Viết phương trình mặt phẳng đi qua Avà chứa đường thẳng d trong các trường hợp sau: Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp TH[r]
(1)1 TÀI LIỆU ÔN TẬP KIẾN THỨC VÀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CƠ BẢN CHO HỌC SINH THI TỐT NGHIỆP THPT VÀ BỔ TÚC THPT MÔN: TOÁN Nhằm tạo điều kiện và định hướng cho học sinh ôn tập thi tốt nghiệp THPT và bổ túc THPT đạt hiệu quả, Sở Giáo dục và Đào tạo phát hành tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ cho học sinh thi tốt nghiệp THPT và bổ túc THPT” các môn Ngữ văn, Toán và Tiếng Anh Tài liệu có tính chất tạo điều kiện để học sinh ôn tập kiến thức và rèn luyện kỹ theo chuẩn kiến thức, kỹ chương trình Giáo dục phổ thông và là tài liệu tham khảo để giáo viên ôn tập cho học sinh (Tài liệu không phải là Đề cương ôn thi tốt nghiệp THPT) Ban biên tập mong góp ý cán bộ, giáo viên và các em học sinh để tài liệu ngày càng hoàn chỉnh Phần thứ nhất: TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba y ax3 bx cx d , a (1) Tập xác định: D = R (2) Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: - Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c - Xét dấu y' từ đó suy đồng biến, nghịch biến hàm số * Cực trị: - Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (+) sang (-) thì hàm số đạt cực đại x0 ; yCĐ = y(x0) - Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (-) sang (+) thì hàm số đạt cực tiểu x0 ;yCT = y(x0) * Giới hạn: , a - lim (ax3 bx cx d ) x , a , a - lim (ax3 bx cx d ) x , a * Bảng biến thiên: (3) Vẽ đồ thị: - Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ trục toạ độ - Tìm giao điểm đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ trục toạ độ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng phương y ax bx c, a (1) Tập xác định: D = R (2) Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: - Đạo hàm y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) - Xét dấu y' từ đó suy đồng biến, nghịch biến hàm số * Cực trị: - Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (+) sang (-) thì hàm số đạt cực đại x0 ; yCĐ = y(x0) - Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (-) sang (+) thì hàm số đạt cực tiểu x0 ;yCT = y(x0) * Giới hạn: , a - lim (ax bx c) x , a * Bảng biến thiên: (3) Vẽ đồ thị: - Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ trục toạ độ - Tìm giao điểm đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ trục toạ độ Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (2) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức : y ax b (ac 0) cx d d (1) Tập xác định: D = R \ c (2) Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: ad cb - Đạo hàm y (cx d ) d d ) ,( ; ) c c d d - Nếu y' < thì hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ),( ; ) c c * Cực trị: Hàm số không có cực trị * Giới hạn và tiệm cận: d - Tìm các giới hạn x , x ( ) c d - Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = làm tiệm cận đứng và đường thẳng c a y = làm tiệm cận ngang c * Bảng biến thiên: (3) Vẽ đồ thị: - Vẽ các đường tiệm cận lên hệ trục toạ độ - Tìm giao điểm đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ trục tọa độ - Nếu y' > thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ; B Bài tập luyện tập Cho hàm số y f ( x) x3 x a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận số nghiệm phương trình x3 x m tuỳ theo giá trị tham số m (ĐS: m<-4 m>0 :1 nghiệm; m=-4 m=0: nghiệm; -4<m<0: nghiệm.) Cho hàm số y f ( x) x3 x a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số và trục hoành (ĐS: S ) Cho hàm số y f ( x) x a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị giao điểm nó với trục Ox (ĐS: y x ) Cho hàm số y f ( x) 2 x3 (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A nằm trên (C) có hoành độ -1 (ĐS: y 6 x ) Cho hàm số y f ( x) x x a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm M (1; 1) 32 ĐS: y 1, y x 27 27 Cho hàm số y f ( x) x x a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tính khoảng cách điểm cực đại đồ thị hàm số (ĐS: d=2) Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (3) Cho hàm số y f ( x) x x 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận số nghiệm phương trình x x m tuỳ theo giá trị tham số m (ĐS: m>0: vô nghiệm; m=0: 1nghiệm; m<0: nghiệm) 1 Cho hàm số y f ( x) x x (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m, số giao điểm (C) và (d):y=m (ĐS: m>1: không có giao điểm; m=1: 1giao điểm; m<1: giao điểm) 2x 1 Cho hàm số y f ( x) x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm các giá trị m để đường thẳng y mx cắt đồ thị hàm số đã cho điểm phân biệt (ĐS: m < -12 m > 0) 2x 1 10 Cho hàm số y f ( x) (H) x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) M là điểm thuộc (H) I là giao điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A và B i Chứng minh M là trung điểm AB ii Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi iii Tìm M để IA+IB nhỏ (ĐS: M(0;1) M(-2;3).) 11 Cho hàm số y ; gọi đồ thị hàm số là (H) x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: x 2y 5 c) Tìm giá trị lớn hàm số y cos x sin x 12 Cho hàm số y x3 x ; gọi đồ thị hàm số là (C) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b) Trên (C) lấy điểm A có hoành độ x A Viết phương trình đường thẳng d qua A và d tiếp xúc với (C) c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y x cos x trên 0; 2 13 : Cho hàm số y x x ; gọi đồ thị hàm số là (C) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 x m c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y cos 2 x sin x.cos x 14 Cho hàm số y ; gọi đồ thị hàm số là (C) x4 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) điểm thuộc (C) có hoành độ là c)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y x x 15 Cho hàm số y x2 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm k để đường thẳng (d) qua gốc tọa độ, có hệ số góc k, cắt (C) hai điểm phân biệt c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y sin x cos x 2x 16 Cho hàm số y có đồ thị (C) x 1 Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (4) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b) Tìm các điểm trên đồ thị C hàm số có tọa độ là số nguyên c)Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y (3 x) x trên đoạn [0;2] 17 Cho hàm số y = –x4 + 2x2 + có đồ thị (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị m để phương trình x4 – 2x2 + m = có nghiệm phân biệt x2 x c) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) hàm số y trên [0;3] x 1 18 Cho hàm số y x3 x ; gọi đồ thị hàm số là (C) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C hàm số đã cho b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và trục hoành c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f x x3 x x trên 0;3 x 4x2 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) Tìm các giá trị tham số m để phương trình x x m có nghiệm phân biệt c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f x x trên đoạn 0; 2 x 1 20 Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + 2m + m4 ; (l) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với m =1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (l) có điểm cực trị x 1 c) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) hàm số: y x2 x 19 Cho hàm số y II TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y f ( x) trên D A Hai cách thường dùng Cách 1: - Lập bảng biến thiên hàm số f ( x) trên D - Từ bảng biến thiên suy GTLN, GTNN Cách 2: Nếu f ( x) liên tục trên D = [a;b] - Tìm các điểm x1 , x2 , , xn trên khoảng (a;b) mà đó f , ( x) f , ( x) không tồn - Tính f (a ), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (b) - Tìm số lớn M và số nhỏ m các số trên - Ta có f ( x) m, max f ( x) M [ a ;b ] [ a ;b ] B Bài tập Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) x3 x x trên đoạn [-3;5] (ĐS: f ( x) f (3) 45, max f ( x) f (5) 195 ) [ 3;5] trên đoạn [3;5] x2 (ĐS: f ( x) f (4) 6, max f ( x) f (3) ) Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) x [3;5] [ 3;5] [3;5] trên khoảng (; ) x2 (ĐS: max f ( x) f (3) 9 , f ( x) không có GTNN ) Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) x ( ; ) Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) x x Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (5) (ĐS: max f ( x) f (2) 4, f ( x) f ( 8) ) Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) x trên đoạn [-2;2] (ĐS: f ( x) f (2) 3, max f ( x) f (2) 15 ) [ 2;2] [ 2;2] Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) sin x cos x x k 2 3 (ĐS: f ( x) , max f ( x) x k 2 ) 2 x 7 k 2 3 Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) cos3 x cos x trên đoạn [0; ] x (ĐS: f ( x) 1 x , max f ( x) x ) 3 x Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) cos x sin x (ĐS: f ( x) x k , max f ( x) x k ) 2 x e Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) x trên đoạn [ ln ; ln ] e e (ĐS: f ( x) f (ln 2) ) , max f ( x) f (ln 4) 2e 4e [ln 2;ln 4] [ln 2;ln 4] 10 Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) ln( x x ) trên đoạn [-2;2] (ĐS: f ( x) f (2) 0, max f ( x) f (2) ln ) [ 2;2] [ 2;2] III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN F ( x) là nguyên hàm f ( x) tan x.sin x a) Tính F '' ( ) b) Biết đồ thị hàm số y = F ( x) cắt trục tung Oy điểm có tung độ Hãy xác định F ( x) F ( x) e3 x (a.sin x b.cos x) là nguyên hàm f ( x) e3 x (3.sin x 4.cos x) Hãy xác định các giá trị a và b F ( x) , G ( x) là các nguyên hàm e3 x và g ( x) Biết F ( ) G ( ln ) f ( x) x e sin x cos x 3 Hãy tính : F ( ) và G ( ) x2 Tìm nguyên hàm hàm số f : f ( x) 1 2x 1 Tìm nguyên hàm hàm số f : f ( x) sin cos x x x x 1 e Tìm nguyên hàm hàm số f : f ( x) ex Tìm nguyên hàm hàm số f : f ( x) 3x log x Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (6) Tìm họ nguyên hàm : I = ( e 2011 ) e3 x dx ; J = 3x ( x.ln x Tìm họ nguyên hàm : I = 0 10 Tính tích phân : I = 11 Chứng tỏ : 0 x 0 log log eln 2ln15 cos 3x.s inx tan x dx 13 Tính tích phân : I = 1 e x e 2 x d x ; J = 2 x x cos ( ) dx ; J = 3 e 0 14 Tính tích phân : I = ln 0 15 Tính tích phân : I = ln3 1 16 Tính tích phân : I = 17 Tính tích phân : I = x 3 dx ; I = ex e xln x dx 0 e ; J = 0 0 0 0 x.tan x dx ; I = 0 cos x dx ; (2 sin x)3 0 x cos3 x d x 0 cos (x ).cos x dx sin x cos x dx ; J = ln x 1 (1 x)2 dx 0 ( e cos x x ).sin x dx sin x e tan x dx cos x x dx ; J = 0 x x dx 2x 1 22 Tính tích phân : I = dx ; I = 1 2x 1 23 Tính tích phân : K = J= 0 sin 0 x 22 Tính tích phân : I = x cos x dx ; J = 20 Tính tích phân : I = x ln ( x 1) dx ; I = x 21 Tính tích phân : I = x 1) ln x dx x ex dx 2 cos x dx 19 Tính tích phân : I = 1 ( x 18 Tính tích phân : I = x x4 2x2 d x .dx x dx ( x3 1) 12 Tính tích phân : J = 2011 x.ln x ) dx (1 x) dx ; J = (1 x) dx = x (1 x ) x2 d x 0 x 9 8x dx dx ; I 2 4x 1 x x 10 x x 11 dx ; I dx x 6x x x 10 24 Tính tích phân : I 25 Tính tích phân : I = dx sin x cos x Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (7) 26 a) Cho hàm số y = f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn a ; a a Chứng minh : f ( x) dx a b) Vận dụng kết trên, hãy tính tích phân: G = 27 a) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn a ; b b Chứng minh : a f ( x) dx x3 x sin x dx cos x b a f (a b x) dx b) Vận dụng kết trên, hãy tính tích phân : K = ln (1 tan x ) dx 2 x và hai trục tọa độ x 1 b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục Ox 29 Tính diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn các đường sau : x 1 ; x ; y ; y x x 30 Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường sau quay quanh trục Ox : x a) y sin , y , x , x ; b) y ln x , y , x e 28 a) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn (C): y IV LÔGARÍT a) Rút gọn biểu thức sau: E = log 2.log 3.log 4.log 5.log8 24 b) Cho biết lg2 = a, lg3 = b Tính lg theo a và b 25 Tìm tập xác định hàm số: y = log ( x 2) 3 Cho hàm số y = ln( x 1) a) Tính y’ b) Giải phương trình y Giải phương trình log3(x + 1) - log (x + 3) = Giải phương trình: log x log ( x 3) Giải phương trình: log x log x Giải phương trình log 22 x 1 log x 1 2 3x 1 Giải bất phương trình log x 1 1 Giải bất phương trình log x log x 10 Giải bất phương trình log 0,2 x 5log 0,2 x 6 V HÀM SỐ MŨ Giải phương trình: 2 3 x2 x HD giải : Đặt t t 0 Khi đó phương trình trở thành: t t 3t (t 1)(t 4) t (vì t ) t x2 x 2 x x x 1 hay x Do đó phương trình có nghiệm là: x 1 ; x x2 x 2 x x2 Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (8) 2 y y Giải hệ phương trình: x x 1 y x 2 3x 23 x y y y3 y y HD giải: hệ phương trình đã cho x 2x y y0 y hay y hay y y 1 y hay x y0 x x x x2 Tìm a để bất phương trình a.9 a 1 a nghiệm đúng với x HD giải : Đặt t 3x BPT at 9(a 1)t a a (t 9t 1) 9t 9t a 1 Bất phương trình đã cho nghiệm đúng x 1 đúng t t 9t 9t 9t 2t Xét hàm số f t Ta có : f ' t 0, t 2 t 9t t t Do đó xét bảng biến thiên ta 1 đúng t a max f t a Giải phương trình: 125 x 50 x 23 x1 x x x x 125 50 125 25 HD giải : PT 2 x 5 Đặt t PT thành t t Giải phương trình trên ta t suy x 2 Tìm m để bất phương trình m.92 x mãn điều kiện x 3 HD giải : BPT m 2 2 x2 x x (2m 1)62 x 3 (2m 1) 2 x m.42 x x2 x x2 x m0 x nghiệm đúng với x thỏa 1 x2 x 3 3 Đặt t điều kiện x t ' x 1 ln luôn cùng dấu với x 2 2 2 t lấy các giá trị [1; ) 1 mt (2m 1)t m m(t 2t 1) 1 đúng x 1 đúng t [1; ) m , t m 2 t 1 Giải phương trình: 3x x x HD giải : Đặt f x 3x x x Phương trình tương đương với: f x Dễ thấy phương trình có x 0; x là nghiệm Ta có f ' x 3x.ln x ln f ' x ; x và f ' x 6 f " x 3x.ln x ln với x x Suy f ' x là hàm liên tục, đồng biến và nhận giá trị âm, giá trị dương trên nên phương trình f ' x có nghiệm xo Từ bảng biến thiên hàm f x f x có không quá hai nghiệm Vậy phương trình có đúng hai nghiệm : x 0; x Chú ý : Có thể chứng minh phương trình f ' x có nghiệm sau : Ta có : f ' ln ln và f ' 1 3ln 5ln Suy phương trình f ' x có nghiệm xo 0;1 Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (9) Giải phương trình: x.8 HD giải : PT x 5 3( x 1) x x x 5 Giải phương trình: HD giải : Đặt 500 2 x x 3 Giải phương trình: x HD giải : Đặt x 1 x x 3 x 3 5.2 12.2 x 1 2 x x 5 3 x x x 3 x 3 1 x x 3 x x 1 x x log 5.2 8 x t x x t (t 0) x t x x 2 2 x 5 x 2 4 x =t (t>0) phương trình trở thành : t 1t tt 22 x 10 Giải phương trình: x ( 5) 2 x x x 2 3(1 2) x HD giải : Đặt t (1 2) x ; t PT t ( 5)t 3t (t 1)(t ( 4)t 1) t x t 2 x 2 t x 11 Giải phương trình: 3 x ( 2) x ( 5) x x x 3 2 3 2 3 HD giải: PT u , u 1; Đặt 5 + Nếu x : u x 0; v x VT + Nếu x : u x 1; v x VT Vậy PT vô nghiệm 12 Giải phương trình: 3.16 x (3 x 10)4 x x HD giải : Đặt x t , (t 0) PT trở thành : 3t (3 x 10)t x x2 t x log x2 x t x x 3 v, v 13 Tìm m để phương trình m.2 x 2 x có nghiệm HD giải: Đặt t x , t o Pt trở thành : mt f (t ) mt 5t * t + Nếu m : t (t.m) ; + Nếu m : PT đã cho có nghiệm và phương trình * có nghiệm dương m0 t1 t2 m Xét trường hợp : t1 t2 không có m m 25 0 t1 t2 m và 14 Tìm a để phương trình x 1 a x x có nghiệm Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (10) 10 x x 1 1 HD giải : PT x 1 a Đặt t = (t>0) phương trình trở thành : t t t a t Đáp số : a hay a 15 Tìm m để phương trình m.16 x 2.81x 5.36 x có nghiệm x 9 HD giải: Đặt t ; t Phương trình trở thành 2t 5t m (*) m 2t 5t 4 Phương trình đã cho có nghiệm và phương trình (*) có đúng nghiệm 25 dương Khảo sát hàm số y 2t 5t trên (0 : +∞) ta m ; m VI SỐ PHỨC Xác định các số phức biểu diễn các đỉnh lục giác có tâm là gốc tọa độ O mặt phẳng phức biết đỉnh biểu diễn số i Chứng minh: a) Số phức Z là số thực và Z Z b) Số phức Z là số ảo và Z Z Chứng minh số phức Z , Z ta có: Z1 Z Z1 Z ; Z1Z Z1.Z Tìm số phức Z thỏa mãn các điều kiện sau: a) Z và Z là số ảo b) Z và phần thực hai lần phần ảo Chứng minh: (1 i)3 3i 2 5i Chứng minh: 1 1 i 1 2i i Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn bất đẳng thức: Z 1 i Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn bất đẳng thức 1 z Tìm mô đun số phức: Z 3i (1 i)3 10 Cho số phức Z thỏa Z Z 8i Hãy tìm Z 11 Tìm số thực x, y thỏa mãn x(3 5i) y (1 2i)3 14i 12 Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: (3 + 4i)z + (1 – 3i) = + 5i 13 Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z – 4z + = 14 Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z – 8(1 – i)z + 63 – 16i = 15 Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z – = 16 Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z + 4z – = 17 Gọi z và z là hai nghiệm phương trình: z + 2z + 10 = Tính A z1 z2 18 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z biết z là acqumen 19 Chứng minh số phức z i có acqumen là k.2 12 Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (11) 11 20 Tính giá trị A C2010 C2010 C2010 2008 2010 C2010 C2010 VII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Cho hình chóp SABC có SA (ABC) SA= a , ABC cạnh a M, N là hình chiếu A trên SB, SC a) CMR MN song song mp(ABC) b) Tính thể tích khối chóp ABCNM Cho hình chóp SABC có đường cao SA = a; ABC vuông cân, AB = BC = a, gọi B là trung điểm cạnh SB , C’ là chân đường cao hạ từ A SAC a) CMR SC (AB’C’) b) Tính thể tích khối chóp S AB’C’ = 2 ; hai mặt bên SAB, SAC Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác cân, AB = AC ; BAC cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SB= b tạo với đáy góc Tính thể tích khối chóp SABC Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có các cạnh bên tạo với đáy góc a) Vẽ thiết diện qua AC vuông góc SD b) Tính tỉ số thể tích phần hình chóp bị chia cắt thiết diện trên Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ biết AA’B’D’ là khối tứ diện cạnh a Cho hình chóp tam giác đểu có cạnh đáy a’ mặt bên tạo với đáy góc 600 a) Tính thể tích khối chóp b) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón ngoại tiếp khối chóp Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SC hợp với mặt phẳng đáy góc 600 Gọi H, I , K là hình chiếu A trên SB, SC, SD a) Chứng minh điểm A, B, C, D, H, I, K thuộc mặt cầu Tính thể tích khối cầu đó b) Tính thể tích khối chóp SABCD Cho tứ diện ABCD có AD=AC = a , AB = 2a, AD (ABC) , ABC vuông C a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD = 600 , Cho hình chóp SABC có SA = SB= SC = a , ASB = BSC ASC = 900 a) CMR ABC vuông Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC 10 Cho hình chóp SABC có hình chiếu đỉnh S trên (ABC) là trung điểm cạnh AC, SA = SB = SC = a , SB tạo với đáy góc 600 và ABC = 300 a) CMR ABC vuông Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, các cạnh bên a, góc cạnh bên và mặt đáy 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 12 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cạnh a, AA’ = 2a, đường thẳng AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ 13 Cho hình chóp S.ABC có độ dài cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp trên 14 Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, ACB 600 , cạnh BC = a, đường chéo AB tạo với mặt phẳng (ABC) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh BC=2a, SA= a, SA mp(ABCD), SB hợp với mặt đáy góc 450 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 16 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, cạnh AB = a, BC = 2a; SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a Gọi A và B trung điểm SA và SB Mặt phẳng (CAB) chia hình chóp thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện đó Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (12) 12 17 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên và mặt đáy 600 Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp đã cho 18 Cho khối chóp tam giác S.ABC cạnh đáy AB = a, góc mặt bên và mặt đáy là 60o Tính thể tích khối chóp theo a 19 Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ và thể tích khối trụ 20 Một hình nón có đỉnh S, khoảng cách từ tâm O đáy đến dây cung AB đáy a, 60 Tính độ dài đường sinh theo a SAO 30 , SAB VIII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chủ đề 1: HỆ TỌA KHÔNG GIAN ĐỘ TRONG a (1; 2;5); b (3; 4;1); c (1; 2; 5) a) Tìm tọa độ d 2a 3b 4c Tính độ dài d b) Tính a (b 2c) Hướng dẫn giải: a) d (3;0; 13) ; d 178 ; b) a (b 2c) ab 2ac 16 2(20) 24 Cho A(1;2;3) ; B(-1;3;4) ; C(0;4;1) a) Chứng minh : A; B; C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ trọng G tam giác ABC c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC d) Tính giác ABC góc A tam Giải: a) AB (2;1;1) ; AC (1; 2; 2) Hai vec tơ này không cùng phương nên điểm A ; B ; C không thẳng hàng b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.Ta có : OG (OA OB OC ) O là gốc tọa độ Từ đó ta có G (0;3; ) c) Chu vi tam giác ABC : AB AC BC 11 AB AC AB AC Diện tích tam giác ABC : S 2 AB AC d) cos A cos( AB; AC ) AB AC Tìm tâm và bán kính mặt cầu ( S ) có phương trình : a) x y z x y z b) x y z x y z Giải: a) Phương trình mặt cầu đă cho tương đương phương trình: ( x 2) ( y 1) ( z 1) Vậy mặt cầu đã cho có tâm I(2;-1;1); bán kính R = 3 45 b) Phương trình mặt cầu đã cho tương đương PT: x ( y 2) ( z 1) 2 3 Vậy mặt cầu đã cho có tâm I ; 2; 1 , bán kính R = 2 Viết phương trình mặt cầu (S ) trường hợp sau : a) Đường kính AB với A(1;2;-3) ; B(5;4;1) b) Mặt cầu (S) có tâm M(2;1;4) và tiếp xúc mặt phẳng ( P ) : : 3x + 4y+ z – = c) Mặt cầu ( S ) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1;-2;-1); B(4;3;3); C(5;6;-1); D(-3;3;-4) Giải: a) Mặt cầu ( S) có đường kính AB nên tâm I mặt cầu (S) là trung điểm I AB AB Do đó I ( 3;3;-1) ; R = = Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x 3) ( y 3) ( z 1) Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (13) 13 b) Mặt cầu (S) tâm M, tiếp xúc mặt phẳng (P) nên bán kính: R=d(M;(P))= 6 4 45 16 26 81 26 2 c) Phương trình mặt cầu ( S) có dạng : x y z 2ax 2by 2cz d Mặt cầu ( S) qua điểm A ; B ;C ; D nên ta có : 6 2a 4b 2c d 34 8a 6b 6c d Giải hệ phương trình trên ta : a = -1; b= -3; c = 1; d= -14 62 10 a 12 b c d 34 6a 6b 8c d Vậy phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là: x y z x y z 14 Viết phương trình mặt cầu ( S ) trường hợp sau : a) Mặt cầu ( S ) có tâm B(-1;4;5) và qua A(1;2;3) x 3t b) Mặt cầu ( S) có tâm A(1;2;5) và tiếp xúc đường thẳng ( d) : y t z 2t c) Mặt cầu ( S) có tâm A(1;4;3), cắt mặt phẳng Oxz theo đường tròn đường kính Giải: a) Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính R = BA = Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x 1) ( y 4) ( z 5) 12 b) Gọi H là hình chiếu của I trên d H thuộc (d) nên tọa độ điểm H (1+ 3t; 2- t; + 2t) VTCP ( d) : u (3; 1; 2) ; AH (3t ; t ; 2t 2) AH u AH u 9t t 4t t 36 100 140 Bán kính R = AH = 49 49 49 49 140 Phương trình mặt cầu ( S) : ( x 1) ( y 2) ( z 5) 49 (Học sinh ban tự nhiên có thể áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để tính bán kính) c) Gọi H là hính chiếu vuông góc A trên mặt phẳng oxz, ta có AH = Gọi R là bán kính mặt cầu ( S), ta có R AH 16 16 16 32 Phương trình mặt cầu (S) : ( x 1) ( y 4) ( z 3) 32 Phương trình mặt cầu (S) : ( x 2) ( y 1) ( z 4) Chủ đề 2: ĐƯỜNG THẲNG A Kiến thức bản: Phương trình tổng quát mặt phẳng: Ax + By +Cz + D = với A B C , VTPT (P) n ( A; B; C ) Phương trình mặt phẳng qua điểm M0(x0; y0; z0) và có VTPT (P) n ( A; B; C ) A(x –x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0, khai triển đưa pt dạng: Ax + By +Cz + D = x y z Mặt phẳng (P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng: , a b c với a, b, c khác B Các dạng toán: Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng P qua điểm M0(x0; y0; z0) và song song với mặt phẳng Q : Ax By Cz D cho trước * Phương pháp giải: Cách 1: Thực theo các bước sau: VTPT là n A; B; C Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (14) 14 P // Q nên VTPT mặt phẳng P là nP nQ A; B; C Phương trình mặt phẳng P : A(x –x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0, Cách 2: Mặt phẳng P // Q nên phương trình P có dạng: Ax + By + Cz + D’ = (*), với D’ D Vì P qua điểm M0(x0; y0; z0) nên thay tọa độ M0(x0; y0; z0) vào(*) tìm D’ * Bài tập áp dụng : Viết phương trình mặt phẳng P a) qua A( 1; 3; -2) và song song mặt phẳng Q : 2x + 5y – 3z – = b) qua B(-1; 4; 0) và song song mặt phẳng Q : 2x + 3y – 4z + = Cho điểm A(2; 3; 1), B(1; 1; -2), C(2; 1; 0), D(0; -1; 2) a) CMR A, B, C, D là bốn đỉnh tứ diện b) Viết phương trình mặt phẳng qua D và song song mặt phẳng (ABC) Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, C không thẳng hàng * Phương pháp giải: * Tìm tọa độ các vectơ: AB; AC * Vectơ pháp tuyến là : n= AB, AC =( m; n; p) * Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B C) * Viết phương trình mặt phẳng qua điểm và có VTPT n =( m; n; p) * Bài tập áp dụng : Viết phương trình mp qua điểm A,B,C các trường hợp sau A(3,-2,1) B(1,-1,2) C(1,3,4) A(1,-1,4) B(2,5,-3) C(1,-3,7) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có B(-1; 0; 3), D(1; 2; 1), A’(2; -1; 1), C’(-2; 5; -3) a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại hình hộp ABCD.A’B’C’D’ b) Viết phương trình mặt phẳng (A’BD) và (CB’D’), chứng minh mặt phẳng này song song c) Viết phương trình mặt phẳng (AA’C’C) và (BB’D’D) Cho điểm A(-1; 2; 0); B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và suy điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M và vuông góc với đường thẳng * Phương pháp giải: Tìm VTCP là u Vì nên có VTPT n u Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm và có VTPT * Bài tập áp dụng : Viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng các trường hợp sau: x 2t a) M(3; -2; 1) và y 3t z 2t x y z 1 b) M(0; 2; 3) và 1 x t Cho đường thẳng d: y t và mặt phẳng (P): 2x + y + z = z t a) Tìm tọa độ giao điểm A d và b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với d Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (15) 15 Viết phương trình mặt phẳng qua M(-1; 2; 1) và vuông góc với giao tuyến mặt phẳng (P): 3x + 2y – 2z + = và (Q): 2x – y + 3z + = Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng , vuông góc với mặt phẳng * Phương pháp giải Tìm VTPT là n Tìm VTCP là u VTPT mặt phẳng là: n n ; u Lấy điểm M trên Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua ểm và có VTPT * Bài tập áp dụng : Viết phương trình mp chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P) các trường hợp sau : x 3t a) y 9t (P) : x + 7y – 2z + 12 = z 5t x 1 y z b) d : (P) : 2x + y + 3z – = 1 2 c) d là giao tuyến hai mặt phẳng (R): 2x – y + 3z + = và (Q): x + y – z + = 0; ( P): 3x – y + = Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng * Bài tập áp dụng : 10 Viết phương trình mặt phẳng : a) Đi qua A(1; 2; 10) , B(2; 1; 3) và vuông góc với (P): x – 3y + 2z - = b) Đi qua C(2; -1; 4) , D(3; 2; -1 ) và vuông góc với (Q): x + y + 2z + = Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với ’ ( , ’ chéo nhau) * Phương pháp giải: Tìm VTCP và ’ là u và u ' VTPT mặt phẳng là: n u u ' Lấy điểm M trên Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm và có VTPT * Bài tập áp dụng : x 1 t x y 1 z 11 Cho hai đường thẳng d1 : ; d2 y t 1 z t a Chứng minh d1 và d2 chéo b Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song d2; c Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d2 và song song d1 12 Cho điểm A(-1; 2; 0); B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2) Viết phương trình mặt phẳng chứa AD và song song với BC Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và điểm M * Phương pháp giải: Tìm VTCP là u , lấy điểm N trên Tính tọa độ MN VTPT mặt phẳng là: n u ; MN Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm và có VTPT * Bài tập áp dụng : 13 Viết phương trình mặt phẳng qua Avà chứa đường thẳng d các trường hợp sau: Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (16) x y 1 z 3 a) A(1; 2; 1) và d: 16 x 5 3t b) A(2; 3; 1) và chứa đường thẳng d: y t z t c) A(2; 1; -1) và d là giao tuyến mp (P): x – y + z – = 0, (Q): 3x – y + z – = Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng cắt và ’ * Phương pháp giải: Tìm VTCP và ’ là u và u ' VTPT mặt phẳng là: n u ; u ' Lấy điểm M trên Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm và có VTPT * Bài tập áp dụng : 14 Cho đường thẳng d1 và d Chứng minh d1, d2 cắt nhau, viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó các trường hợp sau: x t x y 1 z a) d1 : y 1 2t ; d : z 3t x y 1 z x 5 y 2 z 6 ; d2 : b) d1 : 4 7 x 1 3t x t ' c) d1: y 2t ; d : y t ' z 2t z 3 2t ' Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng chứa song song và ’ * Phương pháp giải: Tìm VTCP và ’ là u và u ' , lấy M , N ' VTPT mặt phẳng là: n u ; MN 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm và có VTPT * Bài tập áp dụng : 15 Cho đường thẳng d1 và d Chứng minh d1 song song d2 cắt nhau, viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó các trường hợp sau: x 2t x 2t ' a) d : y t , d ' : y 3 t ' z t z 1 t ' x 1 y z 1 x 4 y z 2 ; d2 : b) d1 : 2 3 1 x t x 1 y z c) d1 : y 8 4t ; d : 4 3 z 3 3t Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) * Phương pháp giải: Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính mặt cầu (S) Nếu mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) M (S) thì mặt phẳng qua điểm M và có VTPT là MI Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (17) 17 Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các kiện bài toán tìm VTPT mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = (D chưa biết) Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d I , R để tìm D * Bài tập áp dụng : 16 Viết phương trình mp tiếp xúc với mặt cầu (S) M các trường hợp sau: a) (S): x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + = M(4; 3; 0) b) (S): x2 + y2 + z2 +2x – y - 6z + = M(-1; 0; 0) 17 Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7) a) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính mặt cầu (S) b) Viết phương trình mặt cầu (S) c) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) A 18 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – = và song song mặt phẳng (P): 4x + 3y – 12z + = 19 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x – y - 6z + = và song song mặt phẳng (P): 2x + 2y +z – = 20 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 2y + 4z - = và đường thẳng x 2t x 1 y z 1 : y t ; : 1 1 z t a) Chứng minh 1 ; chéo b) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S), biết (P) song song với đường thẳng 1 ; Chủ đề 3: MẶT THẲNG A Kiến thức bản: Đường thẳng d qua điểm M0(x0; y0; z0), nhận u a; b; c làm VTCP có phương trình x x0 at tham số là: y y0 bt ; t z z ct Khi a, b, c khác thì ta có phương trình chính tắc d là: x x0 y y0 z z0 a b c Nếu đường thẳng d là giao tuyến hai mp (P) và (P’) có phương trình : Ax + By +Cz + D = A’x + B’y +C’z + D’ = B C C A A B ; ; B ' C ' C ' A' A' B ' Thì đường thẳng d có VTCP: u nP ; nP ' Muốn tìm điểm thuộc d thì ta cho x = x0 (thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z B Các dạng toán: Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0(x0; y0; z0) và có VTCP * Phương pháp giải: Tìm VTCP u a; b; c Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số chính tắc Chú ý: Cách tìm VTCP - Nếu đường thẳng d qua A, B thì VTCP u AB - Nếu đường thẳng d P thì d có VTCP u nP ( nP là VTPT (P)) - Nếu d // thì d và có cùng VTCP Nếu d a; d b thì d có VTCP u ua ; u b Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (18) 18 - Nếu d ; d //( P) thì d có VTCP u u n P * Bài tập áp dụng : Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc( có) đường thẳng d qua điểm A và B các trường hợp sau: a) A(1,3,7), B(2,1,2) b) A(5,1,3), B(2,5,1) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với đường thẳng d: x 3 y z 3 a) A(1,5,2) , d: 1 b) A(-2,4,1) , d là giao tuyến hai mặt phẳng ( P) x y z và (Q)2 x y z x 6t c) A(7,3,-5), d: y 8t z t Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng ( ) các trường hợp sau: a) A(3, 5, -2), ( ) : x + 5y – 3z + = b) A(1, 7, 3), ( ) :x +z = c) A(0, 6, 1), ( ) : y + z – = Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với đường thẳng d1 và d2 các trường hợp sau: x 2t x y 1 z a) A(1,2,-3), d1: y 4t , d2: 3 1 z 5t x 23 y 10 z x y 1 z 1 b) A(1; 2; 3), d1: , d2: 8 1 Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc đường thẳng và song song với mặt phẳng (P) các trường hợp sau x 1 3t a) A(1; -2; 3) , đường thẳng : y 3 2t ; mặt phẳng (P): 2x + y + 3z – = z t x 1 y 1 z b) A(1; 1; -2) , đường thẳng : ; mặt phẳng (P): x – y – z – = Viết phương trình đường thẳng (d) các trường hợp sau a) (d) qua điểm M(1; 4; -2) và song song với mặt phẳng có các phương trình: (P): 6x + 2y + 2z + = 0, (Q): 3x – 5y – 2z – = b) (d) qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác, biết A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(-1; 1; 3) Cho điểm A(2; 3; 5) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = a) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc mặt phẳng (P) b) Tìm giao điểm d với trục Oz Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d * Phương pháp giải: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d d Tìm giao điểm B d và mặt phẳng (P) Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua A, B B A Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (19) 19 * Bài tập áp dụng : Viết phương trình đường thẳng x y z 3 x t b) Qua điểm A(0; 1; -1), cắt và vuông góc với đường thẳng d : y 1 3t z 1 2t Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d, cắt đường thẳng d’ d * Phương pháp giải: d' Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d A B Tìm giao điểm B d’ và mặt phẳng (P) Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua A, B * Bài tập áp dụng : Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d và cắt đường thẳng d ' các trường hợp sau: x 1 t x 1 y 1 z a) M(0; 1; 1); d : y t ; d ' : 2 z 1 x 1 x 1 y z , d ': y t b) M(0; 1; 1), d : 1 z t x 2t x 3t ' c) M(-4; -5; 3), d : y 4 3t , d ' : y 3 2t ' z 5t z t ' a) Qua điểm A(3; 2; 1), cắt và vuông góc với đường thẳng d : Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt đường thẳng a, b * Phương pháp giải: d - Lý luận: Gọi (P) là mặt phẳng chứa a, M và (Q) là mặt phẳng chứa b, M Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến (P) và (Q) M Tìm VTCP a, b là ua ; ub Lấy A a; B b , tính AM ; BM Tính VTPT (P) và (Q): nP AM ; ua ; nQ BM ; ub B Viết phương trình đường thẳng (d) có VTCP là ud nP ; nQ và qua điểm M Q - Cách giải khác: Chuyển phương trình hai đường thẳng dạng phương trình tham số t và u Gọi M d d1 và N d d A P Từ PTTS d1 và d ta suy toạ độ hai điểm M và N theo hai tham số t và u (d) qua A M , N , A thẳng hàng AM , AN cùng phương t, t’ từ đó suy toạ độ M, N (d) qua A nhận MN làm VTCP kết * Bài tập áp dụng : 10 Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt đường thẳng a, b các trường hợp sau: Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (20) 20 x 2t x y 3 z b: a) M(1; -1; 1) và a : y t z t x 1 t x 3t ' b) M(2; 3; 1) và a : y t và b : y t ' z 4 z t ' x 1 y z x y 1 z 1 c) M(-4; 5; 3) và d : và d ' : 2 1 5 Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) và cắt đường thẳng a, b cho trước * Phương pháp giải: d Lý luận: Gọi (P) là mặt phẳng chứa a, vuông góc với( ), (Q) là mặt phẳng chứa b, vuông góc với( ) Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến (P) và (Q) Tìm VTCP a, b là ua ; ub Lấy A a; B b b Tìm VTPT : n a Mặt phẳng (P) có VTPT n P ua ; n và qua A Q P Viết phương trình mặt phẳng (P) Mặt phẳng (Q) có VTPT nQ ub ; n và qua B Viết phương trình mặt phẳng (Q) Lấy M thuộc giao tuyến (P) và (Q) Viết phương trình đường thẳng d có VTCP là n và qua M * Bài tập áp dụng : 11 Viết phương trình đường thẳng d các trường hợp sau a) x t Vuông góc với mặt phẳng (Oxz) và cắt đường thẳng a : y 4 t và z t x2 y3 z 4 2 5 b) Vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z +2 = và cắt hai đường thẳng x t x 2t ' a : y 1 t ;b y z 2t z 1 t ' b: c) Vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z – = và cắt hai đường thẳng x 1 y 1 z a: ; b : x t ; y ; z t 1 3 Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng , cắt đường thẳng 12 Viết phương trình đường thẳng d các trường hợp sau x 3t x 1 y z a) Song song với : y t và cắt hai đường thẳng d1 : , z t x 1 y z 1 d2 : Tài liệu lưu hành nội “Ôn tập và rèn luyện kỹ môn Toán cho học sinh lớp ôn thi tốt nghiệp THPT” Lop12.net (21)