PHỎNG NHÓM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG

Bài toán mô tả tương đẳng trên một nửa nhóm là một trong những bài toán trung tâm của lý thuyết nửa nhóm. Trong trường hợp đặc biệt nếu S là một nhóm thì mỗi tương đẳng trên S hoàn toàn xác định bởi lớp tương đẳng chứa đơn vị. Tuy nhiên, nếu S là nửa nhóm tùy ý, bài toán mô tả cấu trúc tương đẳng trên S nói chung rất phức tạp. Độc lập với nhau, Vacne (1953) và Preston (1954) đã mô tả được cấu trúc của một tương đẳng trên một nửa nhóm ngược dựa vào hệ hạt nhân chuẩn của nó. Hơn 30 năm sau (1986), Francis Pastijn và Mario Petrich mới mô tả được cấu trúc tương đẳng trên nửa nhóm chính quy dựa vào hạt nhân và vết của nó. Dựa trên ý tưởng đó, cấu trúc tương đẳng trên nhiều nửa nhóm liên quan với nửa nhóm chính quy (Nửa nhóm Engược, Enửa nhóm, nửa nhóm orthodox, nửa nhóm chính quy suy rộng…) được mô tả một cách khá tường minh. Những năm đầu thế kỷ này, các tác giả còn chuyển sang nghiên cứu các tương đẳng trên các phỏng nhóm với những tính chất đặc trưng nào đó. Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo Completely inverse AG  groupoids của hai tác giả Wieslaw A. Dudek và Roman S. Gigon đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 2013 (5) để tìm hiểu các tương đẳng trên các AG  phỏng nhóm ngược hoàn toàn. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương 1. Dàn các tương đẳng trên một nửa nhóm. Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm và tính chất của tập sắp thứ tự, nửa dàn và dàn, nửa nhóm các quan hệ trên một tập, dàn các tương đẳng trên một nửa nhóm để làm cơ sở cho việc trình bày các chương sau. Chương 2. Tương đẳng trên nửa nhóm ngược. Trong chương này chúng tôi trình bày về các nửa nhóm ngược, tương đẳng trên nửa nhóm ngược và sự phân loại các tương đẳng trên nửa nhóm ngược. 3 Chương 3. Tương đẳng trên AG  phỏng nhóm ngược hoàn toàn. Trước hết chúng tôi trình bày các AG phỏng nhóm và các AG  phỏng nhóm ngược. Tiếp theo chúng tôi trình bày dàn các tương đẳng trên một AG phỏng nhóm nhóm ngược hoàn toàn. Sau đó, chúng tôi trình bày nửa dàn các AG nhóm.

1 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG DÀN CÁC TƯƠNG ĐẲNG TRÊN MỘT NỬA NHÓM 1.1 Các tập thứ tự Nửa dàn dàn 1.2 Nửa nhóm quan hệ tập 1.3 Dàn tương đẳng nửa nhóm 10 CHƯƠNG TƯƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHÓM NGƯỢC 14 2.1 Nửa nhóm quy Nửa nhóm ngược 14 2.2 Tương đẳng nửa nhóm ngược 17 2.3 Sự phân loại tương đẳng nửa nhóm ngược theo vết chúng 20 CHƯƠNG TƯƠNG ĐẲNG TRÊN AG ** - PHỎNG NHÓM NGƯỢC HOÀN TOÀN 25 3.1 Dàn tương đẳng AG ** - nhóm ngược hoàn toàn 25 3.2 Nửa dàn AG - nhóm 31 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 MỞ ĐẦU Bài toán mô tả tương đẳng nửa nhóm toán trung tâm lý thuyết nửa nhóm Trong trường hợp đặc biệt S nhóm tương đẳng S hoàn toàn xác định lớp tương đẳng chứa đơn vị Tuy nhiên, S nửa nhóm tùy ý, toán mô tả cấu trúc tương đẳng S nói chung phức tạp Độc lập với nhau, Vacne (1953) Preston (1954) mô tả cấu trúc tương đẳng nửa nhóm ngược dựa vào hệ hạt nhân chuẩn Hơn 30 năm sau (1986), Francis Pastijn Mario Petrich mô tả cấu trúc tương đẳng nửa nhóm quy dựa vào hạt nhân vết Dựa ý tưởng đó, cấu trúc tương đẳng nhiều nửa nhóm liên quan với nửa nhóm quy (Nửa nhóm E-ngược, E-nửa nhóm, nửa nhóm orthodox, nửa nhóm quy suy rộng…) mô tả cách tường minh Những năm đầu kỷ này, tác giả chuyển sang nghiên cứu tương đẳng nhóm với tính chất đặc trưng Bản luận văn dựa báo Completely inverse AG **  groupoids hai tác giả Wieslaw A Dudek Roman S Gigon đăng tạp chí Semigroup Forum năm 2013 ([5]) để tìm hiểu tương đẳng AG **  nhóm ngược hoàn toàn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương Dàn tương đẳng nửa nhóm Trong chương trình bày khái niệm tính chất tập thứ tự, nửa dàn dàn, nửa nhóm quan hệ tập, dàn tương đẳng nửa nhóm để làm sở cho việc trình bày chương sau Chương Tương đẳng nửa nhóm ngược Trong chương trình bày nửa nhóm ngược, tương đẳng nửa nhóm ngược phân loại tương đẳng nửa nhóm ngược Chương Tương đẳng AG **  nhóm ngược hoàn toàn Trước hết trình bày AG  nhóm AG **  nhóm ngược Tiếp theo trình bày dàn tương đẳng AG **  nhóm nhóm ngược hoàn toàn Sau đó, trình bày nửa dàn AG  nhóm Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, cô giáo Khoa Sư phạm Toán học anh, chị, bạn học viên khóa 21- Đại số Lý thuyết số quan tâm, giúp đỡ hướng dẫn tận tình tác giả trình học hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn! CHƯƠNG DÀN CÁC TƯƠNG ĐẲNG TRÊN MỘT NỬA NHÓM 1.1 Các tập thứ tự Nửa dàn dàn 1.1.1 Định nghĩa Một quan hệ hai  tập hợp X (nghĩa là, tập  tích Đề-các X  X ) gọi thứ tự (bộ phận) nếu: i)  x, x    tất x  X , nghĩa  phản xạ; ii)  x, y  X  ,  x, y     y, x    kéo theo x  y , nghĩa  phản đối xứng; iii) x, y, z  X  ,  x, y     y, z    kéo theo  x, z    , nghĩa  bắc cầu Theo truyền thống, người ta viết x  y nhiều  x, y    Từ ta viết x  y thay cho  x, y    Ta viết x  y, x  y hay x  y để tương ứng  y, x    ,  x, y    x  y Một quan hệ thứ tự phận có tính chất iv)  x, y  X  , x  y y  x gọi thứ tự toàn phần Ta nói X tập hợp thứ tự phận (hay thứ tự toàn phần) X xác định thứ tự phận (tương ứng, thứ tự toàn phần) 1.1.2 Định nghĩa Giả sử X tập hợp thứ tự phận Y tập X i) Phần tử a  Y gọi cực tiểu phần tử Y thực nhỏ a , nghĩa y Y  , y  a  y  a ii) Phần tử b  Y gọi bé y Y  , b  y Một phần tử nhỏ phần tử cực tiểu, khẳng định ngược lại không tập thứ tự Thực ta có: 1.1.3 Mệnh đề ([6]) Giả sử Y tập khác rỗng tập thứ tự phận X Thế thì: i) Y có phần tử nhỏ nhất; ii) Nếu Y thứ tự toàn phần, thuật ngữ “cực tiểu” “nhỏ nhất” tương đương 1.1.4 Định nghĩa Tập thứ tự phận  X ,   gọi thỏa mãn điều kiện cực tiểu tập khác rỗng X có phần tử cực tiểu Một tập hợp thứ tự toàn phần thỏa mãn điều kiện cực tiểu gọi tập thứ tự tốt Các khái niệm cực đại, lớn điều kiện cực đại hiểu cách đối ngẫu 1.1.5 Định nghĩa Giả sử Y tập khác rỗng tập thứ tự  X ,   Phần tử c  X gọi cận Y c  y y  Y Nếu tập hợp tất cận Y khác rỗng phần tử lớn d , d gọi cận lớn hay giao Y Phần tử d tồn tại, viết: d   y | y Y  Nếu Y  a, b ta viết d  a  b 1.1.6 Định nghĩa Nếu  X ,  tập thứ tự cho a  b tồn với a, b  X  X ,   gọi nửa dàn Nếu có tính chất mạnh  y | y Y  tồn với tập khác rỗng Y X , ta nói  X ,   nửa dàn đầy đủ Trong nửa dàn  X ,  , với a, b  X , a  b a  b  a Tương tự, ta định nghĩa cận nhỏ hay hợp   y | y Y  , a  b , nửa dàn hay nửa dàn đầy đủ Nếu  X ,   vừa nửa dàn (đầy đủ) vừa nửa dàn (đầy đủ) X gọi dàn đầy đủ Trong trường hợp ta viết  X ,  , ,   1.1.7 Định nghĩa Giả sử Y tập khác rỗng dàn  X ,  , ,   Thế Y gọi dàn X thỏa mãn điều kiện a, b  Y  a  b  Y , a  b  Y Giả sử  E,   nửa dàn Thế a, b, c  E hai  a  b   c a   b  c  cận lớn a, b, c ,  a  b   c  a  b  c  Như  E,   nửa nhóm Hơn nữa, a  a  a a  A, a  b  b  a tất a, b  E Do đó, ta chứng minh phần kết sau: 1.1.8 Mệnh đề Giả sử  E,   nửa dàn Thế  E,   nửa nhóm giao hoán bao gồm toàn phần tử lũy đẳng, a, b  E  a  b a  b  a Đảo lại, giả sử  E,. nửa nhóm giao hoán gồm tất phần tử lũy đẳng Thế quan hệ  E xác định a  b ab  a quan hệ thứ tự phận E , với quan hệ  E,   trở thành nửa dàn Trong  E,   , giao a b tích ab chúng Chứng minh Giả sử  E,. nửa nhóm giao hoán lũy đẳng  xác định a  b ab  a Thế a  a nên a  a Giả sử a  b b  a Thế ab  a ba  b nên a  b Bây a  b b  c ab  a bc  b nên ac   ab  c  a  bc   ab  a Do đó, a  c Như  quan hệ thứ tự phận E Vì a  ab   a 2b  ab b  ab   ab  ab (Do  E,. giao hoán) nên ab  a, ab  b Nếu c  a, c  b ac  c, bc  c nên c  ab    ca  b  cb  c , c  ab Từ đó, ab  a  b 1.2 Nửa nhóm quan hệ tập Ta nhắc lại rằng, quan hệ hai  tập hợp X tập tích Đề-các X  X   a, b  | a, b  X  Nếu  a, b    ta nói a có quan hệ  với b viết a  b Tập rỗng  quan hệ hai X chứa quan hệ hai khác X Ngoài ra, ta quan tâm đến hai quan hệ hai đặc biệt sau đây: Quan hệ phổ dụng X cho  X   x, y  | x, y  X   X  X quan hệ (hay quan hệ đường chéo) 1X cho 1X   x, x  | x  X  Tập hợp tất quan hệ hai X kí hiệu BX Trong BX ta đưa vào phép toán hai theo quy tắc: tất  ,  BX ,  x, y     nếu tồn zX cho  x, z    ,  z, y   Thế với  , , BX có               ;           Nói cách khác  BX ,  nửa nhóm 1.2.1 Định nghĩa Nửa nhóm  BX ,  gọi nửa nhóm quan hệ hai X Nửa nhóm  BX ,  có đơn vị 1X , vị nhóm 1.2.2 Định nghĩa Giả sử  quan hệ hai X i) Miền xác định  tập X cho dom : x  X |  y  X  x, y    ii) Ảnh  tập X cho im :=  y  X |  x  X  x, y    Dễ thấy với  , BX ,     dom  dom , im  im Đối với x  X ,  BX ta định nghĩa tập x X cho x :  y  X |  x, y    Như x    x  dom Nếu A tập X ta định nghĩa A : a | a  A Đối với  BX ta định nghĩa quan hệ ngược  1 cho  x, y    1  y, x    Giả sử  , 1, , n BX Thế kiểm tra   1 1  1 2 ;  n    n1  21 11 ; 1      1   1 ; dom   1   im , im   1   dom ; Hơn nữa, x  1   x  im 1.2.3 Định nghĩa Một phần tử  BX gọi ánh xạ phận X x  tất x  dom , nghĩa tất x, y1, y2  X ,  x, y1    x, y2     y1  y2 Nếu  , ánh xạ X cho     gọi thu hẹp   gọi mở rộng  Trong trường hợp này, dom =A  dom ta kí hiệu   A Tập hợp tất ánh xạ phận X kí hiệu PX 1.2.4 Mệnh đề PX nửa nhóm  BX ,  Chứng minh Giả sử  , PX giả thiết  x, y1  ,  x, y2    Thế thì, tồn z1, z2  X cho  x, z1   ,  z1, y1   ,  x, z2   ,  z2 , y2   Vì  ánh xạ phận X nên z1  z2 Tương tự,  ánh xạ phận X z1  z2 nên y1  y2 Vậy   PX 1.2.5 Mệnh đề ([6]) Nếu  , PX , dom      im  dom  1 , im      im  dom  ,  x  dom     x      x  Chú ý ta thay kí hiệu   x  kí hiệu x 1.2.6 Định nghĩa Ánh xạ phận  X gọi ánh xạ dom =X Như quan hệ hai  X ánh xạ x  với x  X Nếu  , ánh xạ   ánh xạ Kí hiệu tập hợp tất ánh xạ X TX , ta nhận kết sau 1.2.7 Mệnh đề TX nửa nhóm  BX ,  1.2.8 Định nghĩa Một quan hệ  X gọi quan hệ tương đương  phản xạ (nghĩa 1X   ), đối xứng (nghĩa    1 ) bắc cầu (nghĩa     ) 1.2.9 Định nghĩa Một họ    Ai | i  I  tập tập hợp X gọi tạo thành phân hoạch X i) Ai  , i  I ii) i, j  I , Ai  Aj Ai  Aj   iii)  Ai | i  I   X 1.2.10 Mệnh đề ([6]) Giả sử  quan hệ tương đương X Thế họ      x | x  X  phân hoạch X 10    Ai | i  I  phân hoạch X , quan hệ Đảo lại,      x, y   X  X |  i  I  x, y  Ai  quan hệ tương đương X Đối với quan hệ tương đương  X ,          , phân hoạch  X ,         1.2.11 Định nghĩa Giả sử  quan hệ tương đương X i) Mỗi tập x   y  X |  x, y    gọi  _ lớp ii) Tập hợp X  :  x | x  X  gọi tập thương X  iii) Ánh xạ  # : X  X , x x gọi ánh xạ tự nhiên 1.2.12 Định nghĩa Tập hợp tất quan hệ tương đương X với quan hệ thứ tự phận quan hệ bao hàm tạo thành dàn đầy đủ, gọi dàn quan hệ tương đương X kí hiệu E  X  Chú ý  , E  X            xác định bởi:  a, b      số tự nhiên n đó, tồn phần tử x1, x2 , , xn  X cho:  a, x1    ,  x1, x2   ,  x1, x3    , ,  x2n1, b   Ta viết          1.2.13 Định nghĩa i) Giả sử L dàn a, b  L Ta nói rằng, a phủ b (và viết a b ), a  b không tồn x  L cho a  x  b ii) Dàn L gọi nửa modular (dưới) a, b  L , a b ab ab a a  b ab b 1.2.14 Mệnh đề ([6]) Dàn  E  X  , , ,   tương đẳng tập hợp X nửa modular 23 2.3.8 Định nghĩa Tương đẳng  nửa nhóm S gọi tương đẳng nhóm nửa nhóm thương S  nhóm Ta nhắc lại nửa nhóm quy (đặc biệt, nửa nhóm ngược) chứa lũy đẳng nhóm Hơn nữa,  tương đẳng nửa nhóm ngược S  nửa nhóm ngược (Hệ 2.2.2) x  E S , e  ES cho e  x (Hệ 1.1.6)  2.3.9 Mệnh đề Một tương đẳng  nửa nhóm ngược S tương đẳng nhóm tr     ES  ES Chứng minh Nếu tr     ES  ES S nửa nhóm ngược nên S S  có lũy đẳng theo Hệ 2.1.6 Vì S  nửa nhóm ngược theo Hệ 2.2.2, từ  nhóm theo ý Khẳng định ngược lại hiển nhiên 2.3.10 Chú ý (i) Nếu  tương đẳng nhóm nửa nhóm ngược S min vậy, tr  min   tr     ES  ES Nói riêng, min tương đẳng nhóm nhỏ S , tương đẳng nhóm  tùy ý S , có   min Tương đẳng nhóm nhỏ nửa nhóm ngược S ký hiệu  S Giả sử  tương đẳng nhóm S Thế  S  S   , nên theo Định lý đồng cấu cảm sinh, tồn đồng cấu  : S   S#   # S  S   cho 24 Điều có nghĩa nhóm G _ ảnh đồng cấu S _ ảnh đồng cấu S S  S Với ý nghĩa đó, S  S ảnh đồng cấu nhóm tối đại (ii) Nếu S nửa nhóm ngược S tương đẳng  nhóm nhỏ Ví dụ xét nửa nhóm cộng số nguyên  Tương đẳng nhóm có có dạng n   p, q  | p  q  mod n  với n số nguyên dương tùy ý, với m, n  , có n  m m \ n nên  tương đẳng nhóm nhỏ 2.3.11 Mệnh đề (Định lý Munn) Trong nửa nhóm ngược S, x S y  e  ES : xe  ye Chứng minh Vì  S   nên x S y  e  ES : xe  ye, x 1x S e, y 1 y S e , x1x, y 1 y  ES kết luận Mệnh đề 2.3.11 chứng minh 2.3.12 Định nghĩa Một tương đẳng  S gọi tương đẳng tách lũy đẳng  _lớp có không lũy đẳng S , nghĩa e f  e, f  ES   e  f Từ Định nghĩa 2.3.12, trực tiếp suy 2.3.13 Bổ đề Nếu  tương đẳng tách lũy đẳng S tr     iE   e, e  | e  ES  2.3.14 Chú ý Từ Định lý 2.3.6 suy nửa nhóm ngược S , tồn tương đẳng tách lũy đẳng lớn nhất, ký hiệu S 2.3.15 Mệnh đề Với nửa nhóm ngược xS y  e  ES : x 1ex  y 1ey Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lý 2.3.6, tr  S   iE S tùy ý, 25 CHƯƠNG TƯƠNG ĐẲNG TRÊN AG **  PHỎNG NHÓM NGƯỢC HOÀN TOÀN 3.1 Dàn tương đẳng AG **  nhóm ngược hoàn toàn Ta nhắc lại tập hợp khác rỗng A với phép toán hai gọi nhóm 3.1.1 Định nghĩa Giả sử A nhóm (i) A gọi AG  nhóm A đồng thức  xy  z   zy  x thỏa mãn; (ii) A gọi AG **  nhóm A AG-phỏng nhóm A đồng thức x  yz   y  xz  thỏa mãn; (iii) A gọi AG **  nhóm ngược A AG **  nhóm phần tử a  A có phần tử ngược cho  aa  a  a,  a a  a 1 1 1  a 1 ; (iv) A gọi AG **  nhóm ngược hoàn toàn A AG **  nhóm ngược A thỏa mãn đồng thức xx 1  x 1x thỏa mãn Các khái niệm tương đẳng dàn tương đẳng nhóm hiểu 1.3 Giả sử C  A dàn đầy đủ tất tương đẳng nhóm A Khi L   C  A |     dàn C  A dàn modular Giả sử A AG **  nhóm ngược hoàn toàn Chúng ta tìm hiểu dàn đầy đủ 1A ,   tất tương đẳng tách lũy đẳng A Giả sử 1,  21A ,    a, b   1.2 Thế tồn c  A cho a1c, c2b 26 Nhớ rằng,  a, b     aa 1  bb1 1, 2   nên aa 1  cc 1  bb1 Từ đó, a  aa 1.a  cc1.a2bc 1.a  ac 1.b1cc 1.b  bb1.b  b ,  a, b   2 1 Như 12  2 1 Bằng đối xứng, 2 1  12 Như vậy, ta trình bày kết sau (Xem thêm Mệnh đề 1.3.9) 3.1.2 Định lý Giả sử A AG **  nhóm ngược hoàn toàn  tương đẳng tách lũy tối đại A cho  a, b     aa 1  bb 1 Thế đoạn 1A ,   gồm tất tương đẳng tách lũy đẳng A dàn modular Một AG  nhóm với đơn vị trái phần tử khả nghịch bên trái gọi AG  nhóm Nếu A AG  nhóm A AG **  nhóm ngược hoàn toàn Hơn nữa, tương đẳng A tương đẳng tách lũy đẳng tương đẳng A giao hoán với (Xem thêm Mệnh đề 1.3.9) Do từ Định lý 3.1.2 trực tiếp nhận 3.1.3 Hệ Dàn tương đẳng AG  nhóm dàn modular 3.1.4 Ký hiệu Một AG **  nhóm ngược hoàn toàn nửa dàn EA AG  nhóm Ge  e  EA  , Ge  a  A | aa 1  e Quan hệ  xác định nửa dàn EA e  f  ef  e quan hệ thứ tự gọi thứ tự phận tự nhiên EA Giả sử e  f ae  Ge Thế fae  G f Ge  G fe  G f Từ định nghĩa ánh xạ e, f : Ge  G f aee, f  fae  ae  Ge  Ở đây, aee, f  e, f  as  theo cách viết thông thường Hơn nữa, tất ae , be  Ge , có  a  b     a b  e e, f e e, f e e e, f (1)  fae  fbe    ff  aebe    f  aebe  , nên 27 Nghĩa e, f đồng cấu từ AG  nhóm Ge vào AG  nhóm G f Đặc biệt ee, f  f (Điều suy từ điều kiện e  f ) Quan sát thấy e,e tự đẳng cấu đồng nhóm AG  nhóm Ge Giả thiết e  f  g Thế ae  Ge , có  a   e e, f f ,g  g  fae    gg   fae    gf   gae   g  gae   gae  aee, g (Vì age  Gg Ge  Gge  Gg ), nghĩa e, f  f , g  e, g (2) Đối với e, f , g  EA cho e  f  g Cuối cùng, giả sử ae  Ge a f  G f (và ae a f  Gef ; e  ef , f  ef ) Thế nhận a e a f   ef   a e a f    ef ef   a e a f     ef  a e    ef  a f  , nghĩa ae a f   aee,ef  a f  f ,ef  (3) Chú ý sử dụng luật trung tâm  ab  cd    ac  bd  chứng minh đẳng thức (1), (2), (3) Do AG- nhóm A nửa dàn EA AGe  nhóm e  EA đẳng thức 3.1.5 Ký hiệu Giả sử Y nửa dàn, F   A |  Y  họ AG  nhóm rời có dạng T , đánh số Y ( F họ AG- nhóm rời nhau) Cũng giả sử cặp  ,   Y  Y cho    tồn đồng cấu  , : A  A thỏa mãn: (i)  , tự đẳng cấu đồng A với   Y ; (ii)  , ,   , tất  ,  ,   Y cho      Đặt A   A :  Y  định nghĩa phép toán A quy tắc: a  A a  A a a   a ,  a  ,  , phép nhân vế phải thực AG- nhóm A 28 Kiểm tra  A,. AG  nhóm Nếu bổ sung thêm điều kiện AG  nhóm A AG **  nhóm (đặc biệt, AG  nhóm)  A,. AG **  nhóm Cuối cùng, từ điều kiện (1) phép nhân trùng với phép nhân cho A , nên A nửa dàn AG  nhóm Chúng ta ký hiệu tích A phép nhân ghép viết A  Y ; A ; ,  Ta gọi AG  nhóm Y ; A ; ,  nửa dàn mạnh AG  nhóm A Thực tế, chứng minh kết sau (Xem (1), (2), (3)) 3.1.6 Định lý Giả sử AG  nhóm A nửa dàn A nhóm Thế A nửa dàn mạnh AG   AG  nhóm Cụ thể A   E A ; Ge ;e, f  , e, f  EA , Ge  e; e, f : Ge  G f cho aee, f  fae ae a f   aee,ef  a f  f ,ef  (ae  Ge ) a G , a e e f Gf  Nói riêng, A AG **  nhóm Chứng minh Giả sử A nửa dàn A E A  A AG  nhóm,  tách lũy đẳng Từ   , EA nửa dàn Như A nửa dàn EA AG  nhóm Ge  e ,  e  EA  Điều suy kết luận định lý Giả sử  tương đẳng AG **  nhóm ngược hoàn toàn     A Ta nhắc lại hạt nhân  tập con: Ker     a  A | a, a   Thế Ker     a  A | e  EA :  a, e      e | e  EA 29 Vết  thu hẹp  EA , ký hiệu tr    Thế tr    tương đẳng nửa dàn EA 3.1.7 Mệnh đề Giả sử A   E A ; Ge ;e, f  AG **  nhóm ngược hoàn toàn a, b  A cho ab  EA Thế ab  ba Chứng minh Đặt ab  e  EA Thế ba  b  aa 1.a    aa 1   ba    ab   a 1a   E A Vì ab, ba  Ge nên ab  ba (bởi Ge có lũy đẳng Ge AG  nhóm) Định lý sau nói tương đẳng AG **  nhóm ngược hoàn toàn xác định hạt nhân vết 3.1.8 Định lý Nếu  tương đẳng AG **  nhóm ngược hoàn toàn A ,  a, b      aa 1 , bb1   tr    ab 1  ker    Như vậy, 1, 2 C  A , 1  2  tr  1   tr  2  ker  1   ker  2  Do đó, tương đẳng AG **  nhóm ngược hoàn toàn xác định hạt nhân vết Chứng minh Giả sử  a, b    Thế  a 1 , b1  ,  ab1 , bb 1    nên  aa 1, bb1   tr    (vì aa 1, bb1  EA ) ab 1  ker    Đảo lại, giả sử  A  aa 1 , bb1   tr    , ab 1  ker    Thế  a  , b   A  , A  tương đẳng tách lũy đẳng lớn  (Định lý 3.4 [5]) 30 Do  ab   , bb      1 1 A 1  Vì ab  ker    nên  ab    bb   1 1 (theo Định lý 3.4(c) [5]) Như a   aa 1.a    bb 1.a    ab 1.b    bb 1.b    b   a, b    3.1.9 Chú ý Chú ý phần đầu Định lý 3.1.8 nửa nhóm Cliphơt tùy ý, nửa nhóm với phép toán a thức: a  1 1 a 1 thỏa mãn đồng  a, aa 1a  a, aa 1  a 1a,  a.a 1 bb1   bb1  a.a 1  Thật vậy, ab 1  ker     ab1     b1a     b1b   , Do a   aa 1.a     bb1.a     b.b1a     b.b 1b    b Rõ ràng điều kiện ab 1  ker    Định lý 3.1.8 tương đương với điều kiện a 1b  ker    từ Mệnh đề 3.1.7, tương đương với điều kiện b 1a  ker    3.1.10 Định lý Giả sử 1, 2 tương đẳng AG **  nhóm A Thế hai điều kiện sau tương đương: (i) e1  e2 e  EA ; (ii) 1  2 Chứng minh (i)  (ii) Giả sử a  b1 Thế aa 1   bb1  1   bb1  2 (vì bb1  EA ) ab1   bb1  1   bb1  2 Do theo Định lý 3.1.8, a  b2 nghĩa 1  2 (ii)  (i) hiển nhiên 31 3.2 Nửa dàn AG  nhóm Chúng ta biết nửa nhóm S nửa dàn nhóm, lũy đẳng phần tử trung tâm, nghĩa se  es , tất s  S , e  ES Mệnh đề sau chứng tỏ AG  nhóm không kết hợp mà nửa dàn AG  nhóm lũy đẳng phần tử trung tâm 3.2.1 Mệnh đề Giả sử A AG  nhóm mà nửa dàn AG  nhóm Nếu lũy đẳng A phần tử trung tâm, A nửa dàn mạnh nhóm Abel Nói riêng, A nửa nhóm giao hoán Chứng minh Giả sử A   E A ; Ge ;e, f  Nếu lũy đẳng A phần tử trung tâm, e  EA , có ae  ea a  Ge Điều kéo theo Ge nhóm giao hoán, A nửa dàn mạnh nhóm Abel Từ định nghĩa phép nhân  E A ; Ge ;e, f  Ge nhóm Abel suy A nửa nhóm giao hoán 3.2.2 Chú ý Giả sử A AG **  nhóm ngược hoàn toàn Thế ae  ea với a  A, e  EA a  a  a 1a  a  A   Thật vậy, ea  e  aa 1.a    e.aa 1  a   a.aa 1  e  a  a 1a  e Điều kéo theo a  a  a 1a  , lũy đẳng a phần tử trung tâm Khẳng định ngược lại rõ ràng Trong chứng minh Định lý 3.2 [6], chứng tỏ a  a  xa  a  A , x V  a  32 Mặt khác, A 2 : a | a  A AG **  nhóm, a 2b   ab  đối     với tất a, b  A Hơn nữa, a 1 V a a  A Từ E A  A  Suy A 2 AG **  nhóm ngược hoàn toàn mà lũy đẳng phần tử trung tâm Từ Mệnh đề 3.2.1 nhận 3.2.3 Định lý Nếu A AG **  nhóm ngược hoàn toàn, A 2 nửa dàn mạnh nhóm Abel với nửa dàn EA lũy đẳng Tiếp theo ta trình bày điều kiện cần đủ để AG  nhóm AG **  nhóm ngược hoàn toàn 3.2.4 Định lý Giả sử A AG  nhóm Thế điều kiện sau tương đương: (i) A AG **  nhóm ngược hoàn toàn; (ii) A nửa dàn AG  nhóm; (iii) A nửa dàn mạnh AG  nhóm Chứng minh (i)  (ii) Theo Định lý 3.4 [5] (ii)  (iii) Theo Định lý 3.1.6 (iii)  (i) Trong trường hợp này, A AG **  nhóm (Xem Định lý 3.1.6) Giả sử a  A Thế a thuộc vào AG  nhóm Ge đó, e đơn vị trái Ge Bây giờ, xét phần tử ngược a 1 a Ge Thế a   aa 1  a, a 1   a 1a  a 1 aa 1  a 1a  e Do A AG **  nhóm ngược hoàn toàn 3.2.5 Chú ý Dựa vào Định lý 3.2.4, xây dựng AG **  nhóm ngược hoàn toàn 33 3.2.6 Định nghĩa Giả sử A AG **  nhóm ngược hoàn toàn Thế quan hệ  A xác định A a  A b a  EAb thứ tự phận tự nhiên A Chú ý thu hẹp  A A thứ tự tự nhiên EA , viết  thay cho  A 3.2.7 Bổ đề Trong AG **  nhóm A tùy ý, quan hệ  thứ tự tương thích Hơn nữa, a  b kéo theo a 1  b1 tất a, b  A Chứng minh Rõ ràng  phản xạ bảo toàn phép toán ngược Giả sử a  b b  a , nghĩa a  eb b  fa với e, f  EA Thế theo Mệnh đề 2.1 [6], ea  a Bằng cách sử dụng lại Mệnh đề 2.1 [6], a  eb  e  fa    ef  a   fe  a  f  ea   fa  b Từ  phản đối xứng Từ Mệnh đề 2.1 [6] suy  bắc cầu Cuối cùng, a  b c  d , nghĩa a  eb c  fd với e, f  EA đó, ac   eb  fd    ef  bd  với ef  EA Như vậy, ac  bd  tương thích 3.2.8 Mệnh đề Giả sử A AG **  nhóm ngược hoàn toàn, 1A quan hệ đồng A  tương đẳng tách lũy đẳng tối đại A ,    1A Chứng minh Giả sử  a, b       Thế  a, b       a, b      Từ a  eb với e  EA aa 1  bb1 Thế a.a 1   eb   eb1    ee   bb1   e  bb 1    eb  b 1  ab 1 Do a   aa 1  a   bb 1  a   ab 1  b   aa 1  b  bb 1  b  b Mệnh đề 3.2.8 phát biểu sau 34 3.2.9 Hệ Giả sử A   E A ; Ge ;e, f  AG **  nhóm ngược hoàn toàn Thế thu hẹp  AG- nhóm Ge quan hệ đồng Ge với e  EA 3.2.10 Định nghĩa Giả sử B tập khác rỗng AG**- nhóm ngược hoàn toàn Thế tập B : a  A |  b  B  b  a gọi bao đóng B A Nếu B  B B gọi đóng A Từ định nghĩa suy B đóng A với tập B 3.2.11 Định nghĩa Giả sử B tập khác rỗng AG **  nhóm ngược hoàn toàn A (i) B gọi nhóm A a, b  A a.b  B (ii) B gọi AG **  nhóm ngược hoàn toàn A B nhóm A thỏa mãn điều kiện: với b  B b1  B Từ định nghĩa suy thân B AG **  nhóm ngược với phép toán A cảm sinh B Sử dụng Bổ đề 3.2.7, ta nhận kết sau 3.2.12 Mệnh đề ([6]) Nếu B AG **  nhóm ngược hoàn toàn AG **  nhóm ngược hoàn toàn A , B AG **  nhóm ngược hoàn toàn đóng A Nói riêng, EA AG **  nhóm ngược hoàn toàn đóng A Hơn EA  a  A | e  EA : ea  EA 35 3.2.13 Định nghĩa (i) Một tập khác rỗng B nhóm A gọi đơn nguyên trái (phải) ba  B (tương ứng, ab  B ) kéo theo a  B b  B, a  A (ii) B gọi đơn nguyên B vừa đơn nguyên trái vừa đơn nguyên phải (iii) Phỏng nhóm A gọi E - đơn nguyên EA đơn nguyên 3.2.14 Mệnh đề Giả sử EA tập đơn nguyên trái AG  nhóm A Thế EA đơn nguyên phải Nếu bổ sung thêm điều kiện A AG **  nhóm, điều kiện sau tương đương: (i) A E - đơn nguyên (ii) EA đơn nguyên trái (iii) EA đơn nguyên phải Chứng minh (i)  (ii), (iii) rõ ràng (ii)  (i) Giả sử a  A, e  EA giả sử ae  f  EA Thế  ae  f  EA nên  fe  a  EA Như a  EA , fe  EA EA đơn nguyên trái (iii)  (i) Giả sử a  A, e  EA ea  f  EA Thế cách sử dụng Mệnh đề 2.1 [6], có : f  f  ea    fe  a   ae  f Từ ae  EA Như a  EA EA đơn nguyên phải 36 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày vấn đề sau: Hệ thống kiến thức tập thứ tự, nửa dàn dàn, nửa nhóm quan hệ tập, dàn tương đẳng nửa nhóm Khái niệm, ví dụ tính chất nửa nhóm quy, nửa nhóm ngược AG **  nhóm Chứng minh tương đẳng nửa nhóm ngược AG **  nhóm ngược hoàn toàn xác định hạt nhân vết ( Định lý 2.2.7, Định lý 3.1.8) Tìm hiểu phân loại tương đẳng nửa nhóm ngược tính chất nửa dàn AG  nhóm 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Cliphơt G B Preston (1970), Lý thuyết nửa nhóm, dịch Tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [3] M Bozinovic, P V Protic, N Stevanovic (2008), Kernel nomal system of inverse AG **  groupoids, Quasigr Relat Syst 17, 1-8 [4] W A Dudek, R S Gigon (2012), Congruences on completely inverse AG **  groupoids, Quasigr Relat Syst 20 (In print) [5] W A Dudek, R S Gigon (2013), Completely inverse AG **  groupoids, Semigroup Forum, 87, 201-229 [6] J M Howie (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford University press [7] Q Mushtaq, A Bano (2004), Embedding of an AG **  groupoids in a commutative monoid, Quasigr Relat Syst 12, 75-78 [8] Q Mushtaq, M Khan (2009), Semilattice decomposition of locally associative AG **  groupoids, Algebra colloq, 16, 17-22 [9] P V Protic (2009), Congruences on an inverse AG **  groupoids via the natural partical order Quasigr Relat Syst 17, 283-290 [10] P V Protic, M Bozinovic (1995), Some congruences on an AG **  groupoid Filomat (Nis), 9, 879-886 [...]... trên một nửa nhóm S được gọi là một tương đẳng nhóm nếu nửa nhóm thương S  là một nhóm Ta nhắc lại rằng một nửa nhóm chính quy (đặc biệt, một nửa nhóm ngược) chứa đúng một lũy đẳng là một nhóm Hơn nữa, nếu  là một tương đẳng trên nửa nhóm ngược thì S  là một nửa nhóm ngược (Hệ quả 2.2.2) và x  E S , e  ES sao cho e  x (Hệ quả 1.1.6)  2.3.9 Mệnh đề Một tương đẳng  trên nửa nhóm ngược S là một. .. với một phép toán hai ngôi trên nó được gọi là một phỏng nhóm 3.1.1 Định nghĩa Giả sử A là một phỏng nhóm (i) A được gọi là AG  phỏng nhóm nếu trong A đồng nhất thức  xy  z   zy  x được thỏa mãn; (ii) A được gọi là AG **  phỏng nhóm nếu A là AG -phỏng nhóm và trong A đồng nhất thức x  yz   y  xz  được thỏa mãn; (iii) A được gọi là AG **  phỏng nhóm ngược nếu A là một AG **  phỏng nhóm và. ..  A :  Y  và định nghĩa một phép toán trên A bởi quy tắc: nếu a  A và a  A thì a a   a ,  a  ,  , trong đó phép nhân ở vế phải được thực hiện trong AG- phỏng nhóm A 28 Kiểm tra được rằng  A,. là một AG  phỏng nhóm Nếu bổ sung thêm điều kiện mỗi AG  phỏng nhóm A là một AG **  phỏng nhóm (đặc biệt, là một AG  nhóm) thế thì  A,. là một AG **  phỏng nhóm Cuối cùng,... dàn và dàn, nửa nhóm các quan hệ trên một tập, dàn các tương đẳng trên một nửa nhóm 2 Khái niệm, ví dụ và các tính chất của nửa nhóm chính quy, nửa nhóm ngược và AG **  phỏng nhóm 3 Chứng minh rằng mỗi tương đẳng trên nửa nhóm ngược và trên AG **  phỏng nhóm ngược hoàn toàn xác định duy nhất bởi hạt nhân và vết của nó ( Định lý 2.2.7, Định lý 3.1.8) 4 Tìm hiểu sự phân loại các tương đẳng trên nửa nhóm. .. dàn EA các lũy đẳng Tiếp theo ta trình bày các điều kiện cần và đủ để một AG  phỏng nhóm là một AG **  phỏng nhóm ngược hoàn toàn 3.2.4 Định lý Giả sử A là một AG  phỏng nhóm Thế thì các điều kiện sau đây tương đương: (i) A là một AG **  phỏng nhóm ngược hoàn toàn; (ii) A là một nửa dàn các AG  nhóm; (iii) A là một nửa dàn mạnh các AG  nhóm Chứng minh (i)  (ii) Theo Định lý 3.4 [5] (ii)  (iii)... lý Giả sử A là một AG **  phỏng nhóm ngược hoàn toàn và  là tương đẳng tách lũy tối đại trên A cho bởi  a, b     aa 1  bb 1 Thế thì đoạn 1A ,   gồm tất cả các tương đẳng tách lũy đẳng trên A là một dàn modular Một AG  phỏng nhóm với một đơn vị trái và mọi phần tử của nó đều khả nghịch bên trái được gọi là một AG  nhóm Nếu A là một AG  nhóm thì A là một AG **  phỏng nhóm ngược hoàn... nên A là một nửa dàn các AG  phỏng nhóm Chúng ta ký hiệu tích trong A bởi phép nhân ghép và viết A  Y ; A ; ,  Ta gọi AG  phỏng nhóm Y ; A ; ,  là một nửa dàn mạnh các AG  phỏng nhóm A Thực tế, chúng ta đã chứng minh được kết quả sau đây (Xem (1), (2), (3)) 3.1.6 Định lý Giả sử một AG  phỏng nhóm A là một nửa dàn A nhóm Thế thì A là một nửa dàn mạnh các AG   các AG  nhóm Cụ... ES , x 1.x  ES 2.1.8 Ví dụ (1) Mọi nhóm là nửa nhóm ngược (2) Giả sử X là một tập hợp khác rỗng Tập hợp I X các ánh xạ bộ phận một – một của X cùng với phép nhân ánh xạ một nửa nhóm ngược nhưng nói chung không phải là một nhóm (nếu X chứa nhiều hơn một phần tử) 16 2.1.9 Mệnh đề Giả sử S là một nửa nhóm ngược Thế thì ES là một nửa nhóm con của S Hơn nữa ES là một dàn, nghĩa là các lũy đẳng của S... A đều có một phần tử ngược duy nhất sao cho  aa  a  a,  a a  a 1 1 1  a 1 ; (iv) A được gọi là AG **  phỏng nhóm ngược hoàn toàn nếu A là một AG **  phỏng nhóm ngược và trong A thỏa mãn đồng nhất thức xx 1  x 1x được thỏa mãn Các khái niệm về tương đẳng và dàn các tương đẳng trên một phỏng nhóm được hiểu như 1.3 Giả sử C  A là dàn đầy đủ tất cả các tương đẳng trên một phỏng nhóm A ... là một nửa nhóm ngược và  : S  P là một đồng cấu nửa nhóm Thế thì   S  là một nửa nhóm con ngược của P Đặc biệt, nếu  là toàn cấu thì P là nửa nhóm ngược Chứng minh Giả sử x  S và x 1 là phần tử ngược của x Khi đó x  xx 1 x nên   x     xx 1x     x .  x 1 .  x  Do đó   x  là phần tử chính quy với mọi xS Từ đó   S  là một nửa nhóm chính quy (   S  là nửa nhóm ... thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn tránh khỏi thi u sót Kính mong quý thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thi n Chúng xin chân thành cảm ơn! CHƯƠNG DÀN CÁC TƯƠNG ĐẲNG... định nghĩa quan hệ ngược  1 cho  x, y    1  y, x    Giả sử  , 1, , n BX Thế kiểm tra   1 1  1 2 ;  n    n1  21 11 ; 1      1   1 ; dom   1  ... tất ánh xạ phận X kí hiệu PX 1.2.4 Mệnh đề PX nửa nhóm  BX ,  Chứng minh Giả sử  , PX giả thi t  x, y1  ,  x, y2    Thế thì, tồn z1, z2  X cho  x, z1   ,  z1, y1   ,  x,