Đang tải... (xem toàn văn)
Chúng tôi gởi tặng các em bài viết nhỏ mang tính tổng quát giải tích hàm số lớp 12 , cũng như một số ứng dụng độc đáo để giải quyết khá triệt để những dạng toán từng đề cập các lớp học d[r]
(1)Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Để các em thuận tiện việc ôn luyện thi Đại học và Cao đẳng năm 2009 Chúng tôi gởi tặng các em bài viết nhỏ mang tính tổng quát giải tích hàm số lớp 12 , số ứng dụng độc đáo để giải khá triệt để dạng toán đề cập các lớp học mà các em còn bỏ ngõ Tài liệu đề cập nhiều chủ đề chuyên đề phù hợp việc ôn luyện thi cấp tốc chuẩn bị kỳ thi Đại học tháng 7/2009 Trong quá trình biên soạn hẳn còn nhiều chỗ thiếu sót khách quan, chúng tôi mong đóng góp quý báu các bạn độc giả gần xa , thư góp ý gởi email: phukhanh1009@gmail.com Tài liệu này còn lưu trữ hai website : http://www.mathsvn.violet.vn và http://www.maths.vn Lop12.net (2) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : Giả sử K là khoảng , đoạn nửa khoảng Hàm số f xác định trên K gọi là ( ) ( ) ⇒ f (x ) > f (x ) • Đồng biến trên K với x 1, x ∈ K , x < x ⇒ f x < f x ; • Nghịch biến trên K với x 1, x ∈ K , x < x 2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I ( ) I thì f ' ( x ) ≤ với x ∈ I • Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f ' x ≥ với x ∈ I • Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý : Định lý giá trị trung bình phép vi phân (Định lý Lagrange): Nếu hàm số f liên tục trên a;b và có đạo hàm trên khoảng a;b thì tồn ít điểm c ∈ a;b ( ) () () ( )( ( ) ) cho f b − f a = f ' c b − a Định lý : Giả sử I là khoảng nửa khoảng đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm điểm I ( tức là điểm thuộc I không phải đầu mút I ) Khi đó : • Nếu f ' x > với x ∈ I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; • • ( ) Nếu f ' ( x ) < với x ∈ I thì hàm số f Nếu f ' ( x ) = với x ∈ I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ; không đổi trên khoảng I Chú ý : • Nếu hàm số f liên tục trên a;b và có đạo hàm f ' x > trên khoảng a;b thì hàm số f đồng biến trên a;b ( ) ( ) ( ) ( ) • Nếu hàm số f liên tục trên a;b và có đạo hàm f ' x < trên khoảng a;b thì hàm số f nghịch biến trên a;b • Ta có thể mở rộng định lí trên sau : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu f '(x ) ≥ với ∀x ∈ I ( f '(x ) ≤ với ∀x ∈ I ) và f '(x ) = số hữu hạn điểm I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I Lop12.net (3) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng : Xét chiều biến thiên hàm số ( ) Xét chiều biến thiên hàm số y = f x ta thực các bước sau: • Tìm tập xác định D hàm số • Tính đạo hàm y ' = f ' x ( ) ( ) ( ) • Tìm các giá trị x thuộc D để f ' x = f ' x không xác định ( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ) • Xét dấu y ' = f ' x trên khoảng x thuộc D ( ) • Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy khoảng đơn điệu hàm số Ví dụ :Xét chiều biến thiên các hàm số sau: y = − x − 3x + 24x + 26 y = x − 3x + y = x + 3x + 3x + Giải: y = − x − 3x + 24x + 26 Hàm số đã cho xác định trên Ta có : y ' = −3x − 6x + 24 x = −4 y ' = ⇔ −3x − 6x + 24 = ⇔ x = Bảng xét dấu y ' x −∞ −4 y' − + +∞ − ( ) ( ) y ' > 0, x ∈ ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) ⇒ y nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) y ' > 0, x ∈ −4;2 ⇒ y đồng biến trên khoảng −4;2 , Hoặc ta có thể trình bày : Hàm số đã cho xác định trên Ta có : y ' = −3x − 6x + 24 x = −4 y ' = ⇔ −3x − 6x + 24 = ⇔ x = Bảng biến thiên x −∞ −4 y' − + +∞ y ( +∞ − −∞ ) ( ) ( ) Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng −4;2 , nghịch biến trên các khoảng −∞; −4 và 2; +∞ Lop12.net (4) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu y = x − 3x + Hàm số đã cho xác định trên Ta có : y ' = 3x − 6x = 3x (x − 2) x = y ' = ⇔ 3x (x − 2) = ⇔ x = Bảng biến thiên x −∞ + − y' +∞ + y Vậy hàm đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và (2; +∞) , nghịch biến (0;2) y = x + 3x + 3x + Hàm số đã cho xác định trên ( ) ( ) Ta có: f ' x = 3x = 6x + = x + ( ) ( ) f ' x = ⇔ x = −1 và f ' x > với x ≠ −1 ( ) Vì hàm số đồng biến trên nửa khoảng −∞; −1 và −1; +∞ nên hàm số đồng biến trên Hoặc ta có thể trình bày : x y' −∞ +∞ −1 + + +∞ y −∞ Vì hàm số đồng biến trên nửa khoảng −∞; −1 và −1; +∞ nên hàm số đồng biến trên ( ) Ví dụ :Xét chiều biến thiên các hàm số sau: 1 y = − x + 2x − 4 y = x + 2x − 3 y = x − 6x + 8x + Giải: x + 2x − Hàm số đã cho xác định trên Ta có: y ' = − x + 4x = −x x − y = − ( ) Lop12.net (5) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu x = y ' = ⇔ −x x − = ⇔ x = ±2 Bảng biến thiên x −∞ −2 y' + − + ( ) +∞ − y −∞ +∞ ( ) ( ) Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng −∞; −2 , 0;2 và nghịch biến ( )( ) trên các khoảng −2; , 2; +∞ y = x + 2x − Hàm số đã cho xác định trên Ta có: y ' = 4x + 4x = 4x x + ( ) Vì x + > 0, ∀x ∈ nên y ' = ⇔ x = Bảng biến thiên x −∞ y' − +∞ y +∞ + +∞ ( ) ( ) Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng 0; +∞ và nghịch biến trên khoảng −∞; y = x − 6x + 8x + Hàm số đã cho xác định trên Ta có: y ' = 4x − 12x + = 4(x − 1)2 (x + 2) x = −2 y ' = ⇔ 4(x − 1)2 (x + 2) = ⇔ x = Bảng biến thiên: x y' −∞ − −2 + +∞ + y Vậy,hàm đồng biến trên khoảng (−2; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) Nhận xét: * Ta thấy x = thì y = , qua đó y ' không đổi dấu * Đối với hàm bậc bốn y = ax + bx + cx + dx + e luôn có ít khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến Do với hàm bậc bốn Lop12.net (6) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu không thể đơn điệu trên Ví dụ :Xét chiều biến thiên các hàm số sau: 2x − 1 y = x +1 x +2 y = x −1 −x + 2x − y = x +2 x + 4x + y = x +2 Giải: 2x − x +1 Hàm số đã cho xác định trên khoảng −∞; −1 ∪ −1; +∞ y = ( Ta có: y ' = ( x + 1) ) ( ) > 0, ∀x ≠ −1 ( ) ( ) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng −∞; −1 và −1; +∞ x +2 x −1 Hàm số đã cho xác định trên khoảng −∞;1 ∪ 1; +∞ y = ( Ta có: y ' = - ) ( ) < 0, ∀x ≠ ( x − 1) ( ) ( ) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng −∞;1 và 1; +∞ −x + 2x − y = x +2 Hàm số đã cho xác định trên khoảng −∞; −2 ∪ −2; +∞ ( Ta có: y ' = −x − 4x + (x + 2) x = −5 y' = ⇔ x = Bảng biến thiên : x −∞ −5 y' − +∞ y ) ( ) , ∀x ≠ −2 −2 + + +∞ +∞ − −∞ −∞ Lop12.net (7) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu ( ) ( ) Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng −5; −2 và −2;1 , nghịch biến ( ) ( ) trên các khoảng −∞; −5 và 1; +∞ x + 4x + x +2 Hàm số đã cho xác định trên khoảng −∞; −2 ∪ −2; +∞ y = ( Ta có: y ' = x + 4x + (x + ) Bảng biến thiên : x −∞ y' + ) ( ) > 0, ∀x ≠ −2 +∞ −2 + +∞ y +∞ −∞ −∞ Vậy , hàm số đồng biến trên khoảng −∞; −2 và −2; +∞ ( ) ( ) Nhận xét: ax + b (a.c ≠ 0) luôn đồng biến luôn nghịch cx + d biến trên khoảng xác định nó * Đối với hàm số y = ax + bx + c luôn có ít hai khoảng đơn điệu a 'x + b ' * Cả hai dạng hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên * Đối với hàm số y = Ví dụ :Xét chiều biến thiên các hàm số sau: y =| x − 2x − | y = 3x − x Giải: y =| x − 2x − | Hàm số đã cho xác định trên x − 2x − x ≤ −1 ∪ x ≥ Ta có: y = −x + 2x + − < x < 2x − x < −1 ∪ x > ⇒ y ' = ⇒y'=0 ⇔x =1 − 2x + − < x < Hàm số không có đạo hàm x = −1 và x = Bảng biến thiên: x −∞ −1 y' − + y Lop12.net − +∞ + (8) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Hàm đồng biến trên khoảng (−1;1) và (3; +∞) , nghịch biến trên (−∞; −1) và (1; 3) y = 3x − x Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng (−∞; 3] Ta có: y ' = 3(2x − x ) , ∀x < 3, x ≠ 3x − x ∀x < 3, x ≠ : y ' = ⇔ x = Hàm số không có đạo hàm các điểm x = 0, x = Bảng biến thiên: −∞ x y' − || + − +∞ || y Hàm đồng biến trên khoảng (0;2) , nghịch biến trên (−∞; 0) và (2; 3) Ví dụ : Tìm khoảng đơn điệu hàm số f x = sin x trên khoảng 0;2π ( ) ( ( ) ) Giải: Hàm số đã cho xác định trên khoảng 0;2π ( ) ( ) Ta có : f ' x = cos x , x ∈ 0;2π 3π 2 Chiều biến thiên hàm số nêu bảng sau : ( ) ( ) f ' x = 0, x ∈ 0;2π ⇔ x = x π ( ) f (x ) + f' x ,x = 3π − + 2π π −1 π 3π π 3π Hàm số đồng biến trên khoảng 0; và ;2π , nghịch biến trên khoảng ; 2 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Lop12.net (9) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Xét chiều biến thiên các hàm số sau: 1 y = x − 3x + 8x − y = x − 2x x −1 Xét chiều biến thiên các hàm số sau: y = 2x + 3x + y = − x + 6x − 9x − 3 y = x − 2x − y = 2x − x Chứng minh hàm số: y = − x nghịch biến trên đoạn 0;2 y = x + x − cos x − đồng biến trên y = cos 2x − 2x + nghịch biến trên Cho hàm số y = sin2 x + cos x π π a ) Chứng minh hàm số đồng biến trên đoạn 0; và nghịch biết trên đoạn ; π 3 3 ( ) b) Chứng minh với m ∈ −1;1 , phương trình sin2 x + cos x = m có nghiệm thuộc đoạn 0; π Hướng dẫn 1 y = x − 3x + 8x − Hàm số đã cho xác định trên Ta có f ' x = x − 6x + ( ) ( ) f ' x = ⇔ x = 2, x = Chiều biến thiên hàm số nêu bảng sau : x f' x ( ) f (x ) −∞ + − +∞ + +∞ −∞ ( ) ( ) ( ) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng −∞;2 và 4; +∞ , nghịch biến trên khoảng 2; x − 2x x −1 Hàm số đã cho xác định trên tập hợp \ y = {} Lop12.net (10) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu ( ) Ta có f ' x = (x − 1) + > 0, x ≠ = ( x − 1) ( x − 1) x − 2x + 2 Chiều biến thiên hàm số nêu bảng sau : x −∞ +∞ + + f' x ( ) +∞ ( ) +∞ f x −∞ −∞ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng −∞;1 và 1; +∞ ( ) ( ) y = 2x + 3x + Hàm số đã cho xác định trên Ta có f ' x = 6x + 6x ( ) ( ) ( )( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; ) ⇒ f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1; ) ( ) ( ) f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x đồng biến trên khoảng −∞; −1 và 0; +∞ ( ) Ngoài : Học sinh có thể giải f ' x = , tìm hai nghiệm x = −1, x = , kẻ bảng biến thiên kết luận y = x − 2x − Hàm số đã cho xác định trên ( ) Ta có f ' x = 4x − 4x ( ) ( )( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) nghịch ( ) ( ) biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) f ' x > 0, x ∈ −1; , 1; +∞ ⇒ f x đồng biến trên khoảng −1; và 1; +∞ ( ) Ngoài : Học sinh có thể giải f ' x = , tìm hai nghiệm x = −1, x = 0, x = , kẻ bảng biến thiên kết luận y = − x + 6x − 9x − 3 Hàm số đã cho xác định trên ( ) ( Ta có f ' x = −4x + 12x − = − 2x − ) 3 và f ' x < với x ≠ 2 3 3 Vì hàm số nghịch biến trên nửa khoảng −∞; và ; +∞ nên hàm số nghịch biến trên 2 2 ( ) f' x =0⇔x = ( ) Lop12.net (11) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu y = 2x − x Hàm số đã cho xác định trên 0;2 1−x Ta có f ' x = , x ∈ 0;2 2x − x f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x đồng biến trên khoảng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) nghịch ( 0;1) ; biến trên khoảng (1;2 ) Hoặc có thể trình bày : f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x đồng biến trên đoạn 0;1 ; ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) nghịch biến trên đoạn 1;2 y = − x nghịch biến trên đoạn 0;2 ( ) Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn 0;2 và có đạo hàm f ' x = −x − x2 ( ) < với x ∈ 0;2 Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn 0;2 y = x + x − cos x − đồng biến trên Hàm số đã cho xác định trên ( ) Ta có f ' x = 3x + + sin x 3x ≥ ∀x ∈ Vì nên f ' x ≥ 0, x ∈ 1 + sin x ≥ ∀x ∈ Do đó hàm số đồng biến trên ( ) y = cos 2x − 2x + nghịch biến trên Hàm số đã cho xác định trên ( ) ( ( ) ) Ta có f ' x = −2 sin 2x + ≤ 0, ∀x ∈ và f ' x = ⇔ sin 2x = −1 ⇔ x = − π + kπ , k ∈ π π Hàm số nghịch biến trên đoạn − + k π ; − + k + π , k ∈ Do đó hàm số nghịch biến trên ( ) π π a ) Chứng minh hàm số đồng biến trên đoạn 0; và nghịch biết trên đoạn ; π 3 3 Hàm số liên tục trên đoạn 0; π và y ' = sin x cos x − , x ∈ 0; π ( ) Lop12.net ( ) (12) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu ( ) ( ) ( ) Vì x ∈ 0; π ⇒ sin x > nên khoảng 0; π : f ' x = ⇔ cos x = π ⇔x = π π • y ' > 0, ∀x ∈ 0; nên hàm số đồng biến trên đoạn 0; 3 3 π π • y ' < 0, ∀x ∈ ; π nên hàm số nghịch biến trên đoạn ; π 3 3 ( ) b) Chứng minh với m ∈ −1;1 , phương trình sin2 x + cos x = m có nghiệm thuộc đoạn 0; π π π • x ∈ 0; ta có y ≤ y ≤ y ⇔ ≤ y ≤ nên phương trình cho không có nghiệm m ∈ −1;1 3 3 π π • x ∈ ; π ta có y π ≤ y ≤ y ⇔ −1 ≤ y ≤ Theo định lý giá trị trung gian hàm số liên tục 3 3 ( () ) ( ) π 5 với ∀m ∈ −1;1 ⊂ −1; , tồn số thực c ∈ ; π cho y c = Số c là nghiệm phương 4 3 π trình sin2 x + cos x = m và vì hàm số nghịch biến trên đoạn ; π nên trên đoạn này , phương trình có 3 nghiệm ( () ) Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn 0; π Dạng : Hàm số đơn điệu trên Sử dụng định lý điều kiện cần • Nếu hàm số f x đơn điệu tăng trên thì f ' x ≥ 0, ∀x ∈ • ( ) ( ) Nếu hàm số f ( x ) đơn điệu giảm trên thì f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ Ví dụ : Tìm m để hàm số sau luôn giảm ( nghịch biến) trên y = f x = − x + 2x + 2m + x − 3m + ( ) ( ) Giải : Hàm số đã cho xác định trên Ta có : y ' = −x + 4x + 2m + và có ∆ ' = 2m + Bảng xét dấu ∆ ' m −∞ +∞ − ∆' − + • m = − thì y ' = − x − ≤ với x ∈ , y ' = điểm x = Do đó hàm số nghịch biến trên • m < − thì y ' < 0, ∀x ∈ Do đó hàm số nghịch biến trên ( ) Lop12.net (13) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu • m > − thì y ' = có hai nghiệm x 1, x x < x Hàm số đồng biến trên khoảng này không thỏa mãn Chú ý : cách giải sau đây không phù hợp điểm nào ? Hàm số nghịch biến trên và a = −1 < ⇔ 2m + ≤ ⇔ m ≤ − y ' = −x + 4x + 2m + ≤ 0, ∀x ∈ ⇔ ∆ ' ≤ Vậy hàm số nghịch biến trên và m ≤ − Ví dụ : Tìm a để hàm số sau luôn tăng ( đồng biến) trên y = f x = x + ax + 4x + Giải: Hàm số đã cho xác định trên Ta có y ' = x + 2ax + và có ∆ ' = a − Bảng xét dấu ∆ ' a −∞ −2 +∞ ∆' + − + ( ) (x ; x ) Trường hợp ( ) • Nếu −2 < a < thì y ' > với x ∈ Hàm số y đồng biến trên ( ) , ta có : y ' = ⇔ x = −2, y ' > 0, x ≠ −2 Hàm số y −2; +∞ ) nên hàm số y đồng biến trên • Nếu a = thì y ' = x + ( khoảng −∞; −2 và đồng biến trên nửa • Tương tự a = −2 Hàm số y đồng biến trên • Nếu a < −2 a > thì y ' = có hai nghiệm phân biệt x 1, x Giả sử x < x Khi đó hàm số nghịch ( ) ( ) ( ) biến trên khoảng x 1; x ,đồng biến trên khoảng −∞;x và x ; +∞ Do đó a < −2 a > không thoả mãn yêu cầu bài toán Vậy hàm số y đồng biến trên và −2 ≤ a ≤ Ví dụ : Tìm m để hàm số y = x + m cos x đồng biến trên Giải : Hàm số đã cho xác định trên Ta có y ' = − m sin x Cách 1: Hàm đồng biến trên ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ⇔ − m sin x ≥ 0, ∀x ∈ ⇔ m sin x ≤ 1,∀x ∈ (1) * m = thì (1) luôn đúng 1 ∀x ∈ ⇔ ≤ ⇔ < m ≤ m m 1 * m < thì (1) ⇔ sin x ≥ ∀x ∈ R ⇔ −1 ≥ ⇔ −1 ≤ m < m m Vậy −1 ≤ m ≤ là giá trị cần tìm * m > thì (1) ⇔ sin x ≤ Cách 2: Hàm đồng biến trên ⇔ y ' ≥ ∀x ∈ Lop12.net (14) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 1 − m ≥ ⇔ y ' = min{1 − m;1 + m } ≥ ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ m + ≥ Chú ý : Phương pháp: * Hàm số y = f (x , m ) tăng trên ⇔ y ' ≥ ∀x ∈ ⇔ y ' ≥ x ∈ * Hàm số y = f (x , m ) giảm trên ⇔ y ' ≤ ∀x ∈ ⇔ max y ' ≤ x ∈ Chú ý: 1) Nếu y ' = ax + bx + c thì a = b = c ≥ * y ' ≥ ∀x ∈ ⇔ a > ∆ ≤ a = b = c ≤ * y ' ≤ ∀x ∈ ⇔ a < ∆ ≤ 2) Hàm đồng biến trên thì nó phải xác định trên BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tìm m để hàm số sau luôn giảm ( nghịch biến) trên x3 − (m + 2)x + m − x + m − Tìm m để hàm số sau luôn tăng ( đồng biến) trên a y = f x = m − x + m + x + 3x + m − x + 2x + b y = f x = x +1 Với giá trị nào m , các hàm số đồng biến trên khoảng xác định nó ? m −2x + m + x − 3m + a y = x + + b y = x −1 x −1 ( ) ( y = f x = (m + 2) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ( Hướng dẫn : x3 − (m + 2)x + m − x + m − Hàm số đã cho xác định trên ( ) y = f x = (m + 2) ( ) Ta có y ' = (m + 2)x − 2(m + 2)x + m − Lop12.net ) (15) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu * m = −2 , đó y ' = −10 ≤ 0, ∀x ∈ ⇒ hàm số luôn nghịch biến trên * m ≠ −2 tam thức y ' = (m + 2)x − 2(m + 2)x + m − có ∆ ' = 10(m + 2) Bảng xét dấu ∆ ' m −∞ +∞ −2 ∆' − + • m < −2 thì y ' < với x ∈ Do đó hàm số nghịch biến trên ( ) • m > −2 thì y ' = có hai nghiệm x 1, x x < x Hàm số đồng biến (x ; x ) Trường hợp này không thỏa mãn trên khoảng Vậy m ≤ −2 là giá trị cần tìm Tìm m để hàm số sau luôn tăng ( đồng biến) trên a y = f x = a − x + a + x + 3x + Hàm số đã cho xác định trên Ta có : y ' = a − x + a + x + và có ∆ ' = −a + a + ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) () Hàm số y đồng biến trên và ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ • Xét a − = ⇔ a = ±1 ⇒ a = không thoả yêu cầu bài toán + a = −1 ⇒ y ' = > ∀x ∈ ⇒ a = −1 thoả mãn yêu cầu bài toán + a = ⇒ y ' = 4x + ⇒ y ' ≥ ⇔ x ≥ − • Xét a − ≠ ⇔ a ≠ ±1 Bảng xét dấu ∆ ' a −∞ −1 +∞ ∆' − + − • Nếu a < −1 ∨ a > thì y ' > với x ∈ Hàm số y đồng biến trên ( ) • Nếu a = thì y ' = x + , ta có : y ' = ⇔ x = −1, y ' > 0, x ≠ −1 Hàm số y đồng biến trên ( ) nửa khoảng −∞; −1 va` −1; +∞ nên hàm số y đồng biến trên • Nếu −1 < a < 2, a ≠ thì y ' = có hai nghiệm phân biệt x 1, x Giả sử x < x Khi đó hàm số nghịch ( ) ( ) ( ) biến trên khoảng x 1; x ,đồng biến trên khoảng −∞;x và x ; +∞ Do đó −1 < a < 2, a ≠ không thoả mãn yêu cầu bài toán Vậy hàm số y đồng biến trên và a < −1 ∨ a ≥ ( ) b y = f x ( m − 1) x = + 2x + x +1 { } Hàm số đã cho xác định trên D = \ −1 ( m − 1) x Ta có y ' = ( ) +2 m −1 x +1 = ( ) ( x + 1) g x ( x + 1) Với g ( x ) = (m − 1) x + (m − 1) x + 1, x ≠ −1 2 , Lop12.net (16) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu ( ) Dấu y ' là dấu g x ( ) ( ) ( ) () Hàm số y đồng biến trên khoảng −∞; −1 và −1; +∞ và g x ≥ 0, ∀x ≠ −1 ( ) () • Xét m − = ⇔ m = ⇒ g x = > 0, ∀x ≠ −1 ⇒ m = a thoả mãn yêu cầu bài toán • Xét m − ≠ ⇔ m ≠ Tương tự trên < m ≤ b thỏa yêu cầu bài toán () () () Từ a và b suy ≤ m ≤ thì hàm số y đồng biến trên m x −1 m m a )y = x + + ⇒ y' =1− ,x ≠ x −1 x −1 a y = x + + ( ) ( ) ( ) • m ≤ thì y ' > 0; ∀x ≠ Do đó hàm số đồng biến trên khoảng −∞;1 và 1; +∞ (x − 1) − m , x ≠ và y ' = ⇔ x = ± • m > thì y ' = − = ( x − 1) ( x − 1) m hàm số nghịch biến ) ( ( m Lập bảng biến thiên ta thấy ) trên khoảng − m ;1 và 1;1 + m ; đó không thoả điều kiện Vậy :hàm số đồng biến trên khoảng xác định nó và m ≤ Chú ý : Bài toán trên mở rộng sau a1 ) Tìm giá trị m để hàm số đồng biến −∞; −1 ( ) a ) Tìm giá trị m để hàm số đồng biến ( 2; +∞ ) a ) Tìm giá trị m để hàm số nghịch biến khoảng có độ dài ( ) ( ) a ) Tìm giá trị m để hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 và 1;2 ( ) a ) Gọi x < x là hai nghiệm phương trình x − − m = Tìm m để : a 5.1 ) x = 2x a 5.3 ) x + 3x < m + a 5.2 ) x < 3x a 5.4 ) x − 5x ≥ m − 12 b y = ⇒ y ' = −2 + • m≤ ( ) −2x + m + x − 3m + x −1 2m − = −2x + m + − 2m x −1 ( x − 1) ⇒ y ' < 0, x ≠ , hàm số nghịch biến trên khoảng −∞;1 va` 1; +∞ ( Lop12.net ) ( ) (17) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu phương trình y ' = có hai nghiệm x < < x ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng x 1;1 và 1; x , trường hợp này không thỏa • m> ( ) ( ) Dạng : Hàm số đơn điệu trên tập Phương pháp: * Hàm số y = f (x , m ) tăng ∀x ∈ I ⇔ y ' ≥ ∀x ∈ I ⇔ y ' ≥ x ∈I * Hàm số y = f (x , m ) giảm ∀x ∈ I ⇔ y ' ≤ ∀x ∈ I ⇔ max y ' ≤ x ∈I Ví dụ : Tìm m để các hàm số sau mx + y = f x = luôn nghịch biến khoảng −∞;1 x +m y = x + 3x + m + x + 4m nghịch biến trên khoảng −1;1 ( ) ( ( ) ) ( ) Giải : mx + luôn nghịch biến khoảng −∞;1 x +m Hàm số đã cho xác định trên D = \ −m ( ) ( y = f x = ) { } Ta có y ' = m2 − ( x +m ) , x ≠ −m ( ) y ' < 0, ∀x ∈ −∞;1 Hàm số nghịch biến trên khoảng −∞;1 và −m ∉ −∞;1 m − < −2 < m < −2 < m < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m ≤ −1 −m ≥ m ≤ −1 −m ∉ −∞;1 Vậy : với −2 < m ≤ −1 thì thoả yêu cầu bài toán y = x + 3x + m + x + 4m nghịch biến trên khoảng −1;1 ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) Hàm số đã cho xác định trên Ta có : f ' x = 3x + 6x + m + ( ) Cách : Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng −1;1 và f ' x ≤ 0, ∀x ∈ −1;1 hay ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( 1) m ≤ − 3x + 6x + , ∀x ∈ −1;1 ⇔ m ≤ g x x ∈( −1;1) ( ) ( ) ( ) ⇒ g ' ( x ) = −6x − < 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇒ g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;1) và lim g ( x ) = −2, lim g ( x ) = −10 Xét hàm số g x = − 3x + 6x + , ∀x ∈ −1;1 x →−1+ x →1− Bảng biến thiên Lop12.net ) (18) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu −1 x g' x ( ) g (x ) − −2 −10 Vậy m ≤ −10 thoả yêu cầu bài toán Cách : f '' x = 6x + ( ) ( ) cho nghịch biến trên khoảng ( −1;1) và m ≤ lim g ( x ) = −10 Nghiệm phương trình f '' x = là x = −1 < Do đó, hàm số đã x →1− Vậy m ≤ −10 thoả yêu cầu bài toán Ví dụ : Tìm m để các hàm số sau ( ) y = f ( x ) = mx ( ) y = f x = 2x − 2x − mx − đồng biến trên khoảng 1; +∞ ( ) y = f x = ( ) ( ) − x + 3x + m − đồng biến trên khoảng −3; mx + m − x + m − x + m đồng biến trên ( ) ( ) khoảng 2; +∞ Giải : ( ) ( ) y = f x = 2x − 2x − mx − đồng biến trên khoảng 1; +∞ ( ) Hàm số đã cho xác định trên 1; +∞ Ta có : y ' = 6x − 4x + m ( ) ( Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1; +∞ và y ' ≥ 0, ∀x ∈ 1; +∞ ( ) ⇔ g x = 6x − 4x ≥ −m, x > ( ) ( ) Xét hàm số g x = 6x − 4x liên tục trên khoảng 1; +∞ , ta có ( ) ( ) ( g ' x = 12x − > 0, ∀x > ⇔ g x đồng biến trên khoảng 1; +∞ ( ) ( ) ( ) và lim+ g x = lim+ 6x − 4x = 2, lim g x = +∞ x →1 x →1 x →+∞ Bảng biến thiên x g' x ( ) g (x ) +∞ + +∞ Lop12.net ) ) (19) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Dựa vào bảng biến thiên suy ≥ −m ⇔ m ≥ −2 y = f x = mx − x + 3x + m − đồng biến trên khoảng −3; ( ) ( ( ) ) Hàm số đã cho xác định trên −3; Ta có : y ' = 3mx − 2x + ( ) ( Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng −3; và y ' ≥ 0, ∀x ∈ −3; ( ) Hay 3mx − 2x + ≥ 0, ∀x ∈ −3; ⇔ m ≥ 2x + , ∀x ∈ −3; 3x ( ) 2x + liên tục trên khoảng −3; , ta có 3x −6x + 18x g' x = < 0, ∀x ∈ −3; ⇒ g x nghịch biến trên 9x khoảng −3; và lim+ g x = − , lim− g x = −∞ x →−3 x →0 Bảng biến thiên x −3 − g' x ( ) ( Xét hàm số g x = ( ) ( ( ( ) ( ) ) ( ) g (x ) ) ) ( ) − −∞ Dựa vào bảng biến thiên suy m ≥ − mx + m − x + m − x + m đồng biến trên ( ) ( y = f x = ( ) ) ( ) khoảng 2; +∞ ( ) Hàm số đã cho xác định trên 2; +∞ ( ) Ta có : y ' = mx + m − x + m − ( ) Hàm số đồng biến trên khoảng 2; +∞ và ( ) ( ) ( y ' ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ mx + m − x + m − ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞ ( ) ( ) ⇔ x + 4x + m ≥ 4x + 1, ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ m ≥ ( ) Xét hàm số g x = 4x + , x ∈ 2; +∞ x + 4x + ( ) 4x + , ∀x ∈ 2; +∞ x + 4x + ) Lop12.net ( ) ) (20) Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu ( −2x 2x + ( ) ⇒ g' x = ( ) ( ) ( ) ( ) < 0, ∀x ∈ 2; +∞ ⇒ g x nghịch biến trên khoảng 2; +∞ và , lim g x = 13 x →+∞ ( ) ( ) lim+ g x = x →2 x + 4x + ) Bảng biến thiên x g' x ( ) ( ) g x +∞ − 13 Vậy m ≥ thoả yêu cầu bài toán 13 Ví dụ : Tìm tất các tham số m để hàm số y = x + 3x + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài ? Giải : Hàm số đã cho xác định trên Ta có : y ' = 3x + 6x + m có ∆ ' = − 3m • Nếu m ≥ thì y ' ≥ 0, ∀x ∈ , đó hàm số luôn đồng biến trên , đó m ≥ không thoả yêu cầu bài toán • Nếu m < , đó y ' = có hai nghiệm phân biệt x 1, x x < x và hàm số nghịch biến ( ) đoạn x ; x với độ dài l = x − x m Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài ⇔ l = 2 ⇔ x − x = ⇔ x + x − 4x 1x = ⇔ − m = ⇔ m = Câu hỏi nhỏ : Tìm tất các tham số m để hàm số y = x + 3x + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài Có hay không yêu cầu bài toán thoả : l = x − x ≥ 1? Theo Vi-ét, ta có : x + x = −2, x 1x = ( ) ( ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1.Tìm điều kiện tham số m cho hàm số : ( ) ( )( ) a y = x − mx − 2m − 7m + x + m − 2m − đồng biến ( ) trên khoảng 2; +∞ Lop12.net (21)