Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Toán 12ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ & TỌA ĐỘ ĐIỂM
VÀO VIỆC GIẢI
BẤT ĐẲNG THỨC, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Vấn đề 1 : Dạng tốn chứng minh bất đẳng thức.
BÀI 1: Chứng minh rằng: a2 2a 5 a22a 5 5 (1) Cách giải:
(1) (a1)222 (a1)222 2
Đặt a (1 a; 2),b(a1;2) a b (2;4)
Ta có:
2 2
(a1) 2 (a1) 2 ab a b 2
(đpcm)
Dấu xảy khi: a b;
hướng 1-a = a+1 a = 0.
BÀI 2: Chứng minh rằng: x2xy y y2yz z z2zx x ,x y z R, , (1) Cách giải:
Ta có
2
2
2 ; 2
2 2
x z
x xy y y x y yz z y z
Xét
3 3
; , ; ; ( )
2 2 2
x z x z
ay x b y z a b x z
2
2
( ) 3( )
4
x z x z
a b z zx x
Do a b a b
nên x2xy y y2yz z z2zx x ,x y z R, , (đpcm)
Dấu xảy khi: a b;
hướng
0
0
2 2
0
2
x z x z
x z
a b a b x y x x y x
xy yz zx
z y z z y
(2)
0
, ,
1
x z
k
x kz y z k
k
BÀI 3: Cho a, b, c > ab + bc + ca = abc Chứng minh
2 2 2 2 2 2
3
a b b c c a
ab bc ca
Cách giải:
Chọn
1 2 1 2
; ; ; ; w ; w ;
u v u v
b a c b a c a b c a b c
Ta có
2 2
2 2
1 2 1
w w
u v u v
b a c b a c a b c
2 2 2 2 2 2
3
a b b c c a
ab bc ca
(đpcm) Dấu xảy khi: a = b = c =
BÀI 4: Chứng minh
2
5 5 3, , , ,
5
x y z x y z x y z
Cách giải:
Xét hai vectơ: u 1;1;1
v 5x2; 5y2; 5z2
Ta có u 3,v 5(x y z ) 6
u v 5x 2 5y 2 5z2
Áp dụng bất đẳng thức u v u v
ta có
2
5 5 3, , ,
5
x y z x y z
Dấu xảy khi: u1;1;1 , v 5x2; 5y2; 5z2
hướng
5
5
2
1 1
y
x z
x y z
(3)BÀI 5: Chứng minh
2
sinx sin + sin x x sin x 3, x
Cách giải:
Xét hai vectơ:
2
sin ;1; sin
u x x
2
1; sin ;sin
v x x
Áp dụng bất đẳng thức u v u v
ta có
2 2 2
sinx sin +sinx x sin x sin x sin x sin x sin x 3, x
Dấu xảy khi:
2
sin ;1; sin
u x x
2
1; sin ;sin
v x x
cùng hướng
2
2
sin
sin sin
sin sin
sin
1 2 sin sin
x
x x
x x x k
x x
x
BÀI 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2
( 1) ( 1) 1, ,
A x y x y x y
Cách giải:
Xét hai vectơ: u(x1; ; 2),y v ( ;x y 1;1) u v (1; 1;3)
Do a b a b
ta có: A (x1)2y2 4 x2(y1)21 11.
Dấu xảy khi: u(x1; ; 2),y v ( ;x y 1;1)
hướng
Tức là:
1 2
,
1 3
x y
x y
x y
Vậy A đạt giá trị nhỏ 11
1
,
3
x y
BÀI 7: Chứng minh
2 2 2
(x1) (y1) (z1) (x1) (y1) (z1) 2 2,x y z, ,
(4)Trong không gian Oxyz, lấy điểm A(1;1;-1), B(-1;1;1),M(x;y;z) Khi
2
AB .
và MA (x1)2(y1)2(z1) ,2 MB (x1)2(y1)2(z1)2 . Từ bất dẳng thức MA MB AB , ta suy
2 2 2
(x1) (y1) (z1) (x1) (y1) (z1) 2 2,x y z, ,
Dấu xảy khi: M nằm AB AM t AB t, 0;1
1
1 0;1
1
x t
y t
z t
Vấn đề 2: Dạng tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.
BÀI 1: Giải phương trình (4 x x) 2 2 x 85 57 x13x2 x3 (1) Cách giải:
Ta có: (1) (4 x) x 2 2 x (5 x x)( 2 8x17)
2
(4 ) (5 ) , 2;
2
x x x x x x
Xét a4 x;1 , b x 2; 2 x a b (4 x x) 2 2 x
Và
2
(4 ) 1, ( 2) (7 )
a x b x x x
Khi (1)
4
os ,
2
x
a b a b c a b
x x
(4 x) (7 )2 x x 2 x3 Vậy phương trình có nghiệm x =
BÀI 2: (A – 2014) Giải Hệ Phương trình
2
3
12 (12 ) 12 (1)
8 2 (2)
x y y x
x x y
(5)Điều kiện: 2 y 12, x 2
Xét
2
; (12 ) , 12 ;
a x x b y y
phương trình (1) có dạng
a ba b
,
a b
hướng
nên (1) x y (12 x2) 12 y y12 x x2, 0 thay vào phương trình (2)
Ta có: x3 8x1 10 x2 x3 8x 2( 10 x2 1)
2
2
2(9 )
( 3)( 1)
10
x
x x x
x
2
2
2( 3)
( 3)
10
x
x x x
x
2
2
3
2( 3)
3 0( )
10
x
x
x x VN
x
x= suy y =
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (3;3)
BÀI 3: Giải hệ phương trình:
4 4
2 2
1
2
x y z
x y z
Cách giải:
Gọi ( ; ; )x y z0 0 nghiệm tùy ý hệ có Xét hai vectơ sau khơng
gian:
2 2
0 0
( ; ; ), (1;1;2)
u x y z v
4 4
0 0 1,
u x y z v
, ta có u v x 02y022z02
Mặt khác:
os( , )
6
u v
c u v
u v
(6)BÀI 4: Giải hệ phương trình: 2 2 ( )
3 8
x y y x z
x x y yz
x y xy yz x z
Cách giải:
Hệ phương trình cho viết lại:
2 2
( ) ( ) (1)
( 1) (2 1) (2)
4( ) 4( ) ( 1) (2 1) (3)
x x y y y z
x x y z
x y y z x z
Xét véctơ trục
( ; ), ( ; ), w ( 1; 1)
u x y v x y y z x z
Khi hệ viết lại:
2
(4)
.w (5)
4 w w (6)
u v u v v
Chỉ có hai khả xảy ra:
Khả 1: Nếu u 0 ta có x = y =
1
2
u z
Ta có nghiệm
1 0;0;
Khả 2: u 0
TH1:
1
2
w 0 x z v x y y z vô lý
TH2: Nếu v, w
khác 0, (4) (5) v , w hai vectơ cộng tuyến, (6) ta có
w 2v
w 2v
+ Nếu w 2v
0
1 2
1
2 2
2
x
x x y
z y z y
thay vào (1) ta có
1
(7)+ Nếu w2v
1
1 2 2
2 2
4
x y
x x y
z y z x
z
Thay vào (1) ta có:
2
2 (1 ) 7. 5 5 2 0
4
x x x
x x x
Phương trình vơ nghiệm
Vậy hệ cho có hai nghiệm:
1 1
0;0; , 0; ;
2 2
.
BÀI 5: Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
1 1
x y z
x y z
x y z
Cách giải:
Xét hai vectơ u( ; ; );x y z0 0 v(x02;y02;z02)
( ; ; )x y z0 0 nghiệm hệ
Ta có u v x 03y03z03 1 (1)
Lại có
2 2
0 0
u x y z
2
4 4 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
v x y z x y z x y y z z x
2 2 2
0 0 0
1 x y y z z x
Vậy u v (2)
Dấu (2) xảy
2
0
2 2 2 2
0 0 0 0
2
0
0
0
0
x y
x y y z z x y z
z x
Vì u v u v
(8)Nên ta có
0
0
0
0 0
0 0
1
x y y z z x
x y z
suy phải có ba số x y z0; ;0 có hai số 0, số
Thử vào hệ thỏa mãn
Vậy hệ cho có ba nghiệm sau (1;0;0), (0;1;0),(0;0;1)
BÀI 6: Giải phương trình: x2 2x 5 x22x10 29 (1) Cách giải:
Tập xác định D = R
2 2
(1) (x1) 2 (x1) 3 29
Đặt
2
( 1;2) ( 1)
u x u x
2
( 1;3) ( 1)
v x v x
Suy u v ( 2;5) u v 29
Như (1) u v u v u v,
hướng
1 3( 1) 2( 1)
5
x x x
Vậy phương trình có nghiệm
x
BÀI 7: Giải bất phương trình: 2(x 3)22x 2 x1 x 3 (1) Cách giải:
Điều kiện: x 1
2
(1) (x 3) ( x1) x1 x
Đặt
2
( 3; 1) ( 3) ( 1)
u x x u x x
, v(1;1) v
Suy u v x1 x 3
2
( 3) ( 1)
(9)2
( 3) ( 1) (1) ,
u v x x u v u v u v
hướng
3
x x x
Vấn đề 3: Bài toán cực trị.
BÀI 1: Cho hai điểm A(1;1;0), B(3;-1;4) đường thẳng (d):
1
1
x y z
Tìm điểm M đường thẳng (d) cho MA + MB đạt giá trị nhỏ
Cách giải:
Do điểm M đường thẳng (d), ta có: M(-1+t; 1-t; -2+2t)
Khi đó: MA (2 t)2t2(2 ) t 6t2 12t8
MB (4 t)2 (t 2)2(6 ) t 6t2 36t56 Khi
2
2 2
6 12 36 56 ( 1) (3 )
3
MA MB t t t t t t
Xét hai vectơ
1
1; , ;
3
ut v t
Ta có MA MB 6u v 6 u v 4
Dấu xảy khi
1
1; , ;
3
ut v t
hướng
1 (1; 1; 2)
3
t
t M
t