LÝ THUYẾT ĐA DIỆN, HÌNH CẦU LỚP 12

Tô Thị Kiều Oanh Lớp 12 Vấn đề 1: KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Phương pháp chứng minh Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P) d d ' Cách 1:   d ( P) d '  ( P) d  (Q) Cách 2:   d ( P) (Q) ( P) d  d ' Cách 3:   d ( P) ( P )  d ' d  (Q) Cách 4:   d ( P) ( P)  (Q) Chứng minh mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) d  ( P) Cách 1:   ( P) (Q) d (Q) ( P ) d Cách 2:   ( P) (Q) (Q) d ( P) ( ) Cách 3:   ( P) (Q) (Q) ( ) Chứng minh hai đường thẳng song song a ( P)  Cách 1: a (Q) a b ( P)  (Q)  b  a c Cách 2:  a b b c ( P ) (Q )  Cách 3: ( )  ( P )  a  a b ( )  (Q)  b  Chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( P) Tơ Thị Kiều Oanh Lớp 12 d  a d  b  Cách 1:   d  ( P)  a, b  ( P ) a  b  M ( P)  (Q ) ( P)  (Q )  a  Cách 2:   d  ( P) d  (Q) d  a ( )  ( P )  Cách 3: (  )  ( P)  d  ( P) ( )  (  )  d  d a Cách 4:   d  ( P) a  ( P) ( P) (Q) Cách 5:   d  ( P) d  (Q) Chứng minh hai đường thẳng d d ' vng góc d  ( P) d d' Cách 1:  d '  ( P)   Cách 2: d , d '  90  d  d ' Cách 3: Sử dụng định lý đường vng góc Chứng minh hai mặt phẳng ( P),(Q) vng góc d  ( P) Cách 1:   ( P)  (Q) d  (Q)   Cách 2: ( P),(Q)  90  ( P)  (Q) a ( P) Cách 3:   ( P)  (Q) a  (Q) ( P) ( ) Cách 4:   ( P)  (Q) (Q)  ( ) Tô Thị Kiều Oanh II Lớp 12 Các công thức Tam giác a Tam giác thường  Diện tích tam giác : S ABC  1 abc AH BC  AB AC.sin A   pr  2 4R p( p  a)( p  b)( p  c) AB  AC BC   Định lý hàm số cos : BC  AB2  AC  AB AC.cos A a b c  Định lý hàm số sin :    2R sin A sin B sin C b Tam giác ABC cạnh a  Độ dài đường trung tuyến : AM   Diện tích tam giác : S ABC  a2 a c Tam giác ABC vng A 1  Diện tích tam giác : S ABC  AB AC  AH BC 2 2  Định lý Pitago: BC  AB  AC  Hệ thức lượng:  Đường cao : AH  BA2  BH BC CA2  CH CB HA2  HB.HC HA2  HB.HC AH BC  AB AC HB AB  HC AC  Lượng giác : AM  1   2 AH AB AC BC AC AB AC cos B  tan B  BC BC AB Tứ giác a Hình bình hành  Diện tích : S ABCD  AH BC  AB AD.sin A sin B  b Hình thoi  Diện tích : S ABCD  AC.BD  AB AC.sin A c Hình chữ nhật  Diện tích: S ABCD  AB AD d Hình vng  Diện tích: S ABCD  AB AD  Đường chéo: AC  AB cot B  AB AC Tô Thị Kiều Oanh Lớp 12 Vấn đề 2: ĐA DIỆN ĐỀU Loại {3;3} Tên gọi Tứ diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Hình Cơng thức 3a Diện tích đáy : S  Đường cao: 2 a 3 h  a    3  Thể tích : 2 {4;3} Lập Phương 12 {3;4} Bát diện 12 {5;3} Mười hai mặt 20 30 12 1 3a 6a 2a V  hS   3 12 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: 6a R Thể tích : V  a3 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp : a R Diện tích bề mặt cắt ngang: S  a2 Đường cao: h  a Thể tích : 1 2a V  S h  a a  3 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp : 2a R Diện tích tất mặt khối 12 mặt đều: S  25  10 5.a a3 (15  5) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp : a( 15  3) R Thể tích : V  Tô Thị Kiều Oanh {3;5} Lớp 12 Hai mươi mặt 12 30 20 Diện tích tất mặt : S  3a 5(3  5)a3 Thể tích: V  12 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp : a( 10  5) R Vấn đề : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A Cơng thức tính thể tích I Thể tích hình hộp chữ nhật Khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c ta có V  abc II Thể tích khối chóp V  h.Sd Thể tích khối lăng trụ : III V  Sd h IV Tỉ số thể tích VS ABC SA.SB.SC  VS A ' B 'C ' SA '.SB '.SC ' B Một số hình thương gặp I Hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật( hình vng) SA vng góc với đáy Đáy , đường cao , cạnh đáy, cạnh bên , mặt bên hình chóp  Đáy: ABCD hình nhật ( hình vng) S  Đường cao : SA  Cạnh bên : SA, SB, SC, SD  Cạnh đáy: AB, BC, CD, DA  Mặt bên : SAB tam giác vuông A A D SBC tam giác vuông B SCD tam giác vuông D B SAD tam giác vng A Góc cạnh bên mặt đáy ( ABCD) C Tô Thị Kiều Oanh Lớp 12 a Góc cạnh bên SB mặt đáy ( ABCD) Ta có : SA  ( ABCD) A  Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABCD) A Lại có : SB  ( ABCD)  B  (SB,( ABCD))  ( SB, BA)  SBA b Góc cạnh bên SC mặt đáy ( ABCD) Ta có : SA  ( ABCD) A  Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABCD) A Lại có : SC  ( ABCD)  C  (SC,( ABCD))  (SC, CA)  SCA c Góc cạnh bên SD mặt đáy ( ABCD) Ta có : SA  ( ABCD) A  Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABCD) A Lại có : SD  ( ABCD)  D  (SD,( ABCD))  (SD, DA)  SDA Góc cạnh bên mặt bên a Góc cạnh bên SB mặt bên ( SAD) Ta có AB  (SAD)  Hình chiếu SB lên ( SAD) SA      SB,( SAD)  SB, SA  BSA b Góc cạnh bên SD mặt bên ( SAB) Ta có : AD  (SAB)  Hình chiếu SD lên ( SAB) SA      SD,( SAB)  SD, SA  DSA Tô Thị Kiều Oanh Lớp 12 c Góc cạnh bên SC mặt bên ( SAB) Ta có : BC   SAB   Hình chiếu cửa SC lên ( SAB) SB      SC,( SAB)  SC, SB  BSC d Góc cạnh bên SC mặt bên ( SAD) Ta có : DC  (SAD)  Hình chiếu SC lên ( SAB)      SC,( SAD)  SC, SD  DSC Góc mặt với mặt a Góc mặt bên ( SBC ) mặt đáy ( ABCD) ( SBC )  ( ABCD)  BC  Ta có :  BC  AB  ( ABCD)   SBC  ,  ABCD   SB, AB  SBA  BC  SB  ( SBC )      b Góc mặt bên ( SCD) mặt đáy  ABCD  ( SCD)  ( ABCD)  CD  Ta có : CD  AD  ( ABCD)   SCD  ,  ABCD   SD, AD  SDA CD  DC  ( SCD)      c Góc mặt phẳng ( SBD) mặt đáy ( ABCD) Trong ( ABCD) , vẽ AH  BD H  SA  BD   BD  ( SAH )  SH  BD  SH Ta có  AH  BD  SA, AH  ( SAH )  ( SBD)  ( ABCD)  BD  Khi :  BD  AH  ( ABCD)   SBD  ,( ABCD)  SH , AH  SHA  BD  SH  ( SBD)     Khoảng cách  Tô Thị Kiều Oanh Lớp 12 a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD) Trong mặt phẳng ( SAD) , vẽ AH  SD H  AH  (SCD)  d ( A,(SCD))  AH b Khoảng cách từ điểm B đến ( SCD) Ta có : AB (SCD)  d  B,  SCD    d  A,  SCD    AH c Khoảng cách từ A đến ( SBC ) Trong mặt phẳng ( SAB) , vẽ AK  SB K  AK  (SBC )  d  A,  SBC    AK d Khoảng cách từ điểm D đến  SBC  Ta có : AD  SBC   d  D,  SBC    d  A,  SBC   e Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD) Trong mặt phẳng ( ABCD) , vẽ AI  BD I  BD  (SAI ) Trong mặt phẳng ( SAI ) vẽ AH  SI H  AH  (SBD)  d ( A,  SBD   AH f Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD) Vì O trung điểm AC nên d (C,  SBD)   d  A,  SBD   Hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thang vng A B SA vng góc với II đáy Đáy , đường cao, cạnh đáy, cạng bên, mặt bên hình chóp  Đáy: ABCD hình thang vng A B  Đường cao : SA  Cạnh bên : SA, SB, SC, SD   Cạnh đáy: AB, BC, CD, DA Mặt bên : SAB tam giác vuông A SBC tam giác vuông B Tô Thị Kiều Oanh Lớp 12 SAD tam giác vng A Góc cạnh bên mặt đáy a Góc cạnh bên SB mặt đáy ( ABCD) Ta có : SA  ( ABCD) A  Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABCD) A Lại có : SB  ( ABCD)  B  (SB,( ABCD))  ( SB, BA)  SBA b Góc cạnh bên SC mặt đáy ( ABCD) Ta có : SA  ( ABCD) A  Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABCD) A Lại có : SC  ( ABCD)  C  (SC,( ABCD))  (SC, CA)  SCA c Góc cạnh bên SD mặt đáy ( ABCD) Ta có : SA  ( ABCD) A  Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABCD) A Lại có : SD  ( ABCD)  D  (SD,( ABCD))  (SD, DA)  SDA Góc mặt với mặt a Góc mặt bên ( SBC ) mặt đáy ( ABCD) ( SBC )   ABCD   BC    SBC  ,  ABCD   AB, SB  SBA Ta có :  BC  AB  BC  SB      Tơ Thị Kiều Oanh Lớp 12 b Góc mặt bên  SCD  mặt đáy  ABCD  Trong mặt phẳng ( ABCD) vẽ AM  CD M  SM  CD M Mà (SCD)  ( ABCD)  CD       SCD  ,  ABCD   AM , SM  SMA Khoảng cách a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) Trong mặt phẳng ( SAB) , kẻ AH  SB H  AH   SBC   d  A,  SBC    AH b Khoảng cách từ D đến  SBC  Ta có: AD  SBC   d  D,  SBC    d  A,  SBC    AH c Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD   Trong  ABCD  ,vẽ AM  CD M  CD   SAM   Trong  SAM  , vẽ AH  SM H  AH   SCD   d  A,  SCD    AH Hình chóp tứ giác S ABCD III      Đáy, đường cao, cạnh bên, cạnh đấy, mặt bên hình chóp Đáy: ABCD hình vng Đường cao : SO với O tâm ABCD Cạnh đáy: AB  BC  CD  DA Cạnh bên : SA  SB  SC  SD Mặt bên: SAB, SBC, SCD, SAD tam giác cân A 10 Tơ Thị Kiều Oanh Lớp 12 Góc cạnh bên mặt đáy a Góc cạnh bên SA mặt đáy ( ABCD) Ta có : SO  ( ABCD)  Hình chiếu SA lên mặt phẳng  ABCD  AO      SA,  ABCD   SA, AO  SAO b Góc cạnh bên SB , SC, SD mặt đáy ( ABCD)  SB,  ABCD   SB, BO  SBO  SC,  ABCD   SC, CO  SCO  SD,  ABCD   SD, DO  SDO Góc mặt với mặt a Góc mặt bên  SAB  mặt đáy  ABCD  Gọi M trung điểm AB Khi OM  AB    SAB  ,  ABCD   OM , SM  SMO  SM  AB  SAB  ABCD  AB         b Góc mặt bên  SBC  ,  SCD  ,  SAD  mặt đáy  ABCD  Tương tự góc mặt bên  SAB  mặt đáy  ABCD  Khoảng cách a Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SCD  Trong  ABCD  vẽ OM  CD M  CD   SOM  Trong  SOM  , vẽ OH  SM H  d  O,  SCD    OH b Khoảng cách từ A đến  SCD  Vì O trung điểm AC nên d  A,  SCD    2d  O,  SCD   11 Tơ Thị Kiều Oanh Lớp 12 Hình chóp S ABC có SA vng góc với đáy  ABC  IV    Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên hình chóp Đáy: tam giác ABC Đường cao : SA Cạnh bên : SA, SB, SC  Cạnh đáy: AB, BC, CA Góc cạnh bên mặt đáy a Góc cạnh bên SB mặt đáy  ABC  Ta có : SA   ABC   Hình chiếu SB lên  ABC  AC      SB,  ABC   SB, AB  SBA b Góc cạnh bên SC mặt đáy  ABC   SC,  ABC    SC, AC   SCA Góc mặt bên  SBC   ABC  Trong  ABC  vẽ AM  BC M  AM  BC  Ta có :  SA  BC   SBC  ,  ABC   SM , AM  SMA  SBC  ABC         Chú ý :    a ABC vng B M  B ABC vng C M  C ABC cân A M trung điểm BC Khoảng cách Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  Trong  ABC  vẽ BH  AC H  BH   SAC   d  B,  SAC    BH 12 Tô Thị Kiều Oanh Lớp 12 b Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  Trong  ABC  , vẽ CH  AB H  CH   SAB   d  C,  SAB    CH c Khoảng cách từ A đến  SBC  V  Trong  ABC  , vẽ AM  BC M  BC  SM M  Trong  SAM  , vẽ AH  SM H  d  A,  SBC    AH Hình chóp tam giác S ABC Đáy, đường cao, cạnh bên, cạnh đáy, mặt bên hình chóp  Đáy: Tam giác ABC  Đường cao : SO với O tâm ABC  Cạnh bên : SA  SB  SC  Cạnh đáy : AB  BC  CA  Mặt bên : SAB, SBC, SCA tam giác cân A Góc cạnh bên mặt đáy a Góc cạnh bên SA đáy  ABC  Ta có : SO   ABC   Hình chiếu SA lên  ABC  AO      SA,  ABC   SA, AO  SAO b Góc SB, SC đáy  ABC          Tương tự : SB,  ABC   SB, BO  SBO SC ,  ABC   SC , CO  SCO Góc mặt với mặt a Góc mặt bên  SAB  mặt đáy  ABC  Gọi M trung điểm AB  SAB    ABC   AB    SAB  ,  ABC   SM , MO  SMO Ta có: OM  AB  SM  AB     b Góc mặt bên  SBC  ,  SCA mặt đáy  ABC  Tương tự 13  Tô Thị Kiều Oanh Lớp 12 Khoảng cách a Khoảng cách từ O đến  SAB   Trong  ABC  , vẽ OM  AB M  AB   SOM   Trong  SOM  , vẽ OH  SM H  d  O,  SAB    OH Hình chóp S ABC có mặt bên  SAB  vng góc với đáy  ABC  VI Góc cạnh bên mặt đáy  Trong  SAB  vẽ SH  AB taị H   SAB    ABC    SAB    ABC   AB  SH   ABC  Ta có:   SH  AB  SH   SAB    Khi : Hình chiếu SA lên  ABC  AH  SA,  ABC   SA, AH  SAH             Hình chiếu SB lên  ABC  BH  SB,  ABC   SB, BH  SBH Hình chiếu SC lên  ABC  CH  SC ,  ABC   SC , CH  SCH Góc mặt bên  SAC  mặt đáy  ABC   Trong  SAB  vẽ SH  AB taị H   SAB    ABC    SAB    ABC   AB  SH   ABC  Ta có:  SH  AB   SH   SAB    Trong  ABC  vẽ HM  AC M   HM  AC  Ta có :  SH  AC  AC   SHM   AC  SM  SH , HM  SHM      SAC    ABC   AC    SAC  ,  ABC   SM , MH  SMH  SM  AC  HM  AC     14  Tô Thị Kiều Oanh Lớp 12 Vấn đề 4: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MĂT CẦU Các mặt Mặt nón trịn xoay Hình Cơng thức Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay: S xq   rl Thể tích khối nón trịn xoay: 1 V  Bh   h 3 Mặt trụ trịn xoay Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay: S  2 rh Thể tích khối trụ trịn xoay: V  Bh   r h Mặt cầu Diện tích mặt cầu bán kính r: S  4 r Thể tích khối cầu bán kính r: V   r 3 Vấn đề 5: BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP Dạng hình chóp Hình chóp Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy Các yếu tố h chiều cao hình chóp a độ dài cạnh bên hình chóp h chiều cao hình chóp r bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy Rb bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt bên Rd bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt đáy GT độ dài đường giao tuyến mặt 15 Cơng thức tính bán kính R a2 2h h R     r2 2 R  Rb  Rd  GT Tô Thị Kiều Oanh Lớp 12 16 ... TIẾP HÌNH CHĨP Dạng hình chóp Hình chóp Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy Các yếu tố h chiều cao hình chóp a độ dài cạnh bên hình chóp h chiều cao hình. .. B Một số hình thương gặp I Hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật( hình vng) SA vng góc với đáy Đáy , đường cao , cạnh đáy, cạnh bên , mặt bên hình chóp  Đáy: ABCD hình nhật ( hình vng)... mặt cầu ngoại tiếp : 2a R Diện tích tất mặt khối 12 mặt đều: S  25  10 5.a a3 (15  5) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp : a( 15  3) R Thể tích : V  Tô Thị Kiều Oanh {3;5} Lớp 12 Hai mươi mặt 12