Khóa luận tốt nghiệp đại học sư phạm toán với đề tài BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN đã được chỉnh sửa hoàn chỉnh,
UBND TỈNH QUẢNG NAM CHI TIẾT ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TRONG SINH VIÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TỐN I THƠNG TIN CHUNG -1 Thông tin sinh viên 1.1) Họ tên: Nguyễn Đình Thành KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP 1.2) Mã số SV: 2114010149 “BẤT 1.3) Ngành đàoTên tạo: đề Sưtài: phạm tốnĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN” Sinh viên thực NGUYỄN ĐÌNH THÀNH 1.4) Khóa học: 2014 - 2018 MSSV: 2114010149 1.5) Lớp học: DT14STH01 CHUN NGÀNH: SƯ PHẠM TỐN KHĨANguyễn 2014 – 2018 1.6) Địa liên lạc: Số 76 đường Đình Chiểu, phường An Mỹ, thành Cán hướng dẫn phố Tam Kỳ, tỉnh Quảng ThS Nam PHẠM NGUYỄN HỒNG NGỰ 1.7) Số điện thoại: 01667714381 MSCB: … 1.8) Email: thanhnguyenadm@gmail.com Đề tài 2.1) Tên đề tài: Bất đẳng thức tích phân Cán hướng dẫn Quảng Nam, tháng 05 năm 2018 3.1) Họ tên: Phạm Nguyễn Hồng Ngự 3.2) Chức vụ: Giảng viên 3.4) Học hàm, học vị: Thạc sĩ 3.5) Nơi công tác: Trường đại học Quảng Nam 3.6) Số điện thoại: 0915624077 3.7) Email: Phamhongngu@gmail.com LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận ngồi cố gắng thân, tơi nhận nhiều giúp đỡ, động viên đến từ gia đình, thầy bạn bè suốt khoảng thời gian thực Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Th.S Phạm Nguyễn Hồng Ngự, giảng viên hướng dẫn nghiên cứu đề tài khóa luận Cơ hướng dẫn, bảo, góp ý cung cấp cho kiến thức tảng vô quan trọng cần thiết cho việc nghiên cứu Nhờ có giúp đỡ nhiệt tình cơ, tơi hồn thành tốt khóa luận Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến lãnh đạo nhà trường, tất thầy cô khoa Toán tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành khóa luận Khơng có thành cơng mà khơng có nỗ lực thân với giúp đỡ từ người Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn Đề tài nghiên cứu phạm vi thời gian có hạn, khơng tránh khỏi thiếu sót hay kiến thức chưa đủ sâu rộng để giải tất vấn đề Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến đến từ thầy cơ, bạn bè để khóa luận ngày hồn thiện LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan : Khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Bất đẳng thức tích phân” cơng trình nghiên cứu cá nhân tôi, không chép Tôi xin chịu trách nhiệm cơng trình nghiên cứu riêng mình! Tam Kỳ, ngày …… tháng…… năm …… Người cam đoan Nguyễn Đình Thành MỤC LỤC Phần MỞ ĐẦU .1 Lý chọn đề tài .1 Mục tiêu đề tài .2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Cấu trúc đề tài .2 Phần NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 1.1.1 Hàm khả tích số tính chất Hàm khả tích .3 1.1.2 Một số tính chất 1.2 Một số định lý bất đẳng thức tích phân 1.2.1 Định lý giá trị trung bình tích phân 1.2.2 Định lý liên hệ tích phân xác định nguyên hàm 1.3 Một số định lý khác có liên quan 1.3.1 Định lý Rolle 1.3.2 Định lý Lagrange 1.3.3 Định lý Cauchy 1.4 Một số bất đẳng thức có liên quan 1.4.1 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz tích phân 1.4.2 Bất đẳng thức Schur 1.4.3 Bất đẳng thức AM-GM CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN .11 2.1 Chứng minh bất đẳng thức tích phân thông qua việc đánh giá cận hàm số 11 2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz để chứng minh bất đẳng thức tích phân 16 2.3 Sử dụng mối liên hệ đạo hàm nguyên hàm để giải tốn bất đẳng thức tích phân 21 2.4 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân khác .27 2.5 Sử dụng bất đẳng thức tích phân để chứng minh bất đẳng thức số học 33 2.6 Sử dụng bất đẳng thức tích phân để tính giới hạn liên quan đến tích phân .37 Phần KẾT LUẬN 42 Phần PHỤ LỤC 43 Phần TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 Phần MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học ngành khoa học hình thành từ văn minh lồi người Nó khơng ngừng bổ sung phát triển để đến có kết quả, ứng dụng quan trọng toán học vào hầu hết lĩnh vực sống khẳng định tốn học ngành khoa học cốt yếu cho phát triển người Trong toán học bất đẳng thức vấn đề cổ điển, cịn tích phân phép tính hồn thiện kỉ XVII Nhưng khơng mà bất đẳng thức tích phân khơng có liên kết với nhau, mà trái lại kết hợp chúng tạo thành mảnh ghép hoàn hảo cho giải tích nói riêng tốn học đại nói chung Ở chương trình phổ thơng bất đẳng thức tích phân xuất phần nhỏ sách giáo khoa giải tích 12 bậc đại học sinh viên chun ngành tốn nghiên cứu bất đẳng thức tích phân phạm vi hẹp, cịn lại hầu hết bất đẳng thức tích phân xuất thi học sinh giỏi, Olympic sinh viên quốc gia quốc tế Để giải tốn bất đẳng thức tích phân người giải không nắm vững định nghĩa, khái niệm, tính chất bất đẳng thức tích phân mà phải biết cách kết hợp chúng cách hợp lý để thu kết mong muốn Tuy nhiên tốn bất đẳng thức tích phân đưa dạng, phương pháp giải để áp dụng cho nhiều tốn Là sinh viên chuyên ngành toán với mong muốn cung cấp cách đầy đủ có hệ thống kiến thức lý thuyết dạng toán quen thuộc bất đẳng thức tích phân kèm theo lời giải chi tiết cho tập liên quan, đồng thời bổ sung số ứng dụng bất đẳng thức tích phân, nên chúng tơi chọn đề tài: “Bất đẳng thức tích phân” làm đề tài khóa luận Mục tiêu đề tài Hệ thống lại số định lý, tính chất bất đẳng thức tích phân Giới thiệu số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân thường gặp Đưa số ứng dụng bất đẳng thức tích phân việc chứng minh bất đẳng thức số học tính giới hạn hàm số có liên quan đến tích phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các toán liên quan đến bất đẳng thức tích phân Phạm vi nghiên cứu: Một số phương pháp giải bất đẳng thức tích phân ứng dụng bất đẳng thức tích phân Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết Phương pháp nghiên cứu tài liệu Tham khảo ý kiến chuyên gia Đóng góp đề tài Hệ thống kiến thức dạng toán liên quan đến bất đẳng thức tích phân Trình bày phương pháp giải chi tiết tập liên quan đến dạng tốn Cung cấp cho học sinh, sinh viên số ứng dụng bất đẳng thức tích phân giải tốn bất đẳng thức đại số tính giới hạn có liên quan đến tích phân khơng trình bày chương trình học, giúp bạn có thêm tài liệu để tham khảo nghiên cứu Cấu trúc đề tài Bài khóa luận ngồi phần mở đầu kết luận nội dung chia làm chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương 2: Một số tốn liên quan đến bất đẳng thức tích phân Phần NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Hàm khả tích số tính chất 1.1.1 Hàm khả tích Định nghĩa nguyên hàm + F (x) nguyên hàm f (x) (a, b) � x�(a, b): F '(x) f (x) + F (x) nguyên hàm f (x) Định nghĩa hàm khả tích � F '(a ) f (a) � � a, b� x�(a, b): F '(x) f (x) � �� � � F '(b ) f (b) � � a, b� (a b) Hàm số y f (x) gọi khả tích đoạn � � tồn b f (x)dx � tích phân a [2] 1.1.2 Một số tính chất Mệnh đề 1: Nếu hàm số liên tục x�� a, b� � � b f ( x)dx �0 � a [7] Mệnh đề 2: Nếu hai hàm số liên tục b b a a f ( x)dx �� g ( x) dx � [7] Mệnh đề 3: Nếu hàm số liên tục thỏa mãn không b f ( x )dx � đồng a [7] Mệnh đề 4: Nếu hai hàm số liên tục thỏa mãn không b b f ( x)dx � g ( x)dx � a đồng với a [7] Mệnh đề 5: Nếu hàm số liên tục thỏa mãn m�f (x) �M b m(b a) �� f (x)dx �M (b a) a không đồng với Mệnh đề 6: Nếu hàm số liên tục [7] b b f ( x)dx �� f ( x) dx � [7] 1.2 Một số định lý bất đẳng thức tích phân 1.2.1 Định lý giá trị trung bình tích phân Định lý giá trị trung bình Nếu hàm số liên tục tồn điểm cho a a b f ( x)dx f (c)(b a) � a Chứng minh Đặt m f (x) x�� a,b� � � M max f (x) x�� a,b� � � Ta có: m�f (x) �M , x�� a, b� � � b Suy b b a a m� dx �� f (x)dx �M � dx a b Hay m� f (x)dx �M b a � a b f (x)dx b a � a Đặt Ta có: m� �M � a, b� Mà f hàm liên tục � �, nên theo định lý giá trị trung gian c �� a, b� � � cho f (c) b Hay f (c) f (x)dx b a � a b Vậy cho f ( x)dx f (c)(b a) � a Định lý mở rộng giá trị trung bình: Giả sử hai hàm số liên tục Nếu điểm cho Chứng minh Đặt b b a a f ( x ) g ( x)dx f (c) � g ( x)dx � m f (x) M max f (x) � � x�� a,b� ; x�� a, b� � � � � x�� a,b� ta có: a, b� m�f (x) �M x�� � � tồn [3] x�� a, b� � �kết hợp với bất đẳng thức suy Nếu g(x) �0 ra: a, b� mg (x) �f (x).g(x) �M.g(x) x�� � � Do b b b a a a m.� g(x)dx �� f (x).g(x)dx �M.� g(x)dx (1) b x�� a, b� � �thì Nếu g(x) không đồng không g(x)dx � a b Chia vế bất đẳng thức (1) cho g(x)dx � a , ta được: b f (x).g(x)dx � m�a b �M g(x)dx � a Theo định lý giá trị trung gian hàm số liên tục, tồn số thực c�� a, b� � � cho b f (c) f (x).g(x)dx � a b g(x)dx � a Hay b b a a f (c)� g(x)dx � f (x).g(x)dx x�� a, b� a, b� � �thì f (x).g(x) x�� � � Khi đó: Nếu g(x) b f (x).g(x)dx � a b g(x)dx � a � a, b� Lúc ta lấy c điểm thuộc vào đoạn � � 1.2.2 Định lý liên hệ tích phân xác định nguyên hàm x � a, b� x�� a, b� � �ta đặt: Nếu f liên tục � �, ' F (x) � f (t)dt �x � F '(x) �� f (t)dt � f (x) � � � a, b� x �� a, b� �0 � � � [3] khả vi � �và , Chứng minh: Khi F 1 x dx � Mà ta có 1 f (x)dx �2� xf (x)dx � Do 0 (1) � � I � f (t)dt � � �� � 0� x � Đặt 1 Ta có: �1 � 1 x2 I � f (t)dt � dx � dx � �� � �2 0� x � Mặt khác 1 �1 � 1 I � f (t)dt � dx x � f (t)dt � xf (x)dx � xf (x)dx � � � � 0 0� x x � Do đó: 1 xf (x)dx � � (2) Thay (2) vào (1) ta được: 1 1 0 f 2(x)dx �2� xf (x)dx � xf (x)dx � xf (x)dx � 1 f (x)dx �� xf (x)dx � Vậy 0 28 Bài 2: (IMC 2010) Cho a b Chứng minh rằng: b x � 2 e x dx e a e b a Giải Cách 1: x F (x) � t2 e t dt g(x) e x Đặt F ( Áp dụng định lí Cauchy cho hàm x), g(x) tồn số thực x�� a, b� � � cho: x2 e x F (b) F (a) F '(x) 1� 1� �x � x x g(b) g(a) g'(x) 2� x � x 2xe Do b x � a 2 e x dx F (a) F (b) g(a) g(b) e a e b Cách 2: Ta có x 1 2x b Nên b 2 x 2xe x dx e x �x e dx � a a ba e a2 e b � 0,b� a�� 0, b� � � Bài 3: Cho hàm số f (x) liên tục nghịch biến � �và cho Chứng minh rằng: a b 0 b� f (x)dx �a� f (x)dx Giải Bất đẳng thức tương đương với a b a (b a)� f (x)dx �a� f (x)dx � 0,b� Do f (x) nghịch biến � �nên: a a b b 0 a a f (a)dx �a� f (x)dx (b a)� f (x)dx �(b a)� f (a)dx (b a)a f (a) a� Bài (OLP Toán SV 2009): Cho hàm tục f :� 0,1� � �� � có đạo hàm cấp liên f ''(x) 0,x�� 0,1� � � Chứng minh rằng: 0 2� f (t)dt �3� f (t2 )dt f (0) Giải Vì f ''(x) 0,x�� 0,1� � � � 0,1� , nên f '(x) đơn điệu tăng � � 29 Với x� 0,1 x2 � 0,1 x x � x2, x� f � �ta được: Áp dụng định lý Lagrange cho hàm đoạn f (x) f (x2 ) f '(t),t � x2 , x x x 2 Rõ ràng f '(t) �f '(x ) x x , suy f (x) f (x2 ) �(x x2 ) f '(x2 ) Từ dẫn đến: 1 �f (x) f x2 � dx � x x2 f '(x2 )dx � � � � 1 f (x)dx � f (x2 )dx � � (1 x)2xf ' x2 dx � 0 Hay Dùng tích phân phần với u 1 x, du dx dv 2xf '(x )dx , v f (x2 ) tích phân vế phải trở thành: 1 2 (1 x)2xf '(x )dx (1 x) f (x ) � f (x2 )dx � 0 f(0) �(x2 )dx Vì ta suy ra: 1 � 1� f ( x ) dx f ( x ) dx � f (0) (x2 )dx� � � � � 2� 0 � 1 0 ۳ 2� f (x)dx 3� f (x2 )dx f (0) Vậy 2� f (t)dt �3� f (t2 )dt f (0) 0 Bài 5: Chứng minh sin x.cos x dx � sin x cos x 12 4 Giải Ta xét tích phân sin x I � dx sin x J sin x � cos x dx � �x � t t sin x � dt 2sin x cos xdx sin xdx � � � �x � t Đặt Khi đó: 30 I 1 sin x dt dx arctan t arctan1 arctan � � sin x 1 t 4 0 1 sin x dt � � J � dx arctan( t 1) arctan arctan 1 � � � cos x � 4� 0 t 1 Ta có: 2 sin x sin x sin x � � sin x IJ � dx dx � �dx 4 � � sin x cos x sin x cos x � 0 � sin x(2 sin x cos x) sin x(3 2sin x cos x) � dx � dx (1 cos x)(1 sin x) (1 cos x)(1 sin x) 0 sin x cos x(6 sin 2 x) 6sin x cos x � dx dx 4 � (1 cos x)(1 sin x) (1 cos x)(1 sin x) 0 Mặt khác: IJ (1) 4 (2) Từ (1) (2) suy ra: 6sin x cos x dx 4 x)(1 sin x) � (1 cos sin x cos x dx 4 x)(1 sin x) 12 � (1 cos Vậy Bài 6: t tan x I (t ) � dx cos x a) Tìm với 0t � � tan3 t 3tan t tan � t � e 0t � 4� b) Chứng minh rằng: với Giải t a) t t t tan x tan x tan x tan xd (tan x) I (t ) � dx � dx dx � � 2 cos x cos x sin x 0 tan x cos x tan x � d tan x t � tan x 1 1� � � � � � �tan x d tan x � 2 tan x � � tan x 0 t � � tan x tan x �t tan t tan t � � tan x ln � tan t ln � tan x �0 tan t � �3 �3 � 1 � � � � tan t tan t ln � tan � t � � � � 4� � 31 1 � � � � I (t ) tan t tan t ln � tan � t � 0t � � � � �với Vậy tan x 0t 0 b) Ta thấy: cos x với tan x 1 � � � � � I (t ) � dx tan t tan t ln � tan � t � � cos x � � � � t � � � ln tan � t � tan t tant � 4� � � tan3 t 3tant � tan � t � e � 4� � � tan3 t 3tan t tan � t � e 0t Vậy � � với 2.5 Sử dụng bất đẳng thức tích phân để chứng minh bất đẳng thức số học 2.5.1 Nhận dạng toán phương pháp giải Trong chứng việc chứng minh số bất đẳng thức số học bình thường quy việc giải tốn bất đẳng thức tích phân quen thuộc thơng qua việc chọn hàm chọn cận cho hợp lí 2.5.2 Bài tập Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn a �b �c Chứng minh rằng: 1 1� 1 � � � � 3a b 3b c 3c a �a b b c c a � Giải Để chứng minh ta chứng minh bổ đề sau 3 2 2 2 Bổ đề: với x �y �z ta có: x y y z z x �x y y z z x (1) Thật vậy: Xét hiệu x y y z z x xy 3 3 yz zx x y x z y z x y z �0 x3 y y z z x � � x3 y y z z x xy yz zx3 � � � Suy xy yz zx ( x2 y2 ) ( y z ) ( z x2 ) 2 � xy yz zx x y y z z x 2 2 Ta chứng minh bổ đề 32 a b c Áp dụng vào toán cho, đặt x t , y t , z t theo bất đẳng thức (1) mà ta chứng minh thì: t 3a b t 3b c t c a �t a 2 b t b 2 c t c 2 a 1 � t 3a b t 3b c t 3c a � t 2a 2b t 2b 2c t 2c 2a t t Lấy tích phân từ đến hai vế theo biến t ta có: 1 a b 3b c 3c a a 2b b 2c c a t t t t dt �� t t t dt � t 0 a b 1 �� t t 3b c 1 t 3c a 1 3a b dt �� t a 2b 1 t 2b c 1 t 2c a 1dt �t �1 �t a b t t t 2b 2 c t c a �1 �� � � � � �3a b 3b c 3c a �0 �2a 2b 2b 2c 2c 2a �0 � 3b c 3c a 1 1� 1 � � � � 3a b 3b c 3c a �a b b c c a � 1 1� 1 � � � � Vậy 3a b 3b c 3c a �a b b c c a �, dấu xảy a b c Bài 2: Cho a, b, c Chứng minh rằng: 1 1 1 1 � 3a 3b 3c a b c 2a b 2b c 2c a 2b a 2c b 2a c Giải a b c Áp dụng bất đẳng thức Schur với x t , y t , z t k 1, ta được: t 3a t 3b t 3c 3t a b c �t a b (t a t b ) t b c (t b t c ) t c a (t c t a ) a 3b c t t t t 3t abc �1t t ab (t a t b ) t bc (t b t c ) t ca (t c t a ) Hay Lấy tích phân từ đến hai vế theo biến t ta có: 1 3a 3b 3c a b a b t t t t 3t abc dt �� t (t t ) t bc (t b t c ) t c a (t c t a ) dt � t 0 �t 3a t 3b t 3c t a b c �1 �t a b t 2b c t 2c a t 2b a t 2c b t 2a c �1 �� 3 � �� � a b c �0 �2a b 2b c 2c a 2b a 2c b 2a c �0 �3a 3b 3c � 1 1 1 1 � 3a 3b 3c a b c 2a b 2b c 2c a 2b a 2c b 2a c Vậy ta chứng minh bất đẳng thức dấu xảy a b c n Bài 3: Chứng minh �k k 1 k 1 k ln Giải 33 * , n �N x � 0,1 t � 0,1 x x x n 1 ta có: xn 1 x 1 x ta có: t 1 x x � x n 1 t t2 t3 tn dx � t ln(1 t ) dx � 1 x n z z � t2 t3 tn � t dt ln(1 t )dt z (1 z ) ln(1 z ) � � � z � 0,1 n� � � 0 ta có: n 1 z z z z z (1 z ) ln(1 z ) 2.3 3.4 n ( n 1) Hay Chia vế cho z ta có: z z2 z3 zn (1 z) 1 ln(1 z ) 1.2 2.3 3.4 n.(n 1) z điều với z �(0,1) z ta nhận bất đẳng thức Cho n �k k 1 k 1 k ln , n �N * n n n Bài 4: Chứng minh 2� n 1 n 1� � n �N 3� Giải x � k x � k 1, k Ta có � k � x x � k , k 1 k k k 1 k 1 k 1 k 1 k k �xdx �k dx k k 1, n �k dx �xdx Cho k chạy từ đến n, sau lấy tổng ta được: k n n k 1 n ��xdx � k ��xdx n Mà k k 1 k 1 n k 1 ��xdx �xdx x k 1 k 1 n k 1 n n n x n 1 ��xdx �xdx x k 1 k k 1 k x n �k n 1 � n 1 n 1� � 3� n k 1 2 n n n � n 1 n 1� � n �N 3� Vậy a b a a b ln b b Bài 5: Cho a b Chứng minh rằng: a Giải 34 b x � a, b Ta có bất đẳng thức: b b 1 1 1 � �dx �dx �dx a x b a x b a a a b ba ba ln x a a b ba b ba � ln a a b a b a a b ln b b Vậy a � 2.6 Sử dụng bất đẳng thức tích phân để tính giới hạn liên quan đến tích phân 2.6.1 Nhận dạng toán phương pháp giải b Ở số tập giới hạn khó có dạng lim � f (x)dx x� x0 a việc xác định giá trị giới hạn thơng qua phương pháp tính bình thường khó Đa số tập rơi vào định lí kẹp, việc chứng b minh bất đẳng thức tích phân sau �� f (x)dx � a từ ta kết luận b lim � f (x)dx x� x0 a 2.6.2 Bài tập nk lim n �� Bài 1: Tính giới hạn nk Đặt Ta có: �un dx n sin x �x un sin x �x * với n �N , k Giải dx n nk nk nk sin x sin x dx � k� dx � � dx � � ln � ���� �0 n �� � x x x � n� n n n Áp dụng định lý kẹp ta có: lim un � lim un n �� nk lim Vậy n �� sin x �x dx n n �� ln x lim Bài 2: Tính giới hạn: x�� x Giải 35 Ta có: x x x dt dt ln x � �� t t t x 1 x x � 1, � ln x ��� �0 x �� x x 0 Suy Áp dụng định lý kẹp ta được: ln x 0 x �� x lim Bài 3: Chứng minh rằng: �1 lim � n �� �n � n � k � � k 1 Giải n �N ta có: * n 0 �xdx �xdx �xdx n Mà �xdx n n 1 �xdx ��1dx �2dx n n n 1 k 1 �ndx � k n3 n n �� k k 1 Nên n � � k Sn n3 k 1 Do (1) Mặt khác: n 1 1 n 1 n 1 n n n k 1 �xdx �xdx �xdx �xdx ��1dx �2dx �xdx n 1 n 1 Mà Nên n 1 �ndx � k 1 n �� k k 1 2� 1� � n �� � �� � k Sn � � � n � n � n3 k 1 � Hay � (2) 2� 1� � �� � � Sn � � 3 � � n � n3 � � � n �N * Từ (1) (2) Hay lim S n n �� �1 lim � n �� �n Vậy n � � k � k 1 � 36 n Bài 4: Tính giới hạn e x dx lim � x n �� 1 en Giải x t � dt dx n n Đặt Ta có: e x dx e nt I � x n � t dt 1 e 0 1 en et et � t � 1 e 1 t 1 n1 n� e dt �I n � n� e ntdt Với �t �1 ta có 1� n � n1 �I n � 1 e n � �1 e Hay �n 1� 1� n � 1 n1 lim � �1 e lim 1 e n x�� n x�� 2 � � Mà n x e dx lim � x n �� 1 en Vậy Bài (OLP Tốn SV 1999): Tính: n e x lim� x dx n�� 1 e n Giải n x e I n � x dx n e Đặt Thực phép đổi biến với x nt, dx ndt ta được: e nt I n n� t dt 1 e t t Mà t �0 nên e �1�e , suy ra: 1 ��� � 1 e t et e nt e nt 1 e t 1 n t e Áp dụng mệnh đề ta được; 1 n nt e nt n 1 n t e dt � n dt � � e dt � � t 20 20 1 e e nt n �I n � e(1 n)t 2(1 n) Hay n � 1 e n �I n � 1 e1 n 2(n 1) 37 � 1� � 1� n n 1 n ��I n � � � n1 � 2� e � 2� (n 1) (n 1)e � Tức � n � � � 1 lim� lim � � � n�� (n 1)en1 n�� en1 (n 1)en1 n�� en � � � � Mà limI n Do n�� L lim n e x lim� x dx n�� 1 e n Vậy � 1,e� Bài (OLP Toán SV 2002): Cho hàm số f (x) liên tục � �và cho dãy J n xác định sau: 1 n Jn n� f (xn )dx,(n 1,2,3, ) Tìm giới hạn dãy Giải n � 1� x � t , x � t 1 � � 1 2 n1 n n n � dt nx dx , t x � Đặt , n � 1� an � 1 � � n � 1�an �e, an Z e n Z � ta có: 1 n 1 n a n xf (xn ) n1 f (t) n Jn n� f (x )dx � n nx dx � t dx t x 1 n 1 �n t 1 x 1� 1�x �1 n n , nên ta suy ra: Lại có an f (t) �J n � dt t an an a e f (t) f (t) n f (t) f (t) n t dt � t dt � dt � dt ] 0 n Z � � � t t n� t n� t 1 1 n Như ta được: � an f (t) � lim�J n � dt � n��� � � t � an e f (t) f (t) limJ n lim � dt � dt n�� n�� t t 1 Hay e f (t) limJ n � dt n�� t Vậy 38 Phần KẾT LUẬN Với 42 trang A4 khóa luận trình bày kết sau: + Hệ thống lại lý thuyết dạng bất đẳng thức liên quan đến tích phân mà thường sử dụng việc giải tập + Phân chia, xếp dạng tập bất đẳng thức tích phân theo hệ thống như: Chứng minh bất đẳng thức tích phân thông qua việc đánh giá cận hàm số Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz để chứng minh bất đẳng thức tích phân Sử dụng mối liên hệ đạo hàm nguyên hàm để giải tốn bất đẳng thức tích phân Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân khác Sử dụng bất đẳng thức tích phân để chứng minh bất đẳng thức số học Sử dụng bất đẳng thức tích phân để tính giới hạn liên quan đến tích phân + Trình bày xác, chi tiết hóa lời giải dạng tập Mặc dù cố gắng việc phân loại, xếp, giải chi tiết dừng lại hiểu biết thân Có thể cịn nhiều dạng tập bất đẳng thức tích phân chưa trình bày chưa xếp phân loại khoa học, chi tiết Chúng mong tiếp tục có nghiên cứu sâu vấn đề 39 Phần PHỤ LỤC Bảng công thức nguyên hàm ( ax b) dx � dx (ax b) a 1 cos( ax b) dx sin( ax b) � a �1 1 cos(ax b) a tan(ax b)dx ln cos(ax b) � a cot(ax b)dx ln sin(ax b) � a ln ax b � ax b a sin(ax b)dx � dx eax b a m ax b dx m ax b � a ln m dx x arctan 2 � a x a a dx a x ln 2 � a x 2a a x dx 2 �x a ln( x x a ) dx x �a x2 arcsin a e � ax b dx 1 cot(ax b) (ax b) a dx tan(ax b) � cos (ax b) a � sin x x a2 x2 x arccos dx x arccos � a a x arccos a a2 a x x a a2 x2 arctan dx x arctan ln(a � a a a x2 a2 ln � a x x x2 a2 x2 ) x x a arc cot dx xarc cot ln(a x ) � a a dx � b� ln ax b dx �x � ln ax b x � � a� 2 �a x dx x arcsin dx x arcsin � a a dx � x x x a2 x2 a2 x arcsin 2 a a2 x2 a a2 x2 2 � x dx a x a ln x dx ln tan � sin(ax b) a dx � ax b ln tan � � sin( ax b) a �4 e ax sin bxdx � ax b � � � e ax (a sin bx b cos bx) a2 b2 dx ( x a)2 2x a eax ( a cos bx b sin bx) ax ln arctan e cos bxdx � � x a 6a x ax a a a b2 a �x ax a � dx ax ln arctan � 4 � 2 � � � x a x a2 4a �x ax a � 2a Phần TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quý Dy (2001), Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Thừa Hợp (2003), Giải tích, Tập 3, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Liêm (2002), Chuyên đề bất đẳng thức bất phương trình, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Xuân Liêm (2012), Giải Tích, Tập một, NXB Giáo dục [5] W.J Kaczkor M T Nowak (1998), Bài tập giải tích,Tập 40 [6] Jean – Marie Monier (1999), Giải tích 1, NXB Giáo dục [7] Trần Phương (2009), Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, NXB Tri thức [8] Vũ Tuấn (2011), Giáo trình giải tích tốn học, Tập 1, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội [9] Vũ Tiến Việt (2017), Tài liệu ơn tập Olympic tốn sinh viên, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội Tài liệu nguồn từ Internet Tuyển tập đề thi Olympic sinh viên toán quốc tế IMC (1994-2013) https://www.slideshare.net/truongnguyennhat399/tuyen-tap-imc-1994-2013 41 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG BẢO VỆ KHĨA LUẬN Khóa luận chỉnh sửa theo góp ý Hội đồng bảo vệ khóa luận GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN ThS Phạm Nguyễn Hồng Ngự SINH VIÊN THỰC HIỆN Nguyễn Đình Thành GIẢNG VIÊN CHẤM GIẢNG VIÊN CHẤM Th.S Nguyễn Thị Bích Lài Th.S Trần Ngọc Quốc XÁC NHẬN CỦA TRƯỞNG KHOA ... toán bất đẳng thức tích phân Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân khác Sử dụng bất đẳng thức tích phân để chứng minh bất đẳng thức số học Sử dụng bất đẳng thức tích phân. .. SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Có nhiều tập liên quan đến bất đẳng thức tích phân; khóa luận lựa chọn, xếp, phân loại dạng tập bất đẳng thức tích phân theo ý kiến chủ quan... tài: ? ?Bất đẳng thức tích phân? ?? làm đề tài khóa luận Mục tiêu đề tài Hệ thống lại số định lý, tính chất bất đẳng thức tích phân Giới thiệu số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân thường