HS naém vöõng caùc daïng toaùn veà phöông trình baäc hai: daáu cuûa caùc nghieäm; moái quan heä giöõa. caùc nghieäm[r]
(1)CHỦ ĐỀ 7: Phương trình bậc hai – định lý vi ét I MỤC TIÊU:
HS nắm vững dạng tốn phương trình bậc hai: dấu nghiệm; mối quan hệ
các nghiệm
Rèn luyện kỷ giải tốn có tham số m điều kiện nghiệm;
Biết cách chứng minh phương trình bậc hai ln ln có nghiệm biết tìm hệ thức
giữa nghiệm độc lập m
II NỘI DUNG:
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1 Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0
= b2 – 4ac > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -b +
2a
;
x2 = -b -
2a
= b2 – 4ac = phương trình có nghiệm keùp: x1 = x2 =
b 2a
= b2 – 4ac < phương trình vô nghiệm
2 Định lý Vi ét:
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm x1; x2 tổng tích nghiệm
là: S = x1 + x2 = -ba ; P = x1.x2 = ca
Nếu có hai số x1; x2 có S = x1 + x2 P = x1.x2 hai số nghiệm phương trình:
x2 – Sx + P = 0
3 Chứng minh phương trình bậc hai ln ln có nghiệm với giá trị tham số m Lập
Biến đổi dạng: = A2 với m
= A2 + k > với m
Ví dụ:
Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m – = 0
Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
Hướng dẫn: ’ = (m – 1)2 – m +
= m2 – 3m + 4
= (m – 23 )2 +
> với giá trị m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
4 Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đó:
Lập
Phương trình có nghiệm Từ suy điều kiện m Áp dụng định lý Vi ét tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2
(2) Thay S P vào suy giá trị m Đối chiếu điều kiện kết luận
Ví dụ:
Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + = với m tham số:
Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức: 2
5 x x x x
1 2
Hướng dẫn:
Δ ’ = m2 – (m – 1)(m + 1) = > Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m
Áp dụng định lý Viét ta có: x1.x2 = mm 11
= m =
2
x1 + x2 = m2m1 =
0 x x x x
1 2
1
2(x12 + x22) + 5x1x2 =
2[(x1 + x2)2 – 2x1x2] + 5x1x2 =
2(x1 + x2)2 + x1x2 =
m
1 m m
m
2
=
9m2 = m =
3
5 Tìm hệ thức nghiệm độc lập m Khử m từ S P ta hệ thức cần tìm Ví dụ:
Cho phương trình x2 + (m + 1)x + – m = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Với m tìm câu a, viết hệ thức x1 x2 độc lập m Hướng dẫn:
a) Ta coù: = (m + 1)2 – 4(5 – m) = m2 + 6m – 19
Phương trình (1) có hai nghiệm phân bieät = m2 + 6m – 19 > Ta xét dấu
m –3 – –3 +
+ – +
Vậy m < –3 – m > –3 + phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Ta có: x1 + x2 = –m – (1) ; x1 x2 = – m (2)
(3)Thay vaøo (1): x1 + x2 = x1 x2 –
Vậy hệ thức cần tìm x1 + x2 – x1.x2 + = 6 Một số hệ thức khác:
Phương trình ax2 + bx + c = (a 0) có: Hai nghiệm trái dấu P < Hai nghiệm dương
S > P >
Hai nghiệm âm
S < P >
Ví dụ:
Cho phương trình ẩn x: (m – 1)x2 + 2(m + 1)x + m + = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương b) Tìm m để phương trình có nghiệm dương
Hướng dẫn:
a) Phương trình có hai nghiệm dương khi: m - ' = m +
2 m + S = - >
m - m + P = >
m -
m m -3 -1 < m < m < -2 hay m >
m
b) Phương trình có nghiệm dương xảy trường hợp sau:
Có nghiệm kép dương:
0
-b m + x = = - >
2a m -
m = -3 m + - >
m -
giá trị m
Có nghiệm 0; nghiệm dương x = suy m = -2 Lúc nghiệm thứ hai
là x = - 23 khơng thoả mãn
Có hai nghiệm trái dấu (m – 1)(m + 2) <
-2 < m <
(4)Bài 1:
Cho phương trình x
2
– (2m – 3)x + m
2
– 3m =
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn < x
1
< x
2
< c) Xác định m để x
12
+ x
22
đạt giá trị nhỏ
Hướng dẫn:
a) Ta coù Δ = (2m – 3)2 – 4(m2 – 3m) = >
Vaäy phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) x1 = m – 3; x2 = m < x1 < x2 < < m – < m < < m <
c) x12 + x22 = (m – 3)2 + m2 = 2m2 – 6m + = 2( m2 – 3m + 29 ) = 2(m – 23 )2 + 29 29
Vậy giá trị nhỏ x12 + x22 29 m = 23 Bài 2:
Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + = với m tham số:
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 1 b) Xác định giá trị m để phương trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiệm phương trình
c) Tìm hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc m
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức: 2
5 x x x x
1 2
1
Hướng dẫn:
a) Δ ’ = m2 – (m – 1)(m + 1) = > Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m
1
b) Áp dụng định lý Viét ta có: x1.x2 = mm 11
= m =
2
x1 + x2 = m2m1 =
a) x1 + x2 = m2m1
= m m
– + =
2m-(m-1)+1=m+1+1=
m-1 m-1 x1.x2 +
Vậy hệ thức cần tìm là: x1.x2 – (x1 + x2) + =
d) xx xx 25
1 2
1
2(x12 + x22) + 5x1x2 =
(5) 2(x1 + x2)2 + x1x2 =
m
1 m m
m
2
=
9m2 = m =
3 Bài 3:
Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm
b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình Tính x12 + x22 theo m
c) Tìm m cho x12 + x22 = 12
Hướng dẫn:
a) Ta coù ’ = (m + 1) – m2 + 4m –
= 6m –
Phương trình có nghiệm ’ m
3 b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có S = x1 + x2 = 2(m + 1)
P = x1 x2 = m2 – 4m +
x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2 = 12
4(m + 1)2 – 2m2 + 8m – 10 = 12
2m2 + 16m – = 12
m2 + 8m – = 0
m1 = 1; m2 = -9 (loại) Bài 4:
Cho phương trình x2 + 2mx – m2 + m – = 0
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m Xác định dấu nghiệm
b) Gọi x1; x2 nghiệm phương trình Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị
nhỏ
Hướng dẫn:
a) Vì phương trình có hệ số a = > vaø c = – m2 + m – = -(m - 1
2)2 -
4 < nên ac < với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm trái dấu
b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = - 2m; P = x1.x2 = – m2 + m –
x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2 = 2m2 + 2m2 – 2m +
(6)= (m - 12 )2 + 7
4
4 với m Vậy giá trị nhỏ x12 + x22
7
4 m =
Baøi 5:
Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 – 2x – m2 – = 0
a) Chứng tỏ phương trình cho ln ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm m để x12 + x22 = 20
c) Giải phương trình m = -2
Hướng dẫn:
a) Ta có: ’ = + m2 + = m2 + > m Vậy phương trình ln có nghiệm phân biệt với
mọi giá trị m
b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : S = x1 + x2 = 2; P = x1.x2 = – m2 –
maø x12 + x22 = 20 hay (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 20
+ 2m2 + = 20
2m2 = 8
m2 =
m = 2
c) Khi m = -2 ta có phương trình: x2 – 2x – = Giải phương trình ta hai nghiệm x =
4; x2 = -2 Baøi 6:
Cho phương trình 2x2 – 5x + = 0
Tính x x1 x x2 (x1; x2 hai nghiệm phương trình) Hướng dẫn:
Ta coù: = 25 – = 17 > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
Áp dụng định lý Viét : S = x1 + x2 = 25 > 0; P = x1 x2 = 21 > hai nghiệm phương trình
đều nghiệm dương
2 2 2 2
2
1 x x x x x
x
2 2
2
1 x
x
A =x x1 x x2 = x1x2 x1 x2
=
2 2 2 5 2 1
= 2
2
Baøi 7:
(7)a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối
Hướng dẫn:
a) ’ = (m – 1)2 – m +
= m2 – 3m + 4
= (m – 23 )2 +
> với giá trị m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
b) Áp dụng định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2(m – 1) ; x1.x2 = m –
Phương trình có hai nghiệm đối x1 + x2 = 2(m – 1) =
m =
Bài 8:
Cho hai phương trình: x2 – (2m + n)x – 3m = (1)
x2 – (m + 3n)x – = (2)
Tìm m n để hai phương trình tương đương
Hướng dẫn:
Xét hai phương trình: x2 – (2m + n)x – 3m = (1)
x2 – (m + 3n)x – = (2)
Ta có: 1 = (2m + n)2 + 12m; 2 = (m + 3n)2 + 24 > với m; n phương trình (2) ln ln có
nghiệm phân biệt Do để hai phương trình tương đương (1) phải có hai nghiệm phân biệt Áp dụng định lý Viét ta có:
-3m P n 2m S 1
vaø
2
S m 3n P
(1) (2) nên P1 = P2 S1 = S2
3n m n 2m 3m - -1 n -2 m Baøi 9:
Cho phương trình x2 + mx + n – = (1)
a) với n = Hãy chứng minh phương trình ln ln có nghiệm b) Tìm m; n cho
x x x x 2 2
với x1; x2 nghiệm (1) Hướng dẫn:
a) Phương trình x2 + mx – = coù
= m2 + 12 > với m
b) p dụng định lý Viét ta coù: x1 + x2 = -m; x1.x2 = n -
x12 – x22 = (x1 + x2)(x1 – x2) = m = -7 vaø x1 = 4; x2 = n = 15 Baøi 10:
Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – = 0
a) Giải phương trình m =
(8)Hướng dẫn:
a) Khi m = ta có phương trình: x2 – 2x – = Giải phương trình ta được:
x1 = + 2; x2 = –
b) Ta coù: ’ = (m – 1)2 – m +
= m2 – 3m +
= (m – 32)2 + 7
4
4 > với m
Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m c) Áp dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = 2m –
P = x1 x2 = -m +
S + 2P =
Vậy hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + x1 x2 = Bài 11:
Cho phương trình x2 – 10x – m2 = (1)
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm trái dấu với giá trị m 0
b) Chứng minh nghiệm phương trình (1) nghịch đảo nghiệm phương trình: m2x2 + 10x – = (2) với m 0
c) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm thoả mãn điều kiện 6x1 + 5x2 =
Hướng dẫn:
a) Vì a = > 0; c = -m2 < ac < nên phương trình ln có hai nghiệm trái dấu với m khác 0
b) Gọi a nghiệm phương trình (1) ta coù: a2 – 10a – m2 =
Vì a khác nên chia hai vế cho a2 ta được: – 10 – m2
2
1 a = Hay: m2
2
1
a + 10 - =
nghiệm phương trình m2x2 + 10x – =
Vậy nghiệm phương trình (1) nghịch đảo nghiệm phương trình: m2x2 + 10x – = (2) với m 0
c) Aùp dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = 10; P = x1 x2 = -m2
Kết hợp với giả thiết 6x1 + 5x2 = ta x1 = - 45 ; x2 = 55 x1 x2 = -m2 = -2475
m = 2475
Baøi 12:
Cho ba số a; b; c thoả mãn a > b > c > a + b + c = 12 Chứng minh phương trình sau: x2 + ax + b = (1)
x2 + bx + c = (2)
x2 + cx + a = (3)
có phương trình có nghiệm, phương trình vô nghiệm
Hướng dẫn:
(9)Δ = a2 – 4b > 4a – 4b = 4(a – b) > phương trình x2 + ax + b = có nghiệm
Δ = c2 – 4a < 4c – 4a = 4(c – a) < phương trình x2 + cx + a = vô nghiệm Bài 13:
Xác định m để hai phương trình : x2 – mx + 2m + = 0
mx2 – (2m + 1)x – = 0
có nghiệm chung
Hướng dẫn:
Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình ta có:
2
0
2
0
x mx 2m m (1) mx 2m x (2)
Từ (2) suy x0 0 Nhân hai vế (1) với x0 cộng với (2) ta được: x03 =
x0 =
Thay x0 = vào hệ phương trình ta được:
m
m
m
Vậy với m = -2 hai phương trình có nghiệm chung
Bài 14:
Cho hai số a b khác thoả mãn: 21 b a
Chứng minh phương trình ẩn x sau ln có nghiệm (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0
Hướng dẫn:
Xét phương trình (x2 + ax + b) = (1) coù
1 = a2 – 4b
Xét phương trình (x2 + bx + a) = (2) coù
2 = b2 – 4a 1+ 2 = a2 + b2 – 4(a + b)
maø 21 b a
2(a + b) = ab
1+ 2 = a2 + b2 – 4(a + b) = a2 + b2 – 2ab = (a – b)2 0
Có hai phương trình có nghiệm.