Độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––– LÊ THANH SƠN ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Bài luận văn tốt nghiệp công trình nghiên cứu thực cá nhân tơi, đƣợc thực sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo sát phân tích từ thực tiễn dƣới hƣớng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu đƣợc trình bày luận văn hồn toàn trung thực chƣa đƣợc sử dụng để bảo vệ cho học vị nào, phần trích dẫn tài liệu tham khảo đƣợc ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày tháng năm 2013 Tác giả Lê Thanh Sơn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Luận văn đƣợc hoàn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy hƣớng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy giáo, cô giáo Viện Tốn học Phịng quản lý đào tạo sau đại học tồn thể thầy giáo, giáo trƣờng ĐHSP Thái Nguyên Tôi xin chân thành cảm ơn Phịng GD&ĐT Sơng Lơ, Trƣờng THCS Lãng Cơng tạo điều kiện thời gian để hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn bạn học viên chia sẻ tơi khó khăn năm tháng học tập xa nhà Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong đƣợc đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn đƣợc hoàn chỉnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian thƣờng dùng 1.1.1 Không gian Metric 1.1.2 Khơng gian tuyến tính định chuẩn 1.1.3 Không gian Hilbert 1.1.4 Khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phƣơng Hausdoff 10 1.1.5 Không gian đối ngẫu 11 1.2 Ánh xạ đa trị 11 1.3 Bài toán tối ƣu 12 1.4 Kết luận 14 Chƣơng II ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN SUY RỘNG 15 2.1 Khái niệm 15 2.2 Các kết bổ trợ 17 2.3 Các tính chất liên tục nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số 19 2.4 Các trƣờng hợp đặc biệt 32 2.5 Một vài ứng dụng 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv 2.6 Kết luận 37 Chƣơng III TÍNH LIÊN TỤC HOLDER CỦA NGHIỆM BÀI TOÁN BIẾN PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 38 3.1 Tính chất liên tục Holder nghiệm P  ,   39 3.2 Các kết bổ trợ 41 3.3 Chứng minh định lý 3.1.1 48 3.4 Kết luận 54 KẾT LUẬN CHUNG 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đời cách 50 năm với cơng trình quan trọng G Stampacchia, P hartman, G Fichera, J L Lions F E Browder Trong suốt 50 năm qua, lý thuyết thu hút đƣợc quan tâm nhiều tác giả ngồi nƣớc Có nhiều báo, nhiều sách đề cập đến bất đẳng thức biến phân ứng dụng chúng Hiện toán phụ thuộc tham số đƣợc nhà toán học nhà khoa học khác quan tâm nghiên cứu nhiều có ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực Giả sử K tập lồi đóng khơng gian định chuẩn X , f : K  X * ánh xạ đơn trị từ K vào không gian đối ngẫu X * X Bài tốn “ Tìm x  K cho f  x  , x  x  với x  K ” đƣợc gọi bất đẳng thức biến phân xác định toán tử f tập K Nếu F : K  X * ánh xạ đa trị từ K vào X * tốn “ Tìm x  K cho tồn x * F  x  thỏa mãn x* , x  x  với x  K ” đƣợc gọi bất đẳng thức biến phân suy rộng xác định tập K toán tử F Khi toán tử f  F  phụ thuộc tham số  tập hạn chế K phụ thuộc tham số  tốn đƣợc gọi bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số ( bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số, tƣơng ứng) Ở   ,   cặp tham số toán Bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số, với ứng dụng khác chúng nội dung luận văn Tƣơng tự nhƣ nhiều lĩnh vực toán học khác, vấn đề chủ yếu đƣợc nghiên cứu lý thuyết bất đẳng thức biến Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phân tồn nghiệm, tính liên tục tập nghiệm theo tham số, thuật tốn tìm nghiệm Để tiện theo dõi luận văn này, ta nhắc lại kết 14 : Giả sử H không gian Hilbert thực, M  hai tập tham số khác rỗng lấy hai khơng gian định chuẩn đó, f : H  M  H ánh xạ đơn trị, K :   H ánh xạ đa trị nhận giá trị tập lồi, đóng, khác rỗng Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số: Tìm x  K    cho   f  x,   , y  x  0, y  K    ,  0.1   ,    M   cặp tham số tốn ,  ký hiệu tích vơ hƣớng H Với cặp tham số  ,   M   cho trƣớc, ta xem  0.1 nhƣ toán nhiễu bất đẳng thức biến phân sau đây: Tìm x  K    cho   f  x,   , y  x  0, y  K     0.2 Giả sử x nghiệm  0.2  Chúng ta cần biết xem liệu  0.1 cónghiệm x  x   ,   gần x   ,   gần   ,   hay không, hàm x  ,   có dáng điệu nhƣ Nói cách khác ta cần nghiên cứu độ nhạy nghiệm x thay đổi   ,   Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết độ nhạy nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng có phụ thuộc tham số khơng gian Banch phản xạ số áp dụng để khảo sát độ nhạy nghiệm toán quy hoạch lồi phụ thuộc tham số Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: Trình bày kiến thức Trình bày độ nhạy nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng Trình bày tính liên tục Holder nghiệm toán biến phân phụ thuộc tham số Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chƣơng Chƣơng kiến thức chuẩn bị Trong mục 1.1 trình bày khơng gian thƣờng dùng Mục 1.2 trình bày ánh xạ đa trị Mục 1.3 nhắc lại toán tối ƣu Chƣơng nghiên cứu độ nhạy nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng Trong đó, Mục 2.1 trình bày ký hiệu khái niệm liên quan đến bất đẳng thức biến phân Mục 2.2 trình bày số kiện toán tử đơn điệu cực đại Mục 2.3 thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục tựa Holder ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng, Mục 2.4 đề cập tới số trƣờng hợp riêng Mục 2.5 đƣợc dành cho việc áp dụng kết thu đƣợc mục trƣớc để nghiên cứu độ nhạy nghiệm tốn quy hoạch lồi có tham số Chƣơng nghiên cứu tính chất liên tục kiểu Lipschitz-Holder nghiệm toán biến phân phụ thuộc tham số Mục 3.1 trình bày tốn bổ đề bổ trợ Mục 3.2 thiết lập số kết tính liên tục Lipschitz tính đơn điệu mạnh tốn tử đạo hàm Mục 3.3 trình bày chứng minh định lý chƣơng Bằng cách sử dụng kết chƣơng mục 3.1 3.2, có đƣợc kết tính chất liên tục kiểu Lipschitz-Holder ánh xạ nghiệm theo tham số Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng nhắc lại số kiến thức để sử dụng suốt luận văn 1.1 Các không gian thƣờng dùng 1.1.1 Không gian Metric Định nghĩa 1.1  4, p 33  Một tập hợp X đƣợc gọi không gian metric nếu: a) Với cặp phần tử x, y X có xác định, theo quy tắc đó, số thực   x, y  ; b) Qui tắc nói thỏa mãn điều kiện sau đây:   x, y   x  y ;   x, y   x  y ( tính tự phản xạ),   x, y     y, x  với x, y (tính đối xứng),   x, y     x, z     z, y  với x, y, z (bất đẳng thức tam giác) Hàm số   x, y  gọi metric không gian cặp  X ,   đƣợc gọi khơng gian metric Ví dụ 1) Một tập M đƣờng thẳng R , có khoảng cách thơng thƣờng   x, y   x  y (độ dài đoạn nối x y ), không gian metric 2) Tổng quát hơn, không gian k chiều Rk , xác định khoảng cách hai điểm x  1,2 , ,k  y  1,2 , ,k  :   x, y   k   i 1 i  i  khơng gian metric Trong khơng gian metric, nhờ có khoảng cách, nên định nghĩa: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1) Sự hội tụ Ta nói dãy điểm x1, x2 , không gian metric X hội tụ tới điểm x khơng gian lim   xn , x   Ta viết xn  x n lim xn  x , điểm x gọi giới hạn dãy xn  2) Lân cận Một hình cầu tâm a , bán kính r   r    , không gian metric X , tập: B  a, r    x :   x, a   r Hình cầu tâm a , bán kinh r , gọi r - lân cận điểm a tập X bao hàm r - lân cận điểm a gọi lân cận điểm a Điểm trong: điểm x gọi điểm tập A có lân cận x nằm tập A 3) Tập mở Một tập mở điểm thuộc điểm 4) Tập đóng Một tập đóng điểm khơng thuộc điểm phần bù Bốn khái niệm có mối quan hệ mật thiết với nhau: ba khái niệm lại suy từ khái niệm cho trƣớc chúng sinh tập X cấu trúc, cấu trúc đƣợc gọi cấu trúc tôpô Dãy xn   X đƣợc gọi dãy Cauchy   xn , xm   n, m   Không gian metric mà dãy Cauchy hội tụ đƣợc gọi khơng gian metric đủ Bao đóng: Giả sử A tập X Giao tất tập hợp đóng chứa A gọi bao đóng tập hợp A ký hiệu A Từ định nghĩa lân cận ta có định nghĩa sau: Với a  X ,   0,   X Tập: B(a,  )  x  X :  (a, x)   , gọi hình cầu mở tâm a , bán kính  Tập: B (a,  )   x  X :  (a, x)    , gọi hình cầu đóng tâm a , bán kính  Hình cầu đợn vị đóng X đƣợc ký hiệu B X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Đặt k    b  a   p ba a b p  p , ta có y  x 1, p  k     Từ suy tính chất  3.5 nghiệm Đó điều phải chứng minh Với   M ta ký hiệu J x  x,  la đạo hàm Frechet hàm số J ,  x Bây ta thiết lập tính chất liên tục Holder J x  x,  theo  x,  Mệnh đề 3.2.2 Giả sử giả thiết  H1  ,  H  đƣợc thỏa mãn Khi đó, với   M , phiếm hàm J ,  khả vi Frechet theo x , tồn số k1  cho p q 1, p J x  x1 ,1   J x  x2 ,2   k1  x1  x  1   p q p  3.9   với  xi ,i   X  M , i  1,2 Chứng minh Cố định   M xét phiếm hàm J ,  Với xˆ  M , hàm J ,  khả vi Frechet xˆ Thực vậy, giả sử f  xˆ,  phiếm hàm tuyến tính xác định cơng thức f  xˆ,  h   b a  Lu  t  h t   Lv t  h t   dt với h  X ,   t   L  t , xˆ  t  , xˆ  t  ,  t   , L   t   L  t , xˆ t  , xˆ t  , t   L u u v v Do  H  ta có   t   L  t , x  t  , y  t  , z  t    L u u  l  xˆ  t   x  t  p 1  xˆ  t   y  t     t   l  xˆ  t   x  t  p 1 p 1    t   z  t   xˆ  t   y  t  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên p 1     t   z  t  p 1 p 1 , http://www.lrc-tnu.edu.vn 44   t   L  t , x  t  , y  t  ,z  t    L v v  l  xˆ  t   x  t  p 1  xˆ  t   y  t     t   l  xˆ  t   x  t  p 1    t   z  t  p 1  xˆ  t   y  t  với hầu khắp t  a, b Vì    Lq   a, b, R  p 1     t   z  t  p 1 p 1 ,    Lq   a, b, R  , ta  t  , L   t  thuộc L   a, b  , R n  Từ bất đẳng thức  i  ,  iv  suy L q u v Bổ đề 3.1.1 suy f  xˆ,  h b  t  h t   L   t  h  t  dt  L u v a  b a   a  b  h    a  b q h t    t q  L   t q dt L u v  q  a    t q  L   t q L u v 1, p  t  L u   b p  h  t  h t  p p  p dt p  h  t  dt p , q  t   L v q  dt  q Điều chứng tỏ f  xˆ,  phiếm hàm tuyến tính liên tục X Chúng ta có J  xˆ  h,   J  xˆ,   f  xˆ,  h   h   3.10  h  vơ bé bậc cao theo h Thực vậy, J  xˆ  h,   J  xˆ,   f  xˆ,  h   b a  L  t , xˆ t   h t  , xˆ t   h t  , t     t  h t   L   t  h  t   dt  L  t , xˆ  t  , xˆ  t  ,  t    L u v Sử dụng định lý giá trị trung bình giả thiết  H  , ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45  u t  h t   L  v  t  h  t  L  t , xˆ  t   h  t  , xˆ  t   h  t  ,  t    L  t , xˆ  t  , xˆ ,  t    L  sup  Lu  t , xˆ  t    h  t  , xˆ  t    h  t  ,  t   h  t    0,1  u t  h t   L  v  t  h  t   Lv  t , xˆ  t    h  t  , xˆ  t    h  t  ,  t   h  t   L   u t  h t    sup  Lu  t , xˆ  t    h  t  , xˆ  t    h  t  ,  t    L  0,1  v  t  h  t   Lv  t , xˆ  t    h  t  , xˆ  t    h  t  ,  t    L  sup l   h  t    h  t  p 1  0,1  l  h t  p 1  h  t  p 1  p 1  h  t   h  t  h  t   h  t      3.11 Mặt khác, theo Bổ đề 3.1.1  i  ta có l  h t  p 1  l  h t  p  l  h t  p  h  t    h  t   h  t   p p 1 h  t    l  h  t  h  t   h  t  p 1   l  h t  p p  l  h  t   h  t    l  h  t  p p  2l  h  t   h  t   p p  h  t  p   h t  h t  p 1 p   h t  p h  t   p  p 1q   h  p 1q  q 3 Kết hợp  3.11 ,  3.12 ta đƣợc  u t  h t   L  v  t  h t  L  t , xˆ  t   h  t  , xˆ  t   h  t  ,  t    L  t , xˆ  t  , xˆ,  t    L  2l  h  t  p  h  t  p  Do ta có: J  xˆ  h,   J  xˆ,   f  xˆ,  h  2l h Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên p 1, p http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Vì p  nên từ bất đẳng thức ta suy  3.10  Ta phải  3.9 nghiệm Lấy tùy ý  x1,1   X  M  x2 ,2   X  M Áp dụng Bổ đề 3.1.1 sử dụng giả thiết  H  , ta có J x  x1 ,1  h  J x  x2 ,  h  f  x1 ,1  h  f  x2 ,  h   L  t , x , x , h  L  t , x , x ,  h  b  u a 1 u 2  Lv  t , x1 , x1 ,1  h  Lv  t , x2 , x2 ,  h  dt   Lu  t , x1 , x1 ,1   Lu  t , x2 , x2 ,  h dt  b a   Lv  t , x1 , x1 ,1   Lv  t , x2 , x2 ,  h dt b a   l  x1  x2 b p 1  x1  x2 a   l  x1  x2 b p 1 b p 1 a l  a  b x1  x2  1    l b a  p 1 x1  x2  x1  x2 p 1    p 1q p 1  h dt  p 1 p 1  1    1    h  h h  h  1   p 1  x1  x2 a   l  x1  x2 p 1 p 1 x1  x2  h dt  h  h  dt  h  h  p 1   dt  x1  x2  p 1q  1    p 1q q   h   p dt  h p ( Bổ đề 3.1.1  i  )  l3  l3 p   b a p x1  x2  x1  x2  a  b p p  1   x1  x2  x1  x2 p p q   p  1   p  dt h  h  dt  q  a  b  dt p h  h  h  h p ( Bổ đề 3.1.1  iv  ) p  l     b a x1  x2  x1  x2 p p  dt  p   1  2 dt b a p q   a  b p dt ( Bổ đề 3.1.1  ii  ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  p 47  l3 p p p q 1, p   l3  1   x1  x p 1 p p q 1, p  x1  x p q 1, p  1    a  b p q 1, p  h  h  a  b p dt  h  h p p dt  p ( Bổ đề 3.1.1  iii  ) p q 1, p  k1  x1  x  1   p k1 : l p 1 p p q 1, p  h 1, p , Nhƣ chứng minh p q 1, p J x  x1,1  h  J x  x2 ,2  h  k1  x1  x  1   p q 1, p  h 1, p với h  X Từ suy  3.9  Mệnh đề đƣợc chứng minh Mệnh đề 3.2.3 Dƣới giả thiết  H1  ,  H  ,  H3  , tồn số   cho  J x  x1 ,   J x  x2 ,  , x1  x2    x1  x2 p 1, p , với x1 , x2  X ,   M  3.13 Chứng minh Với   M cố định, từ  H  suy phiếm hàm J  x,  lồi mạnh bậc p Cụ thể là, có J  sx1  1  s  x2 ,   sJ  x1 ,   1  s  J  x2 ,    s 1  s  x1  x2  3.14 p 1, p với x1, x2  X , s   0,1 ,   số cho  H  Từ  3.14  suy  J  x2  s  x1  x2  ,   J  x2 ,   J  x1 ,   J  x2 ,    1  s  x1  x2 s p 1, p  3.15 Theo mệnh đề 3.2.2, J  x,  khả vi Frechet x2 Vì vậy, cho s  , từ  3.15 ta thu đƣợc: J x  x2 ,  x1  x2   J  x1 ,   J  x2 ,    x1  x2 p 1, p  3.16  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Thay đổi vai trò x1 x2 , lập luận tƣơng tự nhƣ trên, ta đƣợc J x  x1 ,  x2  x1   J  x2 ,   J  x1 ,    x2  x1 p 1, p  3.17  Cộng bất đẳng thức  3.16   3.17  vế với vế ta thu đƣợc  J x  x1 ,   J x  x2 ,  , x1  x2    x1  x2 p 1, p Đặt    ta có mệnh đề (3.13) Mệnh đề đƣợc chứng minh 3.3 Chứng minh định lý 3.1.1 Với cặp  ,    M   cố định, xét toán P  ,   Theo mệnh đề 3.2.1, K    tập lồi đóng X Do  H  , tồn số   cho  3.14  thỏa mãn Nói riêng ra, J ,  hàm lồi Do x  x  ,   nghiệm  3.4  thỏa mãn bao hàm thức  3.18  J x  x,   N K    x  Đặt f  x,   J x  x,  , ta thấy x  x  ,   nghiệm  3.18 nghiệm bao hàm thức  3.19  f  x,   N K     x  Theo mệnh đề 3.2.2 Mệnh đề 3.2.3, tồn số k1  0,   , cho p q 1, p f  x1 ,1   f  x2 ,   k1  x1  x  1   f  x1 ,   f  x2 ,  , x1  x2   x1  x2 p 1, p p q p ,  3.20 3.21 , với x1, x2  X  ,1,2  M Vì vậy, điều kiện  a1  ,  a2  ,  a3  Định lý 2.3.1 ( Chƣơng 2) đƣợc thỏa mãn Mặt khác, theo mệnh đề 3.2.1, K  liên tục Lipschitz liên tục Aubin  , x  Do điều kiện  a4  Định lý 2.3.1 đƣợc thỏa mãn Theo Định lý 2.3.1, tồn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 lân cận U ,V W tƣơng ứng x ,   , cho với  ,    W V , tốn  3.19 có nghiệm x  , x x  x  ,   Bên cạnh đó, hàm  ,    x  ,   liên tục W  V Nhƣ tốn  3.4  có nghiệm x  x  ,   hàm x  x  ,   liên tục W V Để nhận đƣợc  3.2  sử dụng lƣợc đồ chứng minh Định lý 2.3.2 với số thay đổi cần thiết Lấy tùy ý  ,   ,  ,   W  V Vì x  ,    K     U , tính chất Lipschitz K  ta tìm đƣợc z  K   cho x  ,     z 1, p  3.22  k1     Tƣơng tự, tồn y  K    cho x  ,   y 1, p  3.23  k1     Vì x  ,   , x  ,  tƣơng ứng nghiệm bao hàm thức  f  x,   N K     x   f  x,   N K    x  , nên f  x  ,   ,  , y  x  ,     3.24 f  x  ,  ,  , z  x  ,    3.25 Từ  3.21 ,  3.24   3.25 ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50  x  ,    x  ,     x  ,   ,   f  x  ,   ,  , x  ,    x  ,     f  x  ,   ,   f  x  ,    ,  , x  ,    x  ,      f  x  ,   ,  , y  x  ,    f  x  ,    ,  , z  x  ,     f  x  ,   ,  , y  x  ,     f  x  ,    ,  , z  x  ,    f  x  ,   ,  y  x  ,    1, p  f  x  ,    ,  z  x  ,   p 1, p  f 1, p  3.26 Từ tính liên tục f ,  ( xem 3.20) suy f ,  bị chặn lân cận  x ,  Khơng tính tổng qt ta giả sử f , bị chặn lân cận U  W Điều có nghĩa tồn số   cho sup f  x,  : x U ,   W    Do đó, từ  3.26  ta có  x  ,    x  ,    p 1, p   y  x  ,      z  x  ,   Kết hợp điều với  3.22  3.23 , ta đƣợc  x  ,    x  ,    Đặt l0   2 k1   p p 1, p  2 k1     ta có x  ,    x  ,    1, p  3.27   l0     Bây ta tiếp tục sử dụng kỹ thuật lần Vì x  ,  , x  ,  tƣơng ứng nghiệm bao hàm thức  f  x,   N K     x   f  x,   N K    x  , nên f  x  ,  ,  , x  ,   x  ,   ,  3.28 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 f  x  ,  ,   , x  ,   x  ,    3.29 Do  3.20  f  x  ,    ,   f x  ,    , '   p  k1     pq  3.30 Kết hợp  3.21 ,  3.28 -  3.30  ta đƣợc  x  ,     x  ,     x  ,   ,   f  x  ,   ,  , x  ,     x  ,     f  x  ,    ,   f  x  ,    ,  , x  ,     x  ,      f  x  ,    ,  , x  ,     x  ,     f  x  ,    ,   , x  ,     x  ,     f  x  ,    ,    f  x  ,    ,  , x  ,     x  ,     f  x  ,    ,    f  x  ,     x  ,     x  ,    1, p  k1     p q p p 1, p  f x  ,     x  ,    1, p Nhƣ vậy:  x  ,     x  ,    p 1 1, p p  k1     pq Do x  ,     x  ,    l1   k1  1, p  k1   p 1   p q p 1 p 3.31  l1     p ,  p1 cuối cùng, việc kết hợp  3.27 với  3.31 có x  ,     x  ,   1, p  x  ,     x  ,     x  ,     x  ,   1, p 1, p p  l1     p  l0     Định lý đƣợc chứng minh Ví dụ 3.3.1 Giả sử X  W1,2   0,1 , R  , M  L2   0,1 , R    R  R Xét tốn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 P  ,    J  x,    x  t   x  t 2  t   t  x  t   x  t   0  x 1  2   x    1 ,   dt  inf Ta khẳng định điều kiện  H1    H3  đƣợc thỏa mãn Thực vậy, L  t , u, v, w   u  v  2t 3w  u  v  , ta thấy  H1  đƣợc nghiệm Mặt khác, từ Lu  t , u, v, w   2u  2t 3w Lv  t , u, v, w   2v  2t 3w suy Lu  t , u, v,w   Lu t , u, v,w   u  u  v  v  w  w  , Lv  t , u, v,w   Lv t , u, v,w   u  u  v  v  w  w với t 0,1 Rõ ràng  H2   thỏa mãn ta chọn x  t   0, y  t   0, z  t   Ta phải kiểm chứng  H  Chú ý rằng, với a, b  R s 0,1 , ta có đẳng thức  sa  1  s  b   sa  1  s  b2  s 1  s  a  b  Do L  t , su  1  s  u, sv  1  s  v, w    su  1  s  u 2t w  su  1  s  u  sv  1  s  v    sv  1  s  v     su  1  s  u2  s 1  s  u  u   sv  1  s  v2  s 1  s  v  v   2t w  su  sv  1  s  u  v    s  u  v  2t w  u  v    1  s  u2  v2  2t w  u  v     s 1  s   u  u    v  v  2   sL  t , u, v, w   1  s  L  t , u, v, w   s 1  s  u  u  v  v Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Vì  H  nghiệm Bây ta đặt   t   0,    0, e  có: P  , Nếu P   ,    Khi ta e  J  x,0    x  t   x  t 2  dt  inf 0    x    1 , x 1  e  e   có nghiệm xˆ  C1  0,1, R  nghiệm phải thỏa mãn phƣơng trình Euler d x  x Bằng tính tốn đơn giản ta Lv  t   Lu  t  , hay  dt chứng tỏ xˆ  t   et  et nghiệm phƣơng trình Euler Bây ta W1,2  0,1, R xˆ nghiệm P   ,   x  W1,2  0,1, R ta có h  0  h 1  x  h  xˆ Do  đặt h  x  xˆ J  x,0   J  xˆ  h,0      xˆ  h   Lấy tùy ý   xˆ  h   dt  1  ˆ  dt xˆ  xˆ  dt    h  h dt  2  hxˆ  hx  xˆ  xˆ  dt     1 0  ˆ  dt  hxˆ  hx Sử dụng công thức tích phân phần đẳng thức  xˆ  xˆ , ta có 0   ˆ  dt xˆ  xˆ  dt    hxˆ  hx  ˆ xˆ  xˆ  dt  2  hxˆ dt  xh  1 xˆ  xˆ  dt  2  hxˆ dt  2  hxˆ  dt   1 0  2 1  hxˆ  dt xˆ  xˆ  dt   J  xˆ ,0   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Do J  x,0  J  xˆ,0 với x  W1,2   0,1 , R  Vậy xˆ nghiệm tối ƣu toàn cục P   ,   Theo định lý 3.1.1, tồn số l0  0, l1  , lân cận U W tƣơng ứng xˆ  , lân cận V  cho, với  ,    W  V , tốn P  ,   có nghiệm x  x  ,   U Ngoài ra, x   ,    xˆ x  ,    x  ,     l1      l0     1,2 với  ,   W;  ,  V 3.4 Kết luận Trong chƣơng nghiên cứu toán biến phân sở với nhiễu phiếm hàm dƣới dấu tích phân giá trị biến Bằng cách đƣa toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số không gian Banach phản xạ, thiết lập đƣợc kết tính liên tục kiểu LipschitzHolder theo nhiễu nghiệm toán biến phân lồi mạnh phụ thuộc tham số Kết thu đƣợc sử dụng để khảo sát toán thƣờng gặp thực tế Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận văn thu đƣợc số kết sau: Nhắc lại kiến thức không gian thƣờng dùng (không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian tôpô, không gian đối ngẫu), ánh xạ đa trị số tính chất, nhắc lại toán tối ƣu Thiết lập số điều kiện đủ cho tính liên tục tính liên tục Holder nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số không gian Banach phản xạ Áp dụng kết độ nhạy nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng để khảo sát độ nhạy nghiệm toán quy hoạch lồi phụ thuộc tham số không gian Banach phản xạ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO  Tài liệu tham khảo tiếng Việt: 1 Bùi Trọng Kiên, Độ nhạy nghiệm bất đẳng thức biến phân tính liên tục phép chiếu metric, Luận án tiến sĩ Toán học, Hà Nội năm 2002 2 Nguyễn Năng Tâm, Vấn đề ổn định toán quy hoạch tồn phương, Luận án tiến sĩ Tốn học, Hà Nội năm 2000 3 Nguyễn Xuân Tấn Nguyễn Bá Minh, Lý thuyết tối ưu khơng trơn 4 Hồng Tụy, Hàm thực giải tích hàm  Tài liệu tham khảo tiếng Anh: 5 R.A.Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975 6 L.Cesari, Optimization Theory and Applications, Springer- Verlag, Berlin, 1983 7 F.H.Clarke, Method of Dynamic and Nonsmooth Optimization, SIAM, Philadelphia, 1989 8 A.L Donchev and R.T.Rockafellar, Characterizations of strong regular- ity for variational inequalities over polyhedral convex sets, SIAM Journal on Optimization (1996), 1087- 1105 9 B.T.Kien, Solution sensitivity of zeneralized variational inequality, Vietnam Journal of Mathematics, 29(2001), 97- 113 10 A.B.Levy and R.A.Poliquin, Characterizing the single- valuedness of multifuntions, Set- Valued Analysis 5(1997), 351- 364 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 11 J.Pr u , A characterization of uniform convexity and applications to ac- cretive operators, Hiroshima Mathematical Journal 11(1981), 229234 12 R.T.Rockafellar and R.J-B Wets, Variational Analysis, SpringerVerlag, New York 1998 13 E Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, II/B: Non- linear Monotone Operators, Springer- Verlag, Berlin, 1990 14 N.D.Yen, Holder continuity of solutions to aparametric variational in- equality, Applied Mathematics and Optimization 31(1995), 245- 255 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... dạng bất đẳng thức biến phân bất đẳng thức biến phân suy rộng nên hầu hết kết bất đẳng thức biến phân bất đẳng thức biến phân suy rộng có ứng dụng tối ƣu hố Nói riêng ra, kết tính ổn định độ nhạy. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Chƣơng II ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN SUY RỘNG Trong chƣơng thiết lập số kết độ nhạy nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng có tham số khơng gian Banach... Chƣơng II ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN SUY RỘNG 15 2.1 Khái niệm 15 2.2 Các kết bổ trợ 17 2.3 Các tính chất liên tục nghiệm bất đẳng thức biến phân suy