Chứng minh rằng :
3 4 4
3 4 1
2
6 0
1
π π
π π
−−−−
ππππ
−−−−
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
1 0 2
1
4
1 x x 1
x
ππππ
<< <<
++++
ππππ + +
++ ++ ++
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
1 0 1 0
Bài giải :
2
−−−−
−−−−
3
4
cotgx 1
x
dx
π
π
ππππ ππππ
∫∫∫∫
1 3
3
⇒
Bài toán này có thể giải theo phương pháp đạo hàm
1
2
Với 1
2 0
1
1- x
2 2
π π
= − =
∈
2
1
6
ππππ
ππππ ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ −−−− ∫ ∫ ∫ ∫ Vậy 1
6 0
ππππ
−−−−
∫∫∫∫
4 0 x 1 ⇒x x 1 ⇒x x x x ⇒1 x++++ 1 x x 1 x++++ ++++
(((( )))) [[[[ ]]]]
2
x 1++++ 1 x x++++ 1 x++++
Dấu đẳng thức trong (1) xảy ra khi :
x = 0
x = 1
x
∈
ππππ
Chú ý : 1 2
0
1 dx
ππππ
====
++++
∫∫∫∫ Xem bài tập 5
Trang 22 2 2 2 2 2
====
⇒
cos t
2
⇒
π ++++ π ππππ ππππ
ππππ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 ++++ 2 ∫ ∫ ∫ ∫ 4
2
tg t
+ +
∫∫∫∫01 2
1
2dx8
(((( ))))
0
1
++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++
°
0
⇒
0
====
⇒
1
t
2
3
u
ππππ
++++
∫∫∫∫1
2
u Kết quả : ==== ππππ
4
I (bài tập 5)
ππππ
++++
∫∫∫∫1
°
3 9 3
x
I
x (tương tự) Vậy ( )
++ ++ ++
∫∫∫∫1
1
3
1
0
dx
1,Chứng minh rằng :
2
∫∫∫∫ sinsin cosx cosx
dx
2.Nếu : (((( )))) ==== >>>>
cos 2 ∀ ∈ 4
t
tg x
x
3 3
4
+
+ >
+ >
+ >
+ >
tg t tgt
tg t ππππ e
Bài giải :
( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x)
====
Trang 3sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin
⇒
sin
π
π
++++
∫∫∫∫
∫∫∫∫
2
2
0
2
2
x
x
++++
∫∫∫∫1
J
4
π bài tập 5) sin
Đặt cos sin cos
π
++++
2
x
x
++++
∫∫∫∫1
1
J
4
π bài tập 5)
π
++++
∫∫∫∫ 2
0
1
∫∫∫∫2
dx
2 Đặt ==== = += += += +( ) ====
++++
2
2
1
1
t
4
0 2
1 + t
Vì
( ) >>>> 0
It nên : - tg t - tgt - ln13 3 12 tgt +1tgt -1 > 0
− ==== ++++π >>>> ++++ ++++π>>>>
++++
2 3
tgt
2
1 I =
x +1 Chứng minh : ( ++++ )≤≤≤≤∫∫∫∫01 ≤≤≤≤ ++++
→+∞ ==== 0
n I dxn
n
2 J = x 1+ e Chứng minh : J dxn
n
<<<<
++++
∫∫∫∫0
0
1
nlim J dx 0n
Bài giải :
++++
x++++ ∫ ∫ ∫ ∫01 ∫ ∫ ∫ ∫01x++++ ∫ ∫ ∫ ∫01
1
n
+
+
0 0
1
1
Trang 4Ta có : (((( ))))
1
0
0 1 1
0 1
→∞
→∞
→∞
====
++++
++++
====
+
++
n n
n n
lim
n
lim x lim
n
x
0
1
1
1
2
1
−
−−
−
++++
x
n
1
−
→∞ ==== →∞ ++++ ====
++++
n
Chứng minh rằng :
2
2
4
2 1 0
0
-1 cos x(4 3 cos x)(2 cos x 2)dx 8 2 ln x(9 3 ln x 2 ln x)dx 8(e 1)
3 sin x(1 2 sin x)(5 3 sin x)dx 4 tgx(7 4 tgx)dx
243
5 sin x cos xdx
6250
π
π
π
π
π
≤
∫
Bài giải :
Đặt f(x) = cosx(4 - 3 cosx)(2 cosx + 2)
f(x)
3
3
cauchy
2 Đặt ( )f x = ln (x 9 3− lnx−2ln )x = ln (x 3+ ln )(x 3 2− ln )x
( )
3
3
f x
3 Đặt ( )f x = sin (x 1 2+ sin )(x 5 3− sin )x ; f(x) sin x sin x sin x
3
3
= += += += + = −= −= −= −
2
3
π
4 Đặt f(x) tgx(7 4 tgx) 1 tgx(4 7 4 tgx)
4
Trang 5( ) ( )
2
( )
7 4
x
f x
∏
0
5
5 sin cos (1 cos ).(1 cos ).cos cos cos
1 (2 2 cos )(1 cos ).cos cos cos 2
∏
∏
∫
Chứng minh rằng :
2
3
3
−
∏
∏
∏
1
2.∫e 3+2 ln x+ 5−2 ln x dx4 e−1
2
3 cos sin
3
dx x
−
+
∫
Bài giải :
( )x 1 cos 3sin 1 sin 3cos
2
3
x
∏
∏
1 3 2 ln 1 5 2 ln
x
x
e
2
Trang 6Đặt ( 2 )
x= tgt⇒dx= +tg t dt
2
2
2 1
0
4
tg t
t
ĐÁNH GIÁ TÍCH PHÂN DỰA VÀO TẬP GIÁ TRỊ
CỦA HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN Chứng minh rằng :
4 4
3
1
∏
∏
≤
<
+
2
2
0
2
4
∏
∏
∏
>
<
<
Bài giải :
4
x
x
∏
Trang 7∏ ∏
0 sin 2
x
x
∏
[ ]
3.∀ ∈x 1;2 Xét hiệu : -1 2 1 2 1 0
4 Đặt x= ∏-u ⇒dx=-du
∏
∏
∏
∏
2
2
0 2
2
u
∏−
∏
< < ⇒ < < ∏− ⇒ <
∏−
∏
0
∏
∏
∏
2
2
0
5 Hàm số y = f(x) = lnx liên tục trên [1,2] nên y = g(x) = (lnx)2 cũng liên tục trên [1,2]
[ ]
2 2
<
∈
Chú ý : dấu đẳng thức (*) xảy ra tại x0 = 1⊂⊂⊂ [1,2]
0
0
sin
x
x
Chứng minh rằng :
2
x
1
0
1
0
1
8 25
3
26
dx
dx x
x dx x
+ + +
∫
∫
∫
<
2 8
∏
1 0
2 1
0
1
3
.sin
1 sin
.sin 5
12 1
6
x
dx
dx
e x
dx
−
− +
+
∫
∫
∫
0
Trang 8
Bài Giải:
+
8
8
1
x
x
3
25
26
x
4 Trước hết ta chứng minh : sin ;(1) [ ]0,1
x
Giả sử ta có : (1)
[ ]
⇔1+x 1+x.sinx⇔ x(1 sin ) 0− x
⇔
⇔
⇒
0 0
1 0
1 sin
dx
= −
+
− +
∫
∫
x
x
x
x
x
−
< =
< <
∈
2
1
cos
t
Trang 9( )
2
3 2
4
1
4
tg t x
tg t t
∏
4
1
3 sin
0
12 1
x
dx
e x
+
∫
⇒
Đặt x=2 sint⇒dx=2 costdt
6
6
Đặt x= 2 sint ⇒dx= 2 costdt
0
4
x
4
0
4 2 2 sin
tdt J
t
∏
−
∫
1
2
dx
∫
Chứng minh rằng :
2 2
1
0
sin
2
0
1
2
x
x
e
e dx
e
−
∏
−
∫
∫
0 1
4 0
1
1
x dx
dx x
∏
+
∫
∫
Bài giải :
Trang 10( )
( )
2
2 2
2 0
1
x
x
e
e
−
2
°
°x
Từ (1) và (2) suy ra 2
:e−x e−x 1
1
1
e
2
x
⇒
4 Cách 1:
( )0,1
x
1 2
4 0
1
1
dx x
+
∫
1
ln
+
phần
Cách 2 :
1
dx I
4
⇒ < ⇒ 1+ < +
∈
Với : 1
2 0
1 1
x
=
+
∫
1
x=tgt⇒dx= dt= +tg t dt
Trang 11( )
4
2
2
0
1
cos
4 cos
1 sin
tg t x
t
t
t
∏
+
=
−
∫
0
t
u
∏
1 2
2
1 2
0
ln
u
2
+
4
x
1 0
+
Mặt khác 4
4
1
1
x
x
+ > ⇒ <
+
( )
4
1
1
x
+
Từ (1) và (2) suy ra : 1
4 0
1
1
dx x
+
∫
Chứng minh rằng :
4
2 0
1
0
3
2
1
1 0
32 cos
1
.sin
3
x
x tgx dx
nx
dx
x
dx
∏
−
∏
+
∏
<
+
∫
∫
∫
200
100
3 2 1
1
cos 4
5
200
x
x n
dx
x dx x
dx
∏
∏
−
∏
<
+
∏
∫
∫
∫
Bài giải :
4
Xét : 0
4 x
< < < <
0 0
4
tgx
x tgx x x
I x tgx dx αx tgx dx βx tgx dx x tgx dx
< <
⇒ <
∏
< <