Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 18 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Tơ Thị Kiều Oanh PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Vấn đề 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I Các phép toán vecto Cho a a1; a2 ; a3 b b1; b2 ; b3 Tổng hiệu hai vecto : ma nb ma1 nb1; ma2 nb2 ; ma3 nb3 Tích vơ hướng hai vecto : a.b a b cos a; b a1b1 a2b2 a3b3 a Tích có hướng hai vecto : a; b b2 II Quan hệ vecto a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2 ; b1 b1 b2 Cho a a1; a2 ; a3 b b1; b2 ; b3 Hai vecto vng góc : a b a.b a1b1 a2b2 a3b3 Tam giác ABC vuông A AB AC d AB Đƣờng thẳng d ( ABC ) d AC Hai vecto phương a a a a phƣơng với b a; b (nếu b1b2b3 0) b1 b2 b3 A, B, C thẳng hàng AB phƣơng với AC A, B, C đỉnh tam giác A, B, C không thẳng hàng AB không phƣơng với a a a AC AB; AC Hai tỷ lệ ; ; khác (nếu b1b2b3 0) b1 b2 b3 ABCD hình thang có hai đáy AB CD AB phƣơng với CD Hai vecto a1 b1 a b a2 b2 a b 3 ; a1 kb1 a kb a2 kb2 a kb ma1 nb1 ma nb ma2 nb2 ma nb ; Góc hai vecto cos a; b a.b a.b a1b1 a2b2 a3b3 a12 a2 a32 b12 b2 b32 Tô Thị Kiều Oanh Gọi góc hai đƣờng thẳng AB CD , lần lƣợt vecto phƣơng pháp tuyến AB; CD Khi , ta có cos a.b a.b Góc A tam giác ABC cho công thức cos A AB AC AB AC Ba vecto đồng phẳng a; b; c đồng phẳng a; b c Chú ý : M Ox M ( x;0;0) M Oy M (0; y;0) M (Oxy ) M ( x; y;0) M (Oyz ) M (0; y; z ) M Oz M (0;0; z ) M (Oxz ) M ( x;0; z ) Độ dài đoạn thẳng III Cho A( xA ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB ), C ( xC ; yC ; zC ) Độ dài đoạn thẳng AB : AB ( xB xA )2 ( yB y A )2 ( zB z A )2 IV Tìm điểm đặc biệt tam giác , tứ diện x A xB xM y yB M trung điểm đoạn thẳng AB yM A z A zB zM Cho A, B, C đỉnh ABC x A xB xC x G y y B yC G trọng tâm ABC yG A z A z B zC zG Tô Thị Kiều Oanh AH BC H trực tâm ABC BH AC AH AB; AC AA ' BC A ' chân đƣờng cao A lên BC BA ' k BC DB AB D chân đƣờng phân giác ABC AC DC EB AB E chân đƣờng phân giác ABC EC AC I tâm đƣờng tròn ngoại tiếp ABC aIA bIB cIC Cho A, B, C, D đỉnh tứ diện ABCD x A xB xC xD xG y yB yC yD G trọng tâm tứ diện ABCD yG A z A z B zC xD zG AH BC H hình chiếu A lên ( BCD) AH BD BH BC; BD Diện tích, thể tích Diện tích tam giác : S ABC AB; AC Thể tích khối tứ diện : VABCD AB; AC AD Thể tích khối hộp : VABCD A' B 'C ' D ' AB; AD AA ' Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Viết phương trình mặt phẳng mà vtpt cho trực tiếp I Mặt phẳng ( P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận n ( A; B; C ) làm vtpt có phƣơng trình : A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) Chú ý : a Mặt phẳng ( P) : Ax By Cz D có vtpt n ( A; B; C ) x x0 y y0 z z0 b Đừơng thẳng qua điểm N ( x0 ; y0 ; z0 ) có vtcp u a; b; c a b c Tô Thị Kiều Oanh x x0 at c Đƣờng thẳng y y0 bt qua điểm N ( x0 ; y0 ; z0 ) có vtcp u a; b; c z z ct d Trục Ox có vtcp i (1;0;0) e Trục Oy có vtcp j (0;1;0) f Trục Oz có vtcp k (0;0;1) g Mặt phẳng (Oxy) có vecto pháp tuyến k 0;0;1 h Mặt phẳng (Oyz ) có vecto pháp tuyến i 1;0;0 i Mặt phẳng (Oxz ) có vecto pháp tuyến j 0;1;0 II Viết phương trình mặt phẳng mà vtpt cho gián tiếp Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua điểm A, B, C A ( ABC ) ( P) ( ABC ) : n AB; AC Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với đƣờng thẳng d M ( P) ( P) : n u d (P) Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với mặt phẳng (Q) M ( P) ( P) : n n ( P ) ( Q ) Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) chứa đƣờng thẳng d Gọi A điểm thuộc d , ud vtcp d Khi , M ( P) P : n( P ) AM ; ud Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) chứa hai đƣờng thẳng cắt d1; d Gọi M d1 , ud1 vtcp d1 ud2 vtcp d Khi , M ( P) d1 ( P) ( P) : ( P) : n u ; u d ( P) ( P ) d1 d2 Tơ Thị Kiều Oanh Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) chứa đƣờng thẳng d1 song song với d Gọi M điểm thuộc d1 , ud1 vtcp d1 ud2 vtcp d Khi , M ( P) d1 ( P) ( P) : ( P) : n u ; u d ( P ) ( P ) d d 2 Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua M song song với hai đƣờng thẳng chéo d1; d Gọi ud1 vtcp d1 ud2 vtcp d Khi , M ( P) M ( P) ( P) : d1 ( P) ( P) : u d ; u d n ( P ) d ( P) 2 Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) chứa đƣờng thẳng d vng góc với (Q) Gọi M điểm thuộc d , ud vtcp d n(Q ) vtpt (Q) Khi , M ( P) d ( P) ( P) : ( P) : (Q) ( P) n( P ) ud ; n(Q ) Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng , M ( P) ( P) : n( P ) n( ) ; n( ) III Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Mặt phẳng ( P) qua A(a;0;0) Ox B(0; b;0) Oy; C(0;0; c) Oz không qua gốc tọa độ có phƣơng x y z trình : a b c IV Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thảo mãn điều kiện khoảng cách Gọi n A; B; C lả vtpt ( P) Phƣơng trình mặt phẳng ( P) : A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) Tô Thị Kiều Oanh Dùng điều kiện khoảng cách để tìm A; B theo C Chọn giá trị C từ suy A, B , suy phƣơng trình P Viết phương trình mặt phẳng P qua điểm M , N thỏa mã điều kiện góc V Gọi n A; B; C lả vtpt ( P) Phƣơng trình mặt phẳng ( P) : A( x xM ) B( y yM ) C ( z zM ) N ( P) ta đƣợc phƣơng trình với ẩn A, B, C Từ phƣơng trình biểu diến ẩn qua hai ẩn cịn lại, ví dụ C theo A B Từ điều kiện góc ta tìm đƣợc A theo B Chọn B suy A, C Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG Viết phương trình đường thẳng mà VTCP cho trực tiếp I Đƣờng thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u a; b; c có phƣơng trình : x x0 y y0 z z0 a b c x x0 at Dạng tham số : y y0 bt z z ct II Viết phương trình đường thẳng mà VTCP không cho trực tiếp Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua hai điểm A B Dạng tắc : A d A d d : d : u AB B d Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua hai điểm M vng góc với mặt phẳng ( P) M d d : u n( P ) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua hai điểm M song song với đường thẳng M d d : ud u Tô Thị Kiều Oanh Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua hai điểm M song song với hai mặt phẳng ( P) (Q) M d d : u n( P ) ; n(Q ) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua hai điểm M vng góc với hai đường thẳng 1, M d d : u ; u u d 2 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng ( P),(Q) Gọi M điểm chung ( P) (Q) (Chọn z giải hệ phƣơng trình suy x, y ) M d d : ud n( P ) ; n(Q ) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua hai điểm M vng góc với đường thẳng song song với mặt phẳng ( P) M d d : ud n( P ) ; u Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua A cắt hai đường thẳng d1 , d Cách 1: B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A chứa đƣờng thẳng d1 B2: Tìm giao điểm B d2 ( P) B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua A, B ta đƣợc phƣơng trình cần tìm Cách 2: B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A chứa đường thẳng d1 B2: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A chứa đƣờng thẳng d B3: Đƣờng thẳng cần tìm d ( P) (Q) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d song song với d1 cắt hai đường d , d3 B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) song song với d1 chứa d B2: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) song song với d1 chứa d B3: Đƣờng thẳng cần tìm d ( P) (Q) Tơ Thị Kiều Oanh 10 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm A , vng góc với d1 cắt d Cách : B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A , vng góc với d1 B2: Tìm giao điểm B ( P) d2 B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A, B ta đƣợc phƣơng trình cần tìm Cách 2: B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A , vng góc với d1 B2: Viết phƣơng trình mặt phẳng (Q) qua A chứa d B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d ( P) (Q) ta đƣợc phƣơng trình cần tìm 11 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A , song song với ( ) cắt d ' Cách 1: B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A , song song với ( ) B2: Tìm giao điểm B d ' ( P) B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A, B ta đƣợc phƣơng trình cần tìm Cách 2: B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A , song song với ( ) B2 : Viết phƣơng trình mặt phẳng (Q) qua A chứa d ' B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d ( P) (Q) 12 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d nằm mặt phẳng ( P) cắt hai đƣờng thẳng d1 , d B1: Tìm giao điểm A d1 ( P) B2: Tìm giao điểm B d2 ( P) B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A, B 13 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d nằm mặt phẳng ( P) vuông góc với đƣờng thẳng d ' cho trƣớc giao điểm I d ' mặt phẳng ( P) B1: Tìm giao điểm I d ' ( P) B2: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua I có VTCP u ud ' ; n( P ) 14 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ) cắt hai đƣờng thẳng d1; d B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) chứa d1 vng góc với ( ) B2: Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa d vng góc với ( ) B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d ( P) (Q) ta đƣợc phƣơng trình cần tìm 15 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A , cắt vng góc với d ' B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A vng góc với d ' B2: Tìm giao điểm B d ' ( P) Tô Thị Kiều Oanh B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A, B ta đƣợc phƣơng trình cần tìm Tìm tọa độ giao điểm cuả đường thẳng mặt phẳng III Cho mặt phẳng ( P) : A.x By Cz D đƣờng thẳng d Tìm tọa độ giao điểm M d ( P) Nếu phƣơng trình d dạng tắc x x0 y y0 z z0 a b c A.x By Cz D Ax By Cz D x x0 y y0 Tọa độ giao điểm M nghiệm hệ phƣơng trình : x x0 y y0 z z0 b a b c a y y0 z z0 b c x x0 at Nếu phƣơng trình d có dạng tham số y y0 bt z z ct Tọa độ giao điểm M nghiệm hệ phƣơng trình : Ax By Cz D x x at y y bt z z0 ct Từ giải t Suy x, y, z Viết phương trình hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng ( P) IV Giả sử d ' hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng ( P) Cách 1: TH1: d ( P) Chọn điểm M d Tìm hình chiếu M ' M lên P d ' qua M ' song song với d TH2: d cắt P Tô Thị Kiều Oanh d Giải hệ tìm giao điểm M d ( P) ( P ) Chọn điểm A d Tìm hình chiếu vng góc A ' M lên P d ' qua A ' M Cách 2: Gọi (Q) mặt phẳng chứa d d ' Ta có P Q nên vecto pháp tuyến (Q) n(Q ) n( P ) ; ud Khi , d ' giao tuyến ( P) (Q) Cách 3: Chọn hai điểm A, B d Tìm hình chiếu A ', B ' lần lƣợt A, B lên ( P) Khi d ' qua A ', B ' Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng d qua mặt phẳng ( P) V TH1: d ( P) Chọn điểm M d Tìm hình chiếu M ' đối xứng M qua ( P) d ' qua M ' song song với d TH2: d cắt ( P) d Giải hệ phƣơng trình tìm giao điểm A ( P ) Chọn điểm M d Tìm hình chiếu M ' đối xứng M qua ( P) d ' qua A M ' VI Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d d ' Cách 1: Viết d d ' dƣới dạng tham số Gọi M , N lần lƣợt giao điểm với d , d ' Suy M d M ( ; ; ); N d ' N ( ; ; ) MN d MN ud Ta có : MN d ' MN ud ' Giải hệ ta đƣợc t , t ' Suy M , N Từ lập phƣơng trình qua M , N Cách 2: 10 Tô Thị Kiều Oanh d Vì u ud ; ud ' VTCP d ' Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) d Tìm giao điểm N ( P) d ' Khi đó, qua N u VTCP Vấn đề 4: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI Vị trí tương đối hai mặt phẳng I Cho hai mặt phẳng : A1x B1 y C1z D1 : A2 x B2 y C2 z D2 ( ) II A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A B C D ( ) A2 B2 C2 D2 A1 A2 B1 B2 A A ( ) d B2 B3 A3 A1 B3 B1 ( ) A1.B1 A2.B2 A3.B3 Vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng Cách 1: Đƣờng thẳng d qua M có VTCP ud Mặt phẳng ( P) có VTPT n( P ) d cắt ( P) ud n( P ) u n( P ) d song song ( P) d M ( P ) d nằm ( P) Cách 2: Xét hệ phƣơng trình tọa đơj giao điểm d ( P) Hệ có nghiệm d cắt ( P) Hệ vô nghiệm d song song ( P) Hệ vô số nghiệm d nằm ( P) III Vị trí tương đối hai đường thẳng 11 Tô Thị Kiều Oanh x x0 at Cho hai đƣờng thẳng : d : y y0 bt qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u (a; b; c) z z ct x x0 ' a ' t d ' : y y0 ' b ' t qua M '( x0 '; y0 '; z0 ') có VTCP u ' (a '; b '; c ') z z ' c ' t Cách 1: u ku ' d song song với d ' M d ' u ku ' d trùng với d ' M d ' u ku ' d cắt với d ' u ; u ' MN d chéo d ' u; u ' MN x0 at x0 ' a ' t Cách 2: Xét hệ phƣơng trình y0 bt y0 ' b ' t z ct z ' c ' t Hệ có nghiệm d cắt d ' Hệ vô nghiệm d d ' song song chéo Hệ vô số nghiệm d d ' trùng IV Quan hệ song song quan hệ vng góc Quan hệ song song n kn(Q ) ( P) song song (Q) ( P ) M ( P); M (Q) u n( P ) d song song với ( P) d M d ; M ( P ) u kud d1 song song với d d1 M d ; M d2 Quan hệ vng góc ( P) vng góc với (Q) n( P ) n(Q ) d vng góc với ( P) ud kn( P ) d1 vng góc với d ud1 ud2 Vấn đề 5: KHOẢNG CÁCH 12 Tô Thị Kiều Oanh Khoảng cách hai điểm: AB xB xA yB yA zB z A 2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( P) : Ax By Cz D d ( M ,( P)) A.x0 By0 Cz0 D | A2 B C Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng: Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đƣờng thẳng d qua điểm N có VTCP ud MN ; ud d (M ; d ) ud Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo : Cho hai đƣờng thẳng d1 qua M có VTCP ud1 ; d qua N có VTCP ud2 ; d (d1; d ) ud ; ud MN 2 ud ; ud 2 Khoảng cách từ d đến mp ( P) với d ( P) : Chọn M d tùy ý d (d ,( P)) d (M ,( P)) Khoảng cách hai mặt phẳng ( P) (Q) với ( P) (Q) Chọn M ( P) tùy ý d (( P),(Q)) d (M ,(Q)) Khoảng cách hai đƣờng thẳng d1 d với d1 d Chọn M d1 tùy ý d (d1, d2 ) d (M , d2 ) Vấn đề 6: GĨC Góc hai đƣờng thẳng: Cho d1 có VTCP ud1 , d có VTCP ud2 Khi : cos(d1, d ) Góc hai mặt phẳng : 13 ud1 ud2 ud1 ud2 Tô Thị Kiều Oanh Cho hai mặt phẳng ( P) : A1x B1 y C1z D1 có VTPT n( P ) ( A1; B1; C1 ) (Q) : A2 x B2 y C2 z D2 có VTPT n(Q ) ( A2 ; B2 ; C2 ) n( P ) n(Q ) Khi : cos(( P);(Q)) n( P ) n(Q ) A1 A2 B1B2 C1C2 A B12 C12 A2 B2 C2 2 Góc đƣờng thẳng mặt phẳng Cho đƣờng thẳng d có VTCP ud (a; b; c) mặt phẳng ( P) có VTPT n( P ) ( A; B; C ) Khi : cos(d ,( P)) ud n( P ) ud n( P ) Vấn đề 7: CỰC TRỊ Bài tốn tìm điểm thuộc mặt phẳng có yếu tố cực trị Cho điểm A, B, C mặt phẳng ( P) Tìm điểm M ( P) cho u aMA bMB cMC đạt I giá trị nhỏ Phương pháp giải : Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức aIA bIB cIC Phân tích u (a b c)MI (aIA bIB cIC ) (a b c)MI Khi u (a b c)MI u MI M hình chiếu vng góc I lên ( P) Cho điểm A, B, C mặt phẳng ( P) Tìm điểm M ( P) cho : a T a.MA2 b.MB2 c.MC (a b c 0) đạt giá trị nhỏ b T a.MA2 b.MB2 c.MC (a b c 0) đạt giá trị lớn Phương pháp giải : Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức aIA bIB cIC Phân tích : T (a b c)MI (a.IA2 b.MB2 c.MC ) Mà a.IA2 b.IB2 c.IC không đổi nên : o Nếu a b c T a.MA2 b.MB2 c.MC đạt giá trị nhỏ MI đạt giá trị nhỏ , hay M hình chiếu I lên mp ( P) o Nếu a b c T a.MA2 b.MB2 c.MC đạt giá trị lớn MI đạt giá trị lớn , hay M hình chiếu I lên mp ( P) 14 Tô Thị Kiều Oanh Cho mặt phẳng ( P) : Ax By Cz D điểm A( x1; y1; z1), B( x2; y2; z ) Tìm điểm M ( P) cho (MA MB)min MA MB max Phương pháp giải : a MA MB đạt giá trị nhỏ Xác định vị trí tƣơng đối điểm A B so với mặt phẳng ( P) cách xét : P ( Ax1 By1 Cz1 D)( Ax2 By2 Cz2 D) Nếu P A B khác phía với ( P) điểm M cần tìm giao điểm đƣờng thẳng AB với ( P) Nếu P A B phía ( P) Khi ta tìm điểm M nhƣ sau : o Gọi A ' điểm đối xứng A qua ( P) MA MA ' o Ta có : MA MB MA ' MB AA ' khơng đổi o Đo min(MA MB) AA ' đạt đƣợc M AA ' ( P) b MA MB đạt giá trị lớn Xác định vị trí tƣơng đối điểm A B so với mặt phẳng ( P) cách xét : P ( Ax1 By1 Cz1 D)( Ax2 By2 Cz2 D) Nếu P A B phía ( P) AB khơng song song với ( P) Ta có MA MB AB (khơng đổi ) Do : max MA MB AB M AB ( P) Nếu P A B khác phía với ( P) Khi ta tìm điểm M nhƣ sau : o Gọi A ' điểm đối xứng A qua ( P) MA MA ' o Ta có : MA MB MA ' MB A ' B khơng đổi Do : II max MA MB A ' B M A ' B ( P) Bài tốn tìm điểm thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị Cho đƣờng thẳng d hai điểm M ( x1; y1; z1); N ( x2; y2; z ) không thuộc d Tìm điểm I d cho IM IN nhỏ Phương pháp giải : a Trƣờng hợp 1: Đƣờng thẳng MN d đồng phẳng Nếu MN khơng song song với d I MN d Nếu MN d ta tìm điểm I nhƣ sau : o Gọi M ' điểm đối xứng M lên d , IM IM ' o Ta có : IM IN IM ' IN M ' N không đổi Suy min( IM IN ) M ' N đạt đƣợc I M 'N d b Trƣờng hợp 2: Đƣờng thẳng MN d chéo Nếu MN d ta tìm điểm I nhƣ sau : o Gọi ( P) mặt phẳng chứa MN vuông góc với d K Khi d KM KM KN không đổi IM KM IM IN KM KN (không đổi ) o I d ta có : IN KN 15 Tô Thị Kiều Oanh o Vậy IM IN KM KN đạt đƣợc I K o o o o Nếu MN khơng vng góc với d , ta tìm điểm I nhƣ sau : Chuyển d phƣơng trình tham số tìm VTCP d Xác định hình chiếu vng góc M ' M lên d tính độ dài đoạn thẳng MM ' Xác định hình chiếu vng góc N ' N lên d tính độ dài đoạn thẳng NN ' Trên mặt phẳng ( ) xác định ( N , d ) lấy điểm M cho M , N khác phía d đồng thời thảo mãn điều kiện : M M ' MM ' M M ' d o Xét điểm I thuộc d , ta có : IM M ' IMM ' IM IM Do : IM IN IM IN M N không đổi o Vậy min( IM IN ) M 0N I I NM d o Xác định tọa độ điểm I : Ta có : IM ' M M ' MM ' MM ' IM ' IN ' IN ' NN ' NN ' NN ' III Bài tốn cách có yếu tố cực trị Cho điểm A đƣờng thẳng d ( A d ) Lập phƣơng trình mặt phẳng ( P) chứa đƣờng thẳng d cho khoảng cách từ A đên ( P) lớn Phương pháp giải : Kẻ AH ( P), AK d AH d ( A;( P)) K điểm cố định Ta có : AH AK d ( A;( P))max AK H K d ( P) ( P) : VTPT : AK Cho hai điểm A, B mặt phẳng ( P) Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d nằm mặt phẳng ( P) , qua A cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất? nhỏ ? Phương pháp giải : Kẻ BH d ; BK ( P) BH d ( B; d ) điểm K cố định Ta có : BH BA d ( B; d )max BA H A d ( P) Khi : d : A d d AB Ta lại có: BH BK d ( B, d )min BK H K 16 Tô Thị Kiều Oanh Khi đƣờng thẳng d nằm ( P) , qua A qua hình chiếu K B Suy , d có VTCP u n( P ) ; n( P ) ; AB Cho điểm A , đƣờng thẳng d ' mặt phẳng ( P) (d ' cắt ( P) ) Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d nằm tròng ( P) qua điểm A cho khoảng cách d d ' lớn Phương pháp giải : Gọi I d ' ( P) , qua A dựng đƣờng thẳng d '' d ' d ' (Q) (Q) mặt phẳng chứa d d '' Khi d (d ; d ') d (d ';(Q)) d ( I ;(Q)) Kẻ IH (Q); IK d '' IH d ( I ;(Q)) điểm K cố định Ta có : IH IK d ( I ;(Q))max IK H K Khi đƣờng thẳng d nằm ( P) , qua A vng góc với IK , suy d có VTCP ud n( P ) ; IK Goị A ' hình chiếu A lên d ' , suy AA ' IK ud n( P ) ; AA ' Vậy đƣờng thẳng d cần lập qua điểm A có VTCP ud n( P ) ; AA ' Cho điểm A hai đƣờng thẳng d1; d Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A biết d cắt d1 khoảng cách d d lớn Phƣơng pháp giải : Gọi ( P) mặt phẳng qua A chứa d1 , suy d nằm ( P) Khi quy toán Vấn đề : MẶT CẦU Viết phƣơng trình mặt cầu ( S ) có tâm I (a; b; c) bán kính R (S ) : ( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 R2 Viết phƣơng trình mặt cầu ( S ) có tâm I (a; b; c) qua điểm A Khi : ( S ) có tâm I bán kính R IA Viết phƣơng trình mặt cầu ( S ) có tâm I (a; b; c) tiếp xúc với mặt phẳng ( P) Khi : ( S ) có tâm I có bán kính R d ( I ;( P)) Viết phƣơng trình mặt cầu ( S ) có tâm I (a; b; c) tiếp xúc với đƣờng thẳng d Khi : ( S ) có tâm I có bán kính R d ( I ; d ) Viết phƣơng trình mặt cầu ( S ) có đƣờng kính AB 17 Tơ Thị Kiều Oanh Khi ( S ) có tâm I trung điểm AB bán kính R AB Viết phƣơng trình mặt cầu ( S ) qua bốn điểm A, B, C, D Gọi phƣơng trình mặt cầu ( S ) có dạng : x2 y z 2ax 2by 2cz d A (S ) B (S ) Ta có hệ phƣơng trình : C ( S ) D ( S ) Giải hệ ta đƣợc a, b, c, d Suy phƣơng trình mặt cầu 18 ... Mặt phẳng (Oxy) có vecto pháp tuyến k 0;0;1 h Mặt phẳng (Oyz ) có vecto pháp tuyến i 1;0;0 i Mặt phẳng (Oxz ) có vecto pháp tuyến j 0;1;0 II Viết phương trình mặt phẳng mà... III Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Mặt phẳng ( P) qua A(a;0;0) Ox B(0; b;0) Oy; C(0;0; c) Oz khơng qua gốc tọa độ có phƣơng x y z trình : a b c IV Viết phương trình... qua A, B ta đƣợc phƣơng trình cần tìm Tìm tọa độ giao điểm cuả đường thẳng mặt phẳng III Cho mặt phẳng ( P) : A.x By Cz D đƣờng thẳng d Tìm tọa độ giao điểm M d ( P) Nếu phƣơng trình