• Để tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau: Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và vuông góc với d.. + Viết phương trình đường thẳng [r]
(1)Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vectơ phương đường thẳng Vectơ u ≠ đgl vectơ phương đường thẳng ∆ giá nó song song trùng với ∆ Nhận xét: – Nếu u là VTCP ∆ thì ku (k ≠ 0) là VTCP ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm và VTCP Vectơ pháp tuyến đường thẳng Vectơ n ≠ đgl vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ giá nó vuông góc với ∆ Nhận xét: – Nếu n là VTPT ∆ thì kn (k ≠ 0) là VTPT ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm và VTPT – Nếu u là VTCP và n là VTPT ∆ thì u ⊥ n Phương trình tham số đường thẳng Cho đường thẳng ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u = (u1; u2 ) = x x0 + tu1 y y0 + tu2 = Phương trình tham số ∆: (1) ( t là tham số) = x x0 + tu1 Nhận xét: – M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R: y y0 + tu2 = – Gọi k là hệ số góc ∆ thì: với α = xAv , α ≠ 900 + k = tanα, u +k= , u1 với u1 ≠ y y v v α α ∆ O A x O A ∆ x Phương trình chính tắc đường thẳng Cho đường thẳng ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u = (u1; u2 ) x − x y − y0 = (2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) u1 u2 Chú ý: Trong trường hợp u = u = thì đường thẳng không có phương trình chính tắc Phương trình tham số đường thẳng Phương trình chính tắc ∆: PT ax + by + c = với a2 + b2 ≠ đgl phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax + by + c = thì ∆ có: VTPT là n = (a; b) và VTCP u = (−b; a) = u (b; −a) – Nếu ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT n = (a; b) thì phương trình ∆ là: a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = Trang Lop10.com (2) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng Các trường hợp đặc biệt: Các hệ số Phương trình đường thẳng ∆ c=0 ax + by = a=0 by + c = b=0 ax + c = Tính chất đường thẳng ∆ ∆ qua gốc toạ độ O ∆ // Ox ∆ ≡ Ox ∆ // Oy ∆ ≡ Oy • ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a b ≠ 0): Phương trình ∆: x y + = a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) • ∆ qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: Phương trình ∆: y − y0 = k ( x − x0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Vị trí tương đối hai đường thẳng và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = Toạ độ giao điểm ∆1 và ∆2 là nghiệm hệ phương trình: a1 x + b1y + c1 = (1) a2 x + b2 y + c2 = a1 b1 ≠ a2 b2 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có nghiệm ⇔ • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm a1 b1 c1 ⇔ = ≠ (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a2 b2 c2 • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm a1 b1 c1 ⇔ = (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) = a2 b2 c2 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = (có VTPT n1 = (a1; b1 ) ) và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = (có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) ) (n , n ) ∆1 , ∆2 ) = ( (n1 , n2 ) ≤ 900 180 − (n1 , n2 ) (n1 , n2 ) > 90 n1.n2 a1b1 + a2 b2 ∆1 , ∆2 ) cos(= cos(= n1 , n2 ) = n1 n2 a2 + b2 a2 + b2 Chú ý: 2 • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = • Cho ∆1:= y k1 x + m1 , ∆2:= y k2 x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = và điểm M0 ( x0 ; y0 ) d ( M0 , ∆) = ax0 + by0 + c a2 + b2 • Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = và hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN ) ∉ ∆ – M, N nằm cùng phía ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c) > Trang Lop10.com (3) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng – M, N nằm khác phía ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c) < • Phương trình các đường phân giác các góc tạo hai đường thẳng cắt Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = Phương trình các đường phân giác các góc tạo hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là: a1 x + b1y + c1 a x + b2 y + c2 = ± a12 + b12 a22 + b22 VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng • Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc đường thẳng ∆ ta cần xác định điểm M0 ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ và VTCP u = (u1; u2 ) ∆ x − x y − y0 = x x0 + tu1 = PTTS ∆: ; PTCT ∆: (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) = + y y tu u u2 • Để lập phương trình tổng quát đường thẳng ∆ ta cần xác định điểm M0 ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ và VTPT n = (a; b) ∆ PTTQ ∆: a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = • Một số bài toán thường gặp: + ∆ qua hai điểm A( x A ; y A ) , B( xB ; yB ) (với x A ≠ xB , y A ≠ yB ): PT ∆: x − xA y − yA = x B − x A yB − y A x y + = a b + ∆ qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: PT ∆: y − y0 = k ( x − x0 ) Chú ý: Ta có thể chuyển đổi các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát đường thẳng • Để tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực sau: Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và vuông góc với d – Xác định I = d ∩ ∆ (I là hình chiếu M trên d) – Xác định M′ cho I là trung điểm MM′ Cách 2: Gọi I là trung điểm MM′ Khi đó: MM ′ ⊥ u d (sử dụng toạ độ) M′ đối xứng M qua d ⇔ I ∈ d + ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): PT ∆: • Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, ta có thể thực sau: – Nếu d // ∆: + Lấy A ∈ d Xác định A′ đối xứng với A qua ∆ + Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và song song với d – Nếu d ∩ ∆ = I: + Lấy A ∈ d (A ≠ I) Xác định A′ đối xứng với A qua ∆ + Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và I • Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ∆, ta có thể thực sau: – Lấy A ∈ d Xác định A′ đối xứng với A qua I – Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và song song với d Trang Lop10.com (4) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng a) M(–2; 3) , = b) M(–1; 2), u = (−2;3) c) M(3; –1), u =(−2; −5) u (5; −1) d) M(1; 2), u = (5; 0) e) M(7; –3), u = (0;3) f) M ≡ O(0; 0), u = (2;5) Baøi Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ các đường thẳng qua điểm M và có VTPT n : a) M(–2; 3) , = b) M(–1; 2), n = (−2;3) c) M(3; –1), n =(−2; −5) n (5; −1) d) M(1; 2), n = (5; 0) e) M(7; –3), n = (0;3) f) M ≡ O(0; 0), n = (2;5) Baøi Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ các đường thẳng qua điểm M và có hệ số góc k: a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = c) M(5; 2), k = d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = f) M ≡ O(0; 0), k = Baøi Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ các đường thẳng qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2) g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6) Baøi Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ các đường thẳng qua điểm M và song song với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: x − 10 y + = c) M(4; 3), d ≡ Oy b) M(–1; 2), d ≡ Ox x −1 y + x = − 2t d) M(2; –3), d: e) M(0; 3), d: = −2 y= + 4t Baøi Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ các đường thẳng qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: x − 10 y + = c) M(4; 3), d ≡ Oy b) M(–1; 2), d ≡ Ox x −1 y + x = − 2t d) M(2; –3), d: e) M(0; 3), d: = −2 y= + 4t Baøi Cho tam giác ABC Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao tam giác với: a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6) Baøi Cho tam giác ABC, bi ết phương trình ba cạnh tam giác Viết phương trình các đường cao tam giác, với: a) AB : x −= 3y − 0, BC : x + = 3y + 0, CA : x −= 2y + b) AB : x = + y + 0, BC : x += 5y − 0, CA : x= − y −8 Baøi Viết phương trình các cạnh và các trung trực tam giác ABC biết trung điểm các cạnh BC, CA, AB là các điểm M, N, P, với: 3 5 5 7 a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b) M ; − , N ; − , P(2; −4) 2 2 2 2 3 7 3 1 c) M 2; − , N 1; − , P(1; −2) d) M ;2 , N ;3 , P(1; 4) 2 2 2 2 Baøi 10 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ đoạn nhau, với: a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1) Baøi 11 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích S, với: a) M(–4; 10), S = b) M(2; 1), S = c) M(–3; –2), S = d) M(2; –1), S = Baøi 12 Tìm hình chiếu điểm M lên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng d với: a) M(2; 1), d : x + y − = b) M(3; – 1), d : x + 5y − 30 = 0 c) M(4; 1), d : x − y + = d) M(– 5; 13), d : x − 3y − = 0 Baøi Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ các đường thẳng qua điểm M và có VTCP u : Trang Lop10.com (5) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng Baøi 13 Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với: a) d : x −= y + 0, ∆ : x − 4= y + b) d : x − 2= y + 0, ∆ : x += y−2 c) d : x + y= d) d : x − 3y= − 0, ∆ : x − 3y= +3 + 0, ∆ : x − 3y= −1 Baøi 14 Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với: a) d : x − y + = b) d : x − y + 4= 0, I (−3; 0) 0, I (2;1) d) d : x − 3y + = c) d : x + y − = 0, I (0;3) 0, I ≡ O(0; 0) VẤN ĐỀ 2: Các bài toán dựng tam giác Đó là các bài toán xác ịnh đ toạ độ các đỉnh phương trình các cạnh tam giác biết số yếu tố tam giác đó Để giải loại bài toán này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác Sau đây là số dạng: Dạng 1: Dựng tam giác ABC, biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao BB′, CC′ Cách dựng: – Xác định B = BC ∩ BB′, C = BC ∩ CC′ – Dựng AB qua B và vuông góc với CC′ – Dựng AC qua C và vuông góc với BB′ – Xác định A = AB ∩ AC Dạng 2: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao BB′, CC′ Cách dựng: – Dựng AB qua A và vuông góc với CC′ – Dựng AC qua A và vuông góc với BB′ – Xác định B = AB ∩ BB′, C = AC ∩ CC′ Dạng 3: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM, CN Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM ∩ CN – Xác định A′ đối xứng với A qua G (suy BA′ // CN, CA′ // BM) – Dựng dB qua A′ và song song với CN – Dựng dC qua A′ và song song với BM – Xác định B = BM ∩ dB, C = CN ∩ dC Dạng 4: Dựng tam giác ABC, biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và trung điểm M cạnh BC Cách dựng: – Xác định A = AB ∩ AC – Dựng d1 qua M và song song với AB – Dựng d2 qua M và song song với AC – Xác định trung điểm I AC: I = AC ∩ d1 – Xác định trung điểm J AB: J = AB ∩ d2 – Xác định B, C cho = JB AJ = , IC AI Cách khác: Trên AB lấy điểm B, trên AC lấy điểm C cho MB = − MC Baøi Cho tam giác ABC, biết phương trình cạnh và hai đường cao Viết phương trình hai cạnh và đường cao còn lại, với: (dạng 1) a) AB : x += y − 12 0, BB′ : x − 4= y − 15 0, CC′ : x + = 2y − b) BC : x −= 3y + 0, BB′ : x −= 3y + 0, CC′ : x + 2= y − 22 c) BC : x= − y + 0, BB′ : x = − y − 0, CC′ : x= − 2y − Trang Lop10.com (6) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng d) BC : x −= 3y + 0, BB′ : x= − y − 0, CC′ : x += 3y − Baøi Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh và phương trình hai đường cao Viết phương trình các cạnh tam giác đó, với: (dạng 2) a) A(3; 0), BB′ : x = + y − 0, CC′ : x −= 12 y − b) A(1; 0), BB′ : x= − y + 0, CC′ : 3= x + y −1 Baøi Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh và phư ơng trình hai đường trung tuyến Viết phương trình các cạnh tam giác đó, với: (dạng 3) a) A(1;3), BM : x −= y + 0, CN= : y −1 b) A(3;9), BM : x − 4= y + 0, CN := y−6 Baøi Cho tam giác ABC, ết bi phương trình cạnh và hai đường trung tuyến Viết phương trình các cạnh còn lại tam giác đó, với: a) AB : x −= y + 0, AM : x + = y − 0, BN : x += y − 11 HD: a) AC :16 x + 13= y − 68 0, BC :17 x + 11y= − 106 Baøi Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh và toạ độ trung điểm cạnh thứ ba Viết phương trình cạnh thứ ba, với: (dạng 4) a) AB : x + y −= 0, AC : x + 3y −= 0, M (−1;1) b) AB : x −= y − 0, AC : x += y + 0, M (3; 0) c) AB : x= − y + 0, AC : x= + y − 0, M (2;1) d) AB : x + y −= 0, AC : x + y += 0, M (−1;1) Baøi Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh, phương trình đường cao và trung tuyến Viết phương trình các cạnh tam giác đó, với: a) A(4; −1), BH : x − 3= y + 12 0, BM : 2= x + 3y b) A(2; −7), BH : x + = y + 11 0, CN : x + 2= y+7 c) A(0; −2), BH : x = − y + 0, CN : x= −y+2 d) A(−1;2), BH : x − 2= y − 0, CN : x + = y − 20 VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = Toạ độ giao điểm ∆1 và ∆2 là nghiệm hệ phương trình: a1 x + b1y + c1 = (1) a2 x + b2 y + c2 = a1 b1 ≠ a2 b2 • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có nghiệm ⇔ • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔ = a a2 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) b1 c1 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) ≠ b2 c2 a b1 c1 = (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a2 b2 c2 Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực sau: – Tìm giao điểm hai ba đường thẳng – Chứng tỏ đường thẳng thứ ba qua giao điểm đó • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ = Baøi Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau, chúng cắt thì tìm toạ độ Trang Lop10.com (7) Đinh Xuân Thạch giao điểm chúng: a) x + 3= y + 0, x + 5= y−6 Phương pháp toạ độ mặt phẳng b) x − y + 2= 0, − x + y + 1= x = x = x = x = 5+ t + 2t 1− t + 3t c) d) , , y =− + t y =− + t y = − + t y = − − 6t x= + t f) = e) x 2, x + y −= , x + y−5= y = −1 Baøi Cho hai đường thẳng d và ∆ Tìm m để hai đường thẳng: i) cắt ii) song song iii) trùng a) d : mx = − 5y + 0, ∆ : 2= x + y −3 b) d : 2mx + (m − 1)= y − 0, ∆ : (m + 2) x + (2m + 1)y − (m= + 2) c) d : (m − 2) x + (m − 6) y + = m − 0, ∆ : (m − 4) x + (2m − 3) y + m = −5 d) d : (m + 3) x += y + 0, ∆ : mx + y += 2−m Baøi Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui: a) y = x − 1, x + 5y = 8, (m + 8) x − 2my = 3m b) y =2 x − m, y =− x + 2m, mx − (m − 1) y =2m − c) x += 11y 8, 10 x = − y 74, 4mx + (2m − 1) y + m + d) x − y + 15= 0, x + y − 1= 0, mx − (2m − 1) y + 9m − 13= Baøi Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm hai đường thẳng d1 và d2 và: a) d1 : x − y= y − 0, d qua A(2;1) + 10 0, d2 : x + 3= b) d1 : x − 5= y + 0, d2 : x − 2= y + 0, d song song d3 : x −= y+4 c) d1 : x − = y + 0, d2 : x + = y − 0, d vuoâng goùc d3 : x − = 3y + Baøi Tìm điểm mà các đường thẳng sau luôn qua với m: b) mx − y + (2m + 1) = a) (m − 2) x − y + = 0 c) mx − y − 2m − = d) (m + 2) x − y + = 0 Baøi Cho tam giác ABC với A(0; –1), B(2; –3), C(2; 0) a) Viết phương trình các đường trung tuyến, phương trình các đường cao, phương trình các đường trung trực tam giác b) Chứng minh các đường trung tuyến đồng qui, các đường cao đồng qui, các đường trung trực đồng qui Baøi Hai cạnh hình bình hành ABCD có phương trình x − 3= y 0, x + 5y += , đỉnh C(4; –1) Viết phương trình hai cạnh còn lại Baøi Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và cách hai điểm P, Q với: a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 5), P(–2; 9), Q(3; –2) Baøi a) Trang Lop10.com (8) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = và điểm M0 ( x0 ; y0 ) d ( M0 , ∆) = ax0 + by0 + c a2 + b2 Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = và hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN ) ∉ ∆ – M, N nằm cùng phía ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c) > – M, N nằm khác phía ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c) < Phương trình các đường phân giác các góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = cắt Phương trình các đường phân giác các góc tạo hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là: a1 x + b1y + c1 a x + b2 y + c2 = ± a12 + b12 a22 + b22 Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác ngoài góc A tam giác ABC ta có thể thực sau: Cách 1: – Tìm toạ độ chân đường phân giác ngoài (dựa vào tính chất đường phân giác góc tam giác) Cho ∆ABC với đường phân giác AD và phân giác ngoài AE (D, E ∈ BC) AB AB ta có: DB = − DC , EB = EC AC AC – Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Cách 2: – Viết phương trình các đường phân giác d1, d2 các góc tạo hai đường thẳng AB, AC – Kiểm tra vị trí hai điểm B, C d1 (hoặc d2) + Nếu B, C nằm khác phía d1 thì d1 là đường phân giác + Nếu B, C nằm cùng phía d1 thì d1 là đường phân giác ngoài Baøi Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với: a) M (4; −5), d : x − y + = b) M (3;5), d : x + y + = x = 2t c) M (4; −5), d : y= + 3t d) M (3;5), d : x − y +1 = Baøi a) Cho đường thẳng ∆: x − y + = Tính bán kính đường tròn tâm I( –5; 3) và tiếp xúc với ∆ b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh là: x − 3y += 0, x + y −= và đỉnh A(2; –3) Tính diện tích hình chữ nhật đó c) Tính diện tích hình vuông có đỉnh nằm trên đường thẳng song song: d1 : x − y + = và d2 : x − 8y − 13 = Baøi Cho tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC, với: a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4) Trang Lop10.com (9) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng Baøi Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng ∆ khoảng k, với: x = 3t b) ∆ : , k =3 y= + 4t d) ∆ : x − = c) ∆ : y − = 0, = k 0, = k Baøi Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ và cách điểm A khoảng k, với: b) ∆ : x + y − = a) ∆ : x −= y + 12 0, A= (2;3), k 2 0, A(−2;3), = k c) ∆ : y= d) = − 0, A(3; −5), = k (3;1), k ∆ : x − 0, A= Baøi Viết phương trình đường thẳng qua A và cách B khoảng d, với: a) A(–1; 2), B(3; 5), d = b) A(–1; 3), B(4; 2), d = c) A(5; 1), B(2; –3), d = d) A(3; 0), B(0; 4), d = Baøi Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và cách hai điểm P, Q, với: a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 2), P(2; 3), Q(4; –5) c) M(10; 2), P(3; 0), Q(–5; 4) d) M(2; 3), P(3; –1), Q(3; 5) Baøi Viết phương trình đường thẳng d cách điểm A khoảng h và cách điểm B khoảng k, với: a) A(1; 1), B(2; 3), h = 2, k = b) A(2; 5), B(–1; 2), h = 1, k = Baøi Cho đường thẳng ∆: x − y + = và các điểm O(0; 0), A(2; 0), B(–2; 2) a) Chứng minh đường thẳng ∆ cắt đoạn thẳng AB b) Chứng minh hai điểm O, A nằm cùng phía đường thẳng ∆ c) Tìm điểm O′ đối xứng với O qua ∆ d) Trên ∆, tìm điểm M cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn Baøi 10 Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1) Tìm điểm C trên đường thẳng ∆: x − y + = cho diện tích tam giác ABC 17 (đvdt) 76 18 HD: C (12;10), C − ; − 5 Baøi 11 Tìm tập hợp điểm a) Tìm tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: −2 x + 5y − =0 khoảng b) Tìm tập hợp các điểm cách hai đường thẳng d : x + 3y= − 0, ∆ : x + 3y= +7 c) Tìm tập hợp các điểm cách hai đường thẳng d : x − 3y= + 0, ∆ : y= −3 a) ∆ : x − y + 3= 0, k= d) Tìm tập hợp các điểm có tỉ số các khoảng cách đến hai đường thẳng sau : 13 d : x − 12 y + = và ∆ : x − 3y − 10 = Baøi 12 Viết phương trình các đường phân giác các góc tạo hai đường thẳng: a) x − y + 12 = 0, 12 x + 5y − 20 = b) x − y −= 0, x − y = +1 c) x + 3y −= d) x + y −= 0, x + y += 11 0, x − y −= Baøi 13 Cho tam giác ABC Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) c) AB : x − = y + 21 0, BC : x += 3y + 0, CA : x −= 2y − d) AB : x + 3= y + 12 0, BC : x − 4= y − 24 0, CA : x + 4= y−6 Trang Lop10.com (10) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng VẤN ĐỀ 4: Góc hai đường thẳng (có VTPT n1 = (a1; b1 ) ) Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = (có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) ) (n , n ) (n1 , n2 ) ≤ 900 ∆1 , ∆2 ) = ( 180 − (n1 , n2 ) (n1 , n2 ) > 90 n1.n2 a1b1 + a2 b2 ∆1 , ∆2 ) cos(= cos(= n1 , n2 ) = n1 n2 a12 + b12 a22 + b22 Chú ý: ( ) • 00 ≤ ∆1 , ∆2 ≤ 900 • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = • Cho ∆1:= y k1 x + m1 , ∆2:= y k2 x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 • Cho ∆ABC Để tính góc A ∆ABC, ta có thể sử dụng công thức: AB AC ( AB, AC ) = cos A cos = AB AC Baøi Tính góc hai đường thẳng: a) x − y −= b) x − y += 0, x + 3y − 11 = 0, x + y −= c) x − y + 26 d) x + y −= = 0, x + 5y − 13 = 0, x − 3y + 11 = Baøi Tính số đo các góc tam giác ABC, với: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) c) AB : x − = y + 21 0, BC : x += 3y + 0, CA : x −= 2y − d) AB : x + 3= y + 12 0, BC : x − 4= y − 24 0, CA : x + 4= y−6 Baøi Cho hai đường thẳng d và ∆ Tìm m để góc hai đường thẳng đó α, với: a) d : 2mx + (m − 3) y + 4m − 1= 0, ∆ : (m − 1) x + (m + 2) y + m − 2= 0, α = 450 b) d : (m + 3) x − (m − 1) y + m −= 0, ∆ : (m − 2) x + (m + 1) y − m −= 0, α = 900 Baøi Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và tạo với đường thẳng ∆ góc α, với: a) A(6;2), ∆ : x + y − = 0, α= 450 b) A(−2; 0), ∆ : x + 3y − = 0, α= 450 c) A(2;5), ∆ : x + 3y + 6= 0, α= 600 d) A(1;3), ∆ : x − = y 0, α= 300 Baøi Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) và phương trình cạnh là x − y + = a) Viết phương trình hai đường chéo hình vuông b) Tìm toạ độ đỉnh hình vuông Trang 10 Lop10.com (11) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương trình đường tròn R2 Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: ( x − a)2 + ( y − b)2 = Nhận xét: Phương trình x + y + 2ax + 2by + c =, với a2 + b2 − c > , là phương trình đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2 + b2 − c Phương trình tiếp tuyến đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆ ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , ∆) = R VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm và bán kính đường tròn • Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: ( x − a)2 + ( y − b)2 = R2 thì (C) có tâm I(a; b) và bán kính R • Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = – Biến đổi đưa dạng ( x − a)2 + ( y − b)2 = R2 thì – Tâm I(–a; –b), bán kính R = a2 + b2 − c Chú ý: Phương trình x + y + 2ax + 2by + c = là phương trình đường tròn thoả mãn điều kiện: a2 + b2 − c > Baøi 15 Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn Tìm tâm và bán kính đường tròn đó: a) x + y − x − y − = b) x + y − x + y − 12 = c) x + y + x − 8y + = d) x + y − x + = e) 16 x + 16 y + 16 x − 8y = 11 f) x + y − x + y − = g) x + y − x + 12 y + 11 = h) x + y + x − 5y + 10 = 0 Baøi 16 Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn: a) x + y + 4mx − 2my + 2m + = b) x + y − 2(m + 1) x + 2my + 3m − = c) x + y − 2(m − 3) x + 4my − m + 5m + = d) x + y − 2mx − 2(m − 1) y + m − 2m − 2m2 − 4m + = Baøi 17 * Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn: a) x + y − x + y ln m + 3ln m + = b) x + y − x + y + ln(m − 2) + = c) x + y − 2e2 m x + 2em y + 6e2 m − = d) x + y − x cos m + y + cos2 m − 2sin m + = e) x + y − x cos m + y sin m − = Baøi 18 Trang 11 Lop10.com (12) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R (C) Khi đó phương trình đường tròn (C) là: ( x − a)2 + ( y − b)2 = R2 Dạng 1: (C) có tâm I và qua điểm A – Bán kính R = IA Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆ – Bán kính R = d ( I , ∆) Dạng 3: (C) có đường kính AB – Tâm I là trung điểm AB AB – Bán kính R = Dạng 4: (C) qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng ∆ – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Xác định tâm I là giao điểm d và ∆ – Bán kính R = IA Dạng 5: (C) qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng ∆ – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB I ∈ d – Tâm I (C) thoả mãn: d ( I , ∆) = IA – Bán kính R = IA Dạng 6: (C) qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ điểm B – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Viết phương trình đường thẳng ∆′ qua B và vuông góc với ∆ – Xác định tâm I là giao điểm d và ∆′ – Bán kính R = IA Dạng 7: (C) qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2 d ( I , ∆1 ) = d ( I , ∆2 ) (1) – Tâm I (C) thoả mãn: (2) d ( I , ∆1 ) = IA – Bán kính R = IA Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định ∆1 và ∆2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến ∆1 và ∆2 – Nếu ∆1 // ∆2, ta tính R = d (∆1 , ∆2 ) , và (2) thay bới IA = R Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 và có tâm nằm trên đường thẳng d d ( I , ∆1 ) = d ( I , ∆2 ) – Tâm I (C) thoả mãn: – Bán kính R = d ( I , ∆1 ) I ∈ d Dạng 9: (C) qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Cách 1: – Phương trình (C) có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = (*) – Lần lượt thay toạ độ A, B, C vào (*) ta hệ phương trình – Giải hệ phương trình này ta tìm a, b, c ⇒ phương trình (C) IA = IB Cách 2: – Tâm I (C) thoả mãn: – Bán kính R = IA = IB = IC IA = IC Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC – Viết phương trình hai đường phân giác hai góc tam giác – Xác định tâm I là giao điểm hai đường phân giác trên – Bán kính R = d ( I , AB) Trang 12 Lop10.com (13) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng Baøi Viết phương trình đường tròn có tâm I và qua điểm A, với: (dạng 1) a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2) Baøi Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: (dạng 2) a) I (3; 4), ∆ : x − 3y + 15 = b) I (2;3), ∆ : x − 12 y − = 0 c) I (−3;2), ∆ ≡ Ox d) I (−3; −5), ∆ ≡ Oy Baøi Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: (dạng 3) a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6) Baøi Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng ∆, với: (dạng 4) a) A(2;3), B(−1;1), ∆ : x − 3y − 11 = b) A(0; 4), B(2;6), ∆ : x − y + = 0 c) A(2;2), B(8;6), ∆ : x − 3y + = Baøi Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: (dạng 5) a) A(1;2), B(3; 4), ∆ : x + y − = b) A(6;3), B(3;2), ∆ : x + y − = 0 c) A(−1; −2), B(2;1), ∆ : x − y + = d) A(2; 0), B(4;2), ∆ ≡ Oy Baøi Viết phương trình đường tròn qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ điểm B, với: (dạng 6) a) A(−2;6), ∆ : x − y − 15 0, B(4;3) = 0, B(1; −3) b) A(−2;1), ∆ : x − y − = d) A(4; −3), ∆ : x + y − = c) A(6; −2), ∆ ≡ Ox , B(6; 0) 0, B(3; 0) Baøi Viết phương trình đường tròn qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2, với: (dạng 7) y + 0, ∆2 : x += 3y − a) A(2;3), ∆1 : x −= b) A(1;3), ∆1 : x + = y + 0, ∆2 : x −= y+9 c) A ≡ O(0; 0), ∆1 : x + = y − 0, ∆2 : x + = y+4 d) A(3; −6), ∆1 ≡ Ox , ∆2 ≡ Oy Baøi Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 và có tâm nằm trê n đường thẳng d, với: (dạng 8) a) ∆1 : x + y= + 0, ∆2 : x − 3y += 15 0, d : x= −y y + 0, ∆2 : x − = y + 0, d : x + 3= y−2 b) ∆1 : x + = c) ∆1 : x − 3y= y + 0, d : x −= y+3 − 16 0, ∆2 : x + 4= d) ∆1 : x + y= − 0, ∆2 : x + y += 17 0, d : x − y= +5 Baøi Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với: (dạng 9) a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1) c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1) d) A(–1; –7), B(–4; –3), C ≡ O(0; 0) e) AB : x= − y + 0, BC : x += 3y − 0, CA : x += y − 17 f) AB : x + 2= y − 0, BC : x += y − 0, CA : x −= y +1 Baøi 10 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: (dạng 10) a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) c) AB : x − 3= y + 21 0, BC : x −= y − 0, CA : x += 3y + d) AB : x − = y + 11 0, BC : x + y − 15, CA : x + 17 y= + 65 Baøi 11 a) Trang 13 Lop10.com (14) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Tập hợp các tâm đường tròn Để tìm tập hợp các tâm I đường tròn (C), ta có thể thực sau: a) Tìm giá trị m để tồn tâm I x = f (m ) b) Tìm toạ độ tâm I Giả sử: I y = g(m) c) Khử m x và y ta phương trình F(x; y) = d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện m a) để giới hạn miền x y e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm là F(x; y) = cùng với phần giới hạn d) Tập hợp điểm là đường tròn Thực tương tự trên Baøi Tìm tập hợp các tâm I đường tròn (C) có phương trình (m là tham số): a) x + y − 2(m − 1) x − 4my + 3m + 11 = b) x + y − 2mx − 4(m + 1) y + 3m + 14 = c) x + y − 2mx − 2m y + = d) x + y + mx − m(m + 2) y − 2m − = Baøi * Tìm tập hợp các tâm I đường tròn (C) có phương trình (t là tham số): a) x + y − 2(cos 2t + 4) x − y sin 2t + cos 2t − = b) x + y − x sin t + 4(cos 2t − sin t ) y − cos2 t = c) x + y − 2(2 − et ) x + 4(e2t − 1) y − et − = d) (t + 1)( x + y ) + 8(t − 1) x − 4(t + 4t + 1) y − 3t − = Baøi Tìm tập hợp các tâm I đường tròn (C), biết: a) (C) tiếp xúc với đường thẳng d : x − 8y + 15 = và có bán kính R = b) (C) tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x + y= − 0, d2 : x + y= +6 c) (C) tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x + = 3y − 0, d2 : x − 2= y+9 d) (C) tiếp xúc với đường tròn (C′ ) : x + y − x + y − = và có bán kính R = e) (C) qua điểm A(2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d : y − = Baøi Cho hai điểm A(2; –4), B(–6; 2) Tìm tập hợp các điểm M(x; y) cho: MA a) AM + BM = b) c) AM + BM = =3 k (k > 0) 100 MB Baøi Cho hai điểm A(2; 3), B(–2; 1) Tìm tập hợp các điểm M(x; y) cho: a) AM BM = b) AM BM = Baøi Tìm tập hợp các điểm M cho tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến hai đường thẳng d và d′ k, với: a) d : x − y + = 0, d ′ : x + y = = 0, k = b) Baøi Cho bốn điểm A(4; 4), B(–6; 4), C(–6; –2), D(4; –2) a) Chứng tỏ ABCD là hình chữ nhật b) Tìm tập hợp các điểm M cho tổng bình phương các khoảng cách từ M đến các cạnh hình chữ nhật 100 Baøi a) Trang 14 Lop10.com (15) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng d và đường tròn (C) Để biện luận số giao điểm đường thẳng d: Ax + By + C = và đường tròn (C): x + y + 2ax + 2by + c =, ta có thể thực sau: • Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R – Xác định tâm I và bán kính R (C) – Tính khoảng cách từ I đến d + d ( I , d ) < R ⇔ d cắt (C) hai điểm phân biệt + d ( I , d ) = R ⇔ d tiếp xúc với (C) + d ( I , d ) > R ⇔ d và (C) không có điểm chung • Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) d và (C) là nghiệm hệ phương trình: Ax + By + C = (*) 2 x + y + 2ax + 2by + c = + Hệ (*) có nghiệm ⇔ d cắt (C) hai điểm phân biệt + Hệ (*) có nghiệm ⇔ d tiếp xúc với (C) + Hệ (*) vô nghiệm ⇔ d và (C) không có điểm chung Baøi Biện luận theo m số giao điểm đường thẳng d và đường tròn (C), với: a) d : mx − y −= 3m − 0, (C ) : x + y − 4= x − 2y b) d : x −= y + m 0, (C ) : x + y − x += 2y + c) d : x= + y − 0, (C ) : x + y − 2(2m + 1) x − y += 4−m d) d : mx + = y − 4m 0, (C ) : x + y − x −= 4y − Baøi Cho đường tròn (C): x + y − x − y + = và đường thẳng d qua điểm A( –1; 0) và có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng d b) Biện luận theo k vị trí tương đối d và (C) c) Suy phương trình các tiếp tuyến (C) xuất phát từ A Baøi Cho đường thẳng d và đường tròn (C): i) Chứng tỏ d cắt (C) ii) Tìm toạ độ các giao điểm d và (C) a) d qua M(–1; 5) và có hệ số góc k = − , (C ) : x + y − x − y + = b) d : x − = y − 10 0, (C ) : x + y − x − y= − 20 Baøi a) Trang 15 Lop10.com (16) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối hai đường tròn (C1) và (C2) Để biện luận số giao điểm hai đường tròn (C1): x + y + 2a1 x + 2b1y + c1 = , (C2): x + y + 2a2 x + 2b2 y + c2 = ta có thể thực sau: • Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với các bán kính R1, R2 + R1 − R2 < I1I < R1 + R2 ⇔ (C1) cắt (C2) điểm + I1I= R1 + R2 ⇔ (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) + I1I= R1 − R2 ⇔ (C1) tiếp xúc với (C2) + I1I > R1 + R2 ⇔ (C1) và (C2) ngoài + I1I < R1 − R2 ⇔ (C1) và (C2) • Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) (C1) và (C2) là nghiệm hệ phương trình: x + y + 2a x + 2b y + c = 1 (*) 2 + + + + = x y a x b y c 2 2 + Hệ (*) có hai nghiệm ⇔ (C1) cắt (C2) điểm + Hệ (*) có nghiệm ⇔ (C1) tiếp xúc với (C2) + Hệ (*) vô nghiệm ⇔ (C1) và (C2) không có điểm chung Baøi Xét vị trí tương đối hai đường tròn (C1) và (C2), tìm toạ độ giao điểm, có, với: y + 24 0, (C2 ) : x + y − x − 4= y − 12 a) (C1 ) : x + y + x − 10= b) (C1 ) : x + y − x −= y + 0, (C2 ) : x + y − 10 x − 14= y + 70 5 c) (C1 ) : x + y − 6x − 3y 0, (C= = ) coù taâm I 5; vaø baùn kính R2 2 Baøi Biện luận số giao điểm hai đường tròn (C1) và (C2), với: m + 0, (C2 ) : x + y − 2mx − 2(m + 1) y += m2 + a) (C1 ) : x + y − x − 2my += b) (C1 ) : x + y + 4mx − 2my + = 2m + 0, (C2 ) : x + y + 4(m + 1) x − 2my += 6m − Baøi Cho hai điểm A(8; 0), B(0; 6) a) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB b) Gọ i M, N, P là trung điểm OA, AB, OB Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP c) Chứng minh hai đường tròn trên tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm Baøi a) Trang 16 Lop10.com (17) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng VẤN ĐỀ 6: Tiếp tuyến đường tròn (C) Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆ ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d (I , ∆) = R • Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C) – ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT IM0 • Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước – Viết phương trình ∆ có phương cho trước (phương trình chứa tham số t) – Dựa vào điều kiện: d ( I , ∆) = R , ta tìm t Từ đó suy phương trình ∆ • Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ điểm A( x A ; y A ) ngoài đường tròn (C) – Viết phương trình ∆ qua A (chứa tham số) – Dựa vào điều kiện: d ( I , ∆) = R , ta tìm các tham số Từ đó suy phương trình ∆ Baøi Cho đường tròn (C) và đường thẳng d i) Viết phương trình các tiếp tuyến (C) các giao điểm (C) với các trục toạ độ ii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với d iii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d a) (C ) : x + y − x − y= + 0, d : x − y= +3 b) (C ) : x + y − x= − y 0, d : x − 3= y +1 Baøi Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d i) Chứng tỏ điểm A ngoài (C) ii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ A iii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với d iv) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d a) (C ) : x + y − x − y − 12= 0, A(−7;7), d : x + y − 6= b) (C ) : x + y + = x − 8y + 10 0, A(2;2), d= : x + 2y − Baøi Cho hai điểm A(1; 2), B(3; 4) và đường thẳng d : y =−3 − x a) Viết phương trình các đường tròn (C1) và (C2) qua A, B và tiếp xúc với d b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác d) hai đường tròn đó Baøi Cho đường tròn (C): x + y − x − 2my + m + = a) Tìm m để từ A(2; 3) có thể kẻ hai tiếp tuyến với (C) b) Viết phương trình các tiếp tuyến đó m = Baøi a) Trang 17 Lop10.com (18) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c (c > 0) M ∈ ( E ) ⇔ MF1 + MF2 = 2a (a > c) F1, F2: các tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự Phương trình chính tắc elip x2 + y2 = (a > b > 0, b2 = a2 − c2 ) a b • Toạ độ các tiêu điểm: F1 (−c; 0), F2 (c; 0) • Với M(x; y) ∈ (E), MF1 , MF2 đgl các bán kính qua tiêu điểm M c c MF1 = a + x , MF2 = a− x a a Hình dạng elip • (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng • Toạ độ các đỉnh: A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; −b), B2 (0; b) trục lớn: A1 A2 = 2a , trục nhỏ: B1B2 = 2b • Độ dài các trục: c (0 < e < 1) a • Hình chữ nhật sở: tạo các đường thẳng x = ± a, y = ± b (ngoại tiếp elip) Đường chuẩn elip (chương trình nâng cao) a • Phương trình các đường chuẩn ∆i ứng với các tiêu điểm Fi là: x ± = e MF1 MF2 = = e • Với M ∈ (E) ta có: (e < 1) d ( M , ∆1 ) d ( M , ∆2 ) • Tâm sai (E): e= VẤN ĐỀ 1: Xác định các yếu tố (E) Các yếu tố: x2 y2 = Xác định a, b, c a2 b2 – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ các tiêu điểm F1 (−c; 0), F2 (c; 0) Đưa phương trình (E) dạng chính tắc: + – Toạ độ các đỉnh A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; −b), B2 (0; b) – Tâm sai e = c a – Phương trình các đường chuẩn x ± a = e Baøi 19 Cho elip (E) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, Trang 18 Lop10.com (19) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng tâm sai, phương trình các đường chuẩn (E), với (E) có phương trình: a) x y2 + = e) 16 x + 25y = 400 b) x y2 + = 16 c) f) x + y = x y2 + = 25 g) x + y = d) x y2 + = h) x + 25y = Baøi 20 a) VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình chính tắc (E) Để lập phương trình chính tắc (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b (E) Chú ý: Công thức xác định các yếu tố (E): c + b= + e= + Các tiêu điểm F1 (−c; 0), F2 (c; 0) a2 − c2 a + Các đỉnh: A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; −b), B2 (0; b) Baøi Lập phương trình chính tắc (E), biết: a) Độ dài trục lớn 6, trục nhỏ b) Độ dài trục lớn 10, tiêu cự c) Độ dài trục lớn 8, độ dài trục nhỏ tiêu cự d) Tiêu cự và qua điểm M ( 15; −1) e) Độ dài trục nhỏ và qua điểm M ( −2 5;2 ) e) Một tiêu điểm là F1 (−2; 0) và độ dài trục lớn 10 3 f) Một tiêu điểm là F1 ( − 3; ) và qua điểm M 1; g) Đi qua hai điểm M (1; 0), N ;1 h) Đi qua hai điểm M ( 4; − ) , N ( 2;3) Baøi Lập phương trình chính tắc (E), biết: a) Độ dài trục lớn 10, tâm sai b) Một tiêu điểm là F1 (−8; 0) và tâm sai c) Độ dài trục nhỏ 6, phương trình các đường chuẩn là x ± 16 = d) Một đỉnh là A1 (−8; 0) , tâm sai 5 e) Đi qua điểm M 2; − và có tâm sai 3 Baøi a) Trang 19 Lop10.com (20) Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ mặt phẳng VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm trên (E) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) ∈ (E): c c MF1 = a + x , MF2 = a− x a a Baøi Cho elip (E) và đường thẳng d vuông góc với trục lớn tiêu điểm bên phải F2 cắt (E) hai điểm M, N i) Tìm toạ độ các điểm M, N ii) Tính MF1 , MF2 , MN a) x + 25y = b) x + 16 y = 225 144 Baøi Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) cho: ii) MF2 = 3MF1 i) MF1 = MF2 c) x + 16 y = 112 iii) MF1 = MF2 a) x + 25y = b) x + 16 y = c) x + 16 y = 225 144 112 Baøi Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm góc vuông, với: a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 c) x + 16 y = 112 Baøi Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm góc 600 , với: a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 c) x + 16 y = 112 VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa các dạng: 2a ⇒ Tập hợp là elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2, trục lớn 2a Dạng 1: MF1 + MF2 = Dạng 2: x2 a2 + y2 b2 = (a > b) ⇒ Tập hợp là elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b Baøi Cho đường tròn (C): x + y − x − 55 = và điểm F1 (−3; 0) : a) Tìm tập hợp các tâm M đường tròn (C′) di động luôn qua F1 và tiếp xúc với (C) b) Viết phương trình tập hợp trên Baøi Cho hai đường tròn (C): x + y + x − 32 = và (C′): x + y − x = 0: a) Chứng minh (C) và (C′) tiếp xúc b) Tìm tập hợp các tâm M đường tròn (T) di động và tiếp xúc với hai đường tròn trên c) Viết phương trình tập hợp đó Baøi Tìm tập hợp các điểm M có tỉ số các khoảng cách từ đó đến điểm F và đến đường thẳng ∆ e, với: 1 a) F (3; 0), ∆ : x − 12 = 0, e = b) F (2; 0), ∆ : x − 8= 0, e= 2 c) F (−4; 0), ∆ : x + 25 = 0, e = d) F (3; 0), ∆ : x − 25 = 0, e = 5 Baøi Cho hai điểm A, B chạy trên hai trục Ox và Oy cho AB = 12 a) Tìm tập hợp các trung điểm I đoạn AB b) Tìm tập hợp các điểm N chia đoạn AB theo tỉ số k = − Trang 20 Lop10.com (21)