LÝ THUYẾT TOÁN 7 ĐẦY ĐỦ

LÝ THUYẾT TOÁN ĐẠI SỐ Chương I - SỐ HU T S THC I Ô Tp hp cỏc s hữu tỉ Số hữu tỉ: Là số viết dạng phân số với Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu Biểu diễn số hữu tỉ trục số So sánh hai số hữu tỉ Phương pháp: Bước 1: Viết chúng dạng phân số có mẫu số dương Bước 2: So sánh hai tử số Bước 3: Kết luận II Cộng, trừ số hữu tỉ Cộng, trừ hai số hữu tỉ • Phương pháp: Bước 1: Viết chúng dạng hai phân số có mẫu dương Bước 2: Giữ ngun mẫu số, cộng trừ tử số • Tính chất phép cộng số hữu tỉ: giao hoán, kết hợp, cộng với số Với ta có: • Mỗi số hữu tỉ có số đối : số đối Quy tắc chuyển vế Khi chuyển số hạng tử từ vế sang vế đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng Biếu diễn ngơn ngữ tốn học: Với III Nhân, chia số hữu tỉ Nhân hai số hữu tỉ Với ta có: Chia hai số hữu tỉ Với ta có: Chú ý: Thương phép chia số hữu tỉ cho số hữu tỉ gọi tỉ số hai số , kí hiệu hay IV Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ Nhận xét: Với ta ln có : Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân Phương pháp: Bước 1: Viết chúng dạng phân số thập phân Bước 2: Thực cộng, trừ, nhân, chia phép tính biết phân số V Lũy thừa số hữu tỉ Lũy thừa với số mũ tự nhiên Lũy thừa bậc số hữu tỉ , kí hiệu , tích thừa số ( số tự nhiên lớn 1) Biểu diễn: gọi số, gọi số mũ Quy ước: với Lũy thừa số hữu tỉ với số mũ tự nhiên: Với Tích thương hai lũy thừa có số Quy tắc: • Khi nhân hai lũy thừa có số, ta giữ nguyên số cộng hai số mũ Biểu diễn ngơn ngữ tốn học: • Khi chia hai lũy thừa có số, ta giữ nguyên có số lấy số mũ lũy thừa bị chia trừ số mũ lũy thừa chia Biểu diễn ngơn ngữ tốn học: : hay Lũy thừa lũy thừa Quy tắc: Khi tính lũy thừa lũy thừa, ta giữ nguyên số nhân hai số mũ Biểu diễn ngơn ngữ tốn học : Lũy thừa tích Quy tắc: Lũy thừa tích tích lũy thừa Biểu diễn ngơn ngữ tốn học: Lũy thừa thương Quy tắc: Lũy thừa tích tích lũy thừa Lũy thừa tích tích lũy thừa Biểu diễn ngơn ngữ tốn học: VI Tỉ lệ thức Định nghĩa Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Tỉ lệ thức viết Tính chất Tính chất tỉ lệ thức: Nếu (Tích chéo nhau) Tính chất 2: Nếu ta có tỉ lệ thức sau: VII Tính chất dãy tỉ số VIII Số vô tỉ Khái niệm bậc hai Số vô tỉ Số vô tỉ số viết dạng số thập phân vô hạn không tuần hồn Tập hợp số vơ tỉ kí hiệu Khái niệm bậc hai KN: Căn bậc hai số không âm số cho Số dương có hai bậc hai Số có bậc hai IX Số thực Số thực Số hữu tỉ số vô tỉ gọi chung số thực Tập hợp số thực kí hiệu TỔNG KẾT ¥ = {0;1; 2;3; } Số tự nhiên Số tự nhiên khác ¥ * = {1; 2;3; 4;5 } ¢ = { ; −3; −2; −1; 0;1; 2;3 } Số nguyên Số nguyên dương Số nguyên âm ¢ + = {1; 2;3; 4;5 } ¢ − = { ;-4;-3;-2;-1} Tập hợp số thực Chương II- HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I Đại lượng tỉ lệ thuân Định nghĩa Nếu đại lượng liên hệ với đại lượng theo công thức với số khác 0) ta nói tỉ lệ thuận với theo hệ số Chú ý: Nếu tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ thuận với theo hệ số Tính chất Nếu hai đại lượng tỉ lệ thn với thì: • Tỉ số hai giá trị tương ứng chúng ln khơng đổi • Tỉ số hai giá trị đại lượng tỉ số hai giá trị tương ứng đại lượng II Đại lượng tỉ lệ nghịch Định nghĩa Nếu đại lượng liên hệ với đại lượng theo công thức hay ( với số khác 0) ta nói tỉ lệ nghịc với theo hệ số tỉ lệ Tính chất Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với thì: • Tích hai giá trị tương ứng chúng không đổi ( hệ số tỉ lệ) • Tỉ số hai giá trị đại lượng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng đại lượng ⇒ Lưu ý: tỉ lệ thuận với x y z = = a b c ⇒ x.a = y.b = z.c tỉ lệ nghịch với III Hàm số Khái niệm: Nếu đại lượng phụ thuộc vào đại lượng thay đổi cho với giá trị ta xác định giá trị tương ứng gọi hàm số gọi biến số IV Đồ thị hàm số Khái niệm Đồ thị hàm số tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng mặt phẳng tạo độ Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số đường thẳng qua gốc tọa độ Chương III - Thống kê I Thu thập số liệu thống kế, tần số • Tần số giá trị số lần xuất giá trị dãy giá trị dấu hiệu • Mốt dấu hiệu giá trị có tần số lớn bảng tần số, kí hiệu • Cách tính số trung bình cộng dấu hiệu: Cách 1: Tính theo cơng thức: Cách 2: Tính theo bảng tần số dạng dọc Bước 1: Lập bảng tần số dạng dọc ( cột) Bước 2: Tính tích Bước 3: Tính tổng tích Bước 4: Tính số trung bình cộng cách lấy tổng tích chi cho tổng tần số() • Các loại biểu đồ: Biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt Chương IV - Biểu thức đại số I Khái niệm biểu thức đại số Những biểu thức mà ngồi số, kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa cịn có chữ ( đại diện số) gọi biểu thức đại số II Giá trị biểu thức đại số Phương pháp: Bước 1: Thay giá trị cho trước tương ứng vào biểu thức Bước 2: Thực phép tính III Đơn thức Đơn thức Đơn thức biểu thức đại số gồm số, biến, tích số biến Đơn thức thu gọn Đơn thức thu gọn đơn thức gồm tích số với biến, mà biến nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương Số nói gọi hệ số, phần lại phần biến Các bước thu gọn đơn thức: Bước 1: Xác định dấu thay cho dấu có đơn thức Bước 2: Nhóm số hay số nhân chúng với Bước 3: Nhóm biến giống nhau, xếp chúng theo thứ tự chữ nhân chúng với Bậc đơn thức thu gọn Bậc đơn thức có hệ số khác khơng tổng số mũ tất biến có đơn thức Số thực khác đơn thức bậc khơng Nếu viết biến có bậc Nhân hai đơn thức Để nhân hai đơn thức, ta nhân hệ số với nhân biến với IV Đơn thức đồng dạng Đơn thức đồng dạng Hai đơn thức đồng dạng hai đơn thức có hệ số khác có phần biến Cộng, trừ đơn thức đồng dạng Để cộng ( hay trừ) đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) hệ số với giữ nguyên phần biến V Đa thức Đa thức Đa thức tổng đơn thức Mỗi đơn thức tổng gọi hạng tử đa thức Chú ý: Mỗi đơn thức coi đa thức Thu gọn đa thức Bước 1: Nhóm hạng tử đơn thức đồng dạng với ( lấy dấu đơn thức) Bước 2: Thực phép cộng( trừ) đơn thức đồng dạng Bậc đa thức Bậc đa thức bậc hạng tử có bậc cao dạng thu gọn đa thức Cách xác định bậc đa thức: Bước 1: Thu gọn đa thức Bước 2: Xác định hạng tử có bậc cao đa thức thu gọn VI Cộng, trừ đa thức • Cách 1: Cộng , trừ theo hàng ngang( áp dụng cho tất đa thức) Bước 1: Viết hai đa thức cho dạnh tổng hiệu, đa thức để dấu ngoặc đơn Bước 2: Bỏ ngoặc Nếu trước dấu ngoặc có dấu cộng giữ ngun dấu hangjt bên Nếu trước dấu ngoặc dấu trừ đổi dấu tồn hạng tử bên ngoặc Bước 3: Nhóm đơn thức đồng dạng Bước 4: Cộng, trừ đơn thức đồng dạng để kết • Cách 2: Cộng, trừ theo hàng dọc ( Chỉ áp dụng cho đa thức biến) Bước 1: Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến Bước 2: Viết đa thức vừa xếp dạng tổng hiệu cho đơn thức đồng dạng thẳng cột với Bước 3: Cộng, trừ đơn thức đồng dạng cột để kết VII Nghiệm đa thức biến Kiểm tra số cho trước có nghiệm đa thức biến khơng? Phương pháp: Bước 1: Tính giá trị biểu thức giá trị biến cho trước Bước 2: Nếu giá trị đa thức giá trị biến nghiệm đa thức Tìm nghiệm đa thức biến Phương pháp: Bước 1: Cho đa thức Bước 2: Giải tốn tìm Bước 3: Giá trị vừa tìm nghiệm đa thức Tìm hệ số chưa biết đa thức biết Phương pháp: Bước 1: Thay giá trị vào đa thức Bước 2: Cho biểu thức Bước 3: Tính hệ số chưa biết HÌNH HỌC Chương I - Đường thẳng vng góc Đường thẳng song song I II Hai góc đối đỉnh Định nghĩa: Hai góc đối đỉnh hai góc mà cạnh góc tia đối cạnh góc Tính chất: Hai góc đối đỉnh Hai đường thẳng vng góc Định nghĩa: Hai đường thẳng cắt góc tạo thành có góc vng gọi hai đường thẳng vng góc kí hiệu Tính chất: Có đường thẳng qua điểm O vng góc với đường thẳng cho trước ( Hay dùng để chứng minh điểm thẳng hàng) Đường trung trực đoạn thẳng Định nghĩa: Đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm đoạn thẳng gọi đường trung trực đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng Chú ý: Khi đường trung trực đoạn thẳng ta nói: Hai điểm đối xứng với qua đường thẳng III IV • • • Các góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng Góc so le Góc đồng vị Góc phía Hai đường thẳng song song Ghi nhớ: Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: Hai góc so le Hai góc đồng vị Hai góc phía bù Các dấu hiệu nhận biết: Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng góc tạo thành có cặp góc so le (hoặc cặp góc đồng vị nhau) song song với V Từ vng góc đến song song Quan hệ tính vng góc tính song song Tính chất 1: Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với Biểu diễn ngơn ngữ tốn học: Tính chất 2: Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thằng Biểu diễn ngơn ngữ tốn học: Ba đường thẳng song song Tính chất 3: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với Biểu diễn ngơn ngữ tốn học: Chương II -Tam giác I Tổng ba góc tam giác Tổng tam giác Định lí: Tổng ba góc tam giác Biểu diễn ngơn ngữ tốn học: Xét có Áp dụng vào tam giác vng Định lí: Trong tam giác vng, hai góc nhọn phụ Biểu diễn ngơn ngữ tốn học: Xét Góc ngồi tam giác Định nghĩa: Góc ngồi tam giác góc kề bù với góc tam giác A B C x Định lí: Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với Biểu diễn ngơn ngữ tốn học: Xét có góc ngồi II Hai tam giác Trường hợp thứ cảu tam giác cạnh - cạnh - cạnh(c.c.c) Tính chất : Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác Xét có: Trường hợp thứ hai tam giác cạnh- góc- cạnh(c.g.c) Tính chất: Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác Xét có: Trường hợp thứ ba tam giác góc - cạnh - góc (g.c.g) Tính chất: Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác Xét có: III Các trường hợp tam giác vuông Hệ 1: Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng Xét có: Hệ 2: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng Xét có: IV Tam giác cân Định nghĩa Tam giác cân tam giác có hai cạnh cân Tính chất Định lí 1: Trong tam giác cân, hai góc đáy cân Định lí 2: Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân có cân Định nghĩa: tam giác vuông cân tam giác có hai cạnh góc vng Tam giác Định nghĩa: tam giác tam giác có ba cạnh Hệ quả: • • • V Trong tam giác đều, góc Nếu tam giác có ba góc tam giác tam giác Nếu tam giác cân có góc tam giác tam giác Định lí Py-ta-go Định lí Py-ta-go Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng vng ( định lí Py-ta-go) Định lí Py-ta -go đảo Nếu tam giác có bình phương cạnh tổng hai bình phương hai cạnh tam giác tam giác vng Chương III- Quan hệ cá yếu tố tam giác Các đường thẳng đồng quy tam giác I Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác Góc đối diện với cạnh lớn Định lí 1: Trong tam giác, góc đói diện với cạnh lớn cạnh lớn Xét Cạnh đối diện với góc lớn Định lí 2: Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Xét II Quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu Khái niệm đường vng góc, đường xiên, hình chiếu đường xiên Lấy kẻ , lấy Khi đó: • • • • Đoạn thẳng gọi đường vng góc kẻ từ đến đường thẳng Điểm gọi hình chiếu đường thẳng Đoạn thằng gọi đường xiên kẻ từ đến đường thằng Đoạn thẳng gọi hình chiếu đường xiên đường thằng Quan hệ đường vng góc đường xiên Định lí 1: Trog đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường thằng ngắn đường vng góc, ;à đường xiên Các đường xiên hình chiếu chúng Định lí 2: Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng : • Đường xiên có hình chiếu lớn lớn • Đường xiên lớn có hình chiếu lớn • Nếu hai đường xiên hai hình chiếu nhau, ngược lại, hai hình chiếu hai đường xiên Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác III Bất đẳng thức tam giác Định lí: Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh cịn lại Xét có: • • ( bất đẳng thức tam giác) • Hệ bất đẳng thức tam giác Hệ quả: Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh cịn lại Xét có: • • ( Hệ bất đẳng thức tam giác) • IV Tính chất ba đường trung tuyến tam giác Đường trung tuyến tam giác Định nghĩa: Đường trung tuyến đường nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện đỉnh Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến có trung điểm đường trung tuyến Tính chất ba đường trung tuyến tam giác Định lí: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh có dường trung tuyến Điểm gọi trọng tâm V Tính chất tia phân giác góc Định lí thuận Định lí 1: Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh AcủaM xgóc y tia phân giác , O Định lí đảo B z Định lí 2: Điểm nằm bên góc cachs dều hai cạnh góc nằm tia phân giác góc tia phân giác nằm VI Tính chất ba đường phân giác tam giác Đường phân giác tam giác Định nghĩa: Đường phân giác góc đường chia góc thành hai góc nhỏ tia phân giác Tính chất: Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cân có đường phân giác đường trung tuyến Tính chất ba đường phân giác tam giác Định lí: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác có đường phân giác VII Tính chất ba đường trung trực tam giác Định lí tính chất điểm thuộc đường trung trực Định lí 1: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cashc hai mút đoạn thẳng đường trung trực , Đường trung trực tam giác Định nghĩa: Trong tam giác, đường trung trực cạnh gọi đường trung trực tam giác Tính chất ba đường trung trực tam giác Định lí: Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác , đường trung trực VIII Tính chất ba đường cao tam giác Đường cao tam giác: Đường coa tam giác đường qua đỉnh vng góc với cạnh đối diện đỉnh Tính chất ba đường cao tam giác Định lí: Ba đường cao tam giác qua điểm MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Vấn đề Chứng minh tam giác cân Chứng minh tam giác có hai cạnh Chứng minh tam giác có hai góc Chứng minh tam giác có đường trung tuyến vừa đường cao Chứng minh tam giác có đường cao vừa đường phân giác đỉnh Vấn đề Chứng minh tam giác Chứng minh tam giác có ba cạnh Chứng minh tam giác có ba góc Chứng minh tam giác cân có góc 60 Vấn đề Chứng minh hai góc Chứng minh hai góc có số đo Chứng minh hai góc góc thứ ba,chứng minh hai góc phụ với góc , chứng minh hai góc bù với góc Chứng minh hai góc tổng ,hiệu hai góc tương ứng Chứng minh hai góc đối đỉnh Chứng minh hai góc nhọn tù có cạnh tương ứng song song vng góc Chứng minh hai góc hai góc tương ứng hai tam giác Chứng minh hai góc hai góc đáy tam giác cân Chứng minh hai góc hai góc tam giác Chứng minh dựa vào định nghĩa tia phân giác góc 10 Chứng minh dựa vào tính chất hai đường thẳng song song (đồng vị, so le, ) Vấn đề Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng nhau: Chứng minh hai đoạn thẳng có số đo Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba Chứng minh hai đoạn thẳng tổng, hiệu, hai đoạn thẳng đôi Chứng minh hai đoạn thẳng hai cạnh tương ứng hai tam giác Chứng minh hai đoạn thẳng suy từ tính chất tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, v.v Chứng minh hai đoạn thẳng dựa vào định nghĩa trung điểm đoạn thẳng ,định nghĩa trung tuyến tam giác,định nghĩa trung trực đoạn thẳng,định nghĩa phân giác góc Chứng minh hai đoạn thẳng dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Chứng minh hai đoạn thẳng dựa vào tính chất giao điểm ba đường phân giác tam giác,tính chất giao điểm ba đường trung trực tam giác Chứng minh dựa vào định lí Pitago Vấn đề Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song : Chứng minh hai góc so le 2 Chứng minh hai góc đồng vị Chứng minh hai góc phía bù Chứng minh hai góc so le ngồi Chứng minh hai góc ngồi phía bù Chứng minh a b vng góc với đường thẳng c Chứng minh a b song song với đường thẳng c Để chứng minh Ta giả sử a b có điểm chung dẫn đến điều vơ lý ( chứng minh phản chứng ) Vấn đề Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc: Chứng minh góc tạo thành hai đường thẳng góc vng (định nghĩa ) Chứng minh dựa vào tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù Chứng minh dựa vào tính chất tổng góc tam giác , chứng minh cho tam giác có hai góc phụ suy góc thứ ba Chứng minh dựa vào định lí "đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng " Chứng minh dựa vào định nghĩa ba đường cao tam giác, định nghĩa đường trung trực đoạn thẳng Chứng minh dựa vào tính chất tam giác cân , tam giác Chứng minh dựa vào tính chất ba đường cao tam giác Chứng minh dựa vào định lí Pitago Chứng minh dựa vào định lí nhận biết tam giác vng biết tam giác có trung tuyến thuộc cạnh nửa cạnh Vấn đề Các phương pháp chứng minh hai tam giác vuông nhau: Chứng minh hai tam giác có hai cạnh góc vng đôi (c.g.c) Chứng minh hai tam giác có cạnh huyền góc nhọn đôi (dẫntới trường hợp c.g.c) Chứng minh hai tam giác có cạnh huyền cạnh góc vng đơi (định lí ) Chứng minh hai tam giác có cạnh góc vng góc nhọn đôi (dẫn tới trường hợp g.c.g) Vấn đề Các phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng: Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm nằm hai cạnh hai tia đối Chứng minh ba điểm thuộc tia thuộc đường thẳng Chứng minh ba đoạn nối hai ba điểm có đoạn thẳng tổng hai đoạn thẳng Chứng minh hai đường thẳng qua hai ba điểm song song với đường thẳng thứ ba Sử dụng vị trí hai góc đối đỉnh Chứng minh hai đường thẳng qua hai ba điểm vng góc với đường thẳng thứ ba Đường thẳng qua hai ba điểm có chứa điểm thứ ba Sử dụng tính chất đường phân giác góc, tính chất đường trung trực đoạn thẳng, tính chất ba đường cao, tam giác Vấn đề Các phương pháp chứng minh đường thẳng đồng quy: Tìm giao hai đường thẳng, sau chứng minh đường thẳng thứ ba qua giao hai đường thẳng Chứng minh điểm thuộc ba đường thẳng Chứng minh dựa vào tính chất đồng quy tam giác: Ba đường thẳng chứa đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao tam giác  ... thừa thương Quy tắc: Lũy thừa tích tích lũy thừa Lũy thừa tích tích lũy thừa Biểu diễn ngơn ngữ toán học: VI Tỉ lệ thức Định nghĩa Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Tỉ lệ thức viết Tính chất Tính... Chương IV - Biểu thức đại số I Khái niệm biểu thức đại số Những biểu thức mà ngồi số, kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa cịn có chữ ( đại diện số) gọi biểu thức đại số II... minh a b song song với đường thẳng c Để chứng minh Ta giả sử a b có điểm chung dẫn đến điều vô lý ( chứng minh phản chứng ) Vấn đề Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc: Chứng minh