PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN LỚP 12

Tơ Thị Kiều Oanh PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Vấn đề 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I Các phép toán vecto Cho a   a1; a2 ; a3  b   b1; b2 ; b3  Tổng hiệu hai vecto : ma  nb   ma1  nb1; ma2  nb2 ; ma3  nb3    Tích vơ hướng hai vecto : a.b  a b cos a; b  a1b1  a2b2  a3b3 a Tích có hướng hai vecto :  a; b     b2 II Quan hệ vecto a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2  ;  b1 b1 b2  Cho a   a1; a2 ; a3  b   b1; b2 ; b3  Hai vecto vng góc : a  b  a.b   a1b1  a2b2  a3b3  Tam giác ABC vuông A AB  AC d  AB  Đƣờng thẳng d  ( ABC )   d  AC Hai vecto phương  a a a a phƣơng với b   a; b      (nếu b1b2b3  0) b1 b2 b3  A, B, C thẳng hàng  AB phƣơng với AC  A, B, C đỉnh tam giác  A, B, C không thẳng hàng  AB không phƣơng với a a a AC   AB; AC    Hai tỷ lệ ; ; khác (nếu b1b2b3  0) b1 b2 b3  ABCD hình thang có hai đáy AB CD  AB phƣơng với CD Hai vecto a1  b1  a  b  a2  b2 a  b  3 ; a1  kb1  a  kb  a2  kb2 a  kb  ma1  nb1  ma  nb  ma2  nb2 ma  nb  ; Góc hai vecto   cos a; b  a.b a.b  a1b1  a2b2  a3b3 a12  a2  a32 b12  b2  b32 Tô Thị Kiều Oanh  Gọi  góc hai đƣờng thẳng AB CD , lần lƣợt vecto phƣơng pháp tuyến AB; CD Khi , ta có cos    a.b a.b Góc A tam giác ABC cho công thức cos A  AB AC AB AC Ba vecto đồng phẳng a; b; c đồng phẳng   a; b  c   Chú ý : M  Ox  M ( x;0;0) M  Oy  M (0; y;0) M  (Oxy )  M ( x; y;0) M  (Oyz )  M (0; y; z ) M  Oz  M (0;0; z ) M  (Oxz )  M ( x;0; z ) Độ dài đoạn thẳng III Cho A( xA ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB ), C ( xC ; yC ; zC ) Độ dài đoạn thẳng AB : AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2 IV Tìm điểm đặc biệt tam giác , tứ diện x A  xB   xM   y  yB  M trung điểm đoạn thẳng AB   yM  A  z A  zB   zM   Cho A, B, C đỉnh ABC x A  xB  xC  x  G   y  y  B  yC  G trọng tâm ABC   yG  A  z A  z B  zC   zG   Tô Thị Kiều Oanh  AH  BC   H trực tâm ABC   BH  AC   AH  AB; AC     AA '  BC  A ' chân đƣờng cao A lên BC   BA '  k BC   DB AB   D chân đƣờng phân giác ABC  AC DC EB AB   E chân đƣờng phân giác ABC  EC AC  I tâm đƣờng tròn ngoại tiếp ABC  aIA  bIB  cIC  Cho A, B, C, D đỉnh tứ diện ABCD x A  xB  xC  xD   xG   y  yB  yC  yD   G trọng tâm tứ diện ABCD   yG  A  z A  z B  zC  xD   zG    AH  BC   H hình chiếu A lên ( BCD)   AH  BD   BH  BC; BD   Diện tích, thể tích  Diện tích tam giác : S ABC   AB; AC   Thể tích khối tứ diện : VABCD   AB; AC  AD  Thể tích khối hộp : VABCD A' B 'C ' D '   AB; AD  AA ' Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Viết phương trình mặt phẳng mà vtpt cho trực tiếp I Mặt phẳng ( P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận n  ( A; B; C ) làm vtpt có phƣơng trình : A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )   Chú ý : a Mặt phẳng ( P) : Ax  By  Cz  D  có vtpt n  ( A; B; C ) x  x0 y  y0 z  z0 b Đừơng thẳng qua điểm N ( x0 ; y0 ; z0 ) có vtcp u   a; b; c    a b c Tô Thị Kiều Oanh  x  x0  at  c Đƣờng thẳng  y  y0  bt qua điểm N ( x0 ; y0 ; z0 ) có vtcp u   a; b; c   z  z  ct  d Trục Ox có vtcp i  (1;0;0) e Trục Oy có vtcp j  (0;1;0) f Trục Oz có vtcp k  (0;0;1) g Mặt phẳng (Oxy) có vecto pháp tuyến k   0;0;1 h Mặt phẳng (Oyz ) có vecto pháp tuyến i  1;0;0  i Mặt phẳng (Oxz ) có vecto pháp tuyến j   0;1;0  II Viết phương trình mặt phẳng mà vtpt cho gián tiếp Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua điểm A, B, C  A  ( ABC ) ( P)  ( ABC ) :    n   AB; AC  Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với đƣờng thẳng d   M  ( P) ( P) :  n  u  d  (P) Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với mặt phẳng (Q)   M  ( P) ( P) :  n  n  ( P ) ( Q )  Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) chứa đƣờng thẳng d Gọi A điểm thuộc d , ud vtcp d Khi ,  M  ( P)  P  :    n( P )   AM ; ud  Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) chứa hai đƣờng thẳng cắt d1; d Gọi M  d1 , ud1 vtcp d1 ud2 vtcp d Khi ,  M  ( P) d1  ( P) ( P) :   ( P) :  n  u ; u  d  ( P)  ( P )  d1 d2  Tơ Thị Kiều Oanh Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) chứa đƣờng thẳng d1 song song với d Gọi M điểm thuộc d1 , ud1 vtcp d1 ud2 vtcp d Khi ,  M  ( P) d1  ( P) ( P) :   ( P) :    n  u ; u d ( P ) ( P ) d d   2  Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua M song song với hai đƣờng thẳng chéo d1; d Gọi ud1 vtcp d1 ud2 vtcp d Khi ,  M  ( P)   M  ( P) ( P) : d1 ( P)  ( P) :  u d ; u d  n  ( P ) d ( P)   2  Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) chứa đƣờng thẳng d vng góc với (Q) Gọi M điểm thuộc d , ud vtcp d n(Q ) vtpt (Q) Khi ,  M  ( P) d  ( P) ( P) :   ( P) :    (Q)  ( P) n( P )  ud ; n(Q )  Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng   ,     M  ( P) ( P) :    n( P )   n( ) ; n(  )  III Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Mặt phẳng ( P) qua A(a;0;0)  Ox B(0; b;0)  Oy; C(0;0; c)  Oz không qua gốc tọa độ có phƣơng x y z trình :    a b c IV Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thảo mãn điều kiện khoảng cách Gọi n   A; B; C  lả vtpt ( P) Phƣơng trình mặt phẳng ( P) : A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  Tô Thị Kiều Oanh Dùng điều kiện khoảng cách để tìm A; B theo C Chọn giá trị C từ suy A, B , suy phƣơng trình  P  Viết phương trình mặt phẳng  P  qua điểm M , N thỏa mã điều kiện góc V Gọi n   A; B; C  lả vtpt ( P) Phƣơng trình mặt phẳng ( P) : A( x  xM )  B( y  yM )  C ( z  zM )  N  ( P) ta đƣợc phƣơng trình với ẩn A, B, C Từ phƣơng trình biểu diến ẩn qua hai ẩn cịn lại, ví dụ C theo A B Từ điều kiện góc ta tìm đƣợc A theo B Chọn B  suy A, C Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG Viết phương trình đường thẳng mà VTCP cho trực tiếp I Đƣờng thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u   a; b; c  có phƣơng trình : x  x0 y  y0 z  z0   a b c  x  x0  at   Dạng tham số :  y  y0  bt  z  z  ct  II Viết phương trình đường thẳng mà VTCP không cho trực tiếp Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua hai điểm A B  Dạng tắc : A d A d  d :  d : u  AB B  d  Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua hai điểm M vng góc với mặt phẳng ( P)  M  d d : u  n( P ) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua hai điểm M song song với đường thẳng   M  d d :  ud  u Tô Thị Kiều Oanh Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua hai điểm M song song với hai mặt phẳng ( P) (Q)  M  d d : u   n( P ) ; n(Q )   Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua hai điểm M vng góc với hai đường thẳng 1,   M  d d : u ; u   u  d  2  Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng ( P),(Q) Gọi M điểm chung ( P) (Q) (Chọn z giải hệ phƣơng trình suy x, y )  M  d d :   ud   n( P ) ; n(Q )  Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua hai điểm M vng góc với đường thẳng  song song với mặt phẳng ( P)  M  d d :   ud   n( P ) ; u  Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua A cắt hai đường thẳng d1 , d Cách 1:   B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A chứa đƣờng thẳng d1 B2: Tìm giao điểm B  d2  ( P)  B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua A, B ta đƣợc phƣơng trình cần tìm Cách 2:   B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A chứa đường thẳng d1 B2: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A chứa đƣờng thẳng d  B3: Đƣờng thẳng cần tìm d  ( P)  (Q) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d song song với d1 cắt hai đường d , d3  B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) song song với d1 chứa d   B2: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) song song với d1 chứa d B3: Đƣờng thẳng cần tìm d  ( P)  (Q) Tơ Thị Kiều Oanh 10 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm A , vng góc với d1 cắt d Cách :   B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A , vng góc với d1 B2: Tìm giao điểm B  ( P)  d2  B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A, B ta đƣợc phƣơng trình cần tìm Cách 2:   B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A , vng góc với d1 B2: Viết phƣơng trình mặt phẳng (Q) qua A chứa d  B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d  ( P)  (Q) ta đƣợc phƣơng trình cần tìm 11 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A , song song với ( ) cắt d ' Cách 1:    B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A , song song với ( ) B2: Tìm giao điểm B  d ' ( P) B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A, B ta đƣợc phƣơng trình cần tìm Cách 2:  B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A , song song với ( )  B2 : Viết phƣơng trình mặt phẳng (Q) qua A chứa d '  B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d  ( P)  (Q) 12 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d nằm mặt phẳng ( P) cắt hai đƣờng thẳng d1 , d  B1: Tìm giao điểm A  d1  ( P)  B2: Tìm giao điểm B  d2  ( P)  B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A, B 13 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d nằm mặt phẳng ( P) vuông góc với đƣờng thẳng d ' cho trƣớc giao điểm I d ' mặt phẳng ( P)  B1: Tìm giao điểm I  d ' ( P)  B2: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua I có VTCP u  ud ' ; n( P )  14 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ) cắt hai đƣờng thẳng d1; d  B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) chứa d1 vng góc với ( )  B2: Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa d vng góc với ( )  B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d  ( P)  (Q) ta đƣợc phƣơng trình cần tìm 15 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A , cắt vng góc với d '  B1: Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P) qua A vng góc với d '  B2: Tìm giao điểm B  d ' ( P) Tô Thị Kiều Oanh B3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A, B ta đƣợc phƣơng trình cần tìm Tìm tọa độ giao điểm cuả đường thẳng mặt phẳng III Cho mặt phẳng ( P) : A.x  By  Cz  D  đƣờng thẳng d Tìm tọa độ giao điểm M d ( P)  Nếu phƣơng trình d dạng tắc x  x0 y  y0 z  z0   a b c   A.x  By  Cz  D   Ax  By  Cz  D     x  x0 y  y0 Tọa độ giao điểm M nghiệm hệ phƣơng trình :  x  x0 y  y0 z  z0    b  a  b  c  a  y  y0 z  z0  b  c   x  x0  at  Nếu phƣơng trình d có dạng tham số  y  y0  bt  z  z  ct  Tọa độ giao điểm M nghiệm hệ phƣơng trình :  Ax  By  Cz  D   x  x  at   y  y  bt   z  z0  ct Từ giải t Suy x, y, z Viết phương trình hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng ( P) IV Giả sử d ' hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng ( P)  Cách 1: TH1: d ( P)   Chọn điểm M  d Tìm hình chiếu M ' M lên  P   d ' qua M ' song song với d TH2: d cắt  P  Tô Thị Kiều Oanh    d Giải hệ  tìm giao điểm M d ( P) ( P ) Chọn điểm A  d Tìm hình chiếu vng góc A ' M lên  P   d ' qua A ' M  Cách 2: Gọi (Q) mặt phẳng chứa d d ' Ta có  P    Q  nên vecto pháp tuyến (Q) n(Q )   n( P ) ; ud  Khi , d ' giao tuyến ( P) (Q)  Cách 3: Chọn hai điểm A, B d Tìm hình chiếu A ', B ' lần lƣợt A, B lên ( P) Khi d ' qua A ', B ' Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng d qua mặt phẳng ( P) V TH1: d ( P)    Chọn điểm M  d Tìm hình chiếu M ' đối xứng M qua ( P) d ' qua M ' song song với d TH2: d cắt ( P) d Giải hệ phƣơng trình  tìm giao điểm A ( P )  Chọn điểm M  d  Tìm hình chiếu M ' đối xứng M qua ( P)  d ' qua A M ' VI Viết phương trình đường vng góc chung  hai đường thẳng chéo d d '  Cách 1:  Viết d d ' dƣới dạng tham số  Gọi M , N lần lƣợt giao điểm  với d , d '  Suy M  d  M ( ; ; ); N  d '  N ( ; ; )   MN  d  MN ud   Ta có :   MN  d '   MN ud '   Giải hệ ta đƣợc t , t ' Suy M , N Từ lập phƣơng trình  qua M , N  Cách 2:  10 Tô Thị Kiều Oanh     d Vì   u  ud ; ud '  VTCP    d '  Viết phƣơng trình mặt phẳng ( P)  d Tìm giao điểm N ( P) d '  Khi đó,  qua N u VTCP  Vấn đề 4: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI Vị trí tương đối hai mặt phẳng I Cho hai mặt phẳng   : A1x  B1 y  C1z  D1     : A2 x  B2 y  C2 z  D2     (  )       II A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 A B C D ( )     A2 B2 C2 D2   A1 A2    B1 B2 A A    (  )  d     B2 B3  A3 A1    B3 B1    ( )  A1.B1  A2.B2  A3.B3  Vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng  Cách 1: Đƣờng thẳng d qua M có VTCP ud Mặt phẳng ( P) có VTPT n( P )  d cắt ( P)  ud n( P )  u  n( P ) d song song ( P)   d M  ( P )   d nằm ( P)  Cách 2: Xét hệ phƣơng trình tọa đơj giao điểm d ( P)  Hệ có nghiệm  d cắt ( P)  Hệ vô nghiệm  d song song ( P)  Hệ vô số nghiệm  d nằm ( P) III Vị trí tương đối hai đường thẳng  11 Tô Thị Kiều Oanh  x  x0  at  Cho hai đƣờng thẳng : d :  y  y0  bt qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u  (a; b; c)  z  z  ct   x  x0 ' a ' t  d ' :  y  y0 ' b ' t qua M '( x0 '; y0 '; z0 ') có VTCP u '  (a '; b '; c ')  z  z ' c ' t   Cách 1:  u  ku ' d song song với d '    M  d '  u  ku '  d trùng với d '    M  d '  u  ku '  d cắt với d '     u ; u ' MN      d chéo d '  u; u ' MN   x0  at  x0 ' a ' t   Cách 2: Xét hệ phƣơng trình  y0  bt  y0 ' b ' t  z  ct  z ' c ' t   Hệ có nghiệm  d cắt d '  Hệ vô nghiệm  d d ' song song chéo  Hệ vô số nghiệm  d d ' trùng IV Quan hệ song song quan hệ vng góc Quan hệ song song  n  kn(Q )  ( P) song song (Q)   ( P )   M  ( P); M  (Q)  u  n( P )  d song song với ( P)   d M  d ; M  ( P )   u  kud  d1 song song với d   d1 M  d ; M  d2  Quan hệ vng góc  ( P) vng góc với (Q)  n( P )  n(Q )   d vng góc với ( P)  ud  kn( P )  d1 vng góc với d  ud1  ud2 Vấn đề 5: KHOẢNG CÁCH 12 Tô Thị Kiều Oanh Khoảng cách hai điểm: AB   xB  xA    yB  yA    zB  z A  2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( P) : Ax  By  Cz  D  d ( M ,( P))  A.x0  By0  Cz0  D | A2  B  C Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng: Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đƣờng thẳng d qua điểm N có VTCP ud  MN ; ud    d (M ; d )  ud Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo : Cho hai đƣờng thẳng d1 qua M có VTCP ud1 ; d qua N có VTCP ud2 ; d (d1; d )  ud ; ud  MN  2  ud ; ud   2      Khoảng cách từ d đến mp ( P) với d ( P) : Chọn M  d tùy ý d (d ,( P))  d (M ,( P)) Khoảng cách hai mặt phẳng ( P) (Q) với ( P) (Q) Chọn M  ( P) tùy ý d (( P),(Q))  d (M ,(Q)) Khoảng cách hai đƣờng thẳng d1 d với d1 d Chọn M  d1 tùy ý  d (d1, d2 )  d (M , d2 ) Vấn đề 6: GĨC Góc hai đƣờng thẳng: Cho d1 có VTCP ud1 , d có VTCP ud2 Khi : cos(d1, d )  Góc hai mặt phẳng : 13 ud1 ud2 ud1 ud2 Tô Thị Kiều Oanh Cho hai mặt phẳng ( P) : A1x  B1 y  C1z  D1  có VTPT n( P )  ( A1; B1; C1 ) (Q) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  có VTPT n(Q )  ( A2 ; B2 ; C2 ) n( P ) n(Q ) Khi : cos(( P);(Q))  n( P ) n(Q )  A1 A2  B1B2  C1C2 A  B12  C12 A2  B2  C2 2 Góc đƣờng thẳng mặt phẳng Cho đƣờng thẳng d có VTCP ud  (a; b; c) mặt phẳng ( P) có VTPT n( P )  ( A; B; C ) Khi : cos(d ,( P))  ud n( P ) ud n( P ) Vấn đề 7: CỰC TRỊ Bài tốn tìm điểm thuộc mặt phẳng có yếu tố cực trị Cho điểm A, B, C mặt phẳng ( P) Tìm điểm M  ( P) cho u  aMA  bMB  cMC đạt I giá trị nhỏ Phương pháp giải :   Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức aIA  bIB  cIC  Phân tích u  (a  b  c)MI  (aIA  bIB  cIC )  (a  b  c)MI Khi u  (a  b  c)MI  u  MI  M hình chiếu vng góc I lên ( P) Cho điểm A, B, C mặt phẳng ( P) Tìm điểm M  ( P) cho : a T  a.MA2  b.MB2  c.MC (a  b  c  0) đạt giá trị nhỏ b T  a.MA2  b.MB2  c.MC (a  b  c  0) đạt giá trị lớn Phương pháp giải :   Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức aIA  bIB  cIC  Phân tích : T  (a  b  c)MI  (a.IA2  b.MB2  c.MC ) Mà a.IA2  b.IB2  c.IC không đổi nên : o Nếu a  b  c  T  a.MA2  b.MB2  c.MC đạt giá trị nhỏ MI đạt giá trị nhỏ , hay M hình chiếu I lên mp ( P) o Nếu a  b  c  T  a.MA2  b.MB2  c.MC đạt giá trị lớn MI đạt giá trị lớn , hay M hình chiếu I lên mp ( P) 14 Tô Thị Kiều Oanh Cho mặt phẳng ( P) : Ax  By  Cz  D  điểm A( x1; y1; z1), B( x2; y2; z ) Tìm điểm M  ( P) cho (MA  MB)min MA  MB max Phương pháp giải : a MA  MB đạt giá trị nhỏ  Xác định vị trí tƣơng đối điểm A B so với mặt phẳng ( P) cách xét : P  ( Ax1  By1  Cz1  D)( Ax2  By2  Cz2  D)  Nếu P  A B khác phía với ( P) điểm M cần tìm giao điểm đƣờng thẳng AB với ( P)  Nếu P  A B phía ( P) Khi ta tìm điểm M nhƣ sau : o Gọi A ' điểm đối xứng A qua ( P)  MA  MA ' o Ta có : MA  MB  MA ' MB  AA ' khơng đổi o Đo min(MA  MB)  AA ' đạt đƣợc  M  AA ' ( P) b   MA  MB đạt giá trị lớn Xác định vị trí tƣơng đối điểm A B so với mặt phẳng ( P) cách xét : P  ( Ax1  By1  Cz1  D)( Ax2  By2  Cz2  D) Nếu P  A B phía ( P) AB khơng song song với ( P) Ta có MA  MB  AB (khơng đổi ) Do : max MA  MB  AB  M  AB  ( P)  Nếu P  A B khác phía với ( P) Khi ta tìm điểm M nhƣ sau : o Gọi A ' điểm đối xứng A qua ( P)  MA  MA ' o Ta có : MA  MB  MA ' MB  A ' B khơng đổi Do : II max MA  MB  A ' B  M  A ' B  ( P) Bài tốn tìm điểm thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị Cho đƣờng thẳng d hai điểm M ( x1; y1; z1); N ( x2; y2; z ) không thuộc d Tìm điểm I  d cho IM  IN nhỏ Phương pháp giải : a Trƣờng hợp 1: Đƣờng thẳng MN d đồng phẳng  Nếu MN khơng song song với d I  MN  d  Nếu MN d ta tìm điểm I nhƣ sau : o Gọi M ' điểm đối xứng M lên d , IM  IM ' o Ta có : IM  IN  IM ' IN  M ' N không đổi Suy min( IM  IN )  M ' N đạt đƣợc  I  M 'N d b Trƣờng hợp 2: Đƣờng thẳng MN d chéo  Nếu MN  d ta tìm điểm I nhƣ sau : o Gọi ( P) mặt phẳng chứa MN vuông góc với d K Khi d  KM KM  KN không đổi  IM  KM  IM  IN  KM  KN (không đổi ) o I  d ta có :   IN  KN 15 Tô Thị Kiều Oanh o Vậy  IM  IN   KM  KN đạt đƣợc I  K  o o o o Nếu MN khơng vng góc với d , ta tìm điểm I nhƣ sau : Chuyển d phƣơng trình tham số tìm VTCP d Xác định hình chiếu vng góc M ' M lên d tính độ dài đoạn thẳng MM ' Xác định hình chiếu vng góc N ' N lên d tính độ dài đoạn thẳng NN ' Trên mặt phẳng ( ) xác định ( N , d ) lấy điểm M cho M , N khác phía d đồng thời thảo mãn điều kiện : M M '  MM ' M M '  d o Xét điểm I thuộc d , ta có : IM M '  IMM '  IM  IM Do : IM  IN  IM  IN  M N không đổi o Vậy min( IM  IN )  M 0N  I  I  NM d o Xác định tọa độ điểm I : Ta có : IM ' M M ' MM ' MM '    IM '   IN ' IN ' NN ' NN ' NN ' III Bài tốn cách có yếu tố cực trị Cho điểm A đƣờng thẳng d ( A  d ) Lập phƣơng trình mặt phẳng ( P) chứa đƣờng thẳng d cho khoảng cách từ A đên ( P) lớn Phương pháp giải :  Kẻ AH  ( P), AK  d  AH  d ( A;( P)) K điểm cố định  Ta có : AH  AK  d ( A;( P))max  AK  H  K  d  ( P) ( P) :  VTPT : AK   Cho hai điểm A, B mặt phẳng ( P) Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d nằm mặt  phẳng ( P) , qua A cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất? nhỏ ? Phương pháp giải :  Kẻ BH  d ; BK  ( P)  BH  d ( B; d ) điểm K cố định  Ta có : BH  BA  d ( B; d )max  BA  H  A d  ( P)  Khi : d :  A  d d  AB   Ta lại có: BH  BK  d ( B, d )min  BK  H  K 16 Tô Thị Kiều Oanh Khi đƣờng thẳng d nằm ( P) , qua A qua hình chiếu K B Suy , d có VTCP u   n( P ) ;  n( P ) ; AB     Cho điểm A , đƣờng thẳng d ' mặt phẳng ( P) (d ' cắt ( P) ) Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d nằm tròng ( P) qua điểm A cho khoảng cách d d ' lớn Phương pháp giải :  Gọi I  d ' ( P) , qua A dựng đƣờng thẳng d '' d '  d ' (Q) (Q) mặt phẳng chứa d d '' Khi d (d ; d ')  d (d ';(Q))  d ( I ;(Q))  Kẻ IH  (Q); IK  d ''  IH  d ( I ;(Q)) điểm K cố định  Ta có : IH  IK  d ( I ;(Q))max  IK  H  K Khi đƣờng thẳng d nằm ( P) , qua A vng góc với IK , suy d có VTCP ud   n( P ) ; IK   Goị A ' hình chiếu A lên d ' , suy AA ' IK ud   n( P ) ; AA ' Vậy đƣờng thẳng d cần lập qua điểm A có VTCP ud   n( P ) ; AA ' Cho điểm A hai đƣờng thẳng d1; d Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A biết d  cắt d1 khoảng cách d d lớn Phƣơng pháp giải : Gọi ( P) mặt phẳng qua A chứa d1 , suy d nằm ( P) Khi quy toán Vấn đề : MẶT CẦU Viết phƣơng trình mặt cầu ( S ) có tâm I (a; b; c) bán kính R (S ) : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2 Viết phƣơng trình mặt cầu ( S ) có tâm I (a; b; c) qua điểm A Khi : ( S ) có tâm I bán kính R  IA Viết phƣơng trình mặt cầu ( S ) có tâm I (a; b; c) tiếp xúc với mặt phẳng ( P) Khi : ( S ) có tâm I có bán kính R  d ( I ;( P)) Viết phƣơng trình mặt cầu ( S ) có tâm I (a; b; c) tiếp xúc với đƣờng thẳng d Khi : ( S ) có tâm I có bán kính R  d ( I ; d ) Viết phƣơng trình mặt cầu ( S ) có đƣờng kính AB 17 Tơ Thị Kiều Oanh Khi ( S ) có tâm I trung điểm AB bán kính R  AB Viết phƣơng trình mặt cầu ( S ) qua bốn điểm A, B, C, D  Gọi phƣơng trình mặt cầu ( S ) có dạng : x2  y  z  2ax  2by  2cz  d   A  (S )  B  (S )   Ta có hệ phƣơng trình :  C  ( S )  D  ( S )  Giải hệ ta đƣợc a, b, c, d Suy phƣơng trình mặt cầu 18 ... Mặt phẳng (Oxy) có vecto pháp tuyến k   0;0;1 h Mặt phẳng (Oyz ) có vecto pháp tuyến i  1;0;0  i Mặt phẳng (Oxz ) có vecto pháp tuyến j   0;1;0  II Viết phương trình mặt phẳng mà...  III Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Mặt phẳng ( P) qua A(a;0;0)  Ox B(0; b;0)  Oy; C(0;0; c)  Oz khơng qua gốc tọa độ có phƣơng x y z trình :    a b c IV Viết phương trình... qua A, B ta đƣợc phƣơng trình cần tìm Tìm tọa độ giao điểm cuả đường thẳng mặt phẳng III Cho mặt phẳng ( P) : A.x  By  Cz  D  đƣờng thẳng d Tìm tọa độ giao điểm M d ( P)  Nếu phƣơng trình