Phương pháp giải một số dạng toán cực trị hình học trong chương trình phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MAI THỊ THÚY KIỀU PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MAI THỊ THÚY KIỀU PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS NGUYỄN THÀNH CHUNG Đà Nẵng - 2020 i Mục lục LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Một số kiến thức hình học chương trình phổ thơng 1.1.1 Các định lý hình học thường gặp 1.1.2 Phương pháp tọa độ 1.1.3 Nguyên lý cực hạn nguyên lý Dirichlet Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 1.2.1 Cực trị hàm số 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy Bunyakovsky 10 MỘT SỐ DẠNG TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG 11 2.1 Bài tốn cực trị góc 11 2.2 Bài toán cực trị khoảng cách 20 2.3 Bài tốn cực trị diện tích 29 2.4 Bài toán cực trị thể tích 41 2.5 Bài toán cực trị hình học tổ hợp 52 ii KẾT LUẬN 61 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tìm cực trị đại lượng cho trước toán quan trọng toán học Những toán thường xuất phát từ thực tiễn, mơ tả dạng tốn tối ưu, với phương pháp thuật toán phức tạp đưa để dẫn đến lời giải (hay gọi phương án) tốt Có thể nói rằng, tốn cực trị mơ hình khởi đầu cho việc ứng dụng toán học Tư tưởng tốn cực trị hay tìm phương án tốt đưa vào chương trình phổ thơng qua tốn cực trị đại số, giải tích hình học Bài tốn cực trị chương trình đại số giải tích thường phổ biến hơn, việc tìm lời giải cho tốn nhìn chung rõ ràng Đó tốn tìm nghiệm lớn hay nhỏ phương trình, tìm giá trị lớn hay nhỏ hàm số Bài tốn cực trị hình học cho dù trực quan định hướng tìm lời giải thường khó Trong năm gần đây, yếu tố ứng dụng thực tiễn đề cập nhiều chương trình trung học phổ thông, từ nội dung sách giáo khoa kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, kỳ thi học sinh giỏi nước quốc tế Đặc biệt, nội dung toán cực trị hình học quan tâm khai thác theo nhiều khía cạnh khác xuất phát từ ứng dụng Việc giải tốn cực trị hình học vừa rèn luyện nhiều kỹ vừa phát triển tư sáng tạo cho học sinh Thơng qua việc giải tốn cực trị hình học, học sinh có nhìn bao qt, gần gũi với thực tiễn Các toán cực trị hình học thường gặp bao gồm: tìm giá trị lớn hay nhỏ góc, cạnh hay diện tích hình, thể tích khối, tìm cực trị hình học tổ hợp Từ phân tích đánh giá thấy việc nghiên cứu phương pháp giải toán cực trị hình học cần thiết Cùng với gợi ý hướng dẫn thầy TS Nguyễn Thành Chung, định chọn đề tài "phương pháp giải số dạng tốn cực trị hình học chương trình phổ thơng" để tìm hiểu nghiên cứu Mục tiêu nội dung nghiên cứu - Tìm hiểu dạng tốn cực trị hình học chương trình phổ thơng - Hệ thống, phân loại phương pháp giải tốn khác cực trị hình học chương trình phổ thơng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu đề tài tốn cực trị hình học chương trình phổ thơng, bao gồm tốn cực trị góc, khoảng cách, diện tích, thể tích tốn cực trị hình học tổ hợp Các tốn xét bao gồm cực trị hình học phẳng hình học khơng gian - Phạm vi nghiên cứu đề tài sách giáo khoa, sách tham khảo chương trình phổ thơng ngồi nước Bên cạnh đó, chúng tơi tham khảo số tài liệu liên quan chương trình đại học nhằm làm rõ toán cực trị Những kiến thức chọn lọc để học sinh giáo viên phổ thơng hiểu vận dụng 56 Ví dụ 2.5.4 Cho n điểm A1 , A2 , , An (n ≥ 3) mặt phẳng khơng có ba điểm thẳng hàng, gọi α góc nhỏ góc Ai Aj Ak (với i, j, k ≤ n) Với n cố định, tìm giá trị lớn α Giải Cho n điểm A1 , A2 , , An mặt phẳng cho khơng có ba điểm 180◦ Thật vậy, tồn hai điểm thẳng hàng Ta chứng minh α ≤ n A1 = A2 điểm cho nằm nửa mặt phẳng xác định A1 A2 Chọn điểm A3 số điểm cho cho A1 A2 A3 lớn nhất, tất điểm cịn lại nằm góc Như A1 A2 A3 ≥ α(n − 2), hai tia liền A2 Ai (i ≤ n) tạo thành góc khơng nhỏ α (Hình 2.36) Tương tự, chọn điểm A4 , A5 , cho góc A2 A3 A4 , A3 A4 A5 , lớn nhất, ta có A2 A3 A4 ≥ α(n − 2), A3 A4 A5 ≥ α(n − 2), Vì số điểm cho n nên tồn số nhỏ m ≤ n cho Am+1 ∈ {A1 , A2 , , Am−1 } , (Am+1 = Am ) Để Am−1 Am A lớn A = Ai , (1 ≤ i ≤ m − 1) Nếu i = A1 nằm góc Am−1 Am Ai , (vơ lý) 57 Do i = góc đa giác A1 A2 Am không nhỏ α(n − 2) Khi tổng góc đa giác 180◦ (m − 2) ≥ mα(n − 2), có nghĩa 180◦ (m − 2) 180◦ α≤ = 1− m(n − 2) n−2 m 180◦ ≤ 1− n−2 n 180◦ = n Dễ dàng thấy A1 , A2 , , An đỉnh n-giác α = (Hình 2.37) 180◦ n 180◦ Vậy giá trị lớn α n Ví dụ 2.5.5 Hãy tìm độ rộng nhỏ dải băng vơ tận mà từ cắt tam giác với diện tích Giải Gọi ABC tam giác có diện tích nằm băng vơ tận cần xét Gọi a h độ dài cạnh chiều cao tam giác ABC Ta có √ a= √ h = Giả sử △ABC nằm dải ngang với bề rộng 58 d Lấy l1 l2 hai đường biên dải ngang Giả sử B ∈ l1 C ∈ l2 (Hình 2.38) Lấy α góc nằm BC l1 , γ góc nằm AC l2 Khi α = 60◦ + γ ≥ 60◦ suy d = |CC ′ | = a sin α ≥ a sin 60◦ = h Dấu “ = ” xảy d = h A ∈ l2 Do dải băng nhỏ chứa △ABC có độ √ rơng h = Tiếp theo, ta giả sử T tam giác có diện tích √ Ta chứng minh T nằm dải ngang với bề rộng h = Giả sử ngược lại, đường cao T lớn h suy cạnh T nhỏ √ Gọi ϕ góc nhỏ T Khi ϕ ≤ 60◦ √ bc a2 · ST = sin ϕ < sin ϕ = √ = (vô lý) 2 √ Vậy T chứa dải ngang vơ hạn có chiều rộng Ví dụ 2.5.6 Có thể chia khối lập phương thành khối tứ diện? 59 Giải Cho khối lập phương ABCD.A′ B ′ C ′ D′ Dễ thấy chia khối lập phương làm khối tứ diện là: ABCB ′ , ACDD′ , A′ B ′ D′ A, B ′ C ′ D′ C, ACD′ B ′ Ta chứng minh khối lập phương chia nhỏ năm tứ diện Đặt AB = a Giả sử khối lập phương chia thành khối tứ diện Dễ thấy mặt đáy ABCD chứa tối thiểu hai mặt T1 T2 khác Nếu diện tích hai mặt S1 S2 S1 + S2 ≤ a2 đường cao tới T1 , T2 khơng lớn a Khi V T1 + V T2 a2 a a3 ≤ = 3 Chứng minh tương tự, mặt A′ B ′ C ′ D′ có hai mặt T3 , T4 khác a3 cho VT3 + VT4 ≤ Mặt khác T1 T2 trùng với T3 T4 hai mặt tứ diện có cạnh chung Tứ diện T1 , T2 , T3 T4 khơng thể bao phủ tồn hình hộp V T1 + V T2 + V T3 + V T4 a3 ≤ < a3 60 Nên hợp T1 , T2 , T3 , T4 phủ khối lập phương cho Điều giải thích lại tồn thêm tứ diện việc chia khối lập phương Vậy cắt khối lập phương thành khối tứ diện có tối thiểu hình Bài tập đề nghị Bài tốn 2.5.1.Trong hình chữ nhật với cạnh a b Tìm hai hình trịn khơng giao cho tổng diện tích lớn Bài toán 2.5.2 Số lượng lớn tam giác chia tam giác cho ABC cho đỉnh mạng lưới chia có tổng đoạn thẳng đỉnh nằm tam giác ABC trừ ba đỉnh A, B C Bài tốn 2.5.3 Hãy tìm cạnh hình vng nhỏ nhất, mà đặt hai đường trịn khơng giao với bán kính cho a b Bài tốn 2.5.4 Số góc tối đa có đa giác lồi bao nhiêu? Bài tốn 2.5.5 (Tạp chí Pi, tháng 1/2017) Trong mặt phẳng, xét điểm đôi phân biệt Người ta muốn vẽ đường tròn qua điểm Hỏi vẽ nhiều đường tròn? 61 KẾT LUẬN Luận văn “Phương pháp giải số dạng tốn cực trị hình học chương trình phổ thơng” đạt kết sau: Hệ thống số kiến thức hình học phương pháp tìm cực trị chương trình phổ thông Hệ thống phân loại số dạng tốn tiêu biểu cực trị hình học bao gồm cực trị góc, khoảng cách, diện tích, thể tích cực trị hình học tổ hợp Các ví dụ chọn lọc phong phú đa dạng kèm theo lời giải chi tiết thể tương đối đầy đủ, bao qt tốn cực trị hình học Đề xuất tập tương tự nhằm giúp người đọc nắm bắt vấn đề củng cố lý thuyết Bài tốn cực trị hình học chủ đề thú vị, kết hợp yếu tố hình học đại số, giải tích Bên cạnh tốn vừa có ý nghĩa khoa học vừa gắn liền với thực tiễn Luận văn mở rộng nghiên cứu sâu sắc toán cực trị nêu trên, đặc biệt cực trị thiết diện mặt phẳng cắt khối không gian, cực trị mặt trịn xoay tạo cực trị hình học tổ hợp 62 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Tơ Văn Ban (2014), Giáo trình giải tích 1, NXB Giáo dục [2] Vũ Hữu Bình (2016), Hình học tổ hợp, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Vũ Hữu Bình, Hồ Thu Hằng, Kiều Thu Hằng, Trịnh Thúy Hằng (2003), Các toán giá trị lớn nhất, nhỏ hình học phẳng trung học sở, NXB Giáo dục [4] Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân (2008), Bài tập hình học 12 - Nâng cao, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Hữu Điển (2005), Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo dục [6] Vũ Đình Hịa (2014), Bất đẳng thức hình học, NXB Giáo dục [7] Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2010), Hình học 11 , NXB Giáo dục [8] Lê Hồnh Phị (2009), Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn hình học 10, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội [9] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương (2018), Giải tích 12 - Nâng cao, NXB Giáo dục 63 [10] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Phạm Khắc Ban, lê Huy Hùng, Tạ Mân (2018), Hình học 12 - Nâng cao, NXB Giáo dục [11] Nguyễn Đức Tấn (2001), Chuyên đề bất đẳng thức cực trị hình học phẳng, NXB Giáo dục Tiếng Anh: [12] T Andreescu, O Mushkarov, L Stoyanov (2006), Geometric problems on Maxima and Minima, Birkhauser Boston, USA ... văn Chương 2: Một số dạng tốn cực trị hình học chương trình phổ thông Chương hệ thống phân loại số dạng tốn cực trị hình học, là: Bài tốn cực trị góc, khoảng cách, diện tích, thể tích tốn cực trị. .. quan đến cực trị cực trị hình học - Phân tích tổng hợp tài liệu có cực trị hình học chương trình phổ thơng, từ phân loại thành dạng toán cực trị với phương pháp giải cụ thể Ý nghĩa khoa học thực...ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MAI THỊ THÚY KIỀU PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13