Hiệu chỉnh tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn phương trình với ánh xạ liên tục lipschitz và j đơn điệu

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✖✖✖✖✖✖✖♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕ ❍■➏❯ ❈❍➓◆❍ ❚➐▼ ◆●❍■➏▼ ❈❍❯◆● ❈Õ❆ ▼❐❚ ❍➴ ❍Ú❯ ❍❸◆ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❱❰■ ⑩◆❍ ❳❸ ▲■➊◆ ❚Ư❈ ▲■P❙❈❍■❚❩ ❱⑨ ❏✲✣❒◆ ✣■➏❯ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ Ù♥❣ ❉ö♥❣ ▼➣ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✳✶✷ ❍å❝ ✈✐➯♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥✿ ợ ữợ ❚♦→♥ ❑✻❈ ●❙✳ ❚❙ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✹ ▼ư❝ ❧ư❝ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▼ët sè ❦➼ ❤✐➺✉ ✈➔ ❝❤ú ✈✐➳t t➢t ▼ð ✤➛✉ ✶ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ✶✳✶ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡r ✈➔ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✶✳✸ ✐ ✐✐ ✐✐✐ ✶ ✸ ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷✳✶ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷✳✷ ❱➼ ❞ư ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ữỡ tr t ợ t tỷ ỡ ✤✐➺✉ ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✶✻ ✷✳✶ ❚➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝❤♦ ♠ët ❤å ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷ ✶✻ ◆❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝❤♦ ♠ët ❤å ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ❏✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ❑➳t ❧✉➟♥ ✷✻ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✐ ▲á✐ ❝↔♠ ì♥ ❚r♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ tổ ổ ữủ sỹ ữợ ❣✐ó♣ ✤ï ♥❣❤✐➯♠ tó❝ ❝õ❛ ●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣ ✭❱✐➺♥ ❈ỉ♥❣ ♥❣❤➺ t❤æ♥❣ t✐♥✱ ❱✐➺♥ ❍➔♥ ❧➙♠ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❈æ♥❣ ♥❣❤➺ ❱✐➺t ◆❛♠✮✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ❚❤➛② ✈➔ ❦➼♥❤ ❝❤ó❝ ❚❤➛② ❝ị♥❣ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ❧✉ỉ♥ ❧✉ỉ♥ ♠↕♥❤ ❦❤ä❡✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t ỡ qỵ t ổ t ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✈➔ t↕✐ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ❱✐➺♥ ❍➔♥ ❧➙♠ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❈æ♥❣ ♥❣❤➺ ❱✐➺t ◆❛♠ ✤➣ ♠❛♥❣ ❧↕✐ ❝❤♦ tæ✐ ♥❤✐➲✉ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❜ê ➼❝❤ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ q✉❛♥ t➙♠ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❚ỉ✐ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❝↔♠ ỡ ỗ ổ ú ù tổ tr s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✈➔ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✾ ✲ ✷✵✶✹ ◆❣÷í✐ ✈✐➳t ▲✉➟♥ ✈➠♥ ◗✉→❝❤ ❚❤à ❨➳♥ ✐✐ ▼ët sè ❦➼ ❤✐➺✉ ✈➔ ❝❤ú ✈✐➳t t➢t E∗ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ ❤đ♣ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✳ A∗ : Y ∗ → X ∗ ❚♦→♥ tû ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ A : X → Y ✳ I ❚♦→♥ tû ✤ì♥ ✈à D(A) ▼✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ t♦→♥ tû A✳ R(A) ▼✐➲♥ ↔♥❤ ❝õ❛ t♦→♥ tû A✳ A−1 ❚♦→♥ tû ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ t♦→♥ tỷ A x, y ổ ữợ x y tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ x ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ x tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ E ✳ E ❚➟♣ ré♥❣✳ ∅ xn x ❉➣② xn ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ x✳ xn → x ❉➣② xn ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ x✳ θ P❤➛♥ tû ❦❤ỉ♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ✐✐✐ ▼ð ✤➛✉ ◆❤✐➲✉ ✈➜♥ ✤➲ tr♦♥❣ t❤ü❝ t➳ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣➦♣ ♣❤↔✐ ♥❤÷ ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ổ t tỗ t ♠ët ❧ỵ♣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤ỉ♥❣ ê♥ ✤à♥❤ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ♠ët t❤❛② ✤ê✐ ♥❤ä ❝õ❛ ❞ú ❧✐➺✉ ✤➛✉ ✈➔♦ s➩ ❞➝♥ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣ t❤❛② ✤ê✐ ❧ỵ♥ ❝õ❛ ❞ú ❧✐➺✉ ✤➛✉ r❛ ✭♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✮✱ t❤➟♠ ❝❤➼ ❝á♥ ❧➔♠ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ trð ❧➯♥ ✈ỉ ♥❣❤✐➺♠✳ ◆❣÷í✐ t❛ ♥â✐ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✤â ❦❤æ♥❣ ❝❤➼♥❤ q✉② ❤❛② ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤✳ ❱➻ ✈➟② ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❝â ♥❤ú♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ê♥ ✤à♥❤ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ s❛✐ sè ❝õ❛ ❞ú ❧✐➺✉ ❝➔♥❣ ♥❤ä t❤➻ t ữủ ợ ú ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ①✉➜t ♣❤→t✳ ❉♦ t➛♠ q✉❛♥ trå♥❣ ✤➦❝ t ỵ tt t ữợ t ợ tớ ❣✐❛♥ ✈➔ ❝æ♥❣ sù❝ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✉ỉ♥ ❦❤ê ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①✐♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ✤➲ t➔✐✿ ✑❍✐➺✉ ❝❤➾♥❤ t➻♠ ởt ỳ ữỡ tr ợ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➔ J ✲✤ì♥ ✤✐➺✉✑ ✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tê♥❣ ❤đ♣ tø ❜➔✐ ❜→♦ ❝õ❛ ●❙✳❚❙ ữớ ũ ợ sỹ ụ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❇r♦✇❞❡r✲❚✐❦❤♦♥♦✈ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉ ữỡ tr ợ t tỷ J ỡ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❚r♦♥❣ ✤â ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❦❤✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ❝❤➾ ❝â ♥❤✐➵✉ ð ✈➳ ♣❤↔✐ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❦❤✐ ❝↔ ✈➳ ♣❤↔✐ ✈➔ t♦→♥ tû ✤➲✉ ❝â ♥❤✐➵✉✳ ✶ ◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥✱ ❞❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❜è ❝ư❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤✳ ỗ tớ ụ tr ữỡ ữỡ tr ợ t tỷ ỡ ữỡ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝❤♦ ♠ët ❤å ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝❤♦ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈ỵ✐ t♦→♥ tû J ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr ổ ỗ t õ ❝❤✉➞♥ ❦❤↔ ✈✐ ●❛t❡❛✉① ✤➲✉✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ữợ sỹ ữợ ữớ ũ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ❤➳t sù❝ ❝è ❣➢♥❣ ♥❤÷♥❣ ❞♦ ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ ❦❤→ ♣❤ù❝ t↕♣ ✈➔ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ t❤✐➳✉ sât✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ①û ỵ ổ tr ọ ỳ s sât ♥❤➜t ✤à♥❤✳ ❚→❝ ❣✐↔ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥ ✤â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ q✉þ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ✷ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ❈❤÷ì♥❣ ỗ tr ởt số ỡ ữủ sỷ q tợ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✳ ▼ư❝ ✶✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ sü ❤ë✐ tư tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ♥❣♦➔✐ r❛ ❝á♥ ♠ët sè ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ❜ê ✤➲✱ ❝➛♥ sû ❞ö♥❣ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼ư❝ ✷✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ✈➼ ❞ư ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤✳ ▼ư❝ ✸✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝❤õ ②➳✉ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✱ ❬✻❪ ✈➔ ❬✼❪✳ ✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡r ✈➔ ❇❛♥❛❝❤ • ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ E ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt ỏ ổ õ t ổ ữợ ♥➳✉ tr➯♥ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❤➔♠ t❤ü❝ ❤❛✐ ❜✐➳♥✱ ❦➼ x, y ữủ t ổ ữợ ❝õ❛ ① ✈➔ ② ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ ✶✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ x, y ∈ E, x, y = y, x ✷✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ x, y, z ∈ E, x + y, z = x, z + y, z ✸✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ x, y ∈ E ✹✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ x ∈ E, x, x ≥ ✈ỵ✐ sè t❤ü❝ β ❀ ❜➜t ❦➻ ✸ ❀ βx, y = β x, y x, x = ✈➔ E ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❀ x = 0✳ ❱ỵ✐ ❤➔♠ x = x, x 1/2 t❤➻ E trð t❤➔♥❤ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ổ ợ t ổ ữợ ữủ ổ rt ã ổ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❊ tr♦♥❣ ✤â ù♥❣ ✈ỵ✐ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû x∈E t❛ ❝â ♠ët sè x ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ①✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ ✶✳ x > 0, ∀x = 0, x = ⇔ x = 0, ✷✳ x+y ≤ x ✸✳ αx = |α| + y , ∀x, y ∈ E ✱ ✭❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❛♠ ❣✐→❝✮ x , ∀x ∈ E, α ∈ R ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ✤➛② ✤õ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❱➼ ❞ư ✶✳✶✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Lp[a, b] ✈ỵ✐ ≤ p < ∞ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥✿ b |ϕ(x)|p dx) p , ϕ ∈ Lp [a, b], ϕ =( a ❱➼ ❞ư ✶✳✷✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ n✲❝❤✐➲✉ Rn ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ❝❤✉➞♥ ✈➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿ n |xi |2 x = 1/2 , i=1 d(x, y) = x − y , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ ●✐↔ sû ❊ ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉✳ ✣➸ ❝❤♦ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ❊ ✈➔ ❤✐➺✉ õ ữủ ỵ ❧➔ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔♦ E∗ x∗ , x x∗ ∈ E ∗ ✱ x ∈ E ữủ ỵ ợ tr ởt →♥❤ ①↕ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ✹ E∗ E∗ E J ♥➳✉✿ tø E x, j(x) ❂ x ✳ j(x) ✱ ✈➔ x = j(x) , ∀x ∈ X, j(x) ∈ J(X) • ❙ü ❤ë✐ tư tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❚r♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ x ∈ E✱ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ E✱ x∗ ∈ E ∗ ❞➣② {xn } ⊂ E ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ ✱ t❛ ❝â✿ lim xn , x∗ = x, x∗ , n→∞ ❉➣② ❤ë✐ tö ②➳✉ ữủ ữủ tử tợ xn − x → ❦❤✐ xn x∈E x ❦❤✐ n → ∞✳ ❉➣② {xn } ⊂ E ♥➳✉ ♥â ❤ë✐ tư t❤❡♦ ❝❤✉➞♥✱ tù❝ ❧➔ n → ∞✳ • ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳ ●✐↔ sû ❊ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ tr➯♥ ❘✱ E ∗ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ ❤đ♣ ❝õ❛ ❊ ✈➔ ❣å✐ E ∗∗ = L(E ∗ , R) ❤ñ♣ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❊✳ tữỡ ự ợ ộ t t tử x∗∗ tr➯♥ E ∗∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ x∈E ♠ët ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ♥❤í ❤➺ t❤ù❝ x∗∗ , f = f, x , ∀f ∈ X ∗∗ , ð ✤➙② t↕✐ f, x x ∈ E✳ ❧➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❣✐→ trà ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❚❛ ❝â x = x∗∗ ✳ ✣➦t h(x) = x∗∗ ✱ ♥➳✉ f ∈ E∗ h : E → E ∗∗ ❧➔ t♦➔♥ →♥❤ t❤➻ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❊ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✸✳ ❚❛ ❝â (Rn)∗ = Rn s✉② r❛ (Rn)∗∗ = ((Rn)∗)∗ = (Rn)∗ = Rn✳ ❱➔ ♣❤➨♣ ♥❤ó♥❣ ❝❤✉➞♥ t➢❝ H : Rn −→ (Rn )∗∗ ❧➔ ♠ët ✤ì♥ →♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➻ ❍ ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝ü t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❉♦ ✤â ❍ ❧➔ t♦➔♥ →♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❱➟② Rn ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳ ❱➼ ❞ư ✶✳✹✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Lp[0, 1] ✈ỵ✐ p > ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳ ▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ✤➲✉ ♣❤↔♥ ①↕✳ ✺ • ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✲❙ ✭❊♣❤✐♠♦✈ ❙t❡❝❤❦✐♥ ✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❊ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❊♣❤✐✲ ♠♦✈ ❙t❡❝❤❦✐♥ ✭❤❛② ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ❊✲❙✮ ♥➳✉ ❊ ♣❤↔♥ ①↕ ✈➔ tr♦♥❣ ❊ sü ❤ë✐ tö ②➳✉ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ( xn → x ) (xn x) ❧✉æ♥ ❦➨♦ t❤❡♦ sü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➔ sü ❤ë✐ tö ❝❤✉➞♥ ( xn − x → 0) ❱➼ ❞ư ✶✳✺✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ❊✲❙ • P❤✐➳♠ ❤➔♠ ♥û❛ ❧✐➯♥ tử ữợ E ởt ổ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ♣❤↔♥ ①↕✱ E ∗ E ✳ ϕ : X → R {∞} ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ ❤đ♣ ❝õ❛ tr➯♥ ❧➔ ♠ët ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ E ϕ(x) ❛✮ P❤✐➳♠ ợ xE ữủ ỗ (x + (1 − α)y) ≤ αϕ(x) + (1 − α)ϕ(y), ∀α ∈ [0, 1], x, y ∈ E ϕ(x) ❜✮ P❤✐➳♠ ❤➔♠ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tử ữợ tr P E (x) ✤÷đ❝ ❣å✐ limy→x ϕ(y) ≤ ϕ(x), ∀x ∈ E ✳ tr ổ ỷ tử ữợ t↕✐ ✤✐➸♠ E x0 ✱ ♥➳✉ E ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ∀{xn } : ϕ(x0 ) ≤ ❧✐♠ ✐♥❢ϕ(xn ) • ❚♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ ✈ỵ✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ ❤đ♣ ❝õ❛ ♥â ❧➔ ✈➔ ♠✐➲♥ ↔♥❤ E ∗ ✳❈❤♦ A t♦→♥ tû ✈ỵ✐ ♠✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❧➔ D(A) ⊆ E R(A) ⊆ E ∗ ❛✮ ❚♦→♥ tû A ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♥➳✉✿ A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A), ❜✮ ❚♦→♥ tû ❦❤✐ x = y A ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝❤➦t ♥➳✉ ❞➜✉ ❜➡♥❣ ❝❤➾ ✤↕t ✤÷đ❝ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ A ❧➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤➻ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tữỡ ữỡ ợ t ổ t tỷ ❚♦→♥ tû ➙♠ d(t)✱ A ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞✲✤ì♥ ✤✐➺✉✱ tỗ t ởt ổ ổ ợ t ≥ 0, d(0) = ✻ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ t➼♥❤ ❝❤➜t✿ ❑❤✐ ✤â ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ❝â ❞↕♥❣ x1 = f1 , x2 = f2 , 0x1 + 0x2 + 0x3 = f3 ✈ỵ✐ f = (f1 , f2 , f3 ) ∈ R3 ✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦❤✐ f = (f1 , f2 , 0) ợ f1 , f2 tũ ỵ ♣❤↔✐ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ fδ = (f1 , f2 , f3δ ) ✈ỵ✐ f3δ = t❤➻ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② ✈ỉ ♥❣❤✐➺♠✳ ✶✳✸ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ✣➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✷✮ ❦❤✐ ❦❤æ♥❣ ❜✐➳t t❤æ♥❣ t✐♥ ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ x0 ✱ ❆✳◆✳ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ởt số ợ õ ữỡ ❝❤➾♥❤ ❞ü❛ tr➯♥ ✈✐➺❝ ①➙② ❞ü♥❣ t♦→♥ tû ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ❝→❝❤ ❝❤å♥ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♠ët t❤❛♠ sè ♠ỵ✐ ✤÷❛ ✈➔♦✳ ●✐↔ sû A−1 ❦❤ỉ♥❣ ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔ t❤❛② ❝❤♦ ❢ t❛ ❜✐➳t fδ : ρY (fδ , f ) ≤ δ → 0✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛ ❧➔ ❞ü❛ ✈➔♦ t❤æ♥❣ t✐♥ ✈➲ (A, fδ ) ✈➔ ♠ù❝ s❛✐ sè δ ✱ t➻♠ ♠ët ♣❤➛♥ tû xδ ①➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ x0 ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✷✮✳ ❘ã r➔♥❣ ❧➔ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ♣❤➛♥ tû xδ t❤❡♦ q✉② t➢❝ xδ = A−1 fδ ✳ ❱➻ t❤ù ♥❤➜t ❧➔ A−1 ❝â t❤➸ ❦❤ỉ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ✈ỵ✐ f ∈ Y ✱ t❤ù ❤❛✐ A−1 ❦❤ỉ♥❣ ❧✐➯♥ tư❝ ♥➯♥ A−1 f tỗ t ụ ữ A−1 f ✳ ❚❤❛♠ sè δ ❝❤➾ ❝❤♦ t❛ ✤ë s❛✐ sè ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛ (1.2)✳ ❱➻ ✈➟② ♠ët ✤✐➲✉ tü ♥❤✐➯♥ ♥↔② s✐♥❤ ❧➔ ❧✐➺✉ ❝â t❤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ♣❤➛♥ tû ①➜♣ ①➾ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ♠ët t❤❛♠ sè ♥➔♦ ✤â ✈➔ t❤❛♠ sè ♥➔② ✤÷đ❝ ❝❤å♥ t÷ì♥❣ t❤➼❝❤ ✈ỵ✐ δ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ δ → t❤➻ ♣❤➛♥ tû ♥➔② ①➜♣ ①➾ ❤ë✐ tö ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ x0 ✳ ❚❛ ❝ơ♥❣ t❤➜② ♥➳✉ ✤÷đ❝ t❤➻ tø fδ ∈ Y t❛ ❝â ♣❤➛♥ tû ①➜♣ ①➾ t❤✉ë❝ ❊✱ tù❝ ❧➔ tỗ t ởt t tỷ õ t tứ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❨ ✈➔♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❳✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✸✳ ❚♦→♥ tû R(f, α) ♣❤ö t❤✉ë❝ t❤❛♠ sè α✱ t→❝ ✤ë♥❣ tø ❨ ✈➔♦ ❳ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët t♦→♥ tỷ t ỗ t số ữỡ ợ (0, ) δ1 ✈➔ α1 ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ ✶✹ s❛♦ ❝❤♦ t♦→♥ tû R(f, α) ①→❝ ✤à♥❤ fδ ∈ Y : ρY (fδ , f ) ≤ δ, δ ∈ (0, ) ỗ t ởt sỹ tở 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 t❤➻ ✤➸ ✈ỵ✐ ♠å✐ ρX (xα , x0 ) ≤ ε✱ ð ✤➙② α = α(fδ , δ) fδ ∈ Y x0 s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ε > ρY (fδ , f ) ≤ δ ≤ δ1 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ✭✶✳✷✮ ✈➔ xα ∈ R(fδ , α(fδ , δ)); P❤➛♥ tû xα ∈ R(fδ , α) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✷✮ ✈➔ α = α(fδ , δ) = α(δ) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t❤❛♠ sè ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤✳ ❈ơ♥❣ ❞➵ ❞➔♥❣ ♥❤➟♥ t❤➜② tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ợ ỳ Pữỡ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ✈➔ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ♥❤✐➲✉ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ tr♦♥❣ ỹ t ú ỵ ✶✳✷✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ α = δ✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ t♦→♥ tû ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝â ❞↕♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥ s❛✉✿ ❚♦→♥ tû R(f, δ) t→❝ ✤ë♥❣ tø ❨ ✈➔♦ ❳ ✤÷đ❝ ởt t tỷ ỗ t↕✐ ♠ët sè ❞÷ì♥❣ δ1 s❛♦ ❝❤♦ t♦→♥ tû R(f, δ) ①→❝ ✤à♥❤ ✈ỵ✐ ♠å✐ ≤ δ ≤ δ1 ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ f ∈ Y s❛♦ ❝❤♦ ρY (f, f0 ) ≤ δ ❀ ✷✳ ❱ỵ✐ ε > t tỗ t = (, f ) ≤ δ1 s❛♦ ❝❤♦ tø ρY (fδ , f0 ) ≤ δ ≤ δ0 t❛ ❝â ρX (xδ , x0 ) ≤ ε✱ ð ✤➙② xδ ∈ R(fδ , δ) ✶✺ ❈❤÷ì♥❣ ✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝❤♦ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❤✐ t✉②➳♥ ✈ỵ✐ t♦→♥ tû ❏✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ữ s ợ t ữỡ t ởt ữỡ tr ợ t tỷ ỡ ❚ø ✤â tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝❤♦ ữỡ tr ợ t tỷ Jỡ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❤❛✐ ✤à♥❤ ỵ ữủ ự t q ữủ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✷❪✱ ❬✸❪✱ ❬✹❪ ✈➔ ❬✺❪✳ ✷✳✶ ❚➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝❤♦ ♠ët ❤å ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, ✭✷✳✶✮ Ð ✤➙② {fi }N i=0 ❧➔ N + ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ E ✱ →♥❤ ①↕ A0 ❧➔ ♠ët L0 − ▲✐♣s❝❤✐t③ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ J− ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ →♥❤ ①↕ Ai ❧➔ ♠ët γi ữủ J ỡ tr E ợ ộ i = 1, 2, , N ✳ ✶✻ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ Si ❧➔ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù i ❝õ❛ ❤➺ (2.1)✳ ❚❛ ❣✐↔ t❤✐➳t S := N i=0 Si = ∅✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ✤➦❝ ❜✐➺t q✉❛♥ t➙♠ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❝→❝ ❞ú ❧✐➺✉ ❝❤♦ ð ✤➙② ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➼♥❤ ①→❝✱ ❦❤✐ fi ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ fiδ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✷✳✷✮ fi − fiδ ≤ δ, δ −→ ◆❤÷ t❛ ✤➣ ❜✐➳t ♠é✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ (2.1) ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ♥❣❤✐➺♠ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ♠ët ❝→❝❤ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔♦ ❞ú ❦✐➺♥ fi ✱ ✈➻ ✈➟② ❤➺ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝ơ♥❣ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ 2006 ữỡ tr (2.1) ợ fi = 0✱ ❦❤✐ Ai : E −→ E ∗ ✱ i = 0, 1, , N ❧➔ N + →♥❤ ①↕ h✲❧✐➯♥ tư❝✱ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t t❤➳ ♥➠♥❣ tr➯♥ E ✱ ✤÷❛ r❛ [2]✱ ●✐→♦ s÷ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣ ✤➣ ✤➲ ①✉➜t ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❇r♦✇❞❡r✲❚✐❦❤♦♥♦✈ N ✭✷✳✸✮ αµi Ahi (x) + αJ(x) = 0, i=0 µ0 = ❁ µi ❁ µi+1 ❁ ✶✱ ✐❂ ✶✱✷✱✳✳✳✱◆✲✶✳ ❱ỵ✐ Ahi ❧➔ →♥❤ ①↕ h✲❧✐➯♥ tư❝ ✈➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ E ✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ ✭✷✳✹✮ Ai (x) − Ahi (x) ≤ hg( x ) ❱ỵ✐ g(t) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠✱ ❜à ❝❤➦♥✱ ①→❝ ✤à♥❤ ✈ỵ✐ ♠é✐ t rữớ ủ ợ N = A0 = A✱ ♠ët →♥❤ ①↕ m✲J− ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ❊✲❙ ✈➔ t➼♥❤ ①➜♣ ①➾✱ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜ð✐ ❆❧❜❡r ✭①❡♠ ❬✸❪✮✳ ➷♥❣ ➜② ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ r➡♥❣ ♥➳✉ Ah ❧➔ J− ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ d✲❧✐➯♥ tư❝ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ Ah (x) ✰ αx ❂ fδ ✈ỵ✐ ♠é✐ α > 0✱ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ xτα ✱ τ ❂ {, h} J tử ỗ tớ ❧✐➯♥ tö❝ ②➳✉ tr➯♥ E ✱ ✈➔ (δ + h)/α −→ t❤➻ xτα −→ y∗ ✱ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ữỡ tr A(x) = f ợ f f ≤ δ✳ ❑❤✐ Ai ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ ✤â♥❣ ②➳✉ tr➯♥ E ≡ H ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt tr♦♥❣ [4] ợ sữ ữớ sỹ ❉ơ♥❣ ❞ü❛ tr➯♥ ❝ì sð t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❦❤ỉ♥❣ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤➣ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ü✉ t✐➸✉ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✿ N Ai (x) − fi +α x − x+ , ✭✷✳✺✮ i=1 Ð ✤➙② x+ ∈ H ✈➔ ❣✐↔ t❤✐➳t ❜❛♥ ✤➛✉ ✤➣ ❝❤♦✳ ◆➳✉ ♠é✐ →♥❤ ①↕ Ai ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ❣✐ỵ✐ ♥ë✐ tr➯♥ H ✱ ❜➔✐ t♦→♥ (2.5) tữỡ ữỡ ợ ữỡ tr s N N Ai Ai (x) A∗i fi , + + α(x − x ) = i=1 ✭✷✳✻✮ i=1 ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ð [5] ✈ỵ✐ A∗ ❧➔ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ A✳ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✮ ❝❤ó♥❣ t❛ ①➨t ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ rr ỹ tr ữỡ tr t tỷ ợ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝❤♦ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (2.1) ✤÷đ❝ ✤÷❛ r❛ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t♦→♥ tû Ai ❧➔ J− ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ♥❣÷đ❝ J− ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ ổ ỗ t ợ ❦❤↔ ✈✐ ✤➲✉ ●❛✉t❡❛✉①✳ ●✐↔ t❤✐➳t t♦→♥ tû Ai ✈➔ ✈➳ ♣❤↔✐ fi ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ Ahi ✈➔ fiδ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ (2.2)✱ (2.4)✳ ✣➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ (2.1)✱ t❛ ①➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❞ü❛ tr➯♥ ❝ì sð t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ N Ah0 (x) +α µ (Ahi (x) − fiδ ) + α(x − x+ ) = f0δ , ✭✷✳✼✮ i=1 Ð ✤➙② Ahi õ t t ố ữ Ai tr ∈ (0, 1) ❧➔ ❤➡♥❣ sè ❝è ✤à♥❤✳ ✶✽ ✷✳✷ ◆❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝❤♦ ♠ët ❤å ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ❏✲✤ì♥ rữợ t t ữỡ tr t tỷ N A0 (x) + α µ ✭✷✳✽✮ (Ai (x) − fiδ ) + α(x − x+ ) = f0δ , i=1 ð [0, 1] ởt số ữỡ ố t số ỵ s❛✉ ❝❤➾ r❛ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤➺ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❝❤➾ ❝â ♥❤✐➵✉ ð ✈➳ ♣❤↔✐✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳ ❈❤♦ E ❧➔ ởt ổ tỹ ỗ t ợ ❝❤✉➞♥ ❦❤↔ ✈✐ ●➙✉t❡❛✉① ✤➲✉✱ ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ♠é✐ Ai A0 ❧➔ t♦→♥ tû ❏✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ ❧➔ t♦→♥ tû ữủ ỡ ợ số i = 1, 2, N ✳ fiδ ∈ E ✱ α>0 ✈➔ ✷✳ ◆➳✉ S=θ ✈➔ ♣❤➛♥ tû α tr➯♥ E✱ ❚❛ ❝â✿ ✶✳ ▼é✐ ✈➔ t❤❛♠ sè γi ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ fiδ p∗ ∈ S ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ữủ s tợ ởt tỷ (2.8) , δ/α −→ (2.2) t❤➻ ✈ỵ✐ xδα xδα ✳ i = 0, N ❤ỉ✐ tư ♠↕♥❤ t❤ä❛ ♠➣♥ p∗ − x+ , j(p∗ − p) ≤ 0, ∀p ∈ S ✭✷✳✾✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✭✶✮ ❱➻ Ai ❧➔ J− ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ E ✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ i = 0, 1, N ✳ ❚♦→♥ tû A := A0 + αµ N Ai ❝ơ♥❣ ❧➔ ♠ët J− ✤ì♥ ✤✐➺✉ i=1 ✈➔ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ E ✱ ✈➟②✱ ❊ ❝ơ♥❣ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t m − J− ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ ❞♦ ✤â✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (2.8) ❝â ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ xδα ✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ α > ✈➔ fiδ ∈ E ◆❣❤✐➺♠ ♥➔② ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t ❜ð✐ ✈➻ (A + α(I − x+ ))(.) ❧➔ J− ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè α✳ ✶✾ ❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ ❣✐↔ sû r➡♥❣ N αµ ≤ 1✳ ❚ø (2.8) t❛ ✭✷✮ ❝â✿ A0 (xδα ) − A0 (p) + αµ N (Ai (xδα ) − Ai (p) − (fiδ − fi )) + α(xδα − i=1 x+ ), J(xδα − p) ❂ f0δ − f0 , J(xδα − p) ✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ p ∈ S ✳ ❉♦ ✤â✿ α xδα − x+ , J(xδα − p) ≤ ✰ αµ α N i=1 f0δ − f0 , J(xδα − p) fiδ − fi , J(xδα − p) ✱ ❇ð✐ ✈➻ ♠é✐ Ai ❧➔ ♠ët J− ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈ỵ✐ i = 0, 1, N ✱ ♥➯♥ xδα − p ≤ x+ − p, Jxδα − p) + αδ xδα − p , ∀p ∈ S ✱ ✈➟②✱ xδα ❧➔ ❣✐ỵ✐ ♥ë✐ ♥➯♥ tỗ t ởt số ữỡ M1 s ợ ♠å✐ xδα ≤ M1 ✱ ∀α, δ > 0✱ s✉② r❛ xδα − p δ ≤ x+ − p, J(xδα − p) + (M1 + α ❚÷ì♥❣ tü tø (2.8) ✈➔ Ai ❧➔ γi p ), ✭✷✳✶✵✮ ✲ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❧✐➯♥ tư❝✱ ✈ỵ✐ i = 1, 2, N ✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ A0 (xδα ) − f0 ≤ α xδα − x+ xδα − x+ ≤α +αµ N i=1 +αµ N i=1 γi (M1 + Ai (xσα ) − Ai (p) +2δ p ) + 2δ ✱ ❑➨♦ t❤❡♦ ✭✷✳✶✶✮ A0 (xδα ) − f0 = 0, lim α,δ/α−→0 ❚ø ✭✷✳✽✮ ✈➔ A0 ❧➔ ❏✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ Ai ữủ J ỡ ợ số γi ♥➯♥ t❛ ❝â N Ai (xδα ) − fi γi i=1 1−µ ≤α + x − ≤ (α1−µ xδα , J(xδα + x −p N ≤ i=1 Ai (xδα ) − fi , J(xδα − p) − p) + (δ/αµ + N δ) J(xδα − p) +(α1−µ /α + N δ))(M1 + ✷✵ p ), ❙✉② r❛ lim α,δ/α−→0 Ai (xδα ) − fi = 0, i = 1, 2, N, ✭✷✳✶✷✮ ❳➨t t♦→♥ tû Ti = I − Ai ✈➔ T fi = Ti + fi ✱ ❞➵ t❤➜② p ∈ S ❦❤✐ ✈➔ N fi i=0 F ix(T )✳ ❱➻ fi ❝❤➾ ❦❤✐ p ∈ ❝♦ tr➯♥ E ✱ ♥➯♥ t♦→♥ tû T Ai ❧➔ J− ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ Ti ❧➔ t♦→♥ tû ❣✐↔ ❝ơ♥❣ ❣✐↔ ❝♦ tr➯♥ ❊✳ ❚ø (2.11), (2.12) t❛ i ❝â (I − T f )xδα −→ ✈➔ α, δ/α −→ ❦❤✐ i = 0, 1, N ✳ ❉➵ t❤➜② Λi = (2I − T fi )−1 ❧➔ t♦→♥ tû ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ❚❤ü❝ ✈➟②✱ 2I − T fi = I + I − T fi = I + Ai − fi ❧➔ ♠ët J− ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ E ✳ ❱➟② R(2I − T fi ) = E ❚ø (1.1) t❛ ❝â (2I − T fi )x = (I + I − T fi )x = (I + Ai )x − fi , ❚♦→♥ tû Ai (x) = Ai (x) − fi ❧➔ m − J− ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ ✈➔ (I + Ai )−1 ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥✱ t❤❡♦ ✤â✱ Λi ❝ơ♥❣ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ❘ã r➔♥❣✱ F ix(Λi ) = F ix(T fi ) = Si ✱ ✈➟② δ δ xδα − T fi xδα = (2I − T fi )xδα − xδα = Λ−1 i xα − xα , ✈➔ δ δ Λi Λ−1 i xα = xα , ❙✉② r❛ −1 δ δ δ δ fi δ xδα − Λi xδα = Λi Λ−1 i xα − Λi xα ≤ Λi xα − xα = (I − T )xα , ✈➟② xδα − Λi xδα −→ ❦❤✐ α, δ/α −→ ❈❤♦ {xk } ❧➔ ❞➣② ❝♦♥ ❝õ❛ {xδα } ✈ỵ✐ αk , δk /αk → ❦❤✐ k → ∞ ❚❛ ①➨t ❤➔♠ ϕ(x) = µk xk − x ✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ E ✳ ❚❛ ❝â ϕ(x) −→ ∞ ❦❤✐ x → ∞✱ ✈ỵ✐ ϕ ỗ tử E ổ tỗ t p E s ϕ(p) = minϕ(x) x∈E s✉② r❛ t➟♣ C := {u ∈ E : ϕ(u) = minϕ(x)} = ∅ ∗ x∈E t r C t ỗ õ E ✱ ∗ ❱➻ xk − Λi xk → 0✳ ❚❛ ❝â✿ x k − Λi p ϕ(Λi p) = µk ≤ µk = µk xk − p Λi x k − Λi p = ϕ(p), ❙✉② r❛ Λi C ∗ ∈ C ∗ ✱ ✈➔ C ∗ ❧➔ Λi ❜➜t ❜✐➳♥ ✈ỵ✐ i = 0, 1, 2, N t tỗ t t ✤ë♥❣ ❝õ❛ {Λi }N i=0 t❤✉ë❝ C ✳ ❚❤➟t ✈➟②✿ ổ ỗ ❝❤➦t✱ C ∗ ❧➔ N i=0 F ix(Λi )✱ t➟♣ s tr s r p tỗ t ❞✉② ♥❤➜t ✤✐➸♠ p ∈ C ∗ s❛♦ ❝❤♦ p − p = inf p−x , x∈C ∗ ❱➻ p = Λi p ✈➔ Λi p ∈ C ∗ ✳ ❚❛ ❝â p − Λi p = Λi p − Λi p ≤ p − p , N i=0 F ix(i ) r i p = p tỗ t↕✐ p ∈ C ∗✱ ❚ø ❇ê ✤➲ 1.1 t❛ ❝â ❦➳t q✉↔ s❛✉✿ ✭✷✳✶✸✮ µk x − p, J(xk − p) ≤ 0, ∀x ∈ E ❈❤å♥ p = p tr♦♥❣ (2.10) ✈➔ x = x+ tr♦♥❣ (2.13)✱ t❛ õ àk xk p =0 r tỗ t↕✐ ♠ët ❞➣② ❝♦♥ {xki } ❝õ❛ ❞➣② {xk } ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ p ❦❤✐ i → ∞ ❚ø (2.11) ✈➔ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ②➳✉ ❝õ❛ ❝❤✉➞♥ t♦→♥ tû ✤è✐ ♥❣➝✉ t➟♣ ❝♦♥ ❣✐ỵ✐ ♥ë✐ ❊✳ ❏ tr➯♥ ❚❛ ❝â N + p − x , J(p − p) ≤ 0, ∀p ∈ S = F ix(Λi ), ✭✷✳✶✹✮ i=0 ❱➻ p, p ∈ S ✱ ❙ ❧➔ ♠ët t õ ỗ t p tr (2.14) ✷✷ sp + (1 − s)p✱ ✈ỵ✐ s ∈ (0, 1)✳ ❞ò♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➣ ❜✐➳t✿ J(s(p − p)) = sJ(p − p) ✱ tr♦♥❣ ✤â s > ✱ ❝❤♦ s → t❛ ✤÷đ❝ p − x+ , J(p − p) ≤ 0, ∀p ∈ S ❱➻ p∗ tr♦♥❣ (2.9) ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t ♥➯♥ p = p∗ ✳ ❱➟②✱ {xδα } ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ p∗ ❦❤✐ α, / ỵ ữủ ự ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ tê♥❣ q✉→t✱ ❦❤✐ ✈➳ ♣❤↔✐ ✈➔ t♦→♥ tỷ õ t õ ỵ s r sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤➺✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ tỹ ỗ t õ ✈✐ ●➙✉t❡❛✉① ✤➲✉✱ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ ✈ỵ✐ h > 0✳ ✶✳ ▼é✐ ♥❤➜t ✷✳ ◆➳✉ E✱ Ahi ❧➔ t♦→♥ tû ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ J− (2.4)✱ g(t) ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ ✈➔ ❣✐ỵ✐ ♥ë✐✱ (2.7) ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❞✉② ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â✿ α>0 ✈➔ fiδ ∈ E ✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ xτα , τ = (δ, h) S=θ ✈➔ ♣❤➛♥ tû ✈➔ ❧ü❛ ❝❤å♥ t❤❛♠ sè tỵ✐ ♠ët ♣❤➛♥ tû fiδ α p∗ ∈ S t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛♦ ❝❤♦ α, δ/α −→ t❤ä❛ ♠➣♥ (2.2) ❦❤✐ ✈ỵ✐ xτα i = 0, N ❤ỉ✐ tư ♠↕♥❤ (2.9) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✭✶✮ ❱➻ Ahi ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➔ J− ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ E ✈ỵ✐ i = 0, N ✱ t♦→♥ tû Ah0 (.) +α µ N i=1 (Ahi (.) − fiδ ) + α (x − x+ )(.)✱ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➔ J− ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè α✱ s✉② r❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (2.7) ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t xτα ✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ τ > 0, α > 0✳ ✷✸ ✭✷✮ ❚ø ✭✷✳✼✮ t❛ ❝â✿ Ah0 (xτα ) − Ah0 (p) +α = N µ (Ahi (xτα ) − Ahi (p)) +α(xτα − x+ ), J(xτα − p) i=1 f0δ − f0 + α µ + A0 (p) − Ah0 (p) + αµ N (fiδ − fi ), J(xτα − p) i=1 N (Ai (p) − Ahi (p)), J(xτα − p) , i=1 Ð ✤➙② p ∈ S ✱ s✉② r❛✿ α xτα − x+ , J(xτα − p) ≤ N + αµ−1 f0δ − f0 ), J(xτα − p) (fiδ − fi , J(xτα − p) i=1 + α1 +αµ−1 A0 (p) − Aho (p) N xτα − p Ai (p) − Ahi (p) i=1 xτα − p , ❱➻ Ahi ❧➔ J− ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ ♥➯♥ t❛ ❝â xτα − p ≤ x+ − p, J(xτα − p) + δ+hg( α p ) xτα − p , ∀p ∈ S s✉② r❛ {xτα } ợ tỗ t số M2 > s❛♦ ❝❤♦ xτα ≤ M2 , ∀α, δ, h > ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ (h + δ)/α → 0✱ s✉② r❛ ∀p ∈ S t❛ ❧✉æ♥ ❝â xτα − p ≤ x+ − p, j(xτα − p) + δ + hg( p ) (M2 + α p ), ∀p ∈ S ✭✷✳✶✺✮ ❚÷ì♥❣ tü tø (2.7) ✈➔ (N − 1)αµ ≤ t❛ ❝â Ah0 (xτα )−f0 xτα −x+ ≤α xτα − x+ ≤α ✰ αµ +α i=1 ≤α ≤α xτα + −x xτα −x +hg( + i=1 N +αµ N N µ i=1 Ahi (xτα )−Ai (p) Ahi (xτα ) − Ai (xτα ) Ai (xτα ) − Ai (p) xτα )+α µ N i=1 +hgm + α µ N i=1 ✷✹ +(1+N αµ )δ +2δ γi γi (M2 + xτ − p +2δ p ) + 2δ Ð ✤➙② gm = sup{g(s) : s ∈ (0, M2 )}✳ ❱ỵ✐ α, (h + δ)/α → s✉② r❛ lim α,(h+δ)/α→0 Ah0 (xτα ) − f0 = 0, ✈➔ tø (2.4) t❛ ❧✉æ♥ ❝â lim α,(h+δ)/α→0 A0 (xτα ) − f0 = 0, ❚÷ì♥❣ tỹ ữ tr ỵ 2.1 t õ Ai (xτα ) − fi → 0✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ i = 1, 2, N ✈➔ α, (h + δ)/α → 0✳ ổ t ữủ x y ỵ ữủ ự ♠✐♥❤✳ ✷✺ ❑➳t ❧✉➟♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ • ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈✐➺❝ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝❤♦ ♠ët ❤å ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ sü ❤ë✐ tư ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤❀ • ⑩♣ ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤ù❝ t↕♣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❝→❝ t♦→♥ tû ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ❏✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ ổ ỗ t õ t ã ữ r ữỡ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ❝❤➾ r❛ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤✳ ✷✻ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣✱ P❤↕♠ ❑➻ ❆♥❤✱ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❍å❝ ◗✉è❝ ●✐❛ ❍➔ ◆ë✐✱ ✷✵✵✺✳ ❬✷❪ ❇✉♦♥❣ ◆❣✱ ❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ✈❡❝t♦r ♦♣t✐♠✐③❛✲ t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s ✐♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✱ ❩❤✳ ❱②❝❤✐s❧✳ ▼❛t✳ ✐ ▼❛t✳ ❋✐③✐❦✐✱ ✹✻✭✸✮ ✭✷✵✵✻✮ ✸✼✷✲✸✼✽ ❬✸❪ ❆❧❜❡r ❨❛✳ ■✱ ❖♥ s♦❧✉t✐♦♥ ❜② t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ ❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ♦♣✲ ❡r❛t♦r ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢✐rst ❦✐♥❞ ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♠❛♣♣✐♥❣ ✐♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✱✱ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥ ❙❙❙❘✱ ✶✾✼✺✱ ❚✳✶✶✱ P✳✷✷✹✷✲ ✷✷✹✽ ❬✹❪ ❇✉♦♥❣ ◆❣✱ ❉✉♥❣ ◆❣ ❉✱ ❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ❛ ❈♦♠♠♦♥ s♦✲ ❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❙②st❡♠ ♦❢ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ■❧❧✲ ♣♦s❡❞ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ■♥t✳ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧②s✐s✱ ❱♦❧✳ ✸✱✷✵✵✾✱ ♥♦✳ ✸✹✱ ✶✻✾✸ ✲ ✶✻✻✾✳ ❬✺❪ ❇✉♦♥❣ ◆❣✱ ❉✉♥❣ ◆❣ ❉✱ ❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ❛ ❈♦♠♠♦♥ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❢✐♥✐t❡ s②st❡♠ ♦❢ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐❧❧✲ ♣♦s❡❞ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞ ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♠❛♣♣✐♥❣s ♦♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✳ ❍ë✐ t❤↔♦ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❧➛♥ t❤ù ❳❱✿ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝❤å♥ ❧å❝ ❝õ❛ ❈◆❚❚ ✈➔ ❚❚ ❍➔ ◆ë✐ ✵✸✲✵✹✴✶✷✴✷✵✶✷ ❬✻❪ ❚❛❦❛❤❛s❤✐ ❲✳✱ ❯❡❞❛ ❨✱ ❖♥ ❘❡✐❝❤✬s str♦♥❣ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ t❤❡✲ ♦r❡♠ ❢♦r r❡s♦❧✈❡♥ts ♦❢ ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs ✱ ❱✳✶✵✹✱ P✳✺✹✻✲✺✺✸✳ ✷✼ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✶✾✽✹✱ ❬✼❪ ❇r♦✇❞❡r ❋✳❊✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ♠❛♣♣✐♥❣ ♦❢ ♥♦♥❡①♣❛♥s✐✈❡ ❛♥❞ ❛❝✲❝r❡t✐✈❡ t②♣❡ ✐♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s ✱ ❇✉❧❧✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✶✾✻✼✱ ❱✳✼✸✱ P✳✽✺✼ ✲ ✽✽✷✳ ✷✽ ... ởt →♥❤ ①↕ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ✹ E∗ E∗ E J ♥➳✉✿ tø E x, j( x) ❂ x ✳ j( x) ✱ ✈➔ x = j( x) , ∀x ∈ X, j( x) ∈ J( X) • ❙ü ❤ë✐ tư tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❚r♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤... ❣å✐ ❧➔✿ ❛✮ J? ??✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ E✱ ♥➳✉ tỗ t j( x y) J( x y) s❛♦ ❝❤♦ A(x) − A(y), j( x − y) ≥ 0, ✈ỵ✐ ❜✮ J? ??✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ ❊ ✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè số x, y E tỗ t↕✐ ♠ët ❤➡♥❣ s❛♦ ❝❤♦ A(x) − A(y), j( x − y)... − i=1 x+ ), J( xδα − p) ❂ f0δ − f0 , J( xδα − p) ✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ p ∈ S ✳ ❉♦ ✤â✿ α xδα − x+ , J( xδα − p) ≤ ✰ αµ α N i=1 f0δ − f0 , J( xδα − p) fiδ − fi , J( xδα − p) ✱ ❇ð✐ ✈➻ ♠é✐ Ai ❧➔ ♠ët J? ?? ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈ỵ✐