Chuyên đề các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Áp dụng trường hợp đồng dạng tam giác vào tam giác vuông Hai tam giác vuông đồng dạng với nếu: - Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông - Tam giác vuông có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng Tỉ số hai đường cao, trung tuyến, phân giác hai tam giác đồng dạng - Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng - Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng - Tỉ số hai đường phân giác tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Chứng minh hai tam giác vng đồng dạng Phương pháp giải: Có thể sử dụng cách sau: Cách 1:Áp dụng trường hợp đồng dạng hai tam giác thường vào tam giác vuông Cách 2: Sử dụng đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng Cho tam giác ABC có đường cao BD CE cắt H Chứng minh: a) BEH ∽ CDH; b) EHD ∽ BHC Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC) Qua điểm M BC, vẽ đường thẳng vng góc với BC, cắt AC, AB D, E Chứng minh: a) ABC ∽ MDC; b) EAD ∽ EMB Cho hình thang vuông ABCD A D, AB  6cm,CD  12cm AD  17cm Trên cạnh   900 AD, lấy E cho AE  8cm Chứng minh BEC Cho tam giác ABC vuông A với AC  4cm BC  6cm Kẻ tia Cx vng góc với BC (tia Cx điểm A nằm khác phía so với đường thẳng BC) Trên tia Cx lấy điểm D cho BD  9cm Chứng minh BD song song với AC Dạng Sử dụng trường hợp đồng dạng tam giác vuông để giải toán Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng hai tam giác vuông (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ suy cặp góc tương ứng cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đo suy điều cần chứng minh Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) Chứng minh AB  BH.BC; b) Chứng minh AH  BH.CH; c) Gọi P trung điểm BH Q trung điểm AH Chứng minh BAP ∽ ACQ; d) Chứng minh AP  CQ Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M N chân đường vng góc kẻ từ H xuống AB AC Chứng minh: a) AH  AM.AB; b) AM.AB  AN.AC c) AMN ∽ ACB Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Kẻ CE  AB E, CF  AD F, BH  AC H DK  AC K Chứng minh; a) AB AH  ; AC AE b) AD.AF  AK.AC; c) AD.AF  AB.AE  AC Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H Chứng minh BC  BH.BD  CH.CE Dạng Tỉ số diện tích hai tam giác Phương pháp giải: Sử dụng định lý tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Cho hình vng ABCD Gọi E F trung điểm AB BC I giao điểm DF CE Tính tỉ số diện tích hai tam giác CIE CBE 10 Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC Đường thẳng qua D song song với AC cắt AB E, đường thẳng qua D song song với AB cắt AC F Cho biết diện tích tam giác EBD FDC a b2 , tính diện tích tam giác ABC HƯỚNG DẪN CÁC DẠNG BÀI 1A.a) BEH  CDH ( g  g ) b) Có BEH  CDH ta suy HE HB  HD HC Từ chứng minh EHD  BHC (c.g.c) 1B HS tự chứng minh 2A Ta chứng minh  ABE  DEC (c.g c )   AEB  ECD    900 (ĐPCM) Từ ta có DEC AEB  900 suy BEC 2B Ta chứng minh  ABC  CBD   ACB  CBD Từ suy BD//AC (ĐPCM) TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 3A a) Ta chứng minh ABH  CBA từ suy AB2 = BH.BC (ĐPCM) b) Tương tự câu a, HS tự chứng minh c) Từ AHC  BHA AH AC AH AQ   mà BH AB BH BP AC AQ  Từ suy Do có BAP  ACQ (c  g  c) AB BP  d) Gọi M giao điểm CQ AP (M  AP)   MCA  Trong AMC ta Sử dụng kết câu b) BAP   90  CP  AQ (ĐPCM) chứng minh CMA 3B HS tự chứng minh AB AH  (1) AC AE AD AK  b) Tương tự câu a ta chứng minh AC AF 4A a) Ta chứng minh AHB  AEC( g.g)   AD.AF =AK.AC (2) b) Từ (1) ta có AB.AE = AC.AH (3) Lấy (3) + (2) ta AD.AF + AB.AE = AC2 (ĐPCM) 4B Gợi ý: Gọi AH  BC   K  , chứng minh AK  BC Áp dụng cách làm tương tự 4A suy ĐPCM 5A Ta chứng minh CIF vuông I Vẽ BK  CE S  BC   CBK  CFI  CBK    4 SCFI  CF  Lại có  CFI  BEK nên SCBE 5 SCIF 5B Đặt SABC = S2 EBD  ABC S a  BD   BD    Chứng minh  EBD     S ABC  BC  S  BC   BD a  (1) BC s Chứng minh: S DC b  DC   CDF  CBA  CDF    (2)   SCBA  BC  BC s Từ (1) (2)  BD DC a b     S  a  b BC BC s s TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ Bài 1: Cho tam giác ABC có đường cao BD CE cắt H Chứng minh: a) BEH ” CDH; b) EHD ” BHC Bài 2: Cho ABC có đường cao AH, biết AB  30cm, BH  18cm ; AC  40cm a) Tính độ dài AH chứng minh: ABH ” CAH b) Chứng minh ABH ” CBA   Bài 3: Cho tam giác ABC, có A  90   B , đường cao CH Chứng minh: a)  CBA   ACH b) CH  BH AH Bài 4: Cho hình vng ABCD , cạnh a Gọi E điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD I Trên EB lấy điểm M cho DM  DA a) Chứng minh EMC ~ ECB b) Chứng minh EB MC  a c) Tính diện tích tam giác EMC theo a Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm a) Tính BC b) Từ trung điểm M BC, vẽ đường thẳng vng góc với BC, cắt đường thẳng AC H cắt đường thẳng AB E Chứng minh EMB ~ CAB c) Tính EB EM d) Chứng minh BH vng góc với EC e) Chứng minh HA.HC  HM HE Bài 6: Cho tứ giác ABCD, có  DBC  90 , AD  20cm , AB  cm , DB  cm , DC  cm a) Tính góc  BAD b) Chứng minh BAD ” DBC c) Chứng minh DC //AB Bài 7: Cho hình bình hành ABCD ( AC > BD) vẽ CE vng góc với AB E, vẽ CF vng góc với AD F.Chứng minh AB.AE  AD. AF  AC TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com LỜI GIẢI BÀI TỰ LUYỆN SỐ A Bài 1: a) BEH ” CDH ( g  g ) D E HE HB b) Có BEH ~ CDH ta suy  HD HC Từ chứng minh EHD ” BHC (c.g  c ) Bài 2: H C B a) Vì AH  BC  AHB vuông H, theo định lý Pitago ta có: AB  AH  BH  AH  AB  BH  AH  30  182  900  324  576  AH  24cm Vì AH  BC  AHC vuông H, theo định lý Pitago ta có: AC  AH  HC  HC  AC  AH A  HC  402  24  1600  576  1024  HC  32cm AH 24     18   AH  HC Ta lại có: BH HC 32  BH AH    B H AH 24    CHA   90 AHB    CAH    AHB ” CHA (c.g.c)  ABH Xét AHB CHA có: AH HC  (cmt )   BH AH     b) Ta có: HBA  BAH  90  CAH  HAB  90    90 AHB  CAB Xét  ABH CBA có:   ABH ” CAB (g  g ) (đpcm)  (chung ) B  Bài 3: a)  CBA   ACH    900  (1800  BAC  )  900  BAC   CBA  ACH  900  CAH b) CH  BH AH    ACH  CBH  HCA ” HBC    CHA  BHC  90  HC HA    HC  HA.HB HB HC Bài 4: TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com C a) Chứng minh EMC ~ ECB Tam giác EMC có trung tuyến MD  DA  EC nên tam giác vuông M   CEB   MEC  ECB ~ EMC    EMC  ECB  90  b) Chứng minh EB MC  a EB BC   EB.MC  EC BC  2a EC MC c) Tính diện tích tam giác EMC theo a ECB ” EMC   EC  EC 4a   ECB ” EMC      2 2   S ECB EC  CB 4a  a  EB  S EBC  EC BC  a  S EMC  a 2 S EMC Bài 5: a) BC  AB  AC  9cm (Pitago)   CAB  (  90 ), EBM   CBA  (góc chung)  EMB ~ CAB (g.g) b) EMB TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  ME  AC  6cm ME BE MB :       c) EMB ” CAB  AC BC AB 5,  BE  BC  7,5cm  d) ΔBEC có đường cao CA,EM cắt H nên H trực tâm ΔBEC, BH  EC e) Chứng minh AHE ” MHC từ suy HA.HC  HM HE Bài 6: a) Ta có BD  AB  AD , suy tam giác ABD vuông A (Pitago đảo) b) Ta có BC  CD  BD  (Pitago)     CBD   90, AB  AD   20   ABD ” BDC (c.g c) BAD   BD BC     AB / /CD c) ABD ” BDC   ABD  BDC Bài 7: Vẽ BH  AC  H  AC    AEC   900 ; BAC  Xét  ABH  ACE có AHB chung Suy ABH ”  ACE(g  g)  AB AH   AB.AE  AC.AH (1) AC AE   Xét CBH ACF có BCH  CAF (so le trong)   CFA   900 CHB   Suy CBH ” ACF(g.g)  BC CH   BC AF  AC CH (2) AC AF Cộng vế theo vế (1) (2) ta được: AB.AE  BC AF  AC AH  AC CH  AB.AE  AD.AF  AC AH  CH   AC TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ Dạng 1: Các Trường Hợp Địng Dạng Của Tam Giác Vng Suy Ra Từ Các Trường Hợp Đòng Dạng Của Tam Giác Bài tập : Hãy cặp tam giác đồng dạng Viết cặp tam giác đồng dạng theo thứ tự đỉnh tương ứng giải thích chúng đồng dạng Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH.Chứng minh rằng: AH  BH CH Bài tập 3: Cho tam giác ABC vng A, đường phân giác góc B cắt AC D Đường cao AH cắt BD I Chứng minh rằng: AB.BI  BH DB Tam giác AID cân Bài tập 4: Cho tam giác ABC có góc nhọn, biết AB  15cm, AC  13cm đường cao AH  12cm Gọi M,N hình chiếu vng góc H xuống AB AC CMR: AHN ∽ ACH Tính độ dài BC Chứng minh: AM AB  AN AC , từ suy AMN ∽ ACB Bài tập 5: Cho hình bình hành ABCD có AB  8cm, AD  6cm Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM  4cm Đường thẳng AM cắt đường chéo BD I, cắt đường DC N IB ID Chứng minh: MAB ∽ AND Tính tỉ số Tính độ dài DN CN Bài tập 6: Cho tam giác ABC vng A, Hình vng MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P Q thuộc cạnh BC Biết BQ  4cm, CP  9cm Tính cạnh hình vng Dạng 2: Trường Hợp Đồng Dạng Cạnh Huyền – Cạnh Góc Vng TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài tập 1: Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB, MA  6cm, MB  24cm Vẽ phía AB tia Ax, By vng góc với AB Lấy điểm C thuộc tia Ax, điểm D thuộc tia By cho MC  10cm, MD  30cm Chứng minh rằng: CMD  900 y D x 30 C 10 A M 24 B Bài tập 2: Tam giác ABH vng H có AB  20cm, BH  12cm Trên tia đối tia HB lấy điểm C cho AC  AH Chứng minh tam giác ABH CAH đồng dạng  Tính BAC Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông A, AC  4cm, BC  6cm Ở phía ngồi tam giác ABC, vẽ tam giác BCD vng C có BD = 9cm Chứng minh BD / / AC   900 , điểm E thuộc cạnh bên AD Tính BEC  A D Bài tập 4: Cho hình thang ABCD có  biết AB  4cm, BE  5cm, DE  12cm, CE  15cm Bài tập 5: Cho hai tam giác cân ABC A’B’C’ (AB=AC, A’B’=A’C’), đường cao BH BH BC B’H’ Cho biết Chứng minh ABC ∽ A ' B ' C '  B ' H ' B 'C ' HƯỚNG DẪN GIẢI PHIẾU SỐ Dạng 1: trường hợp địng dạng tam giác vng suy từ trường hợp đòng dạng tam giác Bài tập 1: TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Trên hình có tam giác vng đồng dạng với đơi một, chúng có cặp góc nhọn tương ứng Đó là: ABC , NMC , HBA, HAC (Bốn tam giác viết theo đỉnh tương ứng) Bài tập 2: A B H Xét tam giác vng HBA HAC có:   HAC   900  BAH     BAH  HCA   HCA  HAC  90  Suy HBA ∽ HAC Từ đó: BH AH   AH  BH CH AH CH Bài tập 3: 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com C A D I B C H   IHB   900  mà DAB BD đừng phân giác nên  ABD  HBI AB DB Suy ABD ∽ HBI  g  g     AB.BI  BH DB HB IB   mà BIH   DIA  (đối đỉnh) Do ABD ∽ HBI  g  g  nên B DA  BIH   Do đó: Tam giác AID cân A Suy : B DA  DIA Bài tập 4: A N M B H C   A  chung Ta có:   AHN ∽ ACH ( g  g )  ANH   AHC  900  Xét tam giác vng ABH có: BH  AB  AH  152  122   cm  Xét tam giác vng ACH có: CH  AC  AH  132  122   cm  Khi đó: BC  BH  CH    14  cm  AH AN   AH  AC AN 1 AC AH Xét tam giác AMH ABH có: Do AHN ∽ ACH    A  chung   AMH ∽ AHB  g  g   AMH   AHB  900  11 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com AM AH   AH  AM AB   AH AB Từ (1),(2) ta có : AM AB  AN.AC AM AN   chung Suy ra: MAN  AC AB Nên AMN ∽ ACB (c  g  c)  Bài tập 5: A B I D M C N BM IB IM (Theo định lý Ta Let mở rộng)   AD ID IA BM IB Mà     AD ID  MAB AND  slt   Ta có:   MAB ∽ AND  g  g    ABM  N DA  hbh   MB AB 6.8 Do MAB ∽ AND nên     ND   12  cm  AD N D ND Ta có: BM / / AD  Mà AB  DC   cm  hbh  Nên CN  DN  DC  12    cm  Bài tập 6: Đặt MP  NQ  x Từ BMQ ∽ NCP ta tính x = cm 12 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Cạnh hình vng cm Dạng 2: trường hợp đồng dạng cạnh huyền – cạnh góc vng Bài tập : y D x 30 C 10 A M 24 B Ta tính BD = 18 cm A  B   900   Xét tam giác AMC BDM: CM AM  10    AMC ∽ BDM  CH  CGV    vi    MD BD  30 18      AMC  B DM mà B DM  BM D  900 Suy ra:     900 BM    CMD   1800 D  AMC D  AMC Nên BM  D  900 Vậy CM Bài tập 2: A 20 B 12 H C AB AC   BH AH    900  AHB  CHA  Có: AB BH   ABH ∽ CAH  CH  CGV    cmt   AC AH  Ta có:   ABH mà BAH ABH  900 Từ câu a suy ra: CAH 13 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com   CAH   900  BAC   900 Nên BAH Bài tập 3: B D A C ACB ∽ CBD  CH  CGV  nên:   ACB  CB D  AC / / BD Bài tập 4: A E B 15 12 D C  AEB  DCE ABE ∽ DEC (CH  CGV ) nên:    DEC   900 nên:    900 AEB  DEC Ta lại có: DCE   900 Suy ra: BEC Bài tập 5: 14 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com A A' H H' B' B C Do BHC ∽ B ' H ' C '  CH  CGV  nên:  C ' Do đó: ABC ∽ A ' B ' C ' C ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== 15 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com C' ... PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ Dạng 1: Các Trường Hợp Địng Dạng Của Tam Giác Vng Suy Ra Từ Các Trường Hợp Đòng Dạng Của Tam Giác Bài tập : Hãy cặp tam giác đồng dạng Viết cặp tam giác đồng dạng theo thứ tự...  AC Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H Chứng minh BC  BH.BD  CH.CE Dạng Tỉ số diện tích hai tam giác Phương pháp giải: Sử dụng định lý tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình... B Bài tập 2: Tam giác ABH vng H có AB  20cm, BH  12cm Trên tia đối tia HB lấy điểm C cho AC  AH Chứng minh tam giác ABH CAH đồng dạng  Tính BAC Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông A, AC 