Chuyên đề Tính đơn điệu của hàm số

Bạn đọc có thể xem tham khảo đầy đủ các cách chứng minh trong cuốn sách: “Những viên kim cương trong bất đẳng thức Toán học” của tác giả do NXB Tri thức phát hành tháng 3/2009.[r]

Bài Tính đơn điệu hàm số BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT y  f (x) đồng biến / (a, b)  (x)  x(a, b) đồng thời (x)  số hữu hạn điểm  (a, b) y  f (x) nghịch biến / (a, b)  (x)  x(a, b) đồng thời (x)  số hữu hạn điểm  (a, b) Chú ý: Trong chương trình phổ thông, sử dụng 1., cho các hàm số quy tắc có thể bỏ điều kiện (x)  số hữu hạn điểm  (a, b) CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài Tìm m để y  mx   6m   x  1  3m  nghịch biến trên [1, ) x 1 Giải: Hàm số nghịch biến trên [1, )  y   mx  2mx2   x   x  1  mx  2mx    m  x  x   7 x   Min u  x   m Ta có: u   x   x 1  u  x  2x  2  x  ( x  x) 7  m x  x  2x  u(x) đồng biến trên [1, )  m  Min u  x   u 1  7 x 1 Bài Tìm m để y  1 x   m  1 x   m  3 x  đồng biến trên (0, 3) Giải Hàm số tăng trên (0,3)  y    x   m  1 x   m  3  x  0, 3 (1) Do y   x  liên tục x  và x  nên (1)  y  x[0, 3]  m  x  1  x  x  x  0, 3  g  x   x  x   m x  0, 3 2x   Max g  x   m Ta có: g   x   x  x 2  x  0, 3 x0,3  x  1  g(x) đồng biến trên [0, 3]  m  Max g  x   g  3  12 x0,3 Bài Tìm m để y  m x   m  1 x   m   x  đồng biến trên 2,   3 Lop10.com Chương I Hàm số – Trần Phương Giải: Hàm số tăng / 2,    y   mx   m  1 x   m    x  (1)  m  x  1    2 x  x   g  x   Ta có: g   x    x  x  3 0 ( x  x  3) 2 x   m x   x  1  x  x  x1   ; lim g  x     x  x   x  3 g  x _ g  x 23 Từ BBT  Max g  x   g     m x2  + 0 CT Bài y  x  mx  2m  m   x   m  1 2m  3 đồng biến / 2,   Giải: Hàm số tăng trên 2,    y   x  2mx  2m  m    0, x     34   nên y   có nghiệm x  x  Ta có V  m  3m  3   m   BPT g(x)  có sơ đồ miền nghiệm G là: Ta có y   x   đúng x   2,    G x1 x2    1  m     1  m        x1  x   3 y  2m  3m     m  S  m   2 Bài Tìm m để y  x  1  m  x   m đồng biến trên 1,   xm 2 Giải: Hàm số đồng biến trên 1,    y   x  4mx  m  2m   x   x  m 2  g  x   x  4mx  m  2m   x   g  x   x     m   x  m  Cách 1: Phương pháp tam thức bậc Ta có:     m  1  suy g(x)  có nghiệm x1  x BPT g(x)  có sơ đồ miền nghiệm G là: Ta có g(x)  đúng x(1, )  1,    G x1 x2 m  m  1,       x1  x   2 g 1  m  6m  1     m   2  m   2 m   2  S  2   2 Lop10.com Bài Tính đơn điệu hàm số Cách 2: Phương pháp hàm số Ta có: g(x)  4(x  m)  4(x  1) > x >  g(x) đồng biến trên [1, ) Min g  x    g 1  m  6m   Do đó 1   x 1   m  m   m   2  m   2  m   2 m   Bài Tìm m để y   4m   cos x   2m  3 x  m  3m  giảm x  ¡ Giải: Yêu cầu bài toán  y     4m  sin x  2m   0, x  ¡  g  u     4m  u  2m   0, u  1;1 Do đồ thị y  g  u  , u  1;1 là  g  1  6m   đoạn thẳng nên ycbt   1 m    g   m    Bài Tìm m để hàm số y  mx  sin x  sin x  sin x tăng với x  ¡ Giải: Yêu cầu bài toán  y   m  cos x  cos x  cos x  0, x  ¡  m  cos x  2 cos x  1  4 cos x  3cos x   0, x  ¡ 3  m   u  u   g  u  , u  1,1, với u  cos x  1,1 Ta có g   u   4u  2u  2u  2u  1   u   ; u  Lập BBT suy yêu cầu bài toán  Max g  u   g  1   m x1,1 Bài Cho hàm số y   m  1 x   2m  1 x   3m   x  m Tìm m để khoảng nghịch biến hàm số có độ dài y    m  1 x   2m  1 x   3m    Do    m  m   Giải Xét nên y   có nghiệm x1  x Khoảng nghịch biến hàm số có độ dài  y   0; x  x1 ; x ; x  x1   m   và x  x1  Ta có x  x1   16  x  x1   x  x1   x x1  2  2m  1  3m    m 1  m  1   m  1   2m  1   3m   m  1 2  3m  m    m   61  61 kết hợp với m   suy m  6 Lop10.com Chương I Hàm số – Trần Phương B ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I DẠNG 1: ỨNG DỤNG TRONG PT, BPT, HỆ PT, HỆ BPT Bài Giải phương trình: x  x   x   Giải Điều kiện: x  Đặt f  x   x  x   x   Ta có: f   x   x  x     f (x) đồng biến trên ,    3x Mặt khác f (1)  nên phương trình f (x)  có nghiệm x  1 Bài Giải phương trình: x  15  x   x  Giải Bất phương trình  f  x   x   x   x  15  (1) + Nếu x  thì f (x) <  (1) vô nghiệm 1   x   + Nếu x  thì f   x    x    2 3 x  15   x 8    f (x) đồng biến trên ,  mà f (1)  nên (1) có đúng nghiệm x  x   x   x   13 x   (*) Bài Giải bất phương trình: Giải Điều kiện x  Đặt f  x   x   x   x   13 x  7 Ta có: f   x   13    0 x    x     x    (13 x  7)   f (x) đồng biến trên  ,  Mà f (3)  nên (*)  f (x) < f (3)  x <  Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là  x  Bài Giải PT: x  x  x  x  1x  1x  1x  x  x  x  17        2x  5x Giải (*)  f  x   x  x  x  x  x  x  x (*)  x  17  g  x  Ta có f (x) đồng biến và g(x)  6x2  10x  < x  g(x) nghịch biến Nghiệm f (x)  g(x) là hoành độ giao điểm y  f  x  và y  g  x  Do f (x) tăng; g(x) giảm và f 1  g 1  13 nên (*) có nghiệm x  Lop10.com Bài Tính đơn điệu hàm số Bài Tìm số m Max để m  sin x  cos x  1  sin x  sin x  cos x  x (*) Giải Đặt t  sin x  cos x   t   sin x  cos x    sin x   t  2   t  , đó (*)  m  t  1  t  t  t  1,  2  f  t   t  t   m t  1,   Min f t   m Do f  t   t  22t  t 1 t1,  t  1 nên f (t) đồng biến / 1,   Min f  t   f 1   m   Max m  2 t1,  Bài Giải phương trình 2008 sin 2008 sin x  2008 cos x x  2008 cos x  cos x  sin x  2008 sin  cos x x  sin x  2008 cos x  cos x (*) Xét f  u   2008 u  u Ta có f   u   2008 u ln u   Suy f  u  đồng biến (*)  f sin x   f cos x   sin x  cos x  cos x   x    k  , k  ¢ cotg x  cotg y  x  y Bài Tìm x, y  0,   thỏa mãn hệ  3 x  y  2 Giải cotg x  cotg y  x  y  x  cotg x  y  cotg y Xét hàm số đặc trưng f  u   u  cotg u , u  0,   Ta có f   u    0 sin u  f  x  f y Suy f  u  đồng biến trên 0,   Khi đó  x y x  y    2 x   y  y  y  Bài Giải hệ phương trình 2 y   z  z  z (*)  2 z   x  x  x Giải Xét f  t   t  t  t với t  ¡  f   t   2t   t  1   f (t) tăng Không tính tổng quát giả sử x  y  z  f  x  f y   f  z   2z   2x   y   z  x  y  x  y  z   3 x  x   Bài Giải hệ bất phương trình   x  x   Giải 3x  x    1  x  Đặt f  x   x  3x  Ta có:    f   x    x  1 x  1   f  x  giảm và f  x   f   0, x  1, 27 Lop10.com Chương I Hàm số – Trần Phương II DẠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài Chứng minh rằng: x  Giải  x  x3 x3 x5  sin x  x   x > 3! 3! 5! x3 x3  sin x x >  f  x    x  sin x  x > 3! 3! Ta có f   x   x2   cos x  f   x   x  sin x  f   x    cos x  x > 2!  f   x  đồng biến [0, +)  f   x   f     x >  f   x  đồng biến [0, +)  f   x   f    = x >  f  x  đồng biến [0, +)  f(x) > f(0) =  sin x  x  x >  (đpcm) x3 x5 x5 x3    x  sin x  x > x >  g(x) = 3! 5! 5! 3! Ta có g(x) = x4 x2 x3    cos x  g(x) =  x  sin x = f(x) > x > 4! 2! 3!  g(x) đồng biến [0, +)  g(x) > g(0) = x >  g(x) đồng biến [0, +)  g(x) > g (0) = x >  (đpcm) Bài Chứng minh rằng: Giải sin x  f ( x)  sin x  2x sin x  f ( x)    x  2x    x   0,   2   x  0,  Xét biểu thức đạo hàm  2 x cos x  sin x g ( x)  , đây kí hiệu g(x) = x cosx  sinx x2 x   Ta có g(x) = cosx  xsinx  cosx =  xsinx < x  0,   2    g(x) giảm trên  0,   g(x) < g(0) =  2  f  x  g ( x)    x  0,   f (x) giảm trên x  2  2x    f  x   f    sin x  , x   0,     2 Lop10.com    0,   2 Bài Tính đơn điệu hàm số x y x y  ln x  ln y Bài Chứng minh rằng: x > y > Giải Do x > y > 0, lnx > lny  lnx  lny > 0, nên biến đổi bất đẳng thức x 1 x y y t 1 x x  ln    ln x  ln y    ln t   với t  >1 x 1 t 1 x y y y y t  1 t 1     t >1 Ta có f t    f (t )  ln t     t >1 t 1 t t  1 t t  1  f(t) đồng biến [1, +)  f(t) > f(1) = t >1  (đpcm) y  x   ln  ln 4 y  x  1 y 1 x  Bài Chứng minh rằng:   x, y  0,1 (1)   x  y Giải Xét hai khả sau đây: + Nếu y > x thì (1)  ln y x y x  ln   y  x   ln  y  ln  4x 1 y 1 x 1 y 1 x + Nếu y < x thì (1)  ln y x y x  ln   y  x   ln  y  ln  4x 1 y 1 x 1 y 1 x Xét hàm đặc trưng f(t) = ln Ta có f  t   t  4t với t(0, 1) 1 t  2t  1 4   t(0,1)  f(t) đồng biến (0, 1) t (1  t ) t (1  t )  f(y) > f(x) y > x và f(y) < f(x) y < x  (đpcm) Bài Chứng minh rằng: ab  ba a > b  e Giải ab < ba  lnab < lnba  blna < alnb  Xét hàm đặc trưng f(x) = Ta có f ( x)  ln a ln b  a b ln x x  e x  ln x  ln e    f(x) nghịch biến [e, +) x2 x2  f(a) < f(b)  ln a ln b   ab < ba a b Lop10.com Chương I Hàm số – Trần Phương Bài (Đề TSĐH khối D, 2007)  Chứng minh a  1a Giải Biến đổi bất đẳng thức  a  1a   b  b  1b   b  b  1b  , a  b   a a b a b        a4     b4      a a b b a b a    1  a   1  b   ln 1  a   ln 1  b   ln   ln  a b x  Xét hàm số đặc trưng cho hai vế f  x   ln  với x  Ta có x x x x x   f   x   ln  21  x ln    f  x  giảm trên 0,    f  a   f  b  x 1   Bài (Bất đẳng thức Nesbitt) Chứng minh rằng: a b c    bc ca ab a, b, c > (1) Giải Không tính tổng quát, giả sử a  b  c Đặt x = a  x  b  c > Ta có (1)  f (x) =  f ( x)  x b c   bc c x xb với x  b  c > b c b c      0 2 b  c  x  c b  c b  c   x  b b  c 2  f(x) đồng biến [b, +)  f ( x)  f (b)  2b  c bc Đặt x = b  x  c > 0, xét hàm số g(x) = 2x  c với x  c > xc  g ( x)  c  x  c Từ (2), (3) suy (2)  c >  g(x) đồng biến [c, +)  g ( x)  g (c)  a b c    bc ca ab (3) a, b, c > Bình luận: Bất đẳng thức Nesbitt đời năm 1905 và là bất đẳng thức tiếng suốt kỷ 20 Trên đây là cách chứng minh bất đẳng thức này 45 cách chứng minh Bạn đọc có thể xem tham khảo đầy đủ các cách chứng minh sách: “Những viên kim cương bất đẳng thức Toán học” tác giả NXB Tri thức phát hành tháng 3/2009 Lop10.com