Độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN QUANG HUY ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN QUANG HUY ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên - 2015 Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời cam đoan ii Tóm tắt nội dung iii Lời cảm ơn iv Danh sách ký hiệu v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian thường dùng 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.3 Không gian Hilbert 1.1.4 Khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 1.1.5 Không gian đối ngẫu 10 1.2 Ánh xạ đa trị 11 1.2.1 Định nghĩa 11 1.2.2 Tính nửa liên tục tính nửa liên tục ánh xạ đa trị 11 1.3 Các toán lý thuyết tối ưu 13 Chương Độ nhạy nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng 15 2.1 Các khái niệm 15 2.2 Các kết bổ trợ 17 2.3 Các tính chất liên tục nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số 20 2.4 Các trường hợp đặc biệt 30 Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i 2.5 Một vài ứng dụng 32 2.6 Kết luận 35 Chương Tính liên tục Hă older ca nghim bi toỏn bin phõn ph thuc tham số 36 3.1 Tớnh liờn tc Hă older ca nghim ca P (θ, λ) 37 3.2 Các kết bổ trợ 39 3.3 Chứng minh Định lý 3.1 45 3.4 Kết luận 50 Kết luận chung 52 Tài liệu tham khảo 53 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Thái Ngun, ngày 30 tháng 05 năm 2015 Học viên Trần Quang Huy Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii TĨM TẮT NỘI DUNG Cũng giống nhiều ngành toán học khác, vấn đề chủ yếu nghiên cứu lý thuyết bất đẳng thức biến phân tồn nghiệm, tính liên tục tập nghiệm theo tham số, thuật tốn tìm nghiệm Nội dung luận văn tốn Xét H không gian Hilbert thực, M Λ hai tập tham số khác rỗng lấy hai khơng gian định chuẩn đó, f : H × M → H ánh xạ đơn trị, K : Λ → 2H ánh xạ đa trị nhận giá trị tập lồi đóng, khác rỗng Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số  Tìm x ∈ K(λ) cho < f (x, µ), y − x > ≥ ∀y ∈ K(), (0.1) ú (à, ) M ì cặp tham số toán < ·, · > ký hiệu tích vơ hướng H Vi cp tham s (à, ) M ì cho trước, ta xem (0.1) toán nhiễu bất đẳng thức biến phân  Tìm x ∈ K(λ) cho < f (x, µ), y − x > ≥ ∀y ∈ K(λ) (0.2) Giả sử x nghiệm (0.2) Chúng ta muốn biết xem liệu (0.1) có nghiệm x = x(λ, µ) gần x (λ, µ) gần (λ, µ) hay không, hàm x(µ, λ) có dáng điệu nào? Hay nói cách khác ta cần nghiên cứu độ nhạy nghiệm x thay đổi (µ, λ) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iv LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy cô trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường THPT Nhân Chính bạn lớp Cao học K7A trường Đại học Khoa học, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, 2015 Trần Quang Huy Học viên Cao học Toán K7A, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Ngun Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ v DANH SÁCH KÝ HIỆU Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: B(a, r) Hình cầu mở tâm a, bán kính r B(a, r) Hình cầu đóng tâm a, bán kính r BX Hình cầu đơn vị X Aδ Tập điểm cách A không δ d(A, B) Khoảng cách Hausdorff hai tập A, B || · || Chuẩn Ux0 Lân cận x0 X∗ Không gian đối ngẫu X F :X⇒Y Ánh xạ đa trị từ X vào Y NK (x) Nón pháp tuyến tập K x ∂ϕ(x) Dưới vi phân ϕ x dom G Miền hữu hiệu G graf G Đồ thị G Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đời cách 50 năm với cơng trình quan trọng G Stampacchia, P Hartman, G Fichera, J L Lions F.E Brower Trong suốt thời gian đó, lý thuyết thu hút quan tâm nhiều tác giả ngồi nước Đã có nhiều báo, sách đề cập bất đẳng thức biến phân ứng dụng chúng Hiện nay, toán phụ thuộc tham số nhà toán học nhà khoa học chuyên ngành khác quan tâm nghiên cứu nhiều Những kết ứng dụng nhiều lĩnh vực Vậy lý thuyết biến phân nghiên cứu vấn đề gì? Sau đây, chúng tơi xin đưa số toán bất đẳng thức biến phân Giả sử K tập lồi đóng khơng gian định chuẩn X, f : K → X ∗ ánh xạ đơn trị từ K vào khơng gian đối ngẫu X ∗ X Bài tốn “Tìm x ∈ K cho < f (x), x − x > ≥ với x ∈ K” gọi bất đẳng thức biến phân xác định toán tử f tập K ∗ Nếu F : K → 2X ánh xạ đa trị từ K vào X ∗ tốn “Tìm x ∈ K cho tồn x∗ ∈ F (x) thỏa mãn < x∗ , x − x > ≥ với x ∈ K” gọi bất đẳng thức biến phân suy rộng xác định tập K toán tử F Khi toán tử f (F ) phụ thuộc tham số µ tập hạn chế K phụ thuộc tham số λ toán gọi bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số (hay tương ứng bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số) Ở đây, (µ, λ) cặp tham số toán Bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số, với ứng dụng khác chúng nội dung luận văn Luận văn bao gồm ba chương: Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ • Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết quen thuộc không gian dùng luận văn này; khái niệm số kết ánh xạ đa trị; nhắc lại tốn tối ưu • Chương Độ nhạy nghiệm toán biến phân suy rộng Chương này, chúng tơi trình bày khái niệm bản; kết phụ trợ; tính chất liên tục nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số; trường hợp đặc biệt ứng dụng ã Chng Tớnh liờn tc Hă older ca nghim toán biến phân phụ thuộc tham số Trong chương này, chúng tơi trình bày tính chất liên tục Hă older ca nghim ca P (, ); cỏc kt bổ trợ dùng chứng minh định lý chính; cuối kết tính liờn tc kiu Lipchitz - Hă older ca ỏnh x nghiệm theo tham số Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015 Trần Quang Huy Học viên Cao học Toán K7A Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 40 ta có y(a) = λ1 , y(b) = λ2 Vậy y ∈ K(λ ) Vì y(t) − x(t) = µ(t)(λ2 − λ1 + λ1 − λ2 ) + λ2 − λ2 (3.6) nên |y(t) − x(t)| ≤ |µ(t)|(|λ2 − λ2 | + |λ1 − λ1 |) + |λ2 − λ2 | ≤ 2(|λ2 − λ2 | + |λ1 − λ1 |), với t ∈ [a, b] Do đó, b ||y − x||pp p (|λ1 − λ1 | + |λ2 − λ2 |)p dt ≤2 a p ≤ (b − a)(|λ1 − λ1 | + |λ2 − λ2 |)p (3.7) Từ (3.6) ta có y(t) ˙ − x(t) ˙ = (λ2 − λ1 + λ1 − λ2 ), a−b với hầu khắp t ∈ [a, b] Vì ||y˙ − x|| ˙ pp ≤ b−a (|λ1 − λ1 | + |λ2 − λ2 |)p p |a − b| (3.8) Kết hợp (3.7) (3.8) ta có ||y − x||pp + ||y˙ − x|| ˙ pp ≤ Đặt k = 2p (b − a) + b−a (b − a) + |a − b|p p b−a |a − b|p (|λ1 − λ1 | + |λ2 − λ2 |)p 1/p , ta có ||y − x||1,p ≤ k|λ − λ | Từ suy tính chất (3.5) nghiệm Đó điều phải chứng minh Với θ ∈ M , ta ký hiệu Jx (x, θ) đạo hàm Frechet hàm số J(·, θ) x Bây ta thit lp mt tớnh cht liờn tc Hă older Jx (x, θ) theo (x, θ) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 41 Mệnh đề 3.4 Giả sử giả thiết H1 ) H2 ) thỏa mãn Khi đó, với θ ∈ M , phiếm hàm J(·, θ) khả vi Frechet theo x, tồn số k1 > cho p/q ||Jx (x1 , θ1 ) − Jx (x2 , θ2 )|| ≤ k1 (||x1 − x2 ||1,p + ||θ1 − θ2 ||p/q p ), (3.9) với (xi , θi ) ∈ X × M , i = 1, Chứng minh Cố định θ ∈ M xét phiếm hàm J(·, θ) Với sˆ ∈ M , hàm J(·, θ) khả vi Frechet x ˆ Thực vậy, giả sử f (ˆ x, θ) phiếm hàm tuyến tính xác định cơng thức b ˙ (Lˆu (t)h(t) + Lˆv (t)h(t))dt, f (ˆ x, θ)h = a với h ∈ X, Lˆu (t) = Lu (t, x ˆ(t), x ˆ˙ (t), θ(t)), Lˆv (t) = (t, x ˆ(t), x ˆ˙ (t), θ(t)) Do H2 ) ta có |Lˆu (t)| ≤ |Lu (t, x(t), y(t), z(t))+ + l(|ˆ x(t) − x(t)|p−1 + |x ˆ˙ (t) − y(t)|p−1 + |θ(t) − z(t)|p−1 ) = β(t) + l(|ˆ x(t) − x(t)|p−1 + |x ˆ˙ (t) − y(t)|p−1 + |θ(t) − z(t)|p−1 ), |Lˆv (t)| ≤ |Lv (t, x(t), y(t), z(t))+ + l(|ˆ x(t) − x(t)|p−1 + |x ˆ˙ (t) − y(t)|p−1 + |θ(t) − z(t)|p−1 ) = γ(t) + l(|ˆ x(t) − x(t)|p−1 + |x ˆ˙ (t) − y(t)|p−1 + |θ(t) − z(t)|p−1 ), với hầu khắp t ∈ [a, b] Vì β(·) ∈ Lq ([a, b], R) γ(·) ∈ Lq ([a, b], R), ta suy Lˆu (t), Lˆv (t) thuộc Lq ([a, b], Rn ) Từ bất đẳng thức i), iv) Bổ đề 3.2 suy b ˙ |Lˆu (t)h(t) + Lˆv (t)h(t)|dt |f (ˆ x, θ)h| ≤ a b p 1/p ˙ (|Lˆu (t)q | + |Lˆv (t)q |)1/q (|h(t)|p + |h(t)| ) dt ≤ a Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 42  1/q  b (|Lˆu (t)q | + |Lˆv (t)q |dt) ≤ a 1/p b p ˙ (|h(t)|p + |h(t)| )dt  a ≤ σ||h||1,p ,  1/q b (|Lˆu (t)q | + |Lˆv (t)q |)dt σ= a Điều chứng tỏ f (ˆ x, θ) phiếm hàm tuyến tính liên tục X Chúng ta có J(ˆ x + h, θ) − J(ˆ x, θ) − f (ˆ x, θ)h = o(h), (3.10) o(h) vô bé bậc cao ||h|| Thực vậy, b ˙ L(t, x ˆ(t) + h(t), x ˆ˙ (t) + h(t), θ(t))− J(ˆ x + h, θ) − J(ˆ x, θ) − f (ˆ x, θ)h = a ˙ − L(t, x ˆ(t), x ˆ˙ (t), θ(t)) − Lˆu (t)h(t) − Lˆv (t)h(t) dt Sử dụng định lý giá trị trung bình giả thiết H2 ), ta có ˙ ˙ ˆ u (t)h(t) − L ˆ v (t)h(t)| |L(t, x ˆ(t) + h(t), x ˆ˙ (t) + h(t), θ(t)) − L(t, x ˆ(t), x ˆ˙ (t), θ(t)) − L ≤ sup ˙ ˆ u (t)||h(t)|+ |Lu (t, x ˆ(t) + µh(t), x ˆ˙ (t) + µh(t), θ(t)) − L µ∈[0,1] ˙ ˙ ˆ v (t)h(t)| + Lv (t, x ˆ(t) + µh(t), x ˆ˙ (t) + µh(t), θ(t)) − L p−1 ˙ ˙ ≤ sup {l(|µh(t)|p−1 + |µh(t)| )(|h(t)| + |h(t)|)} µ∈[0,1] p−1 ˙ ˙ ≤ l(|h(t)|p−1 + |h(t)| )(|h(t)| + |h(t)|) (3.11) Mặt khác, theo Bổ đề 3.2 (i) ta có p−1 ˙ ˙ l(|h(t)|p−1 + |h(t)| )(|h(t)| + |h(t)|) p ˙ ˙ = l(|h(t)|p + |h(t)| ) + l(|h(t)|p−1 |h(t)| + |h(t)|p−1 |h(t)|) p p 1/p (p−1)q 1/q ˙ ˙ ˙ ≤ l(|h(t)|p + |h(t)| ) + l(|h(t)|p + |h(t)| ) (|h(t)|(p−1)q + |h(t)| ) p p ˙ ˙ = l(|h(t)|p + |h(t)| ) + l(|h(t)|p + |h(t)| ) p ˙ = 2l(|h(t)|p + |h(t)| ) Soá hóa Trung tâm Học liệu (3.12) ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 43 Kết hợp (3.11), (3.12) ta ˙ ˙ ˆ u (t)h(t) − L ˆ v (t)h(t)| |L(t, x ˆ(t) + h(t),ˆ˙(t) + h(t), θ(t)) − L(t, x ˆ(t), x ˆ˙ (t), θ(t)) − L p ˙ ≤ 2l(|h(t)|p + |h(t)| ) Do ta có |J(ˆ x + h, θ) − J(ˆ x, θ) − f (ˆ x, θ)h| ≤ 2l||h||p1,p Vì p > nên từ bất đẳng thức ta suy (3.10) Ta cịn phải (3.9) nghiệm Lấy tùy ý (x1 , θ1 ) ∈ X × M (x2 , θ2 ) ∈ X × M Áp dụng Bổ đề 3.2 sử dụng giả thiết H2 ), ta có |Jx (x1 , θ1 )h − Jx (x2 , θ2 )h| = |f (x1 , θ1 )h − f (x2 , θ2 )h| b ˙ [Lu (t, x1 , x˙ , θ1 )h − Lv (t, x2 , x˙ , θ2 )h + Lv (t, x1 , x˙ , θ1 )h˙ − Lv (t, x2 , x˙ , θ2 )h]dt = a b ≤ |Lu (t, x1 , x˙ , θ1 ) − Lu (t, x2 , x˙ , θ2 )||h|dt+ a b ˙ |Lv (t, x1 , x˙ , θ1 ) − Lv (t, x2 , x˙ , θ2 )||h|dt + a b l(|x1 − x2 |p−1 + |x˙ − x˙ |p−1 + |θ1 − θ2 |p−1 )|h|dt+ ≤ a b ˙ l(|x1 − x2 |p−1 + |x˙ − x˙ |p−1 + |θ1 − θ2 |p−1 )|h|dt + a b ˙ l(|x1 − x2 |p−1 + |x˙ − x˙ |p−1 + |θ1 − θ2 |p−1 )(|h| + |h|)dt = a b ˙ + l|x˙ − x˙ |p−1 (|h| + |h|) ˙ + l(|x1 − x2 |p−1 )(|h| + |h|) = a ˙ dt + l(|θ1 − θ2 |p−1 )(|h| + h) b ˙ p )1/p dt (|x1 − x2 |(p−1)q + |x˙ − x˙ |(p−1)q + |θ1 − θ2 |(p−1)q )1/q (3(|h| + |h|) ≤l a Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 44 (Theo Bổ đề 3.2 i)) b ˙ (|x1 − x2 |p + |x˙ − x˙ |p + |θ1 − θ2 |p )1/q (|h| + |h|)dt = l31/p a  1/q  b ≤ l31/p  (|x1 − x2 |p + |x˙ − x˙ |p + |θ1 − θ2 |p )dt ˙ p dt (|h| + |h|)  a 1/p b a (Theo Bổ đề 3.2 iv))  1/p  b  ≤ l31/p  (|x1 − x2 |p + |x˙ − x˙ |p )dt +  a b 1/q   |θ1 − θ2 |p dt  × a  1/p b ˙ p dt (|h| + |h|) × (Theo Bổ đề 3.2 ii)) a  p/q 1/p b p/q ˙ p dt (|h| + |h|) = l31/p (||x1 − x2 ||1,p + ||θ1 − θ2 ||1,p )  a  p/q 1/p b p/q ˙ p dt (|h| + |h|) ≤ l31/p 21−1/p (||x1 − x2 ||1,p + ||θ1 − θ2 ||1,p )  a (Theo Bổ đề 3.2 iii) p/q p/q = k1 (||x1 − x2 ||1,p + ||θ1 − θ2 ||1,p )||h||1,p , k = l31/p 21−1/p Như chứng minh p/q p/q |Jx (x1 , θ1 )h − Jx (x2 , θ2 )h| ≤ k1 (||x1 − x2 ||1,p + ||θ1 − θ2 ||1,p )||h||1,p , với h ∈ X Từ suy (3.9) Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 3.5 Dưới giả thiết H1 ), H2 ), H3 ) tồn số α > cho < Jx (x1 , θ) − Jx (x2 , θ), x1 − x2 > ≥ α||x1 − x2 ||p1,p , (3.13) với x1 , x2 ∈ X, θ ∈ M Chứng minh Với θ ∈ M cố định, từ H3 ) suy phiếm hàm J(x, θ) lồi mạnh bậc p Cụ thể là, có J(sx1 +(1−s)x2 , θ) ≤ sJ(x1 , θ)+(1−s)J(x2 , θ)−ρs(1−s)||x1 −x2 ||p1/p (3.14) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 45 với x1 , x2 ∈ X, s ∈ (0, 1], ρ > số cho H3 ) Từ (3.14) suy (J(x2 + s(x1 − x2 ), θ) − J(x2 , θ) ≤ J(x1 , θ) − J(x2 , θ) − ρ(1 − s)||x1 − x2 ||p1,p s (3.15) Theo Mệnh đề 3.4, J(x, θ) khả vi Frechet x2 Vì cho s → 0, từ (3.15) ta thu Jx (x2 , θ)(x1 − x2 ) ≤ J(x1 , θ) − J(x2 , θ) − ρ||x1 − x2 ||p1,p (3.16) Thay đổi vai trò x1 x2 lập luận tương tự trên, ta thu Jx (x1 , θ)(x2 − x1 ) ≤ J(x2 , θ) − J(x1 , θ) − ρ||x2 − x1 ||p1,p (3.17) Cộng bất đẳng thức (3.16) (3.17) vế với vế ta thu < Jx (x1 , θ) − Jx (x2 , θ), x1 − x2 > ≥ 2ρ||x1 − x2 ||p1,p Đặt α = 2ρ, ta có (3.13) Mệnh đề chứng minh 3.3 Chứng minh Định lý 3.1 Với cặp (θ, λ) ∈ M × Λ cố định, xét toán P (θ, λ) Theo Mệnh đề 3.3, K(λ) tập lồi đóng X Do H3 ), tồn số ρ > cho (3.14) thỏa mãn Nói riêng ra, J(·, θ) hàm lồi Do x = x(θ, λ) nghiệm (3.4) thỏa mãn bao hàm thức ∈ Jx (x, θ) + NK(λ) (x) (3.18) Đặt f (x, θ) = Jx (x, θ), ta thấy x = x(θ, λ) nghiệm (3.18) nghiệm bao hàm thức ∈ f (x, θ) + NK(λ) (x) (3.19) Theo Mệnh đề 3.4 Mệnh đề 3.5, tồn số k1 > 0, α > cho p/q ||f (x1 , θ1 ) − f (x2 , θ2 )|| ≤ k1 (||x1 − x2 ||1,p + ||θ1 − θ2 ||p/q p ), Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (3.20) 46 < f (x1 , θ) − f (x2 , θ), x1 − x2 > ≥ α||x1 − x2 ||p1,p , (3.21) với x1 , x2 ∈ X θ1 , θ2 , θ ∈ M Vì vậy, điều kiện a), b), c) Định lý 2.10 thỏa mãn Mặt khác, theo Mệnh đề 3.3, K(·) liên tục Lipschitz liên tục Aubin (λ, x) Do điều kiện d) Định lý 2.10 thỏa mãn Theo Định lý 2.10, tồn lân cận U, V W tương ứng x, λ θ cho với (θ, λ) ∈ W × V , tốn (3.19) có nghiệm x = x(θ, λ) Bên cạnh đó, x(θ, λ) = x hàm (θ, λ) −→ x(θ, λ) liên tục W × V Như tốn (3.4) có nghiệm x = x(θ, λ) hàm x = x(θ, λ) liên tục W × V Để nhận (3.2) sử dụng lược đồ chứng minh Định lý 2.21 với số thay đổi cần thiết Lấy tùy ý (θ, λ), (θ , λ ) ∈ W × V Vì x(θ, λ) ∈ K(λ) ∩ U , tính chất Lipschitz K(·) ta tìm z ∈ K(λ ) cho ||x(θ, λ ) − z||1,p ≤ k1 |λ − λ | (3.22) Tương tự, tồn y ∈ K(λ) cho ||x(θ, λ ) − y||1,p ≤ k1 |λ − λ | (3.23) Vì x(θ, λ), x(θ, λ ) tương ứng nghiệm bao hàm thức ∈ f (x, θ) + NK(λ) (x) ∈ f (x, θ) + NK(λ ) (x) nên < f (x(θ, λ), θ), y − x(θ, λ) > ≥ (3.24) < f (x(θ, λ ), θ), z − x(θ, λ ) > ≥ (3.25) Từ (3.21), (3.24) (3.25) ta có α||x(θ, λ) − x(θ, λ )||p1,p ≤< f (x(θ, λ), θ) − f (x(θ, λ ), θ), x(θ, λ) − x(θ, λ ) > ≤< f (x(θ, λ), θ) − f (x(θ, λ ), θ), x(θ, λ) − x(θ, λ ) > + < f (x(θ, λ), θ), y − x(θ, λ) > + < f (x(θ, λ ), θ), z − x(θ, λ ) > Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 47 =< f (x(θ, λ), θ), y − x(θ, λ ) > + < f (x(θ, λ ), θ), z − x(θ, λ) > ≤ f (x(θ, λ), θ) y − x(θ, λ ) 1,p + f (x(θ, λ ), θ) z − x(θ, λ) 1,p (3.26) Từ tính liên tục f (·, ·) (xem (3.20)) suy f (·, ·) bị chặn lân cận (x, θ) Khơng tính tổng qt, ta giả sử f (·, ·) bị chặn lân cận U × W Điều có nghĩa tồn số η > cho sup{ f (x, θ) : x ∈ U, θ ∈ W } ≤ η Do từ (3.26) ta có α x(θ, λ) − x(θ, λ ) p 1,p ≤ η y − x(θ, λ ) + η z − x(θ, λ) Kết hợp điều với (3.22) (3.23), ta α x(θ, λ) − x(θ, λ ) Đặt l0 = 2ηk1 α p 1,p ≤ 2ηk1 |λ − λ | 1/p ta có x(θ, λ) − x(θ, λ ) 1,p ≤ l0 |λ − λ | (3.27) Bây ta tiếp tục sử dụng kỹ thuật lần Vì x(θ, λ ), x(θ , λ ) tương ứng nghiệm bao hàm thức ∈ f (x, θ) + NK(λ) (x) ∈ f (x, θ) + NK(λ ) (x) nên < f (x(θ, λ ), θ), x(θ , λ ) − x(θ, λ ) > ≥ (3.28) < f (x(θ , λ ), θ ), x(θ, λ ) − x(θ , λ ) > ≥ (3.29) f (x(θ , λ ), θ) − f (x(θ , λ ), θ ) ≤ k1 |θ − θ |p/q p (3.30) Do (3.20) nên Kết hợp (3.21), (3.28) - (3.30) ta α||x(θ, λ ) − x(θ , λ )||p1,p ≤< f (x(θ, λ ), θ) − f (x(θ , λ ), θ), x(θ, λ ) − x(θ , λ ) > Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 48 ≤< f (x(θ, λ ), θ) − f (x(θ , λ ), θ), x(θ, λ ) − x(θ , λ ) > + + < f (x(θ, λ ), θ), x(θ , λ ) − x(θ, λ ) > + < f (x(θ , λ ), θ ), x(θ, λ ) − x(θ , λ ) > =< f (x(θ , λ ), θ ) − f (x(θ , λ ), θ), x(θ, λ ) − x(θ , λ ) > ≤ f (x(θ , λ ), θ ) − f (x(θ , λ ), θ) x(θ, λ ) − x(θ , λ ) ≤ k1 θ − θ p/q p x(θ, λ ) − x(θ , λ ) 1,p 1,p Như α x(θ, λ ) − x(θ , λ ) p−1 1,p p/q p ≤ k1 θ − θ Do x(θ, λ ) − x(θ , λ ) l1 = k1 α 1,p ≤ k1 α 1/p−1 θ−θ p/q(p−1) p = l1 θ − θ p, (3.31) 1/p−1 Cuối cùng, việc kết hợp (3.27) với (3.31) có x(θ , λ ) − x(θ, λ) 1,p ≤ x(θ , λ ) − x(θ, λ ) ≤ l1 θ − θ p 1,p + l0 λ − λ + x(θ, λ ) − x(θ, λ) 1/p 1,p Định lý chứng minh Ví dụ 3.6 Giả sử X = W 1,2 ([0, 1], R), M = L2 ([0, 1], R) Λ = R × R Xét toán P (θ, λ)      J(x, θ) =    (x2 (t) + x(t) ˙ + 2t3 θ(t)(x(t) + x(t)))dt ˙ → inf       x(0) = λ , x(1) = λ Ta khẳng định điều kiện H1 ) - H3 ) thỏa mãn Thực vậy, L(t, u, v, w) = u2 + v + 2t3 w(u + v), ta thấy H1 ) nghiệm Mặt khác, từ Lu (t, u, v, w) = 2u + 2t3 w Lv (t, u, v, w) = 2v + 2t3 w suy |Lu (t, u, v, w) − Lu (t, u , v , w )| ≤ 2(|u − u | + |v − v | + |w − w |), Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 49 |Lv (t, u, v, w) − Lv (t, u , v , w )| ≤ 2(|u − u | + |v − v | + |w − w |), với t ∈ [0, 1] Rõ ràng H2 ) thỏa mãn ta chọn x(t) ≡ 0, y(t) ≡ 0, z(t) ≡ Ta phải kiểm chứng H3 ) Chú ý rằng, với a, b ∈ R s ∈ [0, 1], ta có công thức (sa + (1 − s)b)2 = sa2 + (1 − s)b2 − s(1 − s)(a − b)2 Do L(t, su + (1 − s)u , sv + (1 − s)v , w) = (su + (1 − s)u )2 + (sv + (1 − s)v )2 + + 2t3 w(su + (1 − s)u + sv + (1 − s)v ) su2 + (1 − s)u − s(1 − s)(u − u )2 + sv + (1 − s)v − s(1 − s)(v − v )2 + + 2t3 w(su + sv + (1 − s)(u + v )) = s(u2 + v + 2t3 w(u + v)) + (1 − s)(u + v + 2t3 w(u + v ))− − s(1 − s)[(u − u )2 + (v − v )2 ] = sL(t, u, v, w) + (1 − s)L(t, u , v , w ) − s(1 − s)[(u − u )2 + (v − v )2 ] Vậy H3 ) nghiệm Bây ta đặt θ(t) ≡ 0, λ = có P (θ, λ)      J(x, 0) =    0, e − Khi ta e (x2 (t) + x(t) ˙ )dt → inf       x(0) = λ , x(1) = e − e Nếu P (θ, λ) có nghiệm x ˆ ∈ C ([0, 1], R) nghiệm phải thỏa mãn phương trình Euler d Lv (t) = Lu (t) dt hay 2ă x = 2x Bằng tính tốn đơn giản, ta chứng tỏ x ˆ(t) = et − e−t nghiệm phương trình Euler Bây ta x ˆ nghiệm P (θ, λ) W 1,2 ([0, 1], R) Lấy tùy ý x ∈ W 1,2 ([0, 1], R) đặt h = x − x ˆ ta có h(0) = h(1) = x = h + x ˆ Do ˙ ]dt [(ˆ x + h)2 + (x ˆ˙ + h) J(x, 0) = J(ˆ x + h, 0) = Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 50 1 (ˆ x2 + x ˆ˙ )dt + = (h2 + h˙ )dt + 0 1 (ˆ x2 + x ˆ˙ )dt + ≥ (hˆ x + h˙ x ˆ˙ )dt (hˆ x + h˙ x ˆ˙ )dt Sử dụng cơng thức tích phân phn v ng thc x ă=x , ta cú 1 ˙2 (hˆ x + h˙ x ˆ˙ )dt (ˆ x +x ˆ )dt+2 0 (ˆ x2 + x ˆ˙ )dt + = 1 (h x)dt + 2x h ă (hx )dt −2 0 (ˆ x2 + x ˆ˙ )dt + = 1 (hˆ x)dt − (hˆ x)dt (ˆ x2 + x ˆ˙ )dt = = J(ˆ x, 0) Do J(x, 0) ≥ J(ˆ x, 0) với x ∈ W 1,2 ([0, 1], R) Vậy x ˆ nghiệm tối ưu toàn cục P (θ, λ) Theo Định lý 3.1, tồn số l0 > 0, l1 > 0, lân cận U W tương ứng x ˆ θ, lân cận V λ cho với (θ, λ) ∈ W × V , tốn P (θ, λ) có nghiệm x = x(θ, λ) ∈ U Ngoài ra, x(θ, λ) = x ˆ x(θ, λ) − x(θ , λ ) 1,2 ≤ l1 θ − θ + l0 λ − λ 1/2 với θ, θ ∈ W ; λ, λ ∈ V 3.4 Kết luận Trong chương này, nghiên cứu toán biến phân sở với nhiễu phiếm hàm dấu tích phân giá trị biến Bằng cách đưa toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số không gian Banach phản xạ, Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 51 thiết lập kết qu v tớnh liờn tc kiu Lipschitz-Hă older theo nhiu nghiệm toán biến phân lồi mạnh phụ thuộc tham số Kết thu sử dụng để khảo sát toán thường gặp thực tế Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 52 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận văn này, thu số kết sau: Nhắc lại kiến thức không gian thường dùng (không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian tôpô, không gian đối ngẫu), ánh xạ đa trị số tính chất, nhắc lại tốn tối ưu Thiết lập số điều kiện đủ cho tớnh liờn tc v tớnh liờn tc Hăolder ca nghim bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số không gian Banach phản xạ Áp dụng kết độ nhạy nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng để khảo sát độ nhạy nghiệm toán quy hoạch lồi phụ thuộc tham số không gian Banach phản xạ Nghiên cứu độ nhạy nghiệm toán biến phân phụ thuộc tham số có số kết tớnh liờn tc kiu Lipschitz - Hă older theo nhiu phiếm hàm dấu tích phân giá trị biên nghiệm toán xét Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO • Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Bùi Trọng Kiên (2002), Độ nhạy nghiệm bất đẳng thức biến phân tính liên tục phép chiếu metric, Luận án Tiến sĩ Toán học Nguyễn Năng Tâm (2000), Vấn đề ổn định tốn quy hoạch tồn phương, Luận án Tiến sĩ Tốn học Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội • Tài liệu tham khảo Tiếng Anh R A Adams (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, NewYork L Cesari (1983), Optimization Theory and Applications, Springer - Verlag, Berlin F H Clarke (1989), Method of Dynamic and Nonsmooth Optimization, SIAM, Philadelnphia A L Donchev and R T Rockafellar (1996), Characterizations of strong regular - ity for variational inequalities over polyhedral convex sets, SIAM Journal on Optimization 6, pp 1087 - 1105 B T Kien (2001), Solution sensitivity of generlized variational inequality, Vietnam Journal of Mathematics, 29, pp 97 - 113 A B Levy and R A Poliquin (1997), Characterizing the single - valuedness of multifuntions, Set - Valued Analysis 5, pp 351 - 364 10 J Priip (1981), A characterization of uniform convexity and applications to ac-cretive operrators, Hiroshima Mathematical Journal 11, pp 229 234 11 R T Rockafellar and R J - B., Wets (1998), Variational Analysis, Springer - Verlag, NewYork Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 54 12 E Zeidler (1990), Non-linear Monotone Operators, Springer - Verlag, Berlin 13 N D Yen (1995), Hă older continuity of solutions to aparametric variational inequality, Applied Mathematics and Optimization 31, pp 245 255 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... bất đảng thức biến phân bất đảng thức biến phân suy rộng nên hầu hết kết bất đảng thức biến phân bất đẳng thức biến phân suy rộng có ứng dụng tối ưu hóa Nói riêng ra, kết độ nhạy nghiệm bất đẳng. .. bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số (hay tương ứng bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số) Ở đây, (µ, λ) cặp tham số tốn Bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số bất đẳng thức. .. ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 15 Chương Độ nhạy nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng Trong chương thiết lập số kết độ nhạy nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng có tham số khơng gian Banach