1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Bất đẳng thức tích phân- Nguyễn Phú Khánh ĐH Đà Lạt - 1 ppsx

11 460 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 11
Dung lượng 245,11 KB

Nội dung

Trang 1

Chứng minh rằng :

3 4 4

3 4 1

2

6 0

1

π π

π π

−−−−

ππππ

−−−−

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

1 0 2

1

4

1 x x 1

x

ππππ

<< <<

++++

ππππ + +

++ ++ ++

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

1 0 1 0



Bài giải :

2

−−−−

−−−−

3

4

cotgx 1

x

dx

π

π







 ππππ ππππ



∫∫∫∫

1 3

3

Bài toán này có thể giải theo phương pháp đạo hàm

1

2

Với 1

2 0

1

1- x

2 2

π π

 

= −  =

 

∈ 

2

1

6

ππππ

ππππ ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ −−−− ∫ ∫ ∫ ∫ Vậy 1

6 0

ππππ

−−−−

∫∫∫∫

4 0 x 1   ⇒x x 1 ⇒x x x x ⇒1 x++++ 1 x x 1 x++++  ++++

(((( )))) [[[[ ]]]]

2

x 1++++ 1 x x++++ 1 x++++

Dấu đẳng thức trong (1) xảy ra khi :

x = 0

x = 1

x





ππππ

Chú ý : 1 2

0

1 dx

ππππ

====

++++

∫∫∫∫ Xem bài tập 5

Trang 2

2 2 2 2 2 2

====



cos t

2

π ++++ π ππππ ππππ

ππππ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 ++++ 2 ∫ ∫ ∫ ∫ 4

2

tg t

+ +

∫∫∫∫01 2

1

2dx8

(((( ))))

0

1

 ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++





°

0

0

====

1

t

2

3

u

ππππ

++++

∫∫∫∫1

2

u Kết quả : ==== ππππ

4

I (bài tập 5)

ππππ

++++

∫∫∫∫1

°

3 9 3

x

I

x (tương tự) Vậy ( )

++ ++ ++

∫∫∫∫1

1

3

1

0

dx

1,Chứng minh rằng :

2

∫∫∫∫ sinsin cosx cosx 

dx

2.Nếu : (((( )))) ==== >>>>  

 

cos 2 ∀ ∈ 4

t

tg x

x

3 3

4

+

 + >

+ >

+ >

+ >

tg t tgt

tg t ππππ e

Bài giải :

( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x)

====

Trang 3

sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin





sin

π

π





++++

∫∫∫∫

∫∫∫∫

2

2

0

2

2

x

x

++++

∫∫∫∫1

J

4

π bài tập 5) sin

Đặt cos sin cos

π

++++

2

x

x

++++

∫∫∫∫1

1

J

4

π bài tập 5)

π

++++

∫∫∫∫ 2

0

1

∫∫∫∫2

dx

2 Đặt ==== = += += += +( ) ====

++++

2

2

1

1

t

4

0 2

1 + t

( ) >>>> 0

It nên : - tg t - tgt - ln13 3 12 tgt +1tgt -1 > 0

− ====  ++++π >>>> ++++  ++++π>>>>

++++    

2 3

tgt

2

1 I =

x +1 Chứng minh : ( ++++ )≤≤≤≤∫∫∫∫01 ≤≤≤≤ ++++

→+∞ ==== 0

n I dxn

n

2 J = x 1+ e Chứng minh : J dxn

n

<<<<

++++

∫∫∫∫0

0

1

nlim J dx 0n

Bài giải :

++++

x++++ ∫ ∫ ∫ ∫01 ∫ ∫ ∫ ∫01x++++ ∫ ∫ ∫ ∫01

1

n

+

+

0 0

1

1

Trang 4

Ta có : (((( ))))

1

0

0 1 1

0 1

→∞

→∞

→∞



====

 ++++



++++

 ====

 +

 ++

n n

n n

lim

n

lim x lim

n

x

0

1

1

1

2

1

−−

++++

x

n

1

→∞ ==== →∞ ++++ ====

++++

n

Chứng minh rằng :

2

2

4

2 1 0

0

-1 cos x(4 3 cos x)(2 cos x 2)dx 8 2 ln x(9 3 ln x 2 ln x)dx 8(e 1)

3 sin x(1 2 sin x)(5 3 sin x)dx 4 tgx(7 4 tgx)dx

243

5 sin x cos xdx

6250

π

π

π

π

π

Bài giải :

Đặt f(x) = cosx(4 - 3 cosx)(2 cosx + 2)

f(x)

3

3

cauchy



2 Đặt ( )f x = ln (x 9 3− lnx−2ln )x = ln (x 3+ ln )(x 3 2− ln )x

( )

3

3



f x

3 Đặt ( )f x = sin (x 1 2+ sin )(x 5 3− sin )x ; f(x) sin x sin x sin x

3

3

 = += += += +  = −= −= −= −

2

3

π

4 Đặt f(x) tgx(7 4 tgx) 1 tgx(4 7 4 tgx)

4

Trang 5

( ) ( )

2

( )

7 4

x

f x

0

5

5 sin cos (1 cos ).(1 cos ).cos cos cos

1 (2 2 cos )(1 cos ).cos cos cos 2

Chứng minh rằng :

2

3

3

1

2.∫e 3+2 ln x+ 5−2 ln x dx4 e−1

2

3 cos sin

3

dx x

+

Bài giải :

( )x 1 cos 3sin 1 sin 3cos

2

3

x

1 3 2 ln 1 5 2 ln

x

x

e

2

Trang 6

Đặt ( 2 )

x= tgt⇒dx= +tg t dt

2

2

2 1

0

4

tg t

t

ĐÁNH GIÁ TÍCH PHÂN DỰA VÀO TẬP GIÁ TRỊ

CỦA HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN Chứng minh rằng :

4 4

3

1

<

+



2

2

0

2

4

>

<

<

Bài giải :

4

x

x

 ∏ 

Trang 7

∏ ∏

0 sin 2

x

x

 ∏ 

[ ]

3.∀ ∈x 1;2 Xét hiệu : -1 2 1 2 1 0

4 Đặt x= ∏-u ⇒dx=-du

2

2

0 2

2

u

∏−

< < ⇒ < < ∏− ⇒ <

∏−

0

2

2

0

5 Hàm số y = f(x) = lnx liên tục trên [1,2] nên y = g(x) = (lnx)2 cũng liên tục trên [1,2]

[ ]

2 2

<

∈ 

Chú ý : dấu đẳng thức (*) xảy ra tại x0 = 1⊂⊂⊂ [1,2]

0

0

sin

x

x

Chứng minh rằng :

2

x

1

0

1

0

1

8 25

3

26

dx

dx x

x dx x

+ + +

<

2 8

1 0

2 1

0

1

3

.sin

1 sin

.sin 5

12 1

6

x

dx

dx

e x

dx

− +

+

0





Trang 8

Bài Giải:

+

8

8

1

x

x

3

25

26

x

4 Trước hết ta chứng minh : sin ;(1) [ ]0,1

x

Giả sử ta có : (1)

[ ]

⇔1+x 1+x.sinx⇔ x(1 sin ) 0− x

0 0

1 0

1 sin

dx

=  − 

+

− +







x

x

x

x

x

 < =

 < <



2

1

cos

t

Trang 9

( )

2

3 2

4

1

4

tg t x

tg t t

4

1

3 sin

0

12 1

x

dx

e x

+

Đặt x=2 sint⇒dx=2 costdt

6

6

Đặt x= 2 sint ⇒dx= 2 costdt

0

4

x

4

0

4 2 2 sin

tdt J

t

1

2

dx

Chứng minh rằng :

2 2

1

0

sin

2

0

1

2

x

x

e

e dx

e

0 1

4 0

1

1

x dx

dx x

+

Bài giải :

Trang 10

( )

( )

2

2 2

2 0

1

x

x

e

e

2

°

°x

Từ (1) và (2) suy ra 2

:e−x e−x 1

1

1

e

2

x

4 Cách 1:

( )0,1

x

1 2

4 0

1

1

dx x

+

1

ln

+

phần

Cách 2 :

1

dx I

4

⇒ < ⇒ 1+ < +

Với : 1

2 0

1 1

x

=

+

1

x=tgt⇒dx= dt= +tg t dt

Trang 11

( )

4

2

2

0

1

cos

4 cos

1 sin

tg t x

t

t

t

+

=

0

t

u

1 2

2

1 2

0

ln

u

2

+

4

x

1 0

+

Mặt khác 4

4

1

1

x

x

+ > ⇒ <

+

( )

4

1

1

x

+

Từ (1) và (2) suy ra : 1

4 0

1

1

dx x

+

Chứng minh rằng :

4

2 0

1

0

3

2

1

1 0

32 cos

1

.sin

3

x

x tgx dx

nx

dx

x

dx

+

<

+



200

100

3 2 1

1

cos 4

5

200

x

x n

dx

x dx x

dx

<

+



Bài giải :

4

Xét : 0

4 x

< < < <

0 0

4

tgx

x tgx x x

I x tgx dx αx tgx dx βx tgx dx x tgx dx

< < 

 ⇒ <

< < 



Ngày đăng: 12/08/2014, 12:21

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w