QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM Môn đại số tổ hợp có sách gọi là giải tích tổ hợp chuyên khảo sát các hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, nhằm xác định số cách xảy ra một hiện tượng nào đó mà không [r]
(1)Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chöông I QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM Môn đại số tổ hợp (có sách gọi là giải tích tổ hợp) chuyên khảo sát các hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, nhằm xác định số cách xảy tượng nào đó mà không thiết phải liệt kê trường hợp Trong đại số tổ hợp, ta thường dùng hai quy tắc phép đếm, đó là quy taéc coäng vaø quy taéc nhaân a) Quy taéc coäng : Nếu tượng có m cách xảy ra, tượng có n cách xảy và hai tượng này không xảy đồng thời thì số cách xảy tượng này hay tượng là : m + n cách Ví dụ Từ thành phố A đến thành phố B có đường và đường thuỷ Cần chọn đường để từ A đến B Hỏi có cách chọn ? Giaûi Coù : + = caùch choïn Ví dụ Một nhà hàng có loại rượu, loại bia và loại nước Thực khách cần chọn đúng loại thức uống Hỏi có cách chọn ? Giaûi Coù : b) + + = 13 caùch choïn Quy taéc nhaân : Nếu tượng có m cách xảy ra, ứng với cách xảy tượng tiếp đến tượng có n cách xảy thì số cách xảy tượng “rồi” tượng là : m × n Ví dụ Giữa thành phố Hồ Chí Minh và Hà Nội có loại phương tiện giao thông : đường bộ, đường sắt và đường hàng không Hỏi có cách chọn phương tiện giao thông để từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội quay veà? Giaûi Coù : × = caùch choïn Lop12.net (2) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Ví dụ Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, uỷ ban thư ký và không bầu người vào hay chức vụ Hỏi có maáy caùch ? Giaûi Có 15 cách chọn chủ tịch Với cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ tịch Với cách chọn chủ tịch và phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký Vaäy coù : 2) 15 × 14 × 13 = 2730 caùch choïn Sơ đồ cây Người ta dùng sơ đồ cây để liệt kê các trường hợp xảy các bài toán có ít tượng liên tiếp và tượng có ít trường hợp Chú ý ta dùng sơ đồ cây để kiểm tra kết Ví dụ Trong lớp học, thầy giáo muốn biết ba môn Toán, Lý, Hóa học sinh thích môn nào theo thứ tự giảm dần Số cách mà học sinh có thể ghi là : T H L L H T H T L H L H T L T Caùc daáu hieäu chia heát – Chia heát cho : soá taän cuøng laø 0, 2, 4, 6, – Chia hết cho : tổng các chữ số chia hết cho (ví dụ : 276) – Chia hết cho : số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho (ví duï : 1300, 2512, 708) – Chia heát cho : soá taän cuøng laø 0, – Chia heát cho : soá chia heát cho vaø chia heát cho – Chia hết cho : số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho (ví duï : 15000, 2016, 13824) – Chia hết cho : tổng các chữ số chia hết cho (ví dụ : 2835) – Chia heát cho 25 : soá taän cuøng laø 00, 25, 50, 75 – Chia heát cho 10 : soá taän cuøng laø Lop12.net (3) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Ví dụ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số ñoâi moät khaùc khoâng chia heát cho Giaûi Goïi : n = abc laø soá caàn laäp m = a′b′c′ là số gồm chữ số khác m′ = a1 b1c1 là số gồm chữ số khác mà chia hết cho Ta coù : taäp caùc soá n = taäp caùc soá m – taäp caùc soá m′ * Tìm m : coù caùch choïn a′ (vì a′ ≠ 0), coù caùch choïn b′ (vì b′ ≠ a′ ), coù caùch choïn c′ (vì c′ ≠ a′ vaø c′ ≠ b′ ) Vaäy coù : × × = 100 soá m * Tìm m′ : các chữ số đã cho, chữ số có tổng chia hết cho là {0, 4, 5} , {1, 3, 5} , {2, 3, 4} • Với {0, 4, 5} : có cách chọn a1, cách chọn b1, cách chọn c1, × × = soá m′ • Với {1, 3, 5} : có 3! = số m′ • Với {2, 3, 4} : có 3! = số m′ Vaäy coù : + + = 16 soá m′ Suy coù : 100 – 16 = 84 soá n Chú ý : Qua ví dụ trên, ta thấy số cách chọn thỏa tính chất p nào đó quá nhieàu, ta coù theå laøm nhö sau : Số cách chọn thỏa p số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn không thỏa p Người ta còn gọi cách làm này là dùng “phần bù” Bài Có tuyến xe buýt A và B Có tuyến xe buýt B và C Hỏi : a) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B ? b) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B ? c) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B cho tuyến xe buyùt khoâng ñi quaù moät laàn ? Lop12.net (4) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Giaûi a) Có cách từ A đến B, có cách từ B đến C Do đó, theo quy tắc nhân, có x = 12 cách từ A đến C, qua B b) Có 12 cách từ A đến C, qua B và có 12 cách quay Vậy, có : 12 × 12 = 144 cách từ A đến C, qua B c) Có cách từ A đến B, có cách từ B đến C; để tránh lại đường cũ, có cách từ C quay B và cách từ B quay A Vaäy coù : x x x = 72 caùch Bài Một văn phòng cần chọn mua tờ nhật báo ngày Có loại nhật báo Hoûi coù maáy caùch choïn mua baùo cho moät tuaàn goàm ngaøy laøm vieäc ? Giaûi Coù caùch choïn cho moãi ngaøy Vaäy, soá caùch choïn cho ngaøy tuaàn laø : 46 = 4096 caùch Bài Trong tuần, Bảo định tối thăm người bạn 12 người bạn mình Hỏi Bảo có thể lập bao nhiêu kế hoạch thăm bạn : a) Coù theå thaêm baïn nhieàu laàn ? b) Không đến thăm bạn quá lần ? Giaûi a) Đêm thứ nhất, chọn 12 bạn để đến thăm : có 12 cách Tương tự, cho đêm thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy Vaäy, coù : b) 127 = 35831808 caùch Đêm thứ nhất, chọn 12 bạn để đến thăm : có 12 cách Đêm thứ hai, chọn 11 bạn còn lại để đến thăm : có 11 cách Đêm thứ ba : 10 cách Đêm thứ tư : cách Đêm thứ năm : cách Đêm thứ sáu : cách Đêm thứ bảy : caùch Vaäy coù : 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 caùch Bài Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga Hỏi có bao nhiêu cách chọn hành trình bắt đầu nhà ga và chấm dứt nhà ga khác, biết từ nhà ga nào có thể tới bất kì nhà ga khác? Giaûi Nhà ga : có 10 cách chọn Nhà ga đến : có cách chọn Vaäy coù : 10.9 = 90 caùch choïn Lop12.net (5) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Bài Có nam và nữ cần xếp ngồi vào hàng ghế Hỏi có cách xếp cho : a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có người nam A, người nữ B phải ngồi kề ? c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có người nam C, người nữ D không ngồi keà ? Giaûi a) Có cách chọn người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ Tiếp đến, có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ Lại có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có cách chọn vào chỗ thứ 4, có cách chọn vào chỗ thứ 5, có cách chọn vào chỗ thứ Vaäy coù : b) 6.3.2.2.1.1 = 72 caùch Cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ và chỗ thứ hai, có cách Tiếp đến, chỗ thứ ba có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn Bây giờ, cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ hai và chỗ thứ ba Khi đó, chỗ thứ có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn Tương tự cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ ba và thứ tư, thứ tư và thứ năm, thứ năm và thứ sáu Vaäy coù : c) ( × × × × 1) = 40 caùch Số cách chọn để cặp nam nữ đó không ngồi kề số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn để cặp nam nữ đó ngồi kề Vaäy coù : 72 – 40 = 32 caùch Bài Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A và học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trường hợp sau : a) Bất kì học sinh nào ngồi cạnh đối diện thì khác trường b) Bất kì học sinh nào ngồi đối diện thì khác trường Đại học Quốc gia TP HCM 1999 Giaûi Đánh số các ghế theo hình vẽ Lop12.net (6) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 12 11 10 7 a) Gheá 10 11 V Soá caùch xeáp choã ngoài 12 5 4 3 2 V Vậy số cách xếp học sinh ngồi cạnh đối diện phải khác trường là : 12 12 × × 52 × 42 × 32 × 22 × 12 = 1036800 b) Gheá 12 11 10 Soá caùch xeáp choã ngoài 12 10 2 Vậy số cách xếp học sinh ngồi đối diện phải khác là : 12 × × 10 × × × × × × × × = 33177600 Bài Cho chữ số 2, 3, 5, 6, 7, Hỏi từ các chữ số đã cho, lập số đôi khaùc vaø : a) gồm chữ số ? b) gồm chữ số và nhỏ 400 ? c) gồm chữ số và chẵn ? d) gồm chữ số và chia hết cho ? Giaûi Ñaët a) n = abc Coù caùch choïn a, caùch choïn b (b ≠ a), caùch choïn c (c ≠ a, c ≠ b) Vaäy coù : b) Chọn a = hay a = 3, có cách Sau đó, có cách chọn b (b ≠ a), cách chọn c (c ≠ a, c ≠ b) Vaäy coù : c) × × = 120 soá 2.5.4 = 40 soá nhoû hôn 400 Vì n chẵn, có cách chọn c (c = hay c = 6) Sau đó, có cách chọn a (a ≠ c), coù caùch choïn b (b ≠ a, b ≠ c) Vaäy coù : 2.5.4 = 40 soá chaün Lop12.net (7) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com d) Vì n chia hết cho 5, có cách chọn c (c = 5) Sau đó, có cách chọn a (a ≠ c), coù caùch choïn b (b ≠ a, ≠ c) Vaäy coù : 1.5.4 = 20 soá chia heát cho Bài Có 100000 vé đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm chữ số khác Đại học Quốc gia Hà Nội Khối G 1997 Giaûi Goïn n = a1a a 3a a laø soá in treân moãi veù Soá caùch choïn a1 laø 10 (a1 coù theå laø 0) Soá caùch choïn a2 laø Soá caùch choïn a3 laø Soá caùch choïn a4 laø Soá caùch choïn a5 laø Vậy số vé gồm chữ số khác : 10 × × × × = 30240 Bài Xét dãy số gồm chữ số (mỗi chữ số chọn từ 0, 1, …., 8, 9) thỏa chữ số vị trí số là số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, các chữ số 4, 5, đôi moät khaùc Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn Đại học Quốc gia TP.HCM 1997 Goïi soá caàn tìm laø n = a1a a Soá caùch choïn a3 laø (do a3 chaün) Soá caùch choïn a7 laø (do a7 ≠ vaø ≠ 5) Soá caùch choïn a laø 10⎫ ⎪ Soá caùch choïn a laø ⎬ (do a4, a5, a6 ñoâi moät khaùc nhau) Soá caùch choïn a laø ⎪⎭ Soá caùch choïn a1 laø 10 (do n laø daõy soá neân a1 coù theå laø 0) Soá caùch choïn a2 laø 10 Vaäy soá caùch choïn laø : × × 10 × × × 10 × 10 = 2880000 Baøi 10 Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, Có bao nhiêu số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ các chữ số trên Đại học Y Hà Nội 1997 Lop12.net (8) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Giaûi Gọi số cần tìm n = a1a a với ≤ a1 ≤ và a6 lẻ X = {0, 1, , 8, 9} Ñaët • Trường hợp : a1 lẻ a1 ∈ {1, 3, 5} coù caùch choïn a6 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} \ {a1 } coù caùch choïn a2 ∈ X\ {a1 , a } coù caùch choïn a3 ∈ X\ {a1 , a , a } coù caùch choïn a4 ∈ X\ {a1 , a , a , a } coù caùch choïn a5 ∈ X\ {a1 , a , a , a , a } coù caùch choïn • Trường hợp : a1 chẵn a1 ∈ {2, 4} coù caùch choïn a6 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} coù caùch choïn Tương tự a2, a3, a4, a5 có × × × cách chọn Do đó số các số n thỏa yêu cầu bài toán : (4 × + × 5) x × × × = 36960 Baøi 11 Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} có thể lập bao nhiêu số có chữ số từ X mà chữ số có mặt đúng lần còn các chữ số khác có mặt đúng lần Giaûi Xeùt hoäc coù oâ troáng Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc (do a1 ≠ 0) Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc còn hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc còn hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc còn hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc còn hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc còn hộc trống và chữ số Lop12.net (9) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán : × × × × = 5880 Baøi 12 Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên các phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành hàng a) Có bao nhiêu số lẻ gồm chữ số tạo thành b) Có bao nhiêu số chẵn gồm chữ số tạo thành Đại học Huế 1999 Giaûi Goïi X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Soá caàn tìm n = a1a 2a 3a a 5a a) a6 ∈ {1, 3, 5} coù caùch choïn a1 ∈ X\ {0, a } coù caùch choïn a2 ∈ X\ {a , a1 } coù caùch choïn a3 ∈ X\ {a , a1 , a } coù caùch choïn a4 ∈ X\ {a , a1 , a , a } coù caùch choïn a5 ∈ X\ {a , a1 , a , a , a } coù caùch choïn Soá caùc soá leû caàn tìm : × × × × = 288 b) Số các số gồm chữ số bất kì (a1 có thể 0) là : × × × × × = 720 Số các số gồm chữ số mà a1 = là : × × × × = 120 Vậy số các số gồm chữ số (a1 ≠ 0) lấy từ X 720 – 120 = 600 Maø soá caùc soá leû laø 288 Vaäy soá caùc soá chaün laø : 600 – 288 = 312 Caùch khaùc Có 5! Số chẵn với a6 = Có 2.4.4! số chẵn với a6 = hay a6 = Lop12.net (10) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Vaäy soá caùc soá chaün thoûa ycbt laø 5! + 2.4.4! = 312 Baøi 13 Có thể lập bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác lấy từ 0, 2, 3, 6, Đại học Y Hà Nội 1999 Giaûi Ñaët X = {0, 2, 3, 6, 9} vaø n = a1a 2a 3a a • (a1 ≠ 0) Trường hợp a1 lẻ a1 ∈ {3, 9} coù caùch choïn a5 ∈ {0, 2, 6} coù caùch choïn a2 ∈ X\ {a1 , a } coù caùch choïn a3 ∈ X\ {a1 , a 5, a } coù caùch choïn a4 ∈ X\ {a1 , a , a , a } coù caùch choïn Vaäy coù : • × × × = 36 soá n chaün Trường hợp a1 chẵn a1 ∈ {2, 6} coù caùch choïn a5 ∈ {0, 2, 6} \ {a1 } coù caùch choïn Tương tự trên số cách chọn a2, a3, a4 là × × Vaäy coù : × × × = 24 soá Vaäy soá caùc soá n chaün laø : 36 + 24 = 60 soá Caùch 2: Có 4! Số chẵn với a5 = Có 2.3.3! số chẵn với a5 = hay a5 = Vaäy soá caùc soá chaün thoûa ycbt laø 4! + 2.3.3! = 60 Baøi 14 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số cho tổng các chữ số soá laø moät soá leû Giaûi Lop12.net (11) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Goïi n = a1a a 6a (a1 ≠ 0) Nếu a1 + a2 + … + a6 là số chẵn để n lẻ thì a7 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} Nếu a1 + a2 + … + a6 là số lẻ để n lẻ thì a7 ∈ {0, 2, 4, 6, 8} Vậy đã chọn a1, a2, a3, a4, a5, a6 thì luôn có cách chọn a7 để tổng các chữ số n là số lẻ Maø soá caùch choïn cuûa caùc (i = 1, ) laø : Soá caùch choïn a1 a2 a3 a4 a5 a6 10 10 10 10 10 Do đó số các số n thỏa yêu cầu bài toán là × 105 × = 45 × 105 Baøi 15 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác và chia hết cho Giaûi Goïi n = a1a a (a1 ≠ 0) Để n chia hết cho thì a7 = hay a7 = • Trường hợp a7 = Soá caùch choïn a1 a2 a3 a4 a5 a6 Vaäy coù : × × × × × soá • Trường hợp a7 = Soá caùch choïn Vaäy coù : a1 a2 a3 a4 a5 a6 8 × × × × × soá Do đó số các số tự nhiên có chữ số mà chia hết cho là : (9 + 8) × × × × × = 114240 Baøi 16 Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Lop12.net (12) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com a) Có bao nhiêu số chẵn có chữ số khác đôi b) Có bao nhiêu số có chữ số khác chia hết cho c) Có bao nhiêu số có chữ số khác chia hết cho Đại học Huế 2000 Giaûi a) • Goïi n = a1a 2a 3a (a1 ≠ 0) Neáu a1 chaün Soá caùch choïn • a1 a4 a2 a3 2 a1 a4 a2 a3 3 Neáu a1 leû Soá caùch choïn Vậy số các số chẵn có chữ số khác là : × × × + × × × = 48 + 108 = 156 b) • Goïi m = a1a 2a (a1 ≠ 0) Neáu a3 = Soá caùch choïn • a1 a2 a1 a2 4 Neáu a3 = Soá caùch choïn Vaäy soá caùc soá m chia heát cho laø : 20 + 16 = 36 Lop12.net (13) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com c) Gọi k = a1a 2a với a1 + a2 + a3 = 9, a1 ≠ Xeùt X1 = {0, 4, 5} ⊂ X a1 a2 a3 2 a1 a2 a3 a1 a2 a3 Soá caùch choïn Xeùt X2 = {2, 3, 4} ⊂ X Soá caùch choïn Xeùt X3 = {1, 3, 5} ⊂ X Soá caùch choïn Vaäy soá caùc soá k chia heát cho laø : + + = 16 Baøi 17 Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Hỏi có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác mà số đó không chia hết cho Đại học Lâm Nghiệp 1999 Giaûi Goïi soá caàn tìm n = a1a 2a (a1 ≠ 0) n chia heát cho ⇔ a1 + a2 + a3 laø boäi soá cuûa • Số các số n bất kì chọn từ X là × × = 100 vì Soá caùch choïn • a1 a2 a3 5 Các tập X có phần tử mà tổng chia hết cho là Lop12.net (14) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com X1 = {0, 1, 2} , X2 = {0, 1, 5} , X3 = {0, 2, 4} , X4= {0, 4, 5} X5 = {1, 2, 3} , X6 = {1, 3, 5} , X7 = {2, 3, 4} , X8= {3, 4, 5} Số các số n chia hết cho chọn từ X1, X2, X3, X4 là : × × × = 16 soá Số các số n chia hết cho chọn từ X5, X6, X7, X8 là : × × × = 24 soá Vaäy soá caùc soá n chia heát cho laø : 16 + 24 = 40 soá Do đó số các số n không chia hết cho là : 100 – 40 = 60 số (coøn tieáp) PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG (Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và luyện thi đại học Vĩnh Viễn) Lop12.net (15) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chöông II HOÁN VỊ Giai thừa Với số nguyên dương n, ta định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n!, là tích các số nguyên liên tiếp từ đến n n! = 1.2.3…(n – 2) (n – 1)n Vì tiện lợi, người ta qui ước : 0! = Từ định nghĩa, ta có : n(n – 1) … (n – r + 1) = n! (n − r)! vaø (n – 1)!n = n! Ví duï : a) 5! = 1.2.3.4.5 = 120; b) 9! = 9.8.7.6 = 3024; 5! c) 3!4 = 4! = 1.2.3.4 = 24; d) (n + 2)! = (n + 2)(n + 1)n(n – 1)(n – 2) (n − 3)! Hoán vị Có n vật khác nhau, vào n chỗ khác Mỗi cách gọi là hoán vị n phần tử Theo qui tắc nhân, chỗ thứ có n cách (do có n vật), chỗ thứ nhì có n – cách (do còn n – vật), chỗ thứ ba có n – cách (do còn n – vật), …, chỗ thứ n có cách (do còn vật) Vậy, số hoán vị n phần tử, kí hiệu Pn, là : Pn = n(n – 1)(n – 2)… × = n! Ví dụ Từ chữ số 1, 2, có thể tạo bao nhiêu số gồm chữ số khác ? Giaûi Lop12.net (16) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Mỗi số gồm chữ số khác tạo từ 1, 2, là hoán vị phần tử Vaäy coù : P3 = 3! = soá (các số đó là : 123, 132, 213, 231, 312, 321) Ví dụ Trong lớp học, thầy giáo phát phiếu thăm dò yêu cầu học sinh ghi thứ tự môn Toán, Lý, Hóa học theo mức độ yêu thích giảm dần Hỏi có bao nhieâu caùch ghi khaùc ? Giaûi Đây là hoán vị phần tử Vậy có: P3 = 3! = cách, đó có cách ghi là: (T,L,H), (T,H,L), (L,T,H), (L,H,T), (H,T,L), (H,L,T) Ví dụ Có sách toán khác nhau, sách lý khác và sách hóa khác Cần xếp các sách thành hàng cho các sách cùng môn đứng keá Hoûi coù bao nhieâu caùch saép ? Giaûi Trước tiên, ta theo môn thì có P3 = 3! = cách Tiếp đến, các sách môn đổi chỗ cho nhau, toán có P2 = 2! = cách, lý có P3 = 3! = caùch, hoùa coù P4 = 4! = 24 caùch Vaäy, theo qui taéc nhaân, coù : × × × 24 = 1728 caùch Baøi 18 Giaûi phöông trình : x !− (x − 1) ! = (x + 1)! với x ∈ ¥ * Giaûi x !− (x − 1) ! = (x + 1)! ⇔ 6[x! – (x – 1)!] = (x + 1)! ⇔ 6[x(x – 1)! – (x – 1)!] = (x + 1)! ⇔ 6(x – 1)!(x – 1) = (x + 1)x(x – 1)! ⇔ 6(x – 1) = x(x + 1) ⇔ ⎡x = x2 – 5x + = ⇔ ⎢ ⎣x = Nhaän x ∈ ¥ * Baøi 19 Giaûi baát phöông trình : Pn + 15 < Pn −1 Pn Pn + Ñieàu kieän n > 1, n ∈ ¥ Lop12.net (*) (17) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Ta coù : (*) ⇔ (n + 4) ! 15 < n !(n + 2)! (n − 1)! ⇔ (n + 4)(n + 3)(n + 2)! 15 < n(n − 1) !(n + 2)! (n − 1)! ⇔ (n + 4)(n + 3) < 15 n ⇔ n2 + 7n + 12 < 15n ⇔ n2 – 8n + 12 < ⇔ Do ñieàu kieän neân n ∈ {3, 4, 5} Bài 20 Gọi Pn là số hoán vị n phần tử Chứng minh : a) Pn – Pn-1 = (n – 1)Pn-1 b) + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n – 1)Pn-1 = Pn Giaûi a) Pn – Pn-1 = n! – (n – 1)! Ta coù = n(n – 1)! – (n – 1)! = (n – 1)(n – 1)! = (n – 1)Pn-1 b) Từ kết trên, ta có : ⎧P2 ⎪P ⎪ ⎪⎪P +⎨ ⎪: ⎪: ⎪ ⎪⎩Pn − P1 = (2 − 1)P1 − P2 = (3 − 1)P2 − P3 = (4 − 1)P3 : : : : : : − Pn −1 = (n − 1)Pn −1 Pn – P1 = P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n – 1)Pn-1 Vaäy : ⇔ Pn = + P1 + 2P2 + … + (n – 1)Pn-1 n ⎛ n + 1⎞ Bài 21 Chứng minh với n ∈ ¥ : n! ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Giaûi Theo bất đẳng thức Cauchy Lop12.net 2<n<6 (18) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com + + + … + n ≥ n n × × × n maø 1, 2, …, n taïo moät caáp soá coäng neân 1+2+3+…+n= n(n + 1) n(n + 1) Do đó : ≥ n n n! n +1 ≥ ⇔ n n! ⇔ n ⎛ n + 1⎞ ⎜ ⎟ ≥ n! ⎝ ⎠ Bài 22 Một tạp chí thể thao định cho 22 kì báo chuyên đề 22 đội bóng, kì đội Hỏi có bao nhiêu cách cho : a) Kì báo đầu tiên nói đội bóng A ? b) Hai kì báo liên tiếp nói hai đội bóng A và B ? Giaûi a) Còn lại 21 kì báo cho 21 đội bóng Đây là hoán vị 21 phần tử Vaäy coù : 21! caùch b) Xem hai đội A và B là phần tử Ta có hoán vị 21 phần tử, có 21! cách Ngoài ra, cách trên, có thể đổi thứ tự A và B, có cách Vaäy, coù : × 21! caùch Bài 23 Tên 12 tháng năm liệt kê theo thứ tự tuỳ ý cho tháng và tháng không đứng kế Hỏi có cách ? Giaûi Tên 12 tháng năm liệt kê tùy ý, có : 12! cách Nếu tháng và tháng đứng kế nhau, ta xem tháng và tháng là phần tử, ta có hoán vị 11 phần tử, có 11! cách Ngoài ra, cách này, thứ tự tháng và tháng có thể đổi cho nhau, nên có : × 11! cách Vậy số cách để hai tháng và tháng không đứng kế là : 12! – 2.11! = 10.11! caùch Bài 24 Người ta cần soạn đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, chia thành chủ đề, chủ đề gồm 10 câu Cần thứ tự 50 câu hỏi cho các câu cùng chủ đề đứng gần nhau, chủ đề đứng đầu và chủ đề 2, không đứng kế Hoûi coù bao nhieâu caùch saép ? Giaûi Lop12.net (19) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chủ đề 2, đứng tùy ý : Trước tiên, theo chủ đề, đây là hoán vị bốn chủ đề 2, 3, 4, 5, có 4! cách Tiếp đến, các câu chủ đề, chủ đề có 10! cách Vaäy coù : 4!5.10! caùch = 120.10! caùch Chủ đề 2, đứng kế : xem chủ đề và là phần tử, ta có hoán vị phần tử (2, 3), 4, hay (3, 2), 4, 5, có : 2.3! cách Tiếp đến, các câu chủ đề, có : 5.10! cách Nên có : 60.10! cách Vaäy soá caùch saép theo yeâu caàu laø : 120.10! – 60.10! = 60.10! = 217728000 caùch Bài 25 Một công ty cần thực điều tra thăm dò thị hiếu người tiêu dùng veà saûn phaåm cuûa mình Coâng ty ñöa 10 tính chaát cuûa saûn phaåm vaø yeâu caàu khách hàng thứ tự theo mức độ quan trọng giảm dần Giả sử tính chất và tính chất 10 đã xếp hạng Hoûi coù maáy caùch xeáp ? Giaûi Còn lại tính chất cần xếp hạng Đây là hoán vị phần tử Vaäy, coù : 8! = 40320 caùch Bài 26 Có bi đỏ và bi trắng có kích thước khác đôi bao nhiêu cách các bi này thành hàng dài cho hai bi cùng màu không nằm kề Giaûi Xét hộc đựng bi có 10 ô trống, ô đánh số theo thứ tự từ đến 10 • Lấy bi đỏ bỏ vào vị trí ô mang số chẵn 2, 4, 6, 8, 10 ta có 5! cách Sau đó lấy bi traéng boû vaøo oâ coøn laïi ta cuõng coù 5! caùch Vậy trường hợp này ta có 5! × 5! cách • Lập luận tương tự lấy bi đỏ bỏ vào các ô mang số lẻ; lấy bi trắng bỏ vào ô soá chaün ta cuõng coù 5! × 5! caùch • Do đó số cách thỏa yêu cầu bài toán là : 2(5!)2 = 2(120)2 = 28 800 caùch Baøi 27 Coù bao nhieâu caùch xeáp hoïc sinh A, B, C, D, E vaøo gheá daøi cho : a) C ngồi chính b) A, E ngồi hai đầu ghế Đại học Hàng hải 1999 Lop12.net (20) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Giaûi a) Soá caùch xeáp hoïc sinh A, B, D, E vaøo gheá laø : 4! = 24 b) Số cách xếp A, E ngồi hai đầu ghế là : 2! Soá caùch xeáp hoïc sinh coøn laïi : 3! Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán : 2! × 3! = × = 12 Bài 28 Trong phòng có bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi a) Caùc hoïc sinh ngoài tuøy yù b) Các học sinh nam ngồi bàn, học sinh nữ ngồi bàn Đại học Cần Thơ 1999 Giaûi a) Soá caùch xeáp 10 hoïc sinh ngoài tuøy yù laø : 10! = 3628800 b) Soá caùch xeáp nam sinh ngoài baøn : 5! Số cách nữ sinh ngồi bàn : 5! Soá caùch xeáp baøn : 2! Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán : 2! × 5! × 5! = 28800 Bài 29 Một học sinh có 12 sách đôi khác đó có sách Văn, sách Toán, sách Anh văn Hỏi có bao nhiêu cách các sách lên kệ daøi neáu caùc cuoán cuøng moân saép keà Đại học Quốc gia TP HCM khối D 1999 Giaûi Soá caùch saép saùch Vaên keà : 4! Số cách sách Toán kề : 2! Soá caùch saép saùch Anh keà : 6! Số cách loại sách Văn, Toán, Anh lên kệ : 3! Số cách thỏa yêu cầu bài toán : 4! × 2! × 6! × 3! = 207360 Bài 30 Từ X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} thiết lập các số có chữ số khác Hỏi các số lập có bao nhiêu số mà hai chữ số và không đứng cạnh Đại học Ngoại thương khối A 2001 Lop12.net (21)