0  cos1  cos 2   cos178  cos179  cos180        cos 0  cos180  cos1  cos179  cos89  cos91  cos90      Chọn đáp án B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Giá trị biểu thức P  sin 30 cos 60  sin 60 cos30 A P  B P  C P  Câu Cho cos x  Giá trị biểu thức P  3sin x  4cos x 13 11 A P  B P  C P  4  cos   sin  Câu Biết tan   2 Giá trị biểu thức B  cos   3sin  A B   B B   C B  Câu Cho A M  D P   D P  15 D B   ABC Tính giá trị biểu thức M  cos( AB, AC)  cos( BA, BC)  cos(CB, CA) 3 B M  C M   D M   Trang 14 Câu Cho tan   Tính giá trị biểu thức P  A P  45 B P  sin   cos3  sin   2cos  C P  4  D P  cot x  tan x Câu Cho sin x  Giá trị biểu thức B  cot x  tan x 1 A B  B B   C B  9 Câu Cho 3sin x  cos x  Tính giá trị biểu thức A  sin x  3cos x A A  B A  C A  Câu Biết sin   Tính P  cos   3tan  91 A P  B P  C P  72 Câu Tính giá trị biểu thức A  cos3 1  cos3 2  cos3 3  cos3 180 A A  B A  C A  1    D B   D A  1 D P  67 72 D A  2  Câu 10 Tính giá trị biểu thức Q  sin  sin  sin  sin 90 A Q  45 B Q  91 2 C Q  89 D Q  90 Bài tập nâng cao Câu 11 Biết tan   cot   Giá trị biểu thức P  tan   cot  A P  1154 B P  34 C P  36 Câu 12 Cho sin   cos   Giá trị biểu thức sin   cos6  16 71 83 A B C 25 121 108 Câu 13 Cho sin x  cos x  m Tính P  sin x  cos3 x theo m 3 A P  m3 B P  m3  m2  2 3 C P   m3  m D P   m3  m 2 2  D P  1156 D 23 48  Câu 14 Tìm tất giá trị m để biểu thức P  sin x  cos6 x  m sin x  cos x có giá trị không phụ thuộc vào x A m  C m  m  Câu 15 Cho 6cos2   cos    Biết A  B m  D Không tồn m 2sin  cos   sin   a  b tan  với a, b  Giá trị cos   a  b A a  b   B a  b  3  Đáp án trắc nghiệm C a  b  D a  b   Trang 15 1-A 2-A 3-A 4-B 5-C 11-A 12-C 13-C 14-A 15-D 6-A 7-B 8-A 9-C 10-B  Hướng dẫn giải Câu 11 Ta có P  tan   cot    tan   cot    tan   cot  2  (tan   cot  )  tan   cot    tan   cot    62     1154 Chọn đáp án A Câu 12 Ta có sin   cos   4  (sin   cos  )    2sin  cos    sin  cos    9 18 Suy sin   cos6    sin   cos2   sin   sin   cos2   cos4     sin   cos2    sin   cos2    3sin   cos2     83  5   3sin   cos          18  108 2 Chọn đáp án C Câu 13 m2  2  m   m3  3m Suy P  sin x  cos3 x  (sin x  cos x)  sin x  sin x  cos x  cos x   m  1     Ta có sin x  cos x  m  (sin x  cos x)2  m2   2sin x cos x  m2  sin x  cos x  Chọn đáp án C Câu 14 Ta có P  sin x  cos6 x  m  sin x  cos x    sin x  cos2 x  sin x  sin x  cos2 x  cos4 x   m  sin x  cos2 x   2sin x  cos2 x      sin   cos2    sin   cos2    3sin   cos2    m  sin x  cos2 x   2sin x  cos2 x      3sin x  cos x  m 1  2sin x  cos x   m   (2m  3)sin x  cos x P có giá trị khơng phụ thuộc vào x 2m    m  Chọn đáp án A Câu 15 Điều kiện: cos     cos    cos    Ta có cos   cos      cos     Trang 16 nên cos    2sin  cos   sin   sin   cos  tan    tan  Mặt khác A  cos   2 Từ suy a  0, b    a  b   3 Chọn đáp án D Do cos   Trang 17 ... 3 .1  Dạng Tính giá trị biểu thức lượng giác Phương pháp giải Dùng cơng thức lượng giác tính giá trị lượng giác có biểu thức lượng giác cần tính biến đổi biểu thức lượng giác cần tính giá trị lượng. .. minh) Bài tốn Tính giá trị lượng giác góc biết giá trị lượng giác Phương pháp giải • Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác góc  hệ thức liên hệ giá trị Trang sin  cos  ;cot   ; cos  sin  1. .. Chọn đáp án D Dạng Tính giá trị lượng giác góc biết giá trị lượng giác Trang Bài toán Chứng minh hệ thức giá trị lượng giác Ví dụ mẫu   Ví dụ Chứng minh với góc  0    18 0 ta có sin   cos