Lí thuyết đày đủ Toán11

Lớp 11 PHẦN I: ĐẠI SỐ CHƢƠNG 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC- PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC I CƠNG THỨC Công thức lƣợng giác sin a  cos a  tan a.cot a  1, a   , a   k ( k  ) cos a 1  cot a  , a  k  k   sin a  tan a    k ( k  ) Giá trị lƣợng giác cung có liên quan đặc biệt a Cung đối:    cos     cos tan      tan  sin      sin  cot      cot  b Cung bù:     sin      sin  tan       tan  cos      cos c Cung phụ:   cot       cot     sin      cos 2    tan      cot  2    cos      sin  2    cot      tan  2  d Cung  :      sin       sin  tan      tan  cos      cos cot      cot  Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo,  tan cot Công thức cộng Lớp 11 sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b  tan a.tan b tan a  tan b tan  a  b    tan a.tan b tan  a  b   Chú ý: sin sin.cos , cos.sin ; cos cos.cos , sin.sin trừ ; tan tan tổng chia trừ tích tan Cơng thức nhân đơi sin 2a  2sin a.cos a cos2a  cos a  sin a  2cos a    2sin a tan 2a  tan a  tan a Công thức hạ bậc sin a   cos2a cos2 a  Cơng thức tính theo t  tan sin a  2t 1 t2 cos a   cos2a tan a   cos2a  cos2a  1 t2 1 t2 tan a  a      k , k   2  2t 1 t2 Công thức nhân ba sin 3a  3sin a  4sin a cos3a  4cos3 a  3cos a tan 3a  3tan a  tan a  3tan a Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b cos 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 sin  a  b     tan a  tan b   a, b   k , k   cos a.cos b   cos a  cos b  cos Cơng thức biến đổi tích thành tổng ab a b sin 2 ab a b sin a  sin b  2cos sin 2 sin  a  b     tan a  tan b   a, b   k , k   cos a.cos b   cos a  cos b  2sin Lớp 11 cos  a  b   cos  a  b   2 sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b   sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b   cos a.cos b  10 Bảng giá trị lƣợng giác cung đặc biệt Cung          2  0  3   5  00   300   450   600   900   1200   135   150   180       6 4 3 2   sin 2 cos 2 2  tan 3 ║  cot ║ 1  3 2  Chú ý: n với   00 ; 300 ; 450 ; 600 ; 900 ứng với n = 0; 1; 2; 3; a0   Công thức đổi từ độ sang radian ngược lại:  180  11 Đƣờng tròn lƣợng giác  sin   2 2  1 1  1  ║ Lớp 11 sin π 3π π 4 2π π O -1 cos 7π 5π 4 -1 3π II HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Tìm tập xác định hàm số lƣợng giác Để tìm tập xác định hàm số lượng giác ta cần nhớ:  y  tan f ( x)  sin f ( x) ĐKXĐ   cos f ( x)   f ( x)   k  k  cos f ( x)  y  cot f ( x)  cos f ( x) ĐKXĐ  sin f ( x)   f ( x)  k  k  sin f ( x)    Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp: ĐKXĐ o y   P( x)  P( x) o ĐKXĐ y  2n P( x)   P( x )  o y 2n ĐKXĐ   P( x)  P( x) A  Lưu ý : 1  sin f ( x);cos f ( x)  A.B    B  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lƣợng giác  Dựa vào tập giá trị hàm số lượng giác, chẳng hạn:  0  sin x  1  sin x     sin x    o Biến đổi dạng m  y  M o Xét tính chẵn lẻ hàm số lƣợng giác  Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số lượng giác Nếu x  D  x  D  D tập đối xứng chuyển sang bước  Bước 2: Tính f ( x) Lớp 11 o Nếu f ( x)  f ( x) y  f ( x) hàm chẵn o Nếu f ( x)   f ( x) y  f ( x) hàm lẻ o Nếu f ( x)  f ( x), f ( x)   f ( x) hàm y  f ( x) khơng chẵn khơng lẻ III PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Phƣơng trình lƣợng giác bản: a Phương trình sin x  a  a  : Phương trình vơ nghiệm  a 1  x    k 2  sin x  sin    k    x      k 2  x    k 3600  sin x  sin    k  0  x  180    k 360  x  arc sin a  k 2  sin x  a   k    x    arc sin a  k 2   f  x   g  x   k 2 Tổng quát: sin f  x   sin g  x    k   f  x     g  x   k 2 * Các trƣờng hợp đặc biệt  sin x   x    k 2  sin x  1  x    sin x   x  k  k    k 2 k   k   b Phương trình cos x  a  a  : Phương trình vơ nghiệm  a 1  cosx  cos  x    k 2  k    cosx  cos  x     k 3600  k   cosx  a  x   arccosa  k 2  k    Tổng quát: cosf  x   cosg  x   f  x    g  x   k 2  k  * Các trƣờng hợp đặc biệt   Lớp 11 k   cosx  1  x    k 2  k    cosx   x  k 2   cosx   x    k k   c Phương trình tan x  a k    tan x  t an  x =  k1800  k    tan x  a  x = arctan a  k  k    tan x  t an  x =   k Tổng quát: tan f  x   tan g  x   f  x   g  x   k  k   d Phương trình cot x  a k    cot x  cot   x =  + k1800  k    cot x  a  x = arc cot a + k  k    cot x  cot   x =  + k Tổng quát: cotf  x   cotg  x   f  x   g  x   k  k  IV  MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP Phƣơng trình lƣợng giác đƣa bậc hai bậc cao hàm lƣợng giác Dạng a.sin X  b.sin X  c  a.cos2 X  b.cos X  c  a.tan X  b.tan X  c  t  sin X t  cos X t  tan X Đặt ẩn phụ t  cot X a.cot X  b.cot X  c  Phƣơng trình lƣợng giác bậc sin cos Dạng tổng quát: a sin x  b cos x  c,  a, b   a  b2  c Phương pháp giải: o Chi hai vế cho o Giả sử cos   \ 0 Điều kiện để phương trình có nghiệm : a  b2  ta phương trình : a a b 2 b ;sin   sin x.cos   sin  cos x  a  b2 c a a b 2 sin x  b a b :  sin  x     a b Phƣơng trình lƣợng giác đẳng cấp   k X  k X  Điều kiện 1  t  1  t  c a  b2 : dạng cos x  c a  b2 Lớp 11  Dạng tổng quát: a.sin X  b.sin x.cos x  c.cos x  d ,  a, b, c, d   Phương pháp giải: o Với cos X   X  o Với cos X   X    2  k sin X  thay vào phương trình ta : a  d  k , ta chia hai vế phương trình cho cos2 x ta : sin X sin X d b c  cos X cos X cos X  a tan X  b tan X  c  d 1  tan X  a o Giải phương trình bậc hai với ẩn t  tan X Phƣơng trình lƣợng giác đối xứng a Dạng 1: a  sin x  cos x   b sin x.cos x  c  Phương pháp giải :  t 1 Đặt t  sin x  cos x, t   sin x.cos x   Khi ta có phương trình : a.t  b  t 1 c  Giải phương trình bậc hai ta ẩn t Từ giải x b Dạng 2: a  tan x  cot x   b  tan x  cot x   c  Phương pháp giải:  Đặt t  tan x  cot x, t   tan x  cot x  t   Khi ta có phương trình : a  t    bt  c   Giải phương trình bậc hai ta ẩn t Từ giải x Phƣơng trình lƣợng giác khơng chuẩn mực A   B  A   a Trường hợp 1: Tổng hai số không âm  A  B  B  A  M  B A  M  b Trường hợp 2: Phương pháp đối lập :  A  B B  M  A  B, B  N A  M  c Trương hợp 3: Sử dụng tính chất :  A  B  M  N B  N    sin u  sin u  sin v    sin v  sin u  sin u  sin v    sin v  1 Lớp 11     sin u  1 sin u  sin v  2   sin v  1 sin u  1 sin u  sin v  2   sin v  A  M , B  N  A  M  A  M d Sử dụng tính chất :     A.B  M N B  N B   N sin u  sin u  1 sin u.sin v     sin v  sin v  1 sin u  sin u  1 sin u.sin v  1    sin v  1 sin v  CHƢƠNG II : TỔ HỢP – XÁC SUẤT Vấn đề 1: QUY TẮC ĐẾM I Lý thuyết Quy tắc cộng Giả sử có cơng việc tiến hành k phương án A1 , A2 , A3 , Ak Nếu : Phương án A1 có n1 cách thực Phương án A2 có n2 cách thực … Phương án A2 có n2 cách thực Khi cơng việc thực theo n1  n2   nk cách Quy tắc nhân Giả sử công việc tiến hành qua k cơng đoạn B1 , B2 , , Bk Nếu : Công đoạn B1 có m1 cách thực Cơng đoạn B2 có m2 cách thực … Lớp 11 Công đoạn Bk có mk cách thực Khi , cơng việc thực theo n1.n nk cách Ngun lí bù trừ Vấn đề 2: HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP I Hoán vị Định nghĩa : Cho tập hợp gồm n phần tử, n số nguyên dương, cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử: Pn  n ! Dấu hiệu:  Tất n phần tử có mặt  Mỗi phần tử xuất lần  Có phân biệt thứ tự phần tử II Chỉnh hợp Định nghĩa: Lấy k phần tử khác từ n phần tử xếp theo thứ tự có Ank cách Cơng thức : Ank  n! (n  k )! Dấu hiệu:  Phải chọn k phần tử n phần tử cho trước  Có phân biệt thứ tự k phần tử chọn II Tổ hợp Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử, n số nguyên dương Lấy k phần tử từ n phần tử có Cnk cách Cơng thức : Cnk  n! k !(n  k )! Tính chất:  Cnk  Cnnk , 0  k  n  Cnk  Cnk1  Cnk11 , 0  k  n Dấu hiệu :  Phải chọn k phần tử n phần tử cho trước  Không phân biệt thứ tự k phần tử chọn Vấn đề : NHỊ THỨC NEW-TON I Lý thuyết Công thức nhị thức Newton  n (a  b)n   Cnk a n k bk  Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n 2b   Cnn 1ab n 1  Cnnb n Lớp 11  Số hạng tổng quát : Tk 1  C a k n  nk b k n (a  b)n  (1) k  Cnk a nk bk  Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n 2b   (1) n Cnnb n  Số hạng tổng quát : Tk 1  (1)k Cnk a nk bk Vấn đề 4: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I Lý thuyết BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ a Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu: Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) thí nghiệm hay hành động mà lặp lặp lại nhiều lần điều kiện giống nhau, kết khơng dự đốn trước xác định tập hợp tất kết xảy Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử, ký hiệu Ω b Xác suất biến cố: Định nghĩa : Giả sử phép toán thử T có khơng gian mẫu Ω tập hợp hữu hạn kết T đồng khả Nếu A biến cố liên quan với phép thử T ΩA tập hợp kết mơ tả A xác suất A số ký hiệu P(A), xác định công thức: P( A)  A   A  số phần tử tập ΩA Ω - Biến cố chắn (luôn xảy thực phép thử T) có xác suất - Biến cố (không xảy thực phép thử T) có xác xuất CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 2.1 Quy tắc cộng xác suất a Biến cố hợp Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Nếu “biến cố A biến cố B xảy ra”, kí hiệu A  B gọi hợp hai biến A B Nếu kí hiệu ΩA ΩB tập hợp mơ tả A B tập hợp mô tả biến cố A  B ΩA  ΩB Lớp 11 Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak liên quan đến phép thử T Biến cố “ có biến cố A1, A2, …, Ak xảy ra, ký hiệu A1  A2   Ak , gọi hợp k biến cố b Biến cố xung khắc Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố khơng xảy Hai biến cố xung khắc ΩA  ΩB =  c Quy tắc cộng xác suất Nếu hai biến cố A B xung khắc xác suất để A B xảy là: P( A  B)  P( A)  P( B) (1) Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak đơi xung khắc ta có: P( A1  A2   Ak )  P( A1 )  P( A2 )   P( Ak ) (2) d Biến cố đối  Cho biến cố A biến cố “ Khơng xảy A”, ký hiệu A¸ gọi biến cố đối A   Cho biến cố A xác suất biến cố đối A¸ là: P( A)   P( A) (3) 2.2 Quy tắc nhân xác suất a Biến cố giao Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Biến cố “ Cả A B xảy ra”, ký hiệu A.B, gọi giao hai biến cố A B Nếu ΩA ΩB tập hợp kết thuận lợi cho A B tập hợp kết thuận lợi cho AB ΩA  ΩB Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak liên quan đến phép thử T Biến cố “ tất k biến cố A1, A2, …, Ak xảy “, ký hiệu A1A2 Ak , gọi giao k biến cố b Biến cố độc lập Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới việc xảy hay không xảy biến cố c Quy tắc nhân xác suất Nếu hai biến cố A B xung khắc xác suất để A B xảy là: P( AB)  P( A).P( B) Lớp 11 CHƢƠNG 3: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG -CẤP SỐ NHÂN Vấn đề 1: CẤP SỐ CỘNG I Dãy số    Dãy số hữu hạn Dãy số vô hạn tuần hồn Dãy số vơ hạn khơng tuần hồn II Cấp số cộng Cấp số cộng Là dãy số hữu hạn vơ hạn tuần hồn số hạng sau số hạng trước cộng thếm số d không đổi ( d  ) 2.Công thức tổng quát a u1 số hạng đầu; d công sai Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d b Tổng n số hạng đầu Sn  n.u1  n(n  1) d Lưu ý: Ba số a;b;c lập thành cấp số cộng  a  c  2b Vấn đề 2: CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa : Cấp số nhân dãy số mà số hạng đứng sau số hạng đứng trước nhân them số q ( q  ) Các công thức a Số hạng tổng quát Cho CSN có u1 số hạng đầu , công bội q(q  0) , số hạng tổng quát: un  u1.q n1 b Tổng n số hạng đầu: Lớp 11 Sn  u1 (1  q ) 1 q n Lưu ý: Ba số a; b; c lập thành cấp số nhân  a.c  b2 CHƢƠNG 4: GIỚI HẠN Vấn đề 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ I Lý thuyết Giới hạn hữu hạn lim  a   lim (vn  a)  n n Giới hạn vô cực lim un    lim (un )   n n Các giới hạn đặc biệt 1  lim k  lim n k  (k  n n n lim q  0( q  1) lim q n    q  1 lim  ) lim c  c Định lý giới hạn hữu hạn  Nếu lim un  a lim  b :  lim  un    a  b lim(un  )  a  b lim un  a.b lim un a  b Nếu un  với n lim un  a a  lim un  a Định lý liên hệ giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực lim un  a u  lim n    lim     II lim un  a  u  lim n    lim  0(vn  0) lim un    lim un    lim  a  Các dạng toán thường gặp Lớp 11 Dạng vô định   a0nm  a1n m1   am a Xét dãy un  , a0  0, b0  b0nk  b1n k 1   bk    1 a0  a1   am m n n Nếu m  k chia tử mẫu cho n m lim un    1 b0 mk  b1 mk 1   bk m n n n 1 a0 k m  a1 k m1   am k n n n 0 Nếu m  k chia tử mẫu cho n k : lim un  1 b0  b1   bk k n n a Nếu m  k chia tử mẫu cho n k : lim un  b0 b Đối với biểu thức chứa bậc hai, bậc ba chia tử mẫu cho lũy thừa số lớm n tử mẫu c Đối với biểu thức mũ chia tử mẫu cho mũ có số lớn tử mẫu Dạng vô định    a Đối với dãy un  amnm  am1nm1   a0 , alm  đặt thừa số chung n m ngồi Khi lim un  (am  0) lim un    am   b Đối với biểu thức chứa thức nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa dạng: A  B2 AB A B A B  A B A  B2 AB AB A B A B  A B AB 3 3 AB AB A  B3 A2  B A  B A  B3 A2  B A  B A B A3 B  A3 B  A2  AB  B A B A2  AB  B c Đối với biểu thức hỗn hợp xem xét đặt thauwf số chung mũ có số lớn nhất, lũy thừa n lớn Vấn đề 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I Lý thuyết Giới hạn hữu hạn  lim f ( x)  L x x0   lim f ( x)  L x x0 lim f ( x)  L x x0 Lớp 11   lim f ( x)  L x lim f ( x)  L x Các giới hạn đặc biệt lim x  x0 lim c  c x x0 lim c  c x x0 x x0 lim x k  (k  c 0 x x lim x k  (k  2n) lim x  lim x k  (k  2n  1) ) x x Định lí giới hạn hữu hạn  Nếu lim f ( x)  L lim g ( x)  M ta có : x x0 xx0 lim  f ( x)  g ( x)  L  M lim  f ( x)  g ( x)  L  M xx0 xx0 xx0 lim lim  f ( x).g ( x)  L.M  II f ( x) L  ( M  0) g ( x) M x x0 Nếu f ( x)  lim f ( x)  L , L  lim x x0 x x0 f ( x)  L Các dạng tốn thường gặp  Dạng vơ định x  , x    a Đối với hàm phân thức ta chia tử mẫu cho lũy thừa cao x 0(m  k )  a0 x m  a1x m1   am a , a0  0, b0  Khi : lim f ( x)   (m  k ) Xét hàm số f ( x)  k k 1 x b0 x  b1x   bk  b0 (m  k ) b Đối với biểu thức chứa căn, ta nhân lượng liên hợp để khử thức đưa dạng phân thức nêu Dạng vô định f  x   x  x0  f1  x   a Đối với hàm phân thức lim f ( x) ta phân tích rút gọn cho x  x0 x x0 g  x   x  x0  g1  x  b Đối với biểu thức chứa thức , ta nhân lượng liên hợp để khử thức, tạo thứa số x  x0 , rút gọn Dạng vô định   ,0.    Đặt nhân tử chung lũy thừa cao x Quy đồng mẫu phân số Nhân chia lượng liên hợp để khử Lớp 11  Chuyển dạng  biết  Vấn đề 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC I Lý thuyết Định nghĩa :Hàm số liên tục x0 f ( x0 )  lim f ( x) xx0 II Các dạng toán thường gặp Xét tính liên tục cảu hàm số điểm x  x0 Bước 1: Tìm TXĐ Bước 2: Xét x0 có thuộc D hay khơng? Bước 3: Tính lim f ( x) lim f ( x), lim f ( x) f ( x0 ) x x0 xx0 xx0 Bước 4: So sánh lim f ( x)  f (x ) lim f ( x)  lim f (x)  f  x0  xx0 xx0 xx0 Thì hàm số liên tục x  x0 Xét tính liên tục hàm số khoảng, đoạn  Để chứng minh hàm số y  f  x  liên tục khoảng, đoạn ta dung định nghĩa hàm số liên tục khoảng, đoạn nhận xét để suy kết luận  Khi nói xét tính liên tục hàm số ta hiểu xét tập xác định  Tìm điểm gián đoạn hàm số tức xét xem tập xác định hàm số khơng liên tục điểm Chứng minh phƣơng trình có nghiệm  Biến đổi dạng f ( x)   Tìm hai số a, b cho f (a) f (b)   Chứng minh f ( x) liên tục  a; b từ suy f ( x)  có nghiệm  Chú ý: Nếu f (a) f  b   phương trinh có nghiệm thuộc  a; b Để chứng minh f ( x)  có n nghiệm ta chia đoạn  a; b thành n đoạn nhỏ rời nhau, chứng minh đoạn phương trình có nghiệm CHƢƠNG : ĐẠO HÀM Định nghĩa, Lớp 11 f '( x0 )  lim x0 f ( x0  x)  f ( x0 ) f ( x)  f ( x0 )  lim x x0 x x  x0 Quy tắc tính đạo hàm định nghĩa Bƣớc 1: Với x số gia đối số x0 , tính y  f ( x0  x)  f ( x0 ) Bƣớc 2: Lập tỉ số y x y x0 x Bƣớc 3: Tính lim Ý nghĩa hình học đạo hàm Phương trình tiếp tuyến điểm M ( x0 ; f ( x0 )) có dạng : y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) Các phép toán U  V  W  '  U ' V ' W ' (UV ) '  U '.V  U V ' (kU ) '  K U '  U  U 'V  V 'U  '  V2 V  V' 1  '   V V  Các quy tắc tính đạo hàm Lớp 11  x n   nx n1 14  u n   nu n1.u  x   x 15  u   2uu       x x u   16     u u  sin x   cos x 17  sin u   u cos u  cos x    sin x 18  cos u   u sin u  tan x   19  tan u      e   e   22  e   e u u cos u u 20  cot u    sin u 21 a u   a u ln a.u cos x  cot x    sin x a x   a x ln a x x u u u 23  log a u   ln a.u u 24  log u   ln10.u u 25  ln u   u u  26 n u  n n 1 n u 10  log a x   ln a.x 11  log x   ln10.x 12  ln x   x  13 n x  n n 1 n x     PHẦN II: HÌNH HỌC CHƢƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH I Phép biến hình Các phép biến hình có chung tính chất : - Bảo tồn khoảng cách điểm Biến đường thẳng thành đường thẳng Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho Biến tam giác thành tam giác tam giác cho Biến đường tròn thành đường trịn có bán kính Lớp 11 STT Tên Phép tịnh tiến Công thức M '  Tv (M )  MM '  v Phép đối xứng trục M '  Đd (M )  M M '  M M Phép quay M '( xM ' ; yM ' )  Q( I , ) ( M ) Phép đối xứng tâm  x  ( xM  a) cos   ( yM  b)sin   a   M'  yM '  ( xM  a)sin   ( yM  b) cos   b Cho I ( xI ; yI ), M ( xM ; yM ) M '( xM ' ; yM ' ) ảnh M qua phép đối xứng tâm I  x  xI  xM Khi :  M '  yM '  y I  yM Hình minh họa Lớp 11 II     Phép vị tự Tính chất Biến đường thẳng không qua tâm vị tự thành đường thẳng song song với đường thẳng cho Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành Biến tia thành tia Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên k  Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỷ số đồn dạng k  Biến góc góc ban đầu Ảnh đường tròn qua phép vị tự Cho đường trịn (C) tâm I ; bán kính R  I '  V(O;k ) ( I ) Khi đó: ((C '))  V(O ,k ) ((C ))  (C ')   R'  k R Lớp 11 CHƢƠNG 2: ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẢNG TRONG KHÔNG GIAN I Đại cương đường thẳng mặt phẳng a Dạng tốn 1: Tìm giao tuyến mặt phẳng  Tìm hai điểm chung phân biệt mặt phẳng  Đường thẳng nối điểm chung giao tuyến hai mặt phẳng Cách biểu diễn: b Dạng tốn 2: Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( )  Tìm mặt phẳng phụ (  ) chứa d cho dễ tìm giao tuyến với mặt phảng ( ) Mặt phảng tạo đường thẳng d điểm ( )  Tìm giao tuyến u ( ) (  )  Trong (  ) , d cắt u I, mà u  ( ) Vậy d  ( )  I c Dạng tốn 3: Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( ) Ta tìm đoạn giao tuyến nối tiếp mặt phẳng ( ) với hình chóp khép kín thành đa giác phẳng Đa giác thiết diện cần tìm đoạn giao tuyến cạnh thiết diện II Hai đường thẳng song song Bài tốn : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng chứa đường thẳng song song  A  ( )  (  )  a  ( ); b  (  )  ( )  (  )  Ax với Ax a b  a b  III Đường thẳng song song với mặt phẳng Bài toán 1: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) a  a b  b  ( P)  a ( P)  a  ( P)  P Bài tốn 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng b Lớp 11 a ( P)    ( P)  (Q)  Mx a  a  (Q)  M  ( P)  (Q)  a ( P)   Hoặc  a (Q)  ( P)  (Q)  Mx a  M  ( P)  (Q)  IV Hai mặt phẳng song song  a b  I a, b  ( )   ( ) (  )   a ( )  b (  ) CHƢƠNG : QUAN HỆ VNG GĨC I Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Cách :Nếu đường thẳng vng góc với đường cắt mặt phẳng đường thẳng vng góc với mặt phẳng cho d d’ d” Cách biểu diễn: P Cách 2: Hai đường thẳng song song Mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với mặt phẳng d d’ Cách biểu diễn: P Lớp 11 Cách 3: Hai mặt phẳng song song Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng d P Cách biểu diễn: Q Cách 4: Nếu mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba d P Q Cách biểu diễn: T Cách 5: Nếu mặt phẳng vuông góc với Nếu có đường thẳngtrong mặt phẳngnầyv ng góc với giao tuyến đường thẳng vng góc với mặt phẳng P d’ Cách biểu diễn: d Q II Hai mặt phẳng vng góc Lớp 11 Cách chứng minh: Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Cách biểu diễn: III Góc đường thẳng mặt phẳng d P d’ hình chiếu ... u.sin v  1    sin v  1 sin v  CHƢƠNG II : TỔ HỢP – XÁC SUẤT Vấn đề 1: QUY TẮC ĐẾM I Lý thuyết Quy tắc cộng Giả sử có cơng việc tiến hành k phương án A1 , A2 , A3 , Ak Nếu : Phương án... m2 cách thực … Lớp 11 Cơng đoạn Bk có mk cách thực Khi , cơng việc thực theo n1.n nk cách Nguyên lí bù trừ Vấn đề 2: HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP I Hốn vị Định nghĩa : Cho tập hợp gồm n phần tử,... phần tử n phần tử cho trước  Không phân biệt thứ tự k phần tử chọn Vấn đề : NHỊ THỨC NEW-TON I Lý thuyết Công thức nhị thức Newton  n (a  b)n   Cnk a n k bk  Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n