Sử dụng cơ sở groebner giải hệ phương trình đa thức bằng phương pháp khử biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ HOÀNG TÙNG SỬ DỤNG CƠ SỞ GROEBNER GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỬ BIẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ HOÀNG TÙNG SỬ DỤNG CƠ SỞ GROEBNER GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỬ BIẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 Mục lục Mở đầu Vành đa thức, iđêan tập đại số 1.1 Vành đa thức, iđêan vành đa 1.2 Định lý sở Hilbert 1.3 Tập đại số 1.4 Iđêan đơn thức thức 4 11 Ứng dụng sở Groebner để giải hệ phương trình đa thức phương pháp khử biến 2.1 Thứ tự đơn thức thuật toán chia với dư 2.2 Cơ sở Groebner 2.3 Thuật toán Buchberger 2.4 Định lý khử biến ứng dụng giải hệ phương trình đa thức 2.5 Các ví dụ 17 17 23 27 32 34 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Mở đầu Trong luận văn thường giả thiết K trường, R trường số thực C trường số phức Thuật toán chia với dư kết quan trọng vành đa thức biến K[x], giúp giải tốn quan trọng tốn thành viên, tốn tìm ước chung lớn hai đa thức, tốn tìm tổng, thương, giao iđêan Mặc dù thuật toán chia với dư đa thức biến biết từ xa xưa, thuật toán chia với dư hữu hiệu cho đa thức nhiều biến phát triển vào năm 60 kỉ trước B Buchberger giới thiệu lí thuyết sở Groebner luận án tiến sĩ vào năm 1965 hướng dẫn giáo sư W Groebner Điểm mấu chốt khởi đầu cho hình thành lí thuyết sở Groebner việc mở rộng thuật tốn chia với dư thuật tốn Euclid tìm ước chung lớn cho đa thức biến sang thuật tốn chia với dư thuật tốn Buchberger tìm sở Groebner cho đa thức nhiều biến Mục đích luận văn "Sử dụng sở Groebner để giải hệ phương trình đa thức phương pháp khử biến" trình bày lại số kết báo [5] Mencinger năm 2013, giảng [4] Lall năm 2004 báo [7] Sturmfels năm 2005 sở Groebner, tập trung chủ yếu vào ứng dụng sở Groebner để giải hệ phương trình đa thức nhiều ẩn phương pháp khử biến Luận văn gồm hai chương, cịn có phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày vành đa thức nhiều biến, iđêan vành đa thức nhiều biến tập đại số (đó tập nghiệm họ đa thức vành đa thức K[x1 , , xn ]) Chương trình bày Định lý sở Hilbert nhằm quy tập đại số tập nghiệm họ hữu hạn đa thức Chương giới thiệu sở Groebner tập trung trình bày việc giải hệ phương trình đa thức nhiều biến phương pháp khử biến Trong suốt luận văn ln làm việc với đa thức có hệ số trường K Riêng phần Định lí sở Hilbert Chương 1, phải làm việc với đa thức có hệ số vành K[x1 , , xn−1 ], từ dùng quy nạp để chứng minh iđêan K[x1 , , xn ] hữu hạn sinh Trong thời gian thực luận văn này, nhận dẫn tận tình, chu đáo Giáo sư - Tiến sĩ Lê Thị Thanh Nhàn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới giúp tơi hồn thành luận văn Tác giả Chương Vành đa thức, iđêan tập đại số Trong suôt chương này, ln giả thiết K trường Kí hiệu N tập số nguyên dương N0 tập số nguyên không âm Trong chương tập trung trình bày vành đa thức, iđêan vành đa thức nhiều biến tập đại số, đồng thời trình bày Định lý sở Hilbert nhằm quy tập đại số tập nghiệm họ hữu hạn đa thức Ngồi cịn trình bày iđêan đơn thức, nghiên cứu đến tốn thành viên, tốn tìm giao tốn tìm iđêan thương hai iđêan đơn thức 1.1 Vành đa thức, iđêan vành đa thức Định nghĩa 1.1.1 Kí hiệu K[x1 , , xn ] tập đa thức n biến với hệ số K Với i, j ∈ Nn0 , i = (i1 , , in ) j = (j1 , , jn ), ta định nghĩa i + j = (i1 + j1 , , in + jn ).Kí hiệu xi đơn thức xi11 xinn ta gọi i1 + + in bậc xi Khi K[x1 , , xn ] vành với phép cộng phép nhân xi + bi xi = (ai + bi )xi ; i∈Nn0 i∈Nn0 x i i∈Nn0 bi xi = i∈Nn0 x i , với đa thức i∈Nn0 i∈Nn0 ck xk , ck = k∈Nn0 bj i+j=k bi xi ∈ K[x1 , , xn ] Vành K[x1 , , xn ] i∈Nn0 gọi vành đa thức n biến x1 , , xn với hệ số K Chú ý 1.1.2 Vành đa thức n biến x1 , , xn với hệ số K xây dựng quy nạp theo n sau Khi n = 1, vành đa thức trở thành vành đa thức biến K[x1 ] Với n = 2, vành đa thức hai biến K[x1 , x2 ] với hệ số K vành đa thức biến x2 với hệ số K[x1 ] Bằng quy nạp, vành đa thức n biến K[x1 , , xn ] với hệ số K vành đa thức biến xn với hệ số vành K[x1 , , xn−1 ] Với a phần tử khác K , ta gọi bậc từ axi bậc đơn thức xi Chú ý đa thức biểu diễn cách thành tổng từ không đồng dạng (nếu không kể đến thứ tự hạng tử) Ta gọi bậc (hay bậc tổng thể) đa thức khác bậc cao từ đa thức Từ định nghĩa, ta có tính chất sau bậc đa thức Bổ đề 1.1.3 Cho f1 (x1 , , xn ), f2 (x1 , , xn ) ∈ K[x1 , , xn ] đa thức khác cho tổng chúng khác Khi (i) deg(f1 (x1 , , xn ) + f2 (x1 , , xn )) ≤ max deg fi (x1 , , xn ), i=1,2 (ii) deg f1 (x1 , , xn )f2 (x1 , , xn ) = deg f1 + deg f2 Tiếp theo, trình bày tính chất phổ dụng vành đa thức nhiều biến Mệnh đề 1.1.4 Gọi j : K → K[x1 , , xn ] cho j(a) = a với a ∈ K phép nhúng tự nhiên Với vành giao hoán S , hệ gồm n phần tử s1 , , sn S đồng cấu ϕ : K → S , tồn đồng cấu ϕ∗ : K[x1 , , xn ] → S cho ϕ∗ (xi ) = si với i ∈ {1, , n} ϕ∗ j = ϕ Chứng minh Xét ánh xạ ϕ∗ : K[x1 , , xn ] → S chia ta có S(f1 , f2 ) = −zx2 +yx3 = x3 f1 −x2 f2 Do dư phép chia S(f1 , f2 ) S(f2 , f1 ) cho f1 , f2 Theo tiêu chuẩn Buchberger, f1 , f2 sở Groebner I Chú ý 2.3.5 Ta ln có S(fi , fj ) = −S(fj , f1 ) với i, j Vì theo tiêu chuẩn Buchberger, hệ f1 , , fs sở Groebner phần dư phép chia S(fi , fj ) cho f1 , , fs đa thức với i < j Chú ý sở Groebner phụ thuộc vào thứ tự đơn thức Một hệ đa thức sở Groebner iđêan I thứ tự đơn thức này, khơng sở Groebner I thứ tự đơn thức khác Ta minh họa điều ví dụ sau Ví dụ 2.3.6 Trong R[x, y, z], theo Ví dụ 2.3.4, chọn thứ tự đơn thức thứ tự từ điển với y > z > x hệ y − x2 , z − x3 sở Groebner iđêan I = (y − x2 , z − x3 ) Tuy nhiên, chọn thứ tự đơn thức thứ tự từ điển x > y > z hệ y − x2 , z − x3 khơng cịn sở Groebner iđêan I = (y−x2 , z −x3 ) Thật vậy, ta có in(y−x2 ) = −x2 , in(z −x3 ) = −x3 Do S(y −x2 , z −x3 ) = x3 −xy −x3 +z = −xy +z Vì dư phép chia S(y − x2 , z − x3 ) cho y − x2 , z − x3 −xy + z Theo tiêu chuẩn Buchberger, y − x2 , z − x3 không sở Groebner I Từ tiêu chuẩn Buchberger, có thuật tốn, gọi thuật tốn Buchberger, để thu sở Groebner I xuất phát từ hệ sinh I Sau mơ tả bước thuật tốn 30 Thuật toán 2.3.7 (Thuật toán Buchberger) Cho I = (f1 , , fs ) iđêan khác vành đa thức K[x1 , , xn ] Để tìm sở Groebner I ta tiến hành bước: Bước Đặt G0 = {f1 , , fs } Với i, j ∈ {1, , s}, chia S(fi , fj ) cho f1 , , fs Nếu đa thức dư G0 sở Groebner I , trình kết thúc Nếu ngược lại, gọi fs+1 đa thức dư khác xuất phép chia S(fi , fj ) cho f1 , , fs Đặt G1 = {f1 , , fs , fs+1 } Rõ ràng G1 = {f1 , , fs , fs+1 } hệ sinh I Bước k+1 Giả sử thực xong bước k ,ta tiến hành Bước k + Khi ta có hệ sinh Gk = {f1 , , fs+k } I , fs+t dư khác chia S(fi , fj ) cho hệ f1 , , fs+t−1 với t ≤ k Với i, j ∈ {1, , s+k}, chia S(fi , fj ) cho f1 , , fs+k Nếu đa thức dư Gk sở Groebner I , trình kết thúc Nếu ngược lại, gọi fs+k+1 đa thức dư khác xuất phép chia S(fi , fj ) cho f1 , , fs+k Đặt Gk+1 = {f1 , , fs+k+1 } Cứ tiếp tục trình Quá trình phải kết thúc sau số hữu hạn bước hệ sinh cuối thu sở Groebner I Thật vậy, giả sử q trình khơng kết thúc Khi với số tự nhiên k , đa thức dư fs+k+1 phép chia S(fi , fj ) cho hệ f1 , , fk có tính chất: fs+k+1 = khơng có từ fs+k+1 bội in(ft ) với t ≤ k Suy in(fs+k+1 ) ∈ / Ik , Ik = (in(f1 , , in(fs+k )) Do ta có dãy tăng khơng dừng iđêan đơn thức I1 ⊂ I2 ⊂ Theo Định lí sở Hilbert, điều khơng thể xảy Ví dụ 2.3.8 (Xem [3, Trang 90]) Trên vành đa thức R[x, y], cho I = (f1 , f2 ), f1 = x3 − 2xy f2 = x2 y − 2y + x Xét thứ tự từ điển phân bậc x > y Ta có S(f1 , f2 ) = −x2 Do dư phép chia S(f1 , f2 ) cho f1 , f2 f3 = −x2 = Xét hệ sinh f1 , f2 , f3 I Ta có S(f1 , f2 ) = f3 Do dư phép chia S(f1 , f2 ) cho f1 , f2 , f3 Ta có S(f1 , f3 ) = f1 − (−x)f3 −2xy Do dư tương ứng f4 = −2xy = Xét hệ sinh f1 , f2 , f3 , f4 Ta có S(f1 , f2 ) = f3 , S(f1 , f3 ) = f4 Vì dư chia S(f1 , f2 ) S(f1 , f3 ) cho f1 , f2 , f3 , f4 Ta có S(f1 , f4 ) = yf1 − (− 21 )x2 f4 Do dư phép chia S(f1 , f4 ) cho f1 , f2 , f3 , f4 Ta có S(f2 , f3 ) = f2 − (−y)f3 Do dư tương ứng với S(f2 , f3 ) Chia S(f2 , f4 ) cho hệ f1 , f2 , f3 , f4 ta 31 dư f5 = −2y +x Xét hệ sinh f1 , f2 , f3 , f4 , f5 Ta dễ kiểm tra dư phép chia S(fi , fj ) cho f1 , f2 , f3 , f4 , f5 với i, j = 1, 2, 3, 4, Vậy f1 , f2 , f3 , f4 , f5 sở Groebner I Như nêu Tiết 2.2, thuật toán Buchberger tìm sở Groebner cho ta lời giải tốn thành viên Cụ thể, với đa thức f iđêan I , xác định xem f có phần tử I hay khơng cách tìm sở Groebner I chia f cho sở Khi f ∈ I dư phép chia đa thức Ví dụ 2.3.9 Trong vành đa thức Q[x, y, z], cho I = (xz − y , x3 − z ) f = xy −5z +x Chọn thứ tự từ điển phân bậc với x > y > z Sử dụng thuật toán Buchberger ta thu sở Groebner I f1 , f2 , f3 , f4 , f1 = xz − y , f2 = x3 − z , f3 = x2 y − z , f4 = xy − z , f5 = y − z Ta chia f cho f1 , f2 , f3 , f4 , f5 Ta có lm(f1 ) = xz, lm(f2 ) = x3 , lm(f3 ) = x2 y , lm(f4 ) = xy , lm(f5 ) = y Rõ ràng khơng có từ f bội lm(fi ) với i = 1, 2, 3, 4, Do dư phép chia f cho f1 , f2 , f3 , f4 , f5 f Vì f = 0, tức dư phép chia khác 0, nên f ∈ / I 2.4 Định lý khử biến ứng dụng giải hệ phương trình đa thức Bây trình bày nội dung luận văn Cơ sở Groebner sử dụng để giải hệ phương trình đa thức cách khử số biến số phương trình, sau quay trở lại giải hệ phương trình ban đầu Trước hết ta cần khái niệm sau Định nghĩa 2.4.1 Cho I = (f1 , , fs ) iđêan K[x1 , , xn ] Với số tự nhiên k = 1, , n − ta đặt Ik = I ∩ K[xk+1 , , xn ] Khi Ik iđêan K[xk+1 , , xn ] Ta gọi Ik iđêan khử thứ k I Định lý 2.4.2 (Định lý khử biến) Cho I iđêan K[x1 , , xn ] Giả sử G = {f1 , , fs } sở Groebner I ứng với thứ tự từ điển x1 > > xn Khi Gk = G ∩ K[xk+1 , , xn ] sở Groebner Ik với k = 1, , n − Chứng minh Cho k ∈ {1, , n − 1} Rõ ràng Gk ⊆ Ik Cho f ∈ Ik Khi f ∈ I Do G sở Groebner I nên lm(f ) ∈ (lm(f1 ), , lm(fs )) Theo Hệ 1.4.3, tồn fi cho lm(f ) bội lm(fi ) Vì f ∈ Ik nên 32 lm(fi ) ∈ K[xk+1 , , xn ] Do x1 > > xn nên từ khác fi thuộc K[xk+1 , , xn ] Vì fi ∈ K[xk+1 , , xn ] Suy fi ∈ Gk Giả sử Gk = {g1 , , gt } Khi lm(f ) ∈ (lm(g1 ), , lm(gt )) Do (lm(g1 ), , lm(gt )) = in(Ik ) Vì g1 , , gt sở Groebner Ik Chú ý 2.4.3 Chúng ta tóm tắt phương pháp dùng sở Groebner Định lí khử biến để giải hệ phương trình đa thức sau: Với tập S K[x1 , , xn ], Chương ta kí hiệu Z(S) ⊆ n K tập không điểm chung S Xét hệ phương trình f1 = 0, , fs = với f1 , , fs ∈ K[x1 , , xn ] Đặt I = (f1 , , fs ) Sử dụng thuật tốn Buchberger, ta tìm sở Groebner G = {g1 , , gt } I Khi đó, theo Bổ đề 2.2.6 (iii), hệ G hệ sinh I Vì Z(f1 , , fs ) = Z(I) = Z(G), tức tập nghiệm hệ f1 = 0, , fs = Z(G) Với số tự nhiên k = 1, , n − 1, nhờ Định lí khử biến, hệ Gk = G ∩ K[xk+1 , , xn ] sở Groebner iđêan Ik Chú ý Gn−1 ⊆ K[xn ] hệ đa thức biến xn Do đó, giải hệ phương trình biến xn ta tính Z(Gn−1 ) Với k ≤ n − 1, giả sử tìm Z(Gk ), ta cần tìm Z(Gk−1 ) Nếu Gk−1 = {h1 , , hr } (ak+1 , , an ) ∈ Z(Gk ), (ak , , an ) ∈ Z(Gk−1 ) ak nghiệm hệ r phương trình biến hi (xk , ak+1 , , an ) = với i = 1, , r Từ ta tìm Z(Gk−1 ) Cứ tiếp tục vậy, ta tìm Z(G1 ) Thay phần tử (a2 , , an ) ∈ Z(G1 ) vào đa thức G ta hệ phương trình đa thức biến x1 Từ ta tìm Z(G) Chúng ta minh họa điều ví dụ sau Ví dụ 2.4.4 Cho hệ phương trình 2x2 − 4x + y − 4y + = x2 − 2x + 3y − 12y + = Để tìm nghiệm C2 hệ này, ta xét iđêan I = (f1 , f2 ) vành đa thức C[x, y], f1 = 2x2 − 4x + y − 4y + f2 = x2 − 2x + 3y − 12y + Chọn thứ tự từ điển với x > y Khi S -đa thức ứng với f1 , f2 −5y 15 S(f1 , f2 ) = + 10y − 2 33 ... khử biến ứng dụng giải hệ phương trình đa thức Bây trình bày nội dung luận văn Cơ sở Groebner sử dụng để giải hệ phương trình đa thức cách khử số biến số phương trình, sau quay trở lại giải hệ. .. sở Groebner Định lí khử biến; Trình bày ví dụ minh họa việc giải hệ phương trình đa thức; Đưa ví dụ để thấy phương pháp dùng lí thuyết sở Groebner Định lí khử biến để giải hệ phương trình đa thức. .. Ta thấy sở Groebner G I chứa đa thức Vì hệ phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét 2.5.7 Các hệ phương trình Ví dụ 2.5.1 - 2.5.6 giải sử dụng phương pháp tìm sở Groebner dùng Định lí khử biến Tuy