TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC I KIẾN THỨC CƠ BẢN x A Định lí thuận: Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc z M Định lí đảo: Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc O B y II BÀI TẬP Bài 1: Cho ^ xOy Lấy điểm A , B thuộc tia Ox cho OA >OB Lấy điểm C , D thuộc Oy cho OC=OA ,OD=OB Gọi E giao điểm AD BC Chứng minh rằng: a) AD=BC ; b) Δ ABE= Δ CDE ; c) OE tia phân giác góc xOy Bài 2: Cho tam giác ABC vng A có ^B=60 ° Trên cạnh BC lấy điểm H cho HB= AB Đường thẳng vng góc với BC H cắt AC D a) Chứng minh BD tia phân giác ^ ABC ; b) Chứng minh Δ BDC cân Bài 3: Cho ^ xOy có tia phân giác Ot Trên tia Ot lấy điểm C Lấy A ∈Ox , B ∈Oy cho OA=OB Gọi H giao điểm AB Ot a) Chứng minh CA=CB CO phân giác ^ ACB ; b) Chứng minh OC vng góc với AB trung điểm AB; c) Biết AB=6 cm, OA=5cm Tính OH Bài 4: Cho Δ ABC vuông A , ( AB< AC ) Gọi M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia Mx ⊥ BC Trên tia Mx lấy E cho ME=MB a) Tam giác BEC tam giác gì ? b) Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ E đến đường thẳng AB , AC Chứng ^; ^ minh B EH =CEK c) Chứng minh rẳng AE tia phân giác góc A Bài 5: Cho vng cân A Trên nửa mặt phẳng có bờ BC không chứa A, v ẽ Δ BDC vuông D Chứng minh DA tia phân giác ^ BDC Hết HDG Bài 1: a) Δ OAD=Δ OCB (c g c ) ⇒ AD=CB b) Do OA=OC ,OB=OD ⇒ AB=CD ^ =ODA ^ ⇒^ ^ Lại có Δ OAD=Δ OCB (c g c ) ⇒ OBC ABE=CDE ^ OCB ^ Và có OAD= Vậy Δ ABE= ΔCDE( g c g) y C D E O B A x ^ ^ c) Vì Δ ABE= Δ CDE( g c g)⇒ BOE= DOE ⇒ OE tia phân giác góc xOy Bài 2: a) Xét Δ ABD Δ HBD có: C ^ DAB= ^ DHB=90° , DB chung, BA=BH ⇒ Δ ABD= Δ HBD ⇒ ^ ABD= ^ HBD ⇒ BD tia phân giác ^ ABC ^ BH = ^ ABC =30° b) D ^ DCB=90 °− ^ ABC=90° −60 °=30 ° ^ ⇒ Δ DBC cân D ^ ⇒D BH = DCB Bài 3: H D B A a) Vì Ot phân giác ^ xOy nên ^ AOC= ^ BOC ^ OCB ^ ⇒ Δ AOC =Δ BOC (c g c) ⇒ CA=CB , OCA= ⇒CO phân giác ^ ACB b) Do OA=OB , ^ AOH = ^ BOH ,OH chung y t A nên Δ OAH =Δ OBH (c g c) , ^ OHB=90 ^ H suy OHA= ° O AH =BH B Vậy OC vuông góc với AB trung điểm AB c) Vì H trung điểm AB ⇒ AH = AB=3 cm Áp dụng định lí Pitago tam giác vng OHA , tính OH =4 cm Bài 4: a) Δ BEC có đường trung tuyến ME= BC ⇒ ΔBEC vuông E Mặt khác Δ BME vuông cân M nên ^ MBE=45 ° ⇒ ΔBEC vuông cân E b) Từ câu (a) suy BE=CE (1) Lại có: AB⊥ AC , EK ⊥ AC ⇒ AB ∥ EK ^ =90 ° Mà EH ⊥ AB nên EH ⊥ EK ⇒ HEK ⇒^ HEB= ^ KEC (cùng phụ ^ HEC ) (2) x A K B H c) Từ (1) (2) suy Δ BHE=Δ CKE (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ EH =EK Xét Δ AHE Δ AKE có: ^ AHE=^ AKE=90° , EH =EK AE chung ⇒ Δ AHE= Δ AKE ⇒ ^ HAE= ^ KAE Vậy AE tia phân giác góc A C M E C Bài 5: Kẻ AE⊥ BD ; AF ⊥ DC A Ta có AE//CD (cùng vng góc với BD) mà DC ⊥ AF nên F Ta có ^ BAE= ^ FAC ( phụ với ^ EAC ) C B Chứng minh Δ ABE= Δ ACF (g-c-g) Suy AE= AF mà AE ⊥ BD ; AF ⊥ DC nên DA tia phân giác ^ BDC E D