Bat dang thuc tich phan

Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n Chứng minh : 12 4 dx sin2 x ln2 cot g dx x dx x6 2 x 1 x x dx x 1 x 18 dx x x x3 dx Bài giải : ⇒ 2 ⇒ x sinx 1⇒ sin2 x ⇒1 dx dx ⇒ 2 sin x 4 cot gx cot gx ⇒ ⇒ x x dx x 4 4 2⇒1 2sin2 x dx sin2 x ⇒ 3 2⇒ sin2 x sin2 x dx 4 cot gx dx x dx 3 cot gx dx 12 x Bài toán giải theo phương pháp đạo hàm x ⇒ x6 x2 ⇒ x2 x6 ⇒ x2 x6 ⇒ x2 1 1 ⇒1 ⇒ dx dx I 0 x6 x2 x6 1 Với I = ∫ dx Đặt x sint ; t ; ⇒ dx costdt 2 1- x2 1 1 x costdt 1 2 2 ⇒I dt Vậy dx 0 6 t sin t x x ⇒ x x ⇒ x2 x x x ⇒ x2 x x x 1 ⇒ ; ∀x 0,1 x 1 x x x2 ⇒ Dấu đẳng thức (1) xảy : VT(1) VG(1) x = ⇒x  VG(1) VP(1) x = Do : 1 dx x 1 Chú ý : dx x2 1 x x dx dx x ⇒ ln2 1 x x dx Xem tập http://www.toanthpt.net x6 Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t ⇒ x t 1⇒ x 3x I1 3 3x x 3x 2t dt t 1 x dx ; I ⇒0 x5 x x x t x x 2⇒ x2 x 2 x 4 x5 x4 x x x x x x3 x 3x Vậy x dx ⇒I x3 ⇒ x3 x4 ⇒ dt 1) dx x x3 x 3 x dx x t ⇒ I1 (bài tập 5) (tương tự) Vậy (1) ⇔ I x3 dx tg x dx cos x x x x x3 dx I2 sin x cos x dx sin x cos x , ∀t 12 0, ; : tg t e tg 3t tgt Bài giải : Ta có : (1 sin x)(1 cos4 x) ⇒ (1 sin x)(1 cos4 x) cos2 x sin2 x (1 sin4 x)(1 cos4 x) sin4 x cos4 x (1 sin4 x)(1 cos4 x) x 3 2( x dx x2 x 1 dx ; Đặ t x t2 ;( t 0) ⇒ dx 2tdt x 3t2 dt t Đặt u t3 ⇒ du 3t2 dt (t ) u 1,Chứng minh : 2.Nếu : I t x x x x x 3 x x x3 dx Kết : I ° I2 x5 x dx 1 x x ° I1 x2 x ⇒ 1 x ⇒ 2 x2 x2 x 1 dt (1 tg2t)dt cos2 t tg2 t 41 ⇒I dt tg2 t tgt ⇒ dx x 18 x ⇒ x2 dx x 2 Đặt x ⇒ ⇒ x2 x Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n sin4 x cos4 x (1 sin4 x)(1 cos4 x) 1 sin x cos4 x http://www.toanthpt.net 0 1 du u2 18 Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t ⇒ sin x.cos x (1 sin4 x)(1 cos4 x) ⇒ ° J1 Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n sin x.cos x sin4 x sin x.cos x sin x.cos x ⇒ cos x (1 sin4 x)(1 cos4 x) sin x.cos x sin x sin x 2 dx dx dx 4 0 (1 sin x)(1 cos x) sin x cos4 x sin x dx Đặ t t sin2 x ⇒ dt sin xdx sin4 x dt π (kế t quảI = bà i tậ p 5) J1 t t 4 sin x ° J2 dx Đặ t u cos2 x ⇒ du sin xdx cos4 x x du π (kế t quảI = tập 5) ⇒ J2 u u 4 sin x.cos x sin x.cos x ⇒ dx ( I J) Vậy dx (1 sin4 x)(1 cos4 x) (1 sin4 x)(1 cos4 x) dt Đặt t tgx ⇒ dt (1 tg2 x) dx ⇒ dx t2 x sin x sin x sin x cos4 x 12 tgt tgt t tgt t 4dt tgt  dt   t -1  tgt - I =∫ t 1- t 1+ t = ∫0 1- t = ∫0  -t - 1+ 1- t dt =  - t - t - ln t +  = - tg t - tgt - ln tgt + 1+ t Vì 1 tgt - I nên : - tg3 t - tgt - ln >0 ( t) tgt + 1 tgt ⇔ ln tgt 1 ln tg t tg t tgt ⇒ tg t x2 Chứng minh : I n = 2( n 1) x+1 e tg3t 3tgt lim I ndx n n 1 J dx lim Jndx = 0 n n→+∞ n Jn = xn (1+ e-x ) Chứng minh : I ndx Bài giải : ⇒ x 1⇒ xn n 1 x 2⇒ xn dx x 1 x 1 xn 1 ⇒ n 10 n +1 ; xn xn x xn dx x 1 xn ⇒ n http://www.toanthpt.net xndx xn dx x 1 xndx Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t lim n Ta có : lim n n x n Chứng minh rằ ng : e0 dx xn x 1⇒1 e x n 0 x dx ⇒ cosx(4 xn n cosx)(2 cosx 2)dx lnx(9 lnx lnx)dx 8(e 1) sinx(1 sinx)(5 3 sinx)dx 4 tgx(7 tgx)dx 49 64 243 6250 sin4 x.cos6 xdx xn e x n x n hay x n e x dx ⇒ lim xn e x dx xn e x ⇒ xn 2 - e x x e n ⇒ lim n Ta có : lim n 1⇒ x ⇒0 n Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n Bài giải : Đặt f(x) = cosx(4- cosx)(2 cosx + 2) cauchy cosx f(x) ⇒ − f(x)dx e − ln x(9 ln x f ( x) dx ln x e 1 Đẳng thức dx ⇒ ln x) ln x(9 sinx f(x)dx cosx)(2 cosx 2)dx ln x(3 ln x )(3 ln x ) ln x ln x) dx 8( e 1) sinx sinx 8 4 Đặt f(x) cosx( 3 ln x e sin x(1 sin x)(5 sin x ) sinx f(x) cosx 2 3 Đặt f ( x) dx ⇒ − ln x f ( x) cosx 2 Đặt f ( x) ⇒ tgx( tgx) sinx sinx ; f(x) sinx sinx dx sinx x sinx(1 sinx)(5 sinx)dx 4 tgx( tgx) 4 http://www.toanthpt.net 3 Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n  tgx + − tgx  49 f ( x) ≤   =  4 16  ∏ ∏ 49 ∏ 4 ⇒ ∫ f (x ) dx dx ⇒ ∫0 tgx − tgx dx 16 ∫0 ( ) 49 ∏ 16 sin x.cos x = (1 − cos x).(1 − cos x).cos x cos x cos x = (2 − cos x)(1 − cos x).cos x.cos x.cos x  − cos x + − cos x + cos x + cos x + cos x  ≤   2  ∏ 243 243 ∏ ⇒ sin x.cos x ≤ ⇒ ∫ sin x.cos xdx ≤ 6250 6250 Chứng minh : ∫ ∏ −∏ ∫ e − ( ( ) cos x + 3sin x + sin x + 3cos x dx ) (e − 1) + ln x + − ln x dx ∏ ∫ cos x + sin x dx x2 + 5∏ ∏ Bài giải : Đặt f ( x ) = cos x + 3sin x + sin x + 3cos x (cos x + 3sin x + 3cos x + sin x ) ⇒ f (x ) f 2(x ) ∏ ⇒ ∫ ∏2 f (x ) dx − ∏ ∏ − − 2 ∫ ∏2 dx ⇒ ∫ ∏2 3 ( 2 ) cos x + 3sin x + sin x + 3cos x dx Đặt f(x ) = + ln x + − ln x f (x )2 ≤ (3 + ln x + − ln x ) ⇒ f (x ) ≤ e e e ⇒ ∫ f (x ) dx ∫ dx ⇒ ∫ + ln x + − ln x dx ≤ (e − 1) 1 ) ( 3 cos x + sin x ≤ ( 3) + 1 (cos x + sin x ) ⇒ cos x + sin x x +4 ≤ 2 ⇒ ∫0 x2 + cos x + sin x x +4 ≤ 2∫ dx x +4 http://www.toanthpt.net 5∏ Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n Đặt x = 2tgt ⇒ dx = (1 + tg t ) dt x t ⇒∫ ∏ ⇒∫ cos x + sin x x +4 2 ∏ (1 + tg 2t ) dx ∏4 ∏ =∫ dt = dt = ∫ 0 x +4 (1 + tg t ) ∏ ∏ ⇒− 4 dx ∫ cos x + sin x dx x2 + ∏ ĐÁNH GIÁ TÍCH PHÂN DỰA VÀO TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN Chứng minh : ∏ 1.∫ 2.∫ sin xdx ≤ ∫ 2 2∫ sin xdx ∏ sin x sin x dx > ∫∏ dx x x ∫ sin xdx ∫ (ln x) dx < ∫ ln xdx ∏ ∏ cos xdx ∏ 3.∫ ∏ 2 x −1 2x − dx < ∫ dx x x +1 ∫ ∏ sin xdx < ∫ Bài giải : x 0; sin x cos x ∏ sin2x 2cos x 2sin x.cos x ∏ sin2xdx 2cos x cos xdx http://www.toanthpt.net ∏ cos xdx Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t x 0; cos x sin2x 2sin2x.cos x sin x ∏ 2sin x ∏ sin2xdx x Đặt x ∏ x -u x Vì : sin x ∏ sin x dx ∏ x x x sin x x sin x x ∏ sin x dx ∏ x sin x dx x sin xdx x2 x x( x 1) dx -du ∏ 0 dx ∏ ∏ u x -1 2x x x 2x 2x dx 1 x x 2x x 2sin x 1;2 Xét hiệu : x x Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n ∏ sin( u) u x x ∏ sin x dx x ∏ ∏ ∏ ( du) 2 sin x dx x sin x dx x Hàm số y = f(x) = lnx liên tục [1,2] nê n y = g(x) = (lnx)2 cũ ng liê n tục trê n [1,2] x ⇒ ln x ln2 1(* ) ⇒ (ln x)2 ln x ∀x 1,2 ⇒ 2 (ln x)2 dx ln xdx Chú ý : dấu đẳng thức (*) xảy x0 = [1,2] ⇔ sin x x ∏ ⇒0 cos x ⇔ tgx ∏ tg ∏ 1⇔ ∏ sin xdx sin x cos x cos xdx Chứng minh : http://www.toanthpt.net Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t x2 dx 1 x.sin x dx ln2 x.sin x e x sin x ∏ < dx 12e x 1 1 2 Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n dx x 263 1 x 25 26 dx 10 x ∏ ∏ dx x2 x3 Bài Giả i: ≤ x ≤ ⇒ ≤ x2 ≤ ⇒ ≤ x2 + ≤ ⇒ 1 0 ⇒ 2∫ dx ≤ ∫ 1 0 x2 + dx ≤ ∫ dx ⇒ ≤ ∫ x2 + ≤ x2 + dx ≤ ≤ x ≤ ⇒ ≤ x8 ≤ ⇒ ≤ x8 + ≤ ⇒ ≤ x8 + ≤ ⇒ ⇒ 1 0 ∫ dx ≤ ∫ ⇒ 3 x10 + 1 ∫ 1⇔ x +1 10 x25 dx ≤ ≤1 x8 + 1 dx dx ≤ ∫ dx ⇒ ≤∫ ≤1 x8 + x8 + ≤ x ≤ ⇒ ⇒ ∫ x 2⇒1 x 3 25 25 x10 + dx Trước hết ta chứng minh : x x10 + x +1 ∫ 25 10 x25 x25 dx ⇒ x sin x + x sin x 26 ∫ x ;(1) ∀x 1+ x Giả sử ta có : (1) 1 (1) ⇔ 1 ; ∀x 0.1 ⇔ x sin x x x sin x ⇔ x x.sin x ⇔ x(1 sin x) ∀x dx x10 + 1 26 [0,1] 1 x 0,1 x sin x x dx dx x x sin x x x.sin x ⇔ dx x ln x x sin x x.sin x ⇒ dx ln2 x.sin x (1) ⇔ Vậy (1) đẳng thức , đó: x25 1 http://www.toanthpt.net 1 1 1 ln2 x dx Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n 1  < e− x = x e − x sin x  x 1,  ⊂ (0, ∏ ) ⇒  ⇒ < < e e 2 x +1 e ( x + 1) 0 < sin x < e − x sin x dx dx ⇒0 ∫ 1 + x2 Mặt khác : + x > ⇒ Vậy : 0,88 < ∫ 1 + x4 1+ x dx = ln x + + x 1+ x + x2 ( ) = ln + > 0,88 + x4 dx < dx < Chú ý : học sinh tự chứng minh ∫ a +x 2 dx = ln x + x + a + C phương pháp tích phân phần Cách : 10 http://www.toanthpt.net Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t ⇒ ∫ esin x dx > ∫ (1 + sin x )dx = ∏ + ∫ ∏ ∏ ∏ ∏ 0 Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n − cos x dx 3∏ ⇒ ∫ esin x dx > Chứng minh : 2 x 1 dx ∫ x +1 ∫ ∏ ∏ ∏ 3 sin x dx x ∫ ∏ ∏ 3 cot gx dx ∏ ∫ 12 x 1 < ∫ dx < + x − x2 dx cos x + cos x + 2∏ 3 < ∫ −1 ( Bài giải : Xé t : f(x ) = x x +1 ;x [1, 2] có f '(x) = ⇒ hàm số nghòch biến ∀x [1, 2] ⇒ ⇒ ∫ ⇒ x 2 ⇒ ∫ dx x +1 x ∫1 x + 2 f (2 ) x dx x +1 − x2 (1 + x2 ) f(x ) ; ∀x [1, 2] f(1) dx ∫1 x.cos x − sin x ∏ ∏ '  ;  ⇒ f (x ) = x2 ∏ ∏ Đặt Z = x.cos x − sin x ⇒ Z ' = − x x < ; ∀x  ;  6 3 Xét f (x ) = sin x ; ∀x x ∏ ∏  ;  và: ∏ −3 ∏ ∏  Z∏ = < ; ∀x  ;  ( 3) 6 3 ⇒ Z đồng biến ∀x Z ⇒ f '(x ) < ; ∀x x f’(x) -∞ ∏ ∏  ;  ∏ ∏ ) + x + − x dx < +∞ − 19 http://www.toanthpt.net Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t ∏ f(x) 3 ⇒ 3 2∏ hay : ⇒ 2∏ ∏ f( X ) 3 2∏ Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n sin x x 3 ∏3 dx ∏ ∫∏ ∏ ∫ ∏ ∏ ∏3 dx ⇒ ∏ ∫ ∏ sin x dx x ∫ ∏ ∏ sin x dx x [0, ∏ ] ⇒ t [−1,1] [−1,1] Đặt t = cos x ; x f(t ) = t + t + 1; t +∞ f '(t ) = 2t + 1; f '(t ) = ⇔ t = − −1 - ∞ -1 t − f’(t) f(t) 3 ⇒ ⇒ hay ⇒ ⇒ + [−1,1] ; ∀t f(t ) cos x + cos x + cos x + cos x + ∏ dx ∫0 ∏ 3 ∫ ∏ ∫ [0, ∏] ; ∀x dx cos x + cos x + ∏ dx ⇒ cos x + cos x + 2 ∏ dx ∫0 2∏ 3 cos x + cos x + Chú ý : thực chất bất đẳng thức phải : ∏ ∏ 2∏ , t > ⇒ f (t ) đồng biến ∀t > f(t ) f(0 ) = > 200 200 2 ⇒ f(t ) , t > ⇒ e− x ≤ ⇒ ∫ e− x dx ≤ ∫ dx 100 100 x x ⇒∫ 200 100 e- x dx < 0, 005 Trước hết ta chứng minh : − x e −1 x 1 − + ; (1) ∀x > x 2x ;x > 0⇒t < x (1) ⇔ + t et + t + t ; (2 ) t < Đặt t = − Xét hàm số f (t ) = et − t − ; h(t ) = et − − t − t ; t < ' t ° f (t ) = e − t -∞ +∞ 23 http://www.toanthpt.net Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t f’(t) f(t) Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n − +∞ ⇒ f (t ) > ; ∀τ < hay et − − t > ; ∀t < ; ∀t < (3) ⇒ + t < et •h'(t ) = et − − t x -∞ +∞ h't ht + ⇒ h(t ) < ; ∀t < > ; ∀t < (4 ) Từ (3) (4) suy : 1 + t et + t + t ; ∀t < 1 1 − hay − e x 1− + ; x > x x 2x 100  100 100  1 1  −1 ⇒ ∫ 1 − dx ∫ e x dx ∫ 1 − + dx 10 10 10  x  x 2x  100 90 − ln10 ≤ ∫ e x dx < 90 + + ln10 10 200 * Là toán khó , hi vọng em tìm điều thú vò toán – chúc thành công hay et < + t + Xét f (x ) = Đặt t= − 2tg x cos x = + tg x cos x ;x ;x  ∏ 0,   ∏ x 0,   3 ⇒t [1; 4] 24 http://www.toanthpt.net Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t ⇒ f (t ) = t + 4t − ⇒ f '(t ) = 4t + > ; ∀t ⇒ f (1) ⇒ 3∫ dt ∫ ∫ ⇒9 f (4) ⇒ f (t ) ∏ f (t ) [1, 4] 30 f(t )dt ≤ 30 ∫ dt   − 2tg x dx   cos  90 Xét hàm số f (x ) = e x − − x ; ∀x 0, + ∞ ) + x ; ∀x 0 ⇒ f(x ) đồng biến ∀x có f '(x ) = e x − > , ∀x ⇒ f(x ) Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n f (0) = ⇒ e − − x 0⇒e x x ; ∀x + x2 1 1 1  ⇒ ∫ e 1+ x dx ∫ 1 + dx = + ∫ dx (*)  0 + x2  1+ x  Đặt x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt ⇒e 1+ x 1+ (1 + tg t ) dt ∏ ⇒∫ dx = ∫ = + x2 + tg t  x = t = ⇒ ∏   x = t = Từ (*) suy : ∫ e 1 x +1 dx 1+ 2< x ∏  ∏ ; x  0,   2 Trước hết ta chứng minh : x Xét hàm số f (x ) = tg x x − sin x f '(x ) = 2 x cos x ∏ tg x  ∏ ; x  0,   2  ∏ Đặt Z = x − sin x ⇒ Z ' = − cos x > , ∀x  0,   2  ∏ ⇒ Z > Z (0) = ⇒ f '(x ) > , ∀x  0,   2 ∏ x -∞ +∞ f’(x) + f(x) ∏ −∞ 25 http://www.toanthpt.net Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n tg x 2< ⇒ f(x ) < ⇒ ∏ x ∏ ∏ tg x ∏ ∏ tg x dx < 2 dx ⇒ ⇒∫ ∫0 ∏ ∫0 x dx < x Chứng minh : ∏ ∏ 2001 ∏ 2001 ∫ x1999 e2 x dx > + 2001 2002 ) ( ( ∫ ∏ xtg n xdx ) ln + + −1 2 ∫ x ln x + + x dx ∏   n+2  n+2 Bài giải : Trước hết ta chứng minh : e x > ( x + x ) ; ∀x > Xét hàm số: f (x ) = e x − ( x + x ) ; ∀x > ; f ' '(x ) = 4.e x − > ; ∀x > f '(x ) = 2.e x − x − ⇒ f '(x ) hàm tăng ; ∀x > ⇒ f '(x ) > f(0) = ⇒ f(x ) hàm tăng ; ∀x > ⇒ f(x ) > f (0) ⇒ e2 x > ( x + x ) ⇒ x1999 e2 x > 2.x1999 ( x + x ) ∏ ∏ 1999 x x e dx > ∫ x1999 ( x + x ) dx ∫ 0 ∏ ∏ 2001 ∏ 2001 ⇒ ∫ x1999 e x dx > + 2001 2002 ⇒ ( Trước hết ta chứng minh : + x ln x + + x Xét hàm số : ( ) + x ; ∀x R ) f (x ) = + x ln x + + x − + x ( ) f '(x ) = ln x + + x ⇒ f '(x ) = ⇔ x + + x = 1 − x ≥ ⇔ ⇔ x =0 1 + x = (1 − x ) 26 http://www.toanthpt.net Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n ) ( f '(x ) < ⇔ ln x + + x < ⇔ x < x -∞ +∞ f’(x) - + f(x) ⇒ f(x ) f (0) = ; ∀x ( ⇒ + x ln x + + x ( ⇒ x ln x + + x ( ) ⇒ ∫ x ln x + + x R ) + x2 + x2 −1 )dx ∫ ( ) ( ⇒ ∫ x ln x + + x dx ) ) ( ( ) ln + + −1 2  ∏ Đặt f(x ) = tgx − x ; ∀x ∈ 0,   4  ∏ f '( x ) = − = tg x > ; ∀x ∈  0,  cos x  4  ∏ ⇒ f(x ) đồng biến 0,  ⇒ f (x ) f (0 ) =  4  ∏ ⇒ tgx x ; ∀x ∈ 0,  ⇒ tg n x x n  4 x n +1 ⇒ ∫ ⇒ xtg n x ⇒∫ ∏ ∏ xtg n xdx xtg n xdx ∏   n+2  ∫ ∏ x n +1dx n+2 Giả sử f(x) có đạo hàm liên tục [0,1] f(1) – f(0) = ( ) Chứng minh : ∫ f '(x ) dx 1 ( ) ; ∀x ∈ [0,1] ⇒ ∫ ( f ( ) ) dx − ∫ f ( )dx + ∫ dx ⇔ ∫ ( f ( ) ) dx −  f ( ) − f ( )  + ⇔ ∫ ( f ( ) ) dx − + ⇒ ∫ ( f ( ) ) dx Ta có : ∫ f '(x ) − dx 1 ' x 0 ' x ' x 1 1  + x − dx =  x x + + ln x + + x − x  2 0 1 0 ' x ' x 27 http://www.toanthpt.net Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n Cho f hàm liên tục [0;1] đồ ng thờ i thoảmã n 1 f(x ) ; ; ∀x ∈ [0,1] (a )    ∫0 f(x )dx = (b )  1 Chứng minh dx < ∫ f (x ) Theo BĐT Bunhiacosky   1 ∫ 1.dx =  ∫ f (x ) dx   f (x )    1 dx dx = ∫ ⇒∫ (1) 0 f (x ) f (x ) ( ) 2 ∫ f(x )dx ∫ dx f (x ) Dấu “=” không xảy : f (x ) = k ⇔ f(x ) = k = f(x ) ∫ f (x ).dx = Từ (a) : (  − f (x ) ; ∀x ∈ [0,1]   f(x ) − f(x ) ⇔ − f (x ) f(x ) − + )( f( ) − 1) x f(x ) ⇔ f 2(x ) − f (x ) + (2 ) Đặt t = f(x ) ⇒ ≤ t ≤ (2) ⇔ t − − t f’(t) f(t) − 2 = f(t ) t + 2 −3 28 http://www.toanthpt.net Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t ⇒ ∫ f (x )dx − 3∫ dx + ∫ 1 0 ⇒ 2∫ Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n dx sin x Chứng minh : 30 http://www.toanthpt.net Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t ( ∏ ∫ o ) + cos x + − cos x dx < ∫ 3cos x + 4sin x dx x2 + ∏ 3.∫∏ ∫ ∏ (3 − 2 2∏ 5∏ 12 )( ) 9∏ 27 ∏ sin x sin x + sin x + dx ( )( ) tgx + tgx − tgx dx Chuyê n ĐềBấ t Đẳ ng Thứ c Tích Phâ n 25 ∏ 48 ∏ 125 ∏ ∫ cos x (2sin x + 3) dx < 54 ∏ 5.∫ sin x (2 + 3cos x )dx < ∏ ∫ ∏ − ∫ ∏ ∏ 10 ∫ 3∏ 27 ∏ sin x + sin x − sin x dx 9∏ − sin x + sin x + sin x dx )( ( ∏ )( ) )( ) (2sin x + tgx ) dx > ∫ (e 11 −x + x − 1) dx e− x dx x2 + 2 12 ) − cos x + − 2sin x dx ( ∫∏ ( ∫ e −1 + 24 Chứng minh : 2∏ 13 ∏ 14 2∏ ∫0 10 + 3cos x dx ∏ ∏ ∫0 + 3cos2 x 2∏ 18 cos x + x4 ∫ dx < 0,1 0 1 0 ∫ x sin xdx < ∫ x sin xdx 2 ∫ e x dx > ∫ e x dx (a 12 1 R) x sin a + a + cos a dx x +1 1− x ∏ ∏ ∫ xdx ∫ 11 − −1 x dx x2 dx e ∏ dx sin x + cos x 1 ∏ 16.∫ dx < x + x+2 15 ∏ ∫ 31 http://www.toanthpt.net 2∏ Ts Nguyễn Phú Khánh - Ðà L?t x cos α − x + cos α ∫ dx −1 x − x cos α + 1 17 (0, ∏ ) α ∫ ∏ 9.∫ ∏ −∏ ∏ 10 ∫0 ∫ ∏ sin xdx ) ) 2 2 cos x + sin x + sin x + cos x dx 2 2 cos x + sin x + sin x + cos x dx ( )dx < 274 ( ) < ∫ x − x dx < ∫ ( 11 54 ∫ ∏ − −7 ( 5∏ ∏ ∫ ) 11 − x + + x dx ∫ 1 sin x − ∫ 10 0, 65 11 108   + 3cos x dx   3cos x + cos x  49 − sin x − sin x dx x +1 + x − x2 −2 ∫ sin x 0,9 dx 1 ) x3 dx ∫3 x − 4x + ∫ 2∏ 27 cos x dx < x 2∏ ∫ 32 x e x dx −2 31 − 8e−2 ( ) ∫−1 − x − x + 20 x + dx ∫ − x3 + x − 2dx −1 e2 0