LÝ THUYẾT SỐ PHỨC TOÁN 12

Tô Thị Kiều Oanh SỐ PHỨC Vấn đề 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC I Số phức thuộc tính Với số phức z  a  bi , dạng câu hỏi thường đặt :   Xác định phần thực phần ảo số phức z Khi ta có : Phần thực a Phần ảo b Hãy biểu diễn hình học số phức z Khi đó, ta sử dụng điểm M (a; b) để biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Tính mơđun số phức z ; ta có z  a  b2 Tìm số đố số phức z ; ta có  z  a  bi Tìm số phức liên hợp số phức z ; ta có z  a  bi a  bi Tìm số phức nghịch đảo số phức z ; ta có z 1  z  2 a b z II Các phép toán số phức Sử dụng định nghĩa tính chất phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) tập số phức Cần nhớ đẳng thức sau : III a  b2  a  (bi)2  (a  bi)(a  bi)  z.z (a  bi)2  a  b2  2abi (a  bi)2  a  b2  2abi (a  bi)3  a3  3a2bi  3a(bi)2  (bi)3  a3  3ab2  (3a 2b  b3 )i (a  bi)3  a3  3a 2bi  3a(bi)2  (bi)3  a3  3ab2  (3a 2b  b3 )i i 4k  1; i 4k 1  i; i 4k 2  1; i 4k 3  i Tập hợp điểm Phương pháp trổng quát Giả sử số phức z  x  yi biểu diễn M ( x; y) tìm tập hợp điểm M tìm hệ thức x; y thỏa mãn yêu cầu đề Giả sử điểm M , A, B điểm biểu diễn số phức z; a; b Nếu z  a  z  b  MA  MB  M thuộc đường trung trực đoạn AB Tô Thị Kiều Oanh Nếu z  a  z  b  k (k  , k  0, k  a  b )  MA  MB  k  M  ( E ) nhận A , B hai tiêu điểm độ dài trục lớn k Giả sử M M ' điểm biểu diễn số phức z w  f ( z ) Đặt z  x  yi w  u  vi ( x, y, u, v  ) Hệ thức w  f ( z) tương đương với hai hệ thức liên hệ x, y, u, v  Nếu biết hệ thức x, y ta tìm hệ thức u, v suy tập hợp điểm M '  Nếu biết hệ thức u, v ta tìm hệ thức x, y suy tập hợp điểm M ' Nhắc lại số kiến thức hình học giải tích  Phương trình đường thẳng : Dạng tổng quát : ax  by  c  Dạng đại số : y  a.x  b  x  x0  at Dạng tham số :   y  y0  bt Dạng tắc : x  x0 y  y0  a b Phương trình đoạn chắn : x y  1 a b Phương trình đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ) biết hệ số góc k : y  k ( x  x0 )  y0  Phương trình đường trịn tâm I (a; b) bán kính R : ( x  a)2  ( y  b)2  R2  Phương trình Elip : x2 y  1 a b2 Với tiêu cự F1 (c;0); F2 (c;0), F1F2  2c Trục lớn 2a , trục nhỏ 2b a  b2  c2 Vấn đề 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH I Căn bậc hai số phức Tìm bậc hai số phức w Tô Thị Kiều Oanh Trường hợp 1: Nếu w số thực (tức w  a )   Với a  w có hai bậc hai  a Với a  w có hai bậc hai i a Trường hợp 2: Nếu w  a  bi(a, b  ; b  0) z  x  yi( x, y  ) bậc hai w  x2  y  a : z  w  ( x  yi)  a  bi  ( x  y )  xyi  a  bi   2 xy  b 2 2 Phương trình Phương trình bậc II Để giải phương trình bậc tập hợp số phức , ta lựa chọn hai cách sau : Cách 1: Sử dụng ccacs phép biến đổi đại số phép toán số phức Cách 2: Thực theo bước sau : Bước 1: Giả sử số phức cần tìm z  a  bi(a, b  ) Bước 2: Thay z vào phương trình sử dụng tính chất hai số phức hai số phức để tìm a b Bước : Kết luận số phức cần tìm Phương trình bậc hai Sử dụng máy tính III Dạng lượng giác số phức Viết dạng lượng giác số phức Để tìm dạng lượng giác r (cos  i sin  ) số phức z  a  bi , ta thwucj bước sau : Bước 1: Tìm r mô đun z , r  a  b2 , r khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số phức z mặt phẳng phức a b Bước 2: Tìm  acgument z ,  só thực cho cos   ;sin   ;  góc r r lượng giác tạo tia đầu Ox tia cuối OM   a b a b   i   z  r   i   r  cos   sin i  Kết luận : z  a  bi  a  b  2 2 r r  a b   a b Công thức Moivre  Công thức Moivre : Với số ngun dương n , ta có : Tơ Thị Kiều Oanh  r  cos   i sin    r n  cos n  i sin n  n  Căn bậc hai số phức dạng lượng giác :    r  cos  i sin  2           r  cos  i sin   r cos      i sin      2   2   2 Số phức có bậc hai : Vấn đề 3: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VẬN DỤNG CAO Phương pháp đại số , lượng giác toán min-max Bất đẳng thưc tam giác I  z1  z2  z1  z2 dấu xảy z1  kz2 ; k   z1  z2  z1  z2 dấu xảy z1  kz2 ; k   z1  z2  z1  z2 dấu xảy z1  kz2 ; k   z1  z2  z1  z2 dấu xảy z1  kz2 ; k  Bất đẳng thức AM-GM Với a1; a2 ; ; an khơng âm ta có a1  a2   an  n n a1.a2 an , n số tự nhiên lớn Dấu xảy a1  a2   an Bất đẳng thức Bunhia-Copski (a12  a22   an )  b12  b22   bn    a1b1  a2b2   anbn  Dấu xảy a1 a2 a    n b1 b2 bn ... dụng tính chất hai số phức hai số phức để tìm a b Bước : Kết luận số phức cần tìm Phương trình bậc hai Sử dụng máy tính III Dạng lượng giác số phức Viết dạng lượng giác số phức Để tìm dạng... phương trình bậc tập hợp số phức , ta lựa chọn hai cách sau : Cách 1: Sử dụng ccacs phép biến đổi đại số phép toán số phức Cách 2: Thực theo bước sau : Bước 1: Giả sử số phức cần tìm z  a  bi(a,... 2b a  b2  c2 Vấn đề 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH I Căn bậc hai số phức Tìm bậc hai số phức w Tô Thị Kiều Oanh Trường hợp 1: Nếu w số thực (tức w  a )   Với a  w có hai