ĐẠI SỐ BRAUER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHO ĐAI SỐ ĐỒ THỊ

Đối ngẫu SchurWeyl liên hệ lý thuyết biểu diễn của nhóm tuyến tínhtổng quát GLN ( ) với lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng Sn qua các tácđộng trung tâm hóa đồng thời của hai nhóm này trên không gian lũy thừa tenxơ ( ) N n  . Vào năm 1937, R. Brauer 2 đã giới thiệu các đại số, mà ngàynay được gọi là các đại số Brauer. Những đại số này xuất hiện trong một tìnhhuống tương tự như vai trò của nhóm đối xứng trong đối ngẫu SchurWeyl ởtrên. Nghĩa là, khi nhóm tuyến tính tổng quát GLN ( ) được thay thế bởihoặc một nhóm Sympletic Sp(2N) hoặc một nhóm trực giao SO(N) thì nhómđối xứng được thay thế bởi đại số qBrauer.Tiếp sau đó, một qbiến thể của đại số Brauer này đã được tìm ra bởiBirman và Wenzl 1 và độc lập bởi Murakami 6 trong sự kết nối với lýthuyết Knot và các nhóm lượng tử. Ngày nay đại số này được gọi là đại sốBMW.

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC .1 CÁC KÝ HIỆU .2 MỞ ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nhóm đối xứng Sn 1.2 Đại số Hecke nhóm đối xứng 1.3 Đại số Brauer .8 CHƢƠNG ĐẠI SỐ q-BRAUER 2.1 Các định nghĩa 15 2.2 Một số tính chất đại số q-Brauer 20 2.3 Mô đun Vk* đại số Brn ( r , q ) .21 CHƢƠNG MỘT CƠ SỞ VÀ MỘT ĐỐI ĐẲNG CẤU CỦA ĐẠI SỐ q-BRAUER 3.1 Cơ sở đại số q-Brauer 23 3.2 Đối đẳng cấu đại số q-Brauer .26 3.3 Thuật toán dùng để sản xuất phần tử sở đại số q-Brauer 36 3.4 So sánh hai sở đại số q-Brauer 41 KẾTLUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 CÁC KÍ HIỆU Brn  r , q  Đại số q-Brauer phiên hai tham số r, q Brn  N  Đại số q-Brauer phiên tham số N Dn  N  Đại số Brauer với tham số N Dn  x  Đại số q-Brauer với tham số x Sn Nhóm đối xứng (nhóm hoán vị) n phần tử Hn q Đại số Hecke nhóm đối xứng S n Vk Không gian vec tơ Vk* Không gian vec tơ đối ngẫu l d  Hàm độ dài biểu đồ d  q, q 1  Vành đa thức MỞ ĐẦU Đối ngẫu Schur-Weyl liên hệ lý thuyết biểu diễn nhóm tuyến tính tổng quát GLN ( ) với lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng Sn qua tác động trung tâm hóa đồng thời hai nhóm không gian lũy thừa ten xơ ( N n ) Vào năm 1937, R Brauer [2] giới thiệu đại số, mà ngày gọi đại số Brauer Những đại số xuất tình tương tự vai trò nhóm đối xứng đối ngẫu Schur-Weyl Nghĩa là, nhóm tuyến tính tổng quát GLN ( ) thay nhóm Sympletic Sp(2N) nhóm trực giao SO(N) nhóm đối xứng thay đại số q-Brauer Tiếp sau đó, q-biến thể đại số Brauer tìm Birman Wenzl [1] độc lập Murakami [6] kết nối với lý thuyết Knot nhóm lượng tử Ngày đại số gọi đại số BMW Vào năm 2012, đại số giới thiệu Giáo sư Wenzl [10] thông qua định nghĩa phần tử sinh mối quan hệ chúng Đại số đặt tên đại số q-Brauer biết đến q-biến thể khác đại số Brauer chứa đại số Hecke nhóm đối xứng đại số tự nhiên Trong [10] Wenzl chứng minh rằng, mở rộng trường số hữu tỉ với tham số r, q, đại số q-Brauer nửa đơn đẳng cấu với đại số Brauer Một số ứng dụng đại số q-Brauer tìm thấy nghiên cứu vành biểu diễn nhóm trực giao nhóm Sympletic [9] phạm trù mô đun phạm trù liên hợp kiểu A thành phần tương ứng kiểu II1 [11] Đại số mong chờ có nhiều ứng dụng khí thống kê, lý toán, lý thuyết Knot, lý thuyết toán tử, lý thuyết biểu diễn… đại số BMW có Tuy nhiên, giới Việt Nam chưa có nhiều nghiên cứu sâu sắc đại số q-Brauer nhằm khám phá tính chất cấu trúc đại số nghiên cứu TS Nguyễn Tiến Dũng [4], [5] Do đó, với mong muốn giới thiệu bước đầu tìm hiểu sâu đại số q-Brauer, chọn đề tài: “Một sở cho đại số q-Brauer” Đề tài nhằm mục đích trình bày lại số tính chất đại số q-Brauer sau giới thiệu sở cho đại số dựa tài liệu [4] Luận văn trình bày chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương trình bày lại số kiến thức đại số Brauer Những kiến thức sử dụng việc xây dựng sở cho đại số q-Brauer chương Chương 2: Đại số q-Brauer Chương trình bày định nghĩa, tính chất đại số q-Brauer mô đun Vk* đại số Brn ( r , q ) Chương 3: Một sở phản tự đẳng cấu đại số q-Brauer Chương trình bày kết luận văn Trong chương chúng giới thiệu sở cho đại số q-Brauer trình bày thuật toán để tìm phần tử sở Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Nguyễn Tiến Dũng Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Tiến Dũng, người dẫn dắt hướng dẫn tận tình trình tác giả làm luận văn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy, cô giáo khoa sư phạm Toán học – Trường Đại học Vinh giành thời gian giảng dạy nhiệt tình, truyền đạt kiến thức bổ ích cho Trong trình học tập nghiên cứu có nhiều cố gắng, nỗ lực thân thời gian kiến thức nhiều hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý thầy, cô bạn để luận văn hoàn thiện CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nhóm đối xứng Sn 1.1.1 Định nghĩa Nhóm đối xứng S n gồm tất song ánh từ 1, 2, 3, , n vào với phép toán nhóm phép hợp thành ánh xạ Các phần tử   S n gọi hoán vị 1.1.2 Kí hiệu Đối với hoán vị  bất kỳ, ta thường sử dụng ba cách kí hiệu khác sau Cách 1: Kí hiệu hai dòng dãy  n  (1)  (2)  (3)  ( n) Ví dụ Xét với   S5 ta có:  (1)  2,  (2)  3,  (3)  1,  (4)  4,  (5)  Thì hai dòng  2 3 4 5 Cách 2: Mô tả hoán vị  dòng Theo cách mô tả dòng cố định Do cách mô tả thứ hai lấy dòng thứ hai cách Cách 3: Mô tả hoán vị  thông qua kí hiệu xích Với i  1, 2, 3, , n cho trước, phần tử dãy i,  i ,  i , hoàn toàn phân biệt Chọn lũy thừa cho  p i   i, ta có xích i,  i , ,  i  p -1 Một cách tương đương, ta định nghĩa xích i, j, k , , l  có nghĩa  biến i thành j, j biến thành k, , l biến thành i Bây chọn phần tử không nằm xích chứa i lặp lại trình tất số 1, 2, 3, , n sử dụng Ví dụ trở thành   1, 2, 345 theo kí hiệu xích Chú ý hoán vị vòng tròn phần tử nằm xích, hay thay đổi thứ tự xích với không làm ảnh hưởng đến hoán vị Chẳng hạn, 1, 2, 345  2, 3,145  42, 3,15  453, 1, 2 Một k-xích hay xích với độ dài k, xích gồm k phần tử Hoán vị vừa ta gồm 3-xích hai 1-xích Kiểu xích, hay đơn giản kiểu  biểu thức có dạng 1m1 ,2 m2 , , n mn  Ở đó, m k số xích có độ dài k  Hoán vị ví dụ có kiểu xích 12 , , 31 , ,  Một 1-xích  gọi điểm bất động Các số 4, điểm bất động ví dụ Các điểm bất động thường bỏ kí hiệu xích hiểu lầm xảy Một đối hợp hoán vị cho   e Dễ thấy  đối hợp tất xích  có độ dài Kí hiệu sj = (j, j+1) với < j < n chuyển vị nhóm đối xứng Sn Những chuyển vị sj phần tử sinh nhóm đối xứng Sn 1.1.2 Sự diễn tả rút gọn hoán vị Cho hoán vị   S n Nếu π biểu diễn tích s j1 s j2 s jk chuyển vị cho k gọi số tự nhiên nhỏ với tính chất kí hiệu l(π) =k, gọi s j1 s j2 s jk diễn tả thu gọn cho π Ví dụ Sử dụng hoán vị π Ví dụ π = s1 s2 l(π) = 1.2 Đại số Hecke nhóm đối xứng 1.2.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán có đơn vị 1, q phần tử khả nghịch R Đại số Hecke Hn(q) = HR,q = HR,q(sn) nhóm đối xứng  Sn R định nghĩa R-môđun tự với sở  g   Sn Phép nhân Hn(q) thỏa mãn quan hệ sau: (i)  H n (q) ; (ii) Nếu   s1s2 s j diễn tả rút gọn   S n g  gs1 gs2 gs j ; (iii) g s2j  (q  1) g s j  q cho tất chuyển vị sj, q = q.1  H n (q) Để thuận lợi cho công việc kí hiệu gj thay cho gs j Đặt R  q, q 1  sử dụng thuật ngữ Hn(q) để ám đại số Hecke HR,q(sn) 1.2.2 Bổ đề Nếu  ,  /  Sn l ( / )  l ()  l ( / ) , g g /  g / Với sj chuyển vị   S n , g l(s ω) = l(ω) +  sjω j gj g ω =  (q-1)gω + q g trường hợp lại s jω g l(ωs ) = l(ω) +  ωsj j gω.gj =  (q-1) gω + q g trường hợp lại ωsj Cho   S n gω phần tử khả nghịch Hn(q) với phần tử nghịch đảo g1  g j 1g j 11 g21g11 ,   s1s2 s j diễn tả thu gọn  , g j  q1g j  (q 1  1) g j  qg j  (q  1) với sj Trong tài liệu, đại số Hecke Hn(q) định nghĩa tương đương phần tử sinh gi với  i  n mối quan hệ (H1) gi g i 1 g i  g i 1 g i g i 1 với  i  n  ; (H2) gi g j  g j gi với i  j  1.2.3 Bổ đề Ánh xạ tuyến tính i: Hn(q) Hn(q) xác định quy tắc i ( g )  g 1 , với   S n , đối đẳng cấu đại số Hecke Hn(q) 1.3 Đại số Brauer Đại số Brauer giới thiệu Richard Brauer [2] để nghiên cứu lũy thừa Tenxơ thứ n biểu diễn định nghĩa nhóm trực giao nhóm symplectic Sau đó, chúng tập trung khám phá chi tiết nhà toán học khác có nhiều ứng dụng lí thuyết Knot, khí, thống kê, lý toán… 1.3.1 Định nghĩa Đại số Brauer định nghĩa vành [x] qua sở đưa biểu đồ Mỗi biểu đồ gồm có 2n đỉnh xếp vào hai hàng với hàng có n đỉnh Hai đỉnh biểu đồ nối với đoạn thẳng Một đoạn thẳng mà nối hai đỉnh hàng gọi “đoạn ngang”, đoạn thẳng lại gọi “đoạn dọc” Chúng ta kí hiệu Dn(x) cho đại số Brauer, đỉnh biểu đồ đánh số từ đến n theo chiều từ trái sang phải cho đồng thời hai hàng Hai biểu đồ d1 d2 nhân liên kết, nghĩa là: Các đỉnh hàng biểu đồ d1 kết nối đỉnh tương ứng hàng biểu đồ d2 Từ dẫn đến biểu đồ kết d Sau tích d1.d2 định nghĩa x ( d1 ,d2 ) d  (d1 , d ) số vòng kết nối liên kết d1 d2 mà không xuất biểu đồ d Chúng minh họa ví dụ sau Trong đại số Brauer D7(x), nhân hai biểu đồ d1 d2 sau        d1                     d2  d2      Biểu đồ tích d1.d2 =x1d   d        Từ sau để thuận tiện cho việc trình bày, sử dụng kí hiệu N thay cho tham số x Trong (mục 5, [2]) R Brauer biểu đồ sở Dn(N) mà có xác 2k đoạn thẳng ngang biểu diễn thành liên kết có dạng 1e( k )2 , 1  hoán vị nhóm đối xứng Sn, e( k ) biểu đồ có dạng sau:                   Trong hàng có k đoạn ngang Như hệ quả, đại số Brauer xem xét vành đa thức  x định nghĩa qua phần tử sinh quan hệ: Cho x tham số vành ; đặt R  [ N ] , đại số Brauer Dn(N) vành R R-đại số kết hợp có đơn vị sinh chuyển vị s1, s2,…, sn-1, với phần tử sinh e(1), e(2),…, e([n/2]) , mà thỏa mãn mối quan hệ định nghĩa sau: (S0) si2  với  i  n ; (S1) si si 1si  si 1si si 1 với  i  n  ; (S2) si s j  s j si với i  j  ; (1) e( k )e(i)  e(i)e( k )  xi e( k ) với  i  k   n / 2 ; (2) e(i) s2 j e( k )  e( k ) s2 j e(i)  xi 1e( k ) với  j  i  k   n / 2 ; (3) s2i 1e( k )  e( k ) s2i 1  e( k ) với  i  k   n / 2 ; (4) e( k ) si  si e( k ) với 2k  i  n ; (5) s(2i 1) s2i e( k )  s(2i 1) s2i e( k ) với  i  k   n / 2 ; (6) e( k ) s2i s(2i 1)  e( k ) s2i s(2i 1) với  i  k   n / 2 ; (7) e( k 1)  e(1) s2,2k 1s1,2k e( k ) với  k   n / 2  Liên quan đến vành nhóm RSn vành Dn(N) sinh chuyển vị {si = (i, i+1) với  i  n } Theo Brown (xem mục 3, [3]) đại số Brauer Dn(N) có phân tích thành tổng trực tiếp Sn - Sn song mô đun [n /2] Dn ( N )   [N]S n e( k ) S n k 0 Đặt I(m)   [N]S n e( k ) S n , k m I(m) iđean hai phía Dn  N  với m   n / 2 1.3.2 Môđun Vk* Vk Trong mục nhắc lại môđun cụ thể đại số Brauer Dn(N) có phân tích vào tổng trực tiếp không gian véc tơ [n /2] Dn ( N )   ( [N ]S n e( k ) S n  I (k  1)) / I (k  1)) k 0 Sử dụng lý luận tương tự mục [10], môđun thương ( [N ]Sne( k ) j  I (k  1)) / I (k  1)) Dn(N)-môđun trái với sở 10 Từ tính toán suy e k  g 2k ,1 g 2k 1,2e  e k 1 Như đẳng thức (3) với giá trị k Sử dụng quan hệ (1) đẳng thức (3.2.3) (3) trường hợp k, ta chứng minh đẳng thức (3.2.3) (3.2.4) cho trường hợp k  sau: Với j  k  (3) cho k e k 1 g j 1  (e k  g 2k ,1 g 2k 1,2e) g j 1 (E ) (1) cho k  (e k  g 2k ,1 g 2k 1,2 g j 1 )e  (e k  g j 1 ) g 2k ,1 g 2k 1,2e (3.2.3) cho k  (3) cho k (e k  g 2k ,1 g 2k 1,2e)  qe( k 1) Quan hệ (3.2.4) cho trường hợp k  thu phép nhân đẳng thức (3.2.3) trường hợp k  với phần tử g21j 1 từ bên trái Kết cung cấp đối đẳng cấu cho đại số q-Brauer Brn(r,q) 3.2.2 Mệnh đề Cho ánh xạ i: Brn(r,q) Brn(r,q) xác định i ( g )  g 1 i(e)  e Với   S n , i đối đẳng cấu đại số q-Brauer Brn(r,q) Chứng minh Để chứng minh mệnh đề ta cần chứng minh ánh xạ i biến phần tử sở g d  thành phần tử sở i ( g d  ) đại số q-Brauer Brn(r,q) Nếu biểu đồ d* cho trước biểu đồ đoạn thẳng ngang nào, d* hoán vị nhóm đối xứng Sn Điều ngụ ý i( g d  )  g(d  )1  g d phần tử sở đại số q-Brauer, d biểu đồ thu sau quay biểu đồ d* xuống phía qua trục nằm ngang Nếu biểu đồ d* = e(k), theo định nghĩa 3.1.3 phần tử sở tương ứng đại số q-Brauer gd  e( k ) Đẳng thức i ( g d  )  i (e( k ) )  e( k ) thu quy nạp theo k sau: với k = ta có i(e) = e theo định nghĩa Giả sử i(e( k 1) )  e( k 1) , 33 Đn (2.1.9) i (e k  )      i (eg 2,2 k 1 g1,2 k  e( k 1) )  i (e( k 1) )i ( g 2,2 k 1 g1,2 k  )i (e)  e( k 1) g 2k  2,1 g 2k 1,2e Bđ 3.2.1(3)  e( k )   Cho trước diễn tả thu gọn 1 , ( d * ) , 2 biểu đồ d*, 1  Bk , 2  Bk ( d )  S2 k 1,n , phần tử sở tương ứng đại số * q-Brauer Brn(r,q) g d *  g1 g * e( k ) g2 Điều dẫn đến (d ) i ( g d * )  i ( g1 g * e( k ) g2 )  i ( g2 )i (e( k ) )i ( g ( d* ) (d )  g 1 e( k ) g 1 g 1 ( d* ) )i ( g1 ) (3.2.12) Bđ 2.1.10  g 1 g 1 e( k ) g 1 ( d* ) 1  Bk 2  Bk kéo theo 11  Bk , 21  Bk* Do đó, theo Bổ đề 1.3.7 1.3.8 ta có l (e( k )11 )  l (11 ) l (21e( k ) )  l (21 ) Điều có nghĩa ba (21 , (d1* ) , 11 ) diễn tả thu gọn biểu đồ d *  N  k 21e( k )(d1* ) e( k )11 Như phần tử i ( g d * )  g 1 g 1 e( k ) g 1 phần tử sở đại số ( d* ) q-Brauer Brn(r,q) tương ứng với biểu đồ d 3.2.3 Hệ Những phát biểu sau cho đại số q-Brauer Brn(r,q) g2m1,2 j e( k )  g2 j 1,2 me( k ) g2m1,2 j e( k )  g2 j 1,2 me( k ) với  m  j  k    e( k ) g2l ,1  e( k ) g2,2 l 1 e( k ) g 2l ,1  e( k ) g 2,2l 1 với l  k e( k ) g2 j ,2i 1  e( k ) g2i ,2 j 1 e( k ) g2 j ,2i 1  e( k ) g2i ,2 j 1 với l  i  j  k ( r  j 1 ) e( k 1)  e( k ) g 2k ,2 j 1 g 2k 1,2 j e(j) với  j  k q 1 e( k ) g j e(j)  r( r  j 1 ) e( k ) với  j  k q 1 e( k ) H n (q)e( j )  e( k ) H j 1,n (q)  m H m k 1 34 n (q)e( m) H n (q) , j  k Chứng minh Các khẳng định (2), (4), (5), (6) suy luận trực tiếp từ Bổ đề 2.2.2 2.2.3 cách sử dụng tính chất đối đẳng cấu Mệnh đề 3.2.2 Mệnh đề (1) chứng minh phép quy nạp theo m sau: Với m = (1) theo Bổ đề 2.2.2(2) với j = l Giả sử (1) với m - 1, nghĩa là, g2m3,2( j 1)e( k )  g2( j 1)1,2 m2e( k ) g2m3,2( j 1)e( k )  g2( j 1)1,2 m2e( k ) với  m  j  k (3.2.13) (3.2.14) Ta có g2m1,2 j e( k )  g2m2,2 m3 ( g2m3,2 j 2 ) g2 j 1,2 j e( k ) Bđ 2.2.2(3)  g 2m  2,2 m 3 ( g 2m 3,2 j  ) g 2 j 1,2 j e( k ) (H )  g 2m  2,2 m 3 g 2 j 1,2 j ( g 2m 3,2 j 2 )e( k ) (3.2.13)  g 2m  2,2 m 3 g 2 j 1,2 j ( g 2 j 1,2 m 2 )e( k )  g2m2,2 m3 g2 j 1,2 m2e( k ) (H )  g 2 j 1,2 m g 2m  2,2 m 3 g 2m 1,2 m  e( k ) Bđ 2.2.2(3)  g 2 j 1,2 m g 2m  2,2 m 3 g 2m 3,2 m  2e( k )  g2 j 1,2 me( k ) Đẳng thức lại (1) chứng minh hoàn toàn tương tự Khẳng định (3) suy luận trực tiếp từ khẳng định (1) cách sử dụng đối đẳng cấu Khẳng định (3) Bổ đề 2.2.2 trường hợp đặc biệt khẳng định (1) 3.2.4 Chú ý Trong Bổ đề 3.2.1 tính chất (2) (3) việc sử dụng giả thiết phần tử (r-1)/(q-1) khả nghịch Trên vành giao hoán R mà phần tử (r-1)/(q-1) không khả nghịch, chẳng hạn 35 R  [q 1 , r 1 , r 1 ] Định nghĩa 2.1.2, tính chất không q 1 Điều ngụ ý Mệnh đề 3.2.2 sai vành Nghĩa là, ánh xạ i không ánh xạ đối đẳng cấu đại số q-Brauer Brn(r,q) (r-1)/(q-1) không khả nghịch 3.3 Thuật toán dùng để sản xuất phần tử sở cho đại số q-Brauer Chúng ta giới thiệu thuật toán dùng để sản xuất phần tử sở gd cho đại số q-Brauer Brn(r,q) từ biểu đồ d cho trước đại số Brauer Dn(N) cổ điển Sự xây dựng thuật toán dựa phương pháp chứng minh bổ đề 1.3.7 (1) (xem [7], Bổ đề 1.2 (a) cho chứng minh hoàn chỉnh) Từ diễn tả biểu đồ d liên kết ba biểu đồ thành phần  d1 , ( d ) ,d  mục 3.1, đủ để xem xét biểu đồ d* có dạng biểu đồ d1 Nghĩa là, d* có xác k đoạn thẳng ngang hàng, có hàng giống hàng e(k), đoạn thẳng dọc không cắt Gọi Dk*,n tập hợp tất biểu đồ d* Nhắc lại rằng, hoán vị si,j với  i, j  n 1 coi biểu đồ, ta gọi d(*i , j 1) i  j d(*i 1, j ) i  j, đại số Brauer cho đỉnh tự 1, 2, , i-1, j + 2, , n cố định Ví dụ: Trong D7(N), hoán vị s6,3 tương ứng với biểu đồ:               3.3.1.Thuật toán Cho trước biểu đồ d  Dk*,n , đánh số đỉnh đồng thời hai hàng d* từ trái qua phải 1, 2, , n Chú ý với 2k   i  n đỉnh thứ i hàng kết nối với đỉnh thứ f (i ) hàng trên, 36 f (i)  f (i  1) hai đoạn dọc không cắt biểu đồ d* Điều này, kéo theo kết nối biểu đồ d(*n, f ( n)) d* cho ta biểu đồ d1*  d(*n, f ( n)) d * đỉnh thứ n hàng kết nối với đỉnh thứ n hàng đoạn thẳng dọc lại tương tự đoạn thẳng dọc d* Nghĩa là, biểu đồ d1* có đỉnh thứ n  hàng nối với đỉnh thứ f (n  1) hàng Tương tự liên kết hai biểu đồ d(*n1, f ( n1)) d1* cho ta biểu đồ d2*  d(*n1, f ( n1)) d1*  d(*n1, f ( n1)) d(*n, f ( n)) d * đỉnh thứ n n  hàng d 2* nối với đỉnh tương ứng hàng đoạn thẳng dọc lại giữ nguyên ví trí đoạn thẳng dọc d* Tiếp tục theo cách này, xác định dãy biểu đồ sau: d(*n, f ( n)) , d(*n1, f ( n1)) , , d(2* k 1, f (2 k 1)) cho d /  d(2* k 1, f (2 k 1)) d(*n1, f ( n1)) d(*n, f ( n)) d * biểu đồ S2 k e( k ) Ở đây, d/ xem biểu đồ D2 k ( N ) với đoạn thẳng ngang có (n  2k ) đoạn thẳng dọc bên phải Tiếp theo, gọi i2k-2 tên đỉnh hàng d/, mà kết nối với đỉnh thứ 2k hàng đặt t(2 k 2)  si2 k  ,2 k 2 Tiếp biểu đồ d1/  t(21k 2) d / mà đỉnh thứ 2k thứ (2k  1) kết nối với đoạn thẳng ngang Thực trình cuối biểu đồ d* biến đổi thành biểu đồ e(k) 1 e( k )  t(2) t(21k 4)t(21k 2) d(2* k 1, f (2 k 1)) d(*n1, f ( n1)) d(*n, f ( n)) d * Dẫn đến biểu đồ d* viết lại d *   e k  , 1   (t(2) t(21k 4)t(21k 2) d(2* k 1, f (2 k 1)) d(*n1, f ( n1)) d(*n, f ( n)) )1 1  (d(2* k 1, f (2 k 1)) d(*n1, f ( n1)) d(*n, f ( n)) )1 (t(2) t(21k 4) t(21k 2) )  d(*f ( n ),n )d (*f (n1),n1) d *( f (2k  1),2k  1)t (2k  2)t (2k  4)t (2) 37 (3.3.1)  s f ( n ),n1s f ( n1),n2 s f (2 k 1),2 k si2 k  ,2 k 2 si2 k 4 ,2 k 4 si2 ,2 Với f (i)  f (i  1) 2k +1  i  n-1  1  s2,i s2 k 4,i k 4 s2 k 2,i2 k 2 s2 k , f (2 k 1) sn2, f ( n1) sn1, f ( n ) si2 k 2 ,2 k 2 si2 k 4 ,2 k 4 si2 ,2 Chú ý đối đẳng cấu * đại số Brauer cổ điển Dn(N) biến biểu đồ d* thành biểu đồ d có dạng e k  1 với  1  s2,i s2 k 4,i k 4 s2 k 2,i2 k 2 s2 k , f (2 k 1) sn2, f ( n1) sn1, f ( n ) Bởi theo định nghĩa 3.1.3, phần tử sở tương ứng g d * g d đại số q-Brauer có dạng sau: g d *  g e( k ) g d  e( k ) g 1 3.3.2.Ví dụ Trong D7(N) có biểu đồ d* sau:               * d Bước 1: Biến đổi d d/ = d* = 38 = Bước 2: Biến đổi d / e(2) t(2) = e(2) d/ Bây giờ, biểu đồ d* viết lại dạng e(2) , * * *   (d(5,1) , d(6,2) , d(7,3) )1t(2)  s3,6 s2,5 s1,4 s2 Phần tử sở tương ứng với biểu đồ d* đại số q-Brauer Br7(r,q)    g d *  g e(2)  g3,6 g 2,5 g1,4 g 2e(2) Sử dụng đối đẳng cấu * đại số Brauer Dn(N) dẫn đến biểu đồ kết d đại số Brauer Dn(N) là: d  e(2) 1  e(2) (s3,6 s2,5 s1,4 s2 )1  e(2) s2 s4,1s5,2 s6,3    g d  e(2) g 1  e(2) g g 4,1 g5,2 g6,3 Do Quan sát kết thu qua việc áp dụng đối đẳng cấu i đại số q-Brauer, nghĩa là,       i( g d * )  i( g e(2) )  i ( g3,6 g 2,5 g1,4 g 2e(2) )  e(2) g g 4,1 g5,2 g6,3  gd 3.3.3 Nhận xét 39 Kết hợp với Bổ đề 1.3.7 thuật toán ngụ ý tương ứng với biểu đồ d* Dk*,n cho trước có phần tử   tn1tn1 t2 k t2 k 2t2 k 4 t2  Bk* với t j  si j , j i j  i j 1 , 2k   j  n  Sao cho d   e(k) l (d * )  l ( ) Đặt Bk*,n    Bk | d *  e( k ) l (d * )  l ( ), d *  Dk*,n    Bk ,n   1   Bk*,n (3.3.2) (3.3.3) Theo Bổ đề 1.3.8 (1), Bk ,n  { 1  Bk d  e( k ) 1 l (d )  l ( 1 ),d  Dk ,n} , Dk,n tập hợp tất biểu đồ d ảnh biểu đồ d *  Dk,n qua ánh xạ đối đẳng cấu * Tính phần tử   Bk ,n có nghĩa Bk*,n  Bk ,n  Dk ,n  Dk*,n Cho trước biểu đồ d *  Dk,n , số lượng biểu đồ d* số lượng khả để tạo thành k đoạn thẳng ngang n đỉnh hàng d*, dẫn đến Bk*,n  Bk ,n  n! (n  2k )!k ! k Cho phần tử   tn1tn1 t2 k t2 k 2t2 k 4 t2  Bk* t j  với 2k  j  n-1 t j 1  Thật vậy, công thức (3.3.1), giả sử t j  s f ( j 1), j  Điều có nghĩa biểu đồ tương ứng d(*f ( j 1), j 1)  1, trường hợp biểu đồ d(*f ( j 1), j 1) biểu đồ gồm tất đoạn thẳng dọc không cắt Điều kéo theo đỉnh thứ j  hàng biểu đồ d* kết nối với đỉnh thứ j  tương ứng hàng trên, điều hiểu f  j  1  j  Từ định nghĩa biểu đồ d* Dk,n đoạn thẳng dọc 40 phía bên phải đỉnh thứ ( j  1) hàng không cắt Điều có nghĩa đỉnh thứ j  hàng biểu đồ d* nối với đỉnh thứ f  j    j  hàng Do đó, d(*f ( j 2), j 2)  d(*j 2), j 2)  1, điều hiểu t j 1  s f ( j 2), j 1  s j 2, j 1  3.4 Sự so sánh Giáo sư H Wenzl giới thiệu diễn tả thu gọn biểu đồ đại số d cách tổng quát l (d )  l (1 )  l ( ) : d  1e( k ) , 1 ,   Sn  Định nghĩa nói lên tồn vài diễn tả thu gọn khác biểu đồ d Nếu diễn tả thu gọn d  1e( k ) , 1 ,   Sn cố định, Wenzl định nghĩa phần tử sở g d  g1 e( k ) g cho đại số q-Brauer Brn(r,q) (xem mục 3.7, [10]) Trong mục 3.1 giới thiệu khái niệm diễn tả thu gọn biểu đồ d theo cách khác Sự xây dựng dựa hàm độ dài biểu đồ d Wenzl Tuy nhiên biểu đồ d biểu diễn ba biểu đồ thành phần d1, d2 ωd cho d = N-k d1 ωd d2 Ở quan tâm đến việc sản xuất biểu diễn rút gọn d Điều cho phép định nghĩa diễn tả thu gọn biểu đồ d Do đưa sở khác cho đại số q-Brauer Chú ý rằng, hàm độ dài biểu đồ mà sử dụng hoàn toàn tương tự khái niệm hàm độ dài mà Wenzl xây dựng Thật vây, giả sử d có diễn tả thu gọn 1 , ( d ) , 2  Thì d  N  k d1( d ) d  N  k (1e k  )( d ) (e k 2 )  N  k (1( d ) )e(k) 2  (1( d ) )e k 2  1e k  (( d )2 ) Từ định nghĩa Wenzl dẫn đến biểu đồ d có diễn tả thu gọn khác d  1e( k ) Điều kéo theo 41 d  (1( d ) )e k 2  1e k  (( d )2 )  1e( k ) Do đó, 1 ,    1( d ) , 2  1 ,    1 , ( d )2  Như l (d )  l (1 )  l (( d ) )  l (2 )  l (1 )  l ( ) 3.4.1 Nhận xét Chúng ta ý sở cho đại số q-Brauer mà Wenzl không phù hợp cho việc chứng minh cấu trúc cellular đại số q-Brauer Cơ sở xây dựng mục 3.1 cung cấp tính chất cellularity cho đại số q-Brauer 3.4.2 Ví dụ Ví dụ nhằm có hai sở khác cho đại số q-Brauer dựa định nghĩa Wenzl, dựa xây dựng có sở Chúng xem xét biểu đồ d đề cập ví dụ 3.1.1 Sử dụng định nghĩa diễn tả thu gọn Wenzl, biểu đồ cũ d xác định tích d  1e( k ) sau: Trường hợp 1: d có diễn tả thu gọn d  1e( k ) cho e( k ) biểu đồ mà đoạn thẳng dọc không cắt d = 42 Trong 1  1s5 s6  s1,4 s2 s5 s6  s1,6 s2  B2* với l (1e(2) )  l (1 )    2  s4,1s5,2 s6,4  B2 , với l (e(2) )  l ( )  11 Trong trường hợp d có diễn tả thu gọn (1 ,  )  (s1,6 s2 ,s4,1s5,2s6,4 ) với l (d )  l (1 )  l ( )   11  18 Phần tử sở tương ứng đại số q-Brauer dựa định nghĩa     Wenzl có dạng sau: g d  g1 e(2) g  g1,6 g 2e(2) g 4,1 g5,2 g6,4 (3.4.1) Trường hợp 2: d có diễn tả thu gọn d  1e( k ) cho 1e( k ) biểu đồ đoạn thẳng dọc không cắt d = Trong 1  1  s1,4 s2  B2* với l (1e(2) )  l (1 )  5,   s5 s62  s5 s6 s4,1s5,2 s6,4  s4,2 s5,1s6,2  B2* với l (e(2) )  l ( )  13 Sự diễn tả thu gọn d trường hợp (1 ,  )  (s1,4 s2 ,s4,2s5,1s6,2 ) với l (d )  l (1 )  l ( )   13  18 Phần tử sở tương ứng đại số q-Brauer dựa định nghĩa Wenzl trường hợp có dạng sau:     g d  g1 e(2) g  g1,4 g 2e(2) g 4,2 g5,1 g6,2 (3.4.2) Hai trường hợp khái niệm diễn tả thu gọn biểu đồ d theo cách định nghĩa Wenzl không 43 (s1,4 s2 , s4,1s5,2 s6,4 )  (s1,6 s2 , s4,2 s5,1s6,2 ) So sánh với ví dụ 3.1.2 nhận thấy độ dài biểu đồ d hai Ví dụ giống phần tử sở tương ứng với biểu đồ đại số q-Brauer theo định nghĩa 3.1.3     g d  g1 e(2) g ( d ) g1  g1,4 g ( g5 g6 )e(2) g 4,1 g5,2 g 6,4 44 (3.4.3) KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu [3], luận văn trình bày nội dung sau: Giới thiệu số phiên khác trình bày số tính chất đại số q-Brauer Giới thiệu sở đại số q-Brauer dựa sở biểu đồ đại số Brauer trình bày thuật toán để sản xuất phần tử sở đại số 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Birman , H Wenzl, Braids (1989), Link polynomials and a new algebra, Trans Amer Math Soc., 313(1), 249-273 [2] R.Brauer (1937), On Algebras which are connected with the semisimply continuous groups, Ann of Math., 63, 854-872 [3] W.P Brown (1956), The semisimplicity of  nf , Ann of Math., 63(2), 324-335 [4] N.T Dung (2013), The q-Brauer algebras, Dissertation Stuttgart [5] N.T Dung (2014), Cellular Structure of q-Brauer algebras, Algebr And Represent Theorem, 17(5), 1359-1400 [6] E Murphy (1995), The representations of Hecke algebras of type An, J Algebra, 173(1), 97-121 [7] A.I Molev (2003), A new quantum analog of the Brauer algebras, Czechoslovak J Phys., 53, 1073-1078 [8] A.I Molev (2013), Private communication [9] H.Wenzl (2011), Quotients of representation rings, Represent Theorem, 15, 385- 406 [10] H.Wenzl (2012), A q-Brauer algebras, J Algebra, 358, 102-127 [11] H.Wenzl (2012), Fusion symmetric spaces and subfactors, Pacific J Math., 259(2), 483-510 46 47 [...]... n và e trên Vk* như đã giới thiệu ở trên định nghĩa một biểu diễn của Brn(r,q) 22 CHƢƠNG 3: ĐẠI SỐ VÀ ĐỐI ĐẲNG CẤU CỦA ĐẠI SỐ q -BRAUER Trong chương này, chúng ta xây dựng một cơ sở cụ thể và cung cấp một đối đẳng cấu cho đại số q -Brauer Tiếp đó chúng tôi đưa ra một sự so sánh giữa cơ sở này và một cơ sở khác được giới thiệu bởi Wenzl Cơ sở này được sử dụng để chứng minh cấu trúc cellular cho đại số. .. Định nghĩa Cho k là số nguyên, 1  k   n / 2 Phần tử e(k) của đại số q -Brauer được định nghĩa quy nạp bởi e(1) = e và bởi   e( k 1)  eg2,2 k 1 g1,2 k e( k ) Chú ý rằng, trong luận văn này chúng tôi lạm dụng việc kí hiệu e(k) cho đồng thời một biểu đồ cụ thể trong đại số Brauer Dn(N) và 1 phần tử trừu tượng trong đại số q -Brauer Brn(r,q) Cho trước một biểu đồ d, trực giác hình học cho ta thấy... và các mối quan hệ Trong trường hợp chi tiết, trên trường r, q Wenzl đã chứng minh được đại số q -Brauer là nửa đơn và đẳng cấu với đại số Brauer Ta có thể kiểm chứng được rằng các biểu diễn của các đại số của Molev trong [7] cũng là các biểu diễn của đại số q- Brauer (mục 2.2, [11]) Nhiều hơn nữa các quan hệ được chỉ ra trong đại số của Molev cũng được thỏa mãn bởi các phần tử sinh của đại số q -Brauer. .. đủ, nếu hệ số [N] = 0 và (r-1)/(q-1) = 0 thì chúng ta nhận thấy rằng đối đẳng cấu được 16 định nghĩa bởi Wenzl cho đại số q -Brauer (xem mục 3.1.2, [10]) là không tồn tại (chứng minh của nhận xét này có trong Bổ đề 3.2.1 (3)) Để thuận lợi cho việc nghiên cứu một cách chi tiết về đại số q -Brauer chúng tôi giới thiệu tiếp theo một số phiên bản sửa đổi của đại số này Như một hệ quả, đại số qBrauer có thể...  g( d ) 3.1.5 Định lí Đại số q -Brauer Brn(r,q) trên vành R có cơ sở  g d d  Dn ( N ) được chỉ số hoá bởi các biểu đồ cơ sở của đại số Brauer Chứng minh Biểu đồ d của đại số Brauer với chính xác 2k đoạn thẳng ngang có một sự diễn tả thu gọn duy nhất 1 , ( d ) , 2  Bởi sự duy nhất của diễn tả thu gọn của biểu đồ d trong D(N) dẫn đến các phần tử gd trong đại số q -Brauer Brn(r,q) được định... bởi vì g1 , g( d ) và g2 là các phần tử trong Hn(q) Bổ đề  n /2 1.3.3 chứng tỏ có một biểu diễn đầy đủ của đại số Brauer Dn(N) trên  Vk k 0 Theo Bổ đề 2.3.2, chúng ta nhận thấy đây là một sự đặc biệt hóa của biểu diễn của đại số q -Brauer Brn(r,q) trên cùng một tổng trực tiếp của các môđun Vk* và dẫn đến số chiều của đại số Brn(r,q) phải nhỏ nhất bằng số chiều của đại số Brauer cổ điển D(N)... Mệnh đề 3.2.2 là sai trên những vành như vậy Nghĩa là, ánh xạ i không là ánh xạ đối đẳng cấu trên đại số q -Brauer Brn(r,q) nếu (r-1)/(q-1) là không khả nghịch 3.3 Thuật toán dùng để sản xuất các phần tử cơ sở cho đại số q -Brauer Chúng ta giới thiệu ở đây một thuật toán dùng để sản xuất các phần tử cơ sở gd cho đại số q -Brauer Brn(r,q) từ một biểu đồ d cho trước trong đại số Brauer Dn(N) cổ điển Sự xây... số chiều của nó lớn nhất bằng số chiều của đại số Brauer 2.2.5 Định lí Cho R là trường có đặc số 0 Đại số Brn(r,q) trên trường R là nửa đơn nếu r ≠ qk với |k| ≤ n và nếu e(q) > n (với e(q) được định nghĩa như trong1.3.2) Trong trường hợp này, đại số q -Brauer có sự phân tích tương tự vào các vành ma trận đơn như là sự phân tích của đại số Brauer tổng quát, và vết tr là đối sinh 2.3 Brn(r,q)-môđun Vk*... phần tử sinh của đại số q -Brauer Tuy nhiên, đại số trừu tượng được định nghĩa bởi Molev có thể lớn hơn đại số q -Brauer ([8]) 2 Một cách rõ ràng, bởi thiết lập r  q N phiên bản Brn(r,q) trùng với Brn(N) Trên các vành mà cho phép lấy giới hạn khi q  1, như là trường số thực hoặc trường số phức, đại số q -Brauer (đồng thời 2 phiên bản khi q  1) trùng với đại số Brauer cổ điển Dn(N) Trong trường hợp này... q -Brauer trên vành giao hoán R (xem tài liệu [5]) Trong toàn bộ mục này chúng tôi sẽ làm việc trên phiên bản Brn(r,q) của đại số q -Brauer được Định nghĩa trong 2.1.5 Tuy nhiên các phiên bản khác của đại số này vẫn có những kết quả hoàn toàn tương tự 3.1 Cơ sở của Đại số q -Brauer Trong mục này, chúng tôi chỉ ra một cơ sở cho đại số q -Brauer Cơ sở này được chỉ số hóa bởi tập hợp của tất cả các biểu đồ